Algebra Lineal XX: Determinantes.

Algebra Lineal XX: Determinantes. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx En estas notas mostraremos como definir la función determinante para matrices cuadradas de orden arbitrario. El estudio de los determinantes se iniciará definiendo las propiedades que debe tener la función determinante. Además, se mostrará que la función determinante de existir es única. 1. Definición de la función determinante. El primer paso será definir las propiedades que debe satisfacer la función determinante. Definición de la función determinante. Sea Mp×p el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden p con elementos sobre el campo K. El determinante es un mapeo de Mp×p al campo K que está definido por los requerimientos sobre las columnas M1 , M2 , . . . , Mp de una matriz M ∈ Mp×p arbitraria. 1. Si la j−ésima columna 1 ≤ j ≤ p de M está dada por Mj + Mj∗ , se tiene que det(M1 M2 · · · Mj + Mj∗ · · · Mp ) = det(M1 M2 · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M1 · · · Mj∗ · · · Mp ) 2. Si la j−ésima columna 1 ≤ j ≤ p de M está dada por λMj , donde λ ∈ K se tiene que det(M1 M2 · · · λMj · · · Mp ) = λ det(M1 M2 · · · Mj · · · Mp ) Estas dos primeras propiedades, aseguran que el determinante es un mapeo multilineal en las columnas de la matriz M . 3. Si Mj = Mj+1 para cualquier j tal que 1 ≤ j ≤ p − 1 entonces1 det(M ) = 0. 4. Si Ip es la matriz identidad en el espacio Mp×p entonces det(Ip ) = 1. A partir de esta definición, se encontrarán propiedades adicionales de la función determinante y se ampliará el alcance de algunas de estas propiedades iniciales. Teorema. Sea M ∈ Mp×p y sea det la función determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas adyacentes de M 1 El determinante de una matriz cuadrada M frecuentemente se representa para |M | 1 es (−1)det(M ). Prueba. Considere el determinante de la matriz 0 = 0 = det(M1 M2 · · · Mj + Mj+1 Mj + Mj+1 · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mj Mj + Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj + Mj+1 · · · Mp ) 0 = det(M1 M2 · · · Mj Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj+1 · · · Mp ) Sin embargo, por la propiedad número 3 de la función determinante, el primero y el último de los determinantes son 0, por lo tanto 0 = det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) por lo tanto det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) = −det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) = −det(M ) Corolario. Si dos columnas de M son iguales; es decir si Mi = Mj para i = j, entonces det(M ) = 0. Prueba. Suponga que i < j, entonces det(M ) = = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) = (−1)j−i−1 det(M1 M2 · · · Mi Mj · · · Mp ) (−1)j−i−1 det(M1 M2 · · · Mi Mi · · · Mp ) = (−1)j−i−1 (0) = 0 Corolario. Sea M ∈ Mp×p y sea det la función determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas cualesquiera de M es (−1)det(M ). Prueba. Considere el determinante de la matriz 0 = det(M1 M2 · · · Mi + Mj · · · Mi + Mj · · · Mp ) 0 = 0 = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mi + Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi + Mj · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mi · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mj · · · Mp ) Sin embargo, por el corolario anterior, el primero y el último de los determinantes son 0, por lo tanto 0 = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) por lo tanto det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) = −det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) = −det(M ) Teorema. La adición del múltiplo escalar de una columna de la matriz a otra columna de la matriz deja sin cambio al valor del determinante. Prueba. Considere la matriz det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj + λMi · · · Mp ) = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + = det(M1 M2 · · · Mi · · · λMi · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + = λdet(M1 M2 · · · Mi · · · Mi · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + 0 = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) 2 Teorema. Para cada p, existe cuando mucho una función determinante en Mp×p . No mostraremos este teorema para el caso general, pero mostraremos que este resultado es cierto para p = 2 y para p = 3. Unicidad del determinante para p = 2. Considere una matriz arbitraria M ∈ M2×2 , entonces a11 a12 M= = [M1 M2 ] a21 a22 donde M1 = a11 ê1 + a21 ê2 además ê1 = y M2 = a12 ê1 + a22 ê2 1 0 y ê2 = 0 1 Entonces, expandiendo las columnas del determinante de la matriz, M , se tiene que |M | = det(M ) = det(a11 ê1 + a21 ê2 a12 ê1 + a22 ê2 ) = det(a11 ê1 a12 ê1 + a22 ê2 ) + det(a21 ê2 = det(a11 ê1 det(a21 ê2 a12 ê1 ) + det(a11 ê1 a12 ê1 ) + det(a21 ê2 = a11 a12 det(ê1 a21 a12 det(ê2 ê1 ) + a11 a22 det(ê1 ê1 ) + a21 a22 det(ê2 = (a11 a22 − a21 a12 )det(ê1 a12 ê1 + a22 ê2 ) a22 ê2 ) + a22 ê2 ) ê2 ) + ê2 ) ê2 ) = a11 a22 − a21 a12 Unicidad del determinante para p = 3. Considere una matriz arbitaria M ∈ M3×3 , entonces ⎤ ⎡ a11 a12 a13 M = ⎣ a21 a22 a23 ⎦ = [M1 M2 M3 ] a31 a32 a33 donde M1 = a11 ê1 + a21 ê2 + a31 ê3 ademas M2 = a12 ê1 + a22 ê2 + a32 ê3 ⎡ ⎤ 1 ê1 = ⎣ 0 ⎦ 0 ⎡ ⎤ 0 ê2 = ⎣ 1 ⎦ 0 M3 = a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ⎡ ⎤ 0 ê3 = ⎣ 0 ⎦ 1 Entonces, expandiendo las dos primeras columnas del determinante de la matriz M y eliminando los 3 determinantes cuyo valor es 0, se tiene que |M | = = = = det(a11 ê1 + a21 ê2 + a31 ê3 a12 ê1 + a22 ê2 + a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) det(a11 ê1 a12 ê1 + a22 ê2 + a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a21 ê2 det(a31 ê3 a12 ê1 + a22 ê2 + a32 ê3 a12 ê1 + a22 ê2 + a32 ê3 det(a11 ê1 det(a11 ê1 a12 ê1 a22 ê2 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a11 ê1 det(a21 ê2 a32 ê3 a12 ê1 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a21 ê2 det(a21 ê2 a22 ê2 a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a31 ê3 a12 ê1 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a31 ê3 det(a31 ê3 a22 ê2 a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) det(a11 ê1 det(a11 ê1 a22 ê2 a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a21 ê2 det(a21 ê2 a12 ê1 a32 ê3 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + det(a31 ê3 det(a31 ê3 a12 ê1 a22 ê2 a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) + a13 ê1 + a23 ê2 + a33 ê3 ) Expandiendo la tercera columna del determinante de la matriz M y eliminando aquellos determinantes cuyo valor sea 0, se tiene que M = = det(a11 ê1 a22 ê2 a13 ê1 ) + det(a11 ê1 a22 ê2 a23 ê2 ) + det(a11 ê1 a22 ê2 a33 ê3 ) + det(a11 ê1 det(a21 ê2 a32 ê3 a12 ê1 a13 ê1 ) + det(a11 ê1 a13 ê1 ) + det(a21 ê2 a32 ê3 a12 ê1 a23 ê2 ) + det(a11 ê1 a23 ê2 ) + det(a21 ê2 a32 ê3 a12 ê1 a33 ê3 ) + a33 ê3 ) + det(a21 ê2 det(a31 ê3 a32 ê3 a12 ê1 a13 ê1 ) + det(a21 ê2 a13 ê1 ) + det(a31 ê3 a32 ê3 a12 ê1 a23 ê2 ) + det(a21 ê2 a23 ê2 ) + det(a31 ê3 a32 ê3 a12 ê1 a33 ê3 ) + a33 ê3 ) + det(a31 ê3 det(a11 ê1 a22 ê2 a22 ê2 a13 ê1 ) + det(a31 ê3 a33 ê3 ) + det(a11 ê1 a22 ê2 a32 ê3 a23 ê2 ) + det(a31 ê3 a23 ê2 ) + det(a21 ê2 a22 ê2 a12 ê1 a33 ê3 ) a33 ê3 ) + det(a21 ê2 a32 ê3 a13 ê1 ) + det(a31 ê3 a12 ê1 a23 ê2 ) + det(a31 ê3 a22 ê2 a13 ê1 ). El paso final, consiste en realizar todas las permutaciones, cambiando el signo del determinante de manera apropiada, para que las columnas del determinante correspondan a la matriz identidad, cuyo determinante es 1. M = = = a11 a22 a33 det(ê1 ê2 ê3 ) − a11 a32 a23 det(ê1 ê2 ê3 ) − a21 a12 a33 det(ê1 ê2 ê3 ) + a21 a32 a13 det(ê1 ê2 ê3 ) + a31 a12 a23 det(ê1 ê2 ê3 ) − a31 a22 a13 det(ê1 ê2 ê3 ) a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13 . 4 2. Problemas Resueltos Problema 1. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 2. 3 2 |M1 | = −1 7 Solución: Empleando los vectores columna 1 ê1 = 0 el determinante se escribe como 3 2 = |3ê1 − ê2 |M1 | = −1 7 = ê1 | + 21|ê1 6|ê1 y ê2 = 0 1 2ê1 + 7ê2 | = 3|ê1 ê2 | − 2|ê2 ê1 | − 7|ê2 2ê1 + 7ê2 | − |ê2 2ê1 + 7ê2 | ê2 | Pero se sabe que |ê1 ê1 | = |ê2 ê2 | = 0 además |ê1 ê2 | = 1 y |ê2 ê1 | = −|ê1 ê2 | = −1. ê2 | − 2|ê2 ê1 | − 7|ê2 Por lo tanto |M1 | = 6|ê1 ê1 | + 21|ê1 ê2 | = 6(0) + 21(1) − 2(−1) − 7(0) = 23. Problema 2. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 3. 3 2 −1 |M1 | = −1 7 0 −3 5 3 Solución: Empleando los vectores columna ⎡ ⎤ 1 ê1 = ⎣ 0 ⎦ 0 el determinante |M1 | = ⎡ ⎤ 0 ê2 = ⎣ 1 ⎦ 0 se escribe como 3 2 −1 −1 7 0 = |3ê1 − ê2 − 3ê3 −3 5 3 = |3ê1 2ê1 + 7ê2 + 5ê3 ⎡ ⎤ 0 ê3 = ⎣ 0 ⎦ 1 2ê1 + 7ê2 + 5ê3 − ê1 + 3ê3 | − ê1 + 3ê3 | +| − ê2 2ê1 + 7ê2 + 5ê3 − ê1 + 3ê3 | +| − 3ê3 2ê1 + 7ê2 + 5ê3 − ê1 + 3ê3 | = |3ê1 2ê1 − ê1 + 3ê3 | + |3ê1 − ê1 + 3ê3 | + |3ê1 7ê2 5ê3 − ê1 + 3ê3 | +| − ê2 2ê1 − ê1 + 3ê3 | + | − ê2 7ê2 − ê1 + 3ê3 | + | − ê2 5ê3 − ê1 + 3ê3 | +| − 3ê3 2ê1 − ê1 + 3ê3 | + | − 3ê3 7ê2 − ê1 + 3ê3 | + | − 3ê3 5ê3 − ê1 + 3ê3 | Pero se sabe que si algún determinante tiene dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto |M1 | = |3ê1 7ê2 +| − ê2 − ê1 + 3ê3 | + |3ê1 5ê3 − ê1 + 3ê3 | + | − ê2 5ê3 − ê1 + 3ê3 | + | − 3ê3 2ê1 5 2ê1 − ê1 + 3ê3 | + | − 3ê3 − ê1 + 3ê3 | 7ê2 − ê1 + 3ê3 | Expandiendo la tercera columna se tiene que |M1 | = |3ê1 7ê2 − ê1 | + |3ê1 7ê2 3ê3 | + |3ê1 5ê3 − ê1 | + |3ê1 5ê3 3ê3 | +| − ê2 2ê1 − ê1 | + | − ê2 2ê1 3ê3 | + | − ê2 5ê3 − ê1 | + | − ê2 5ê3 +| − 3ê3 2ê1 − ê1 | + | − 3ê3 3ê3 | + | − 3ê3 2ê1 7ê2 − ê1 | + | − 3ê3 3ê3 | 7ê2 3ê3 | Nuevamente, aquellos determinantes que tienen dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto |M1 | = = |3ê1 7ê2 63|ê1 ê2 3ê3 | + | − ê2 2ê1 3ê3 | + | − ê2 5ê3 − ê1 | + | − 3ê3 7ê2 − ê1 | ê3 | + 6|ê1 ê2 ê3 | + 5|ê1 ê2 ê3 | − 21|ê1 ê2 ê3 | = 53|ê1 ê2 ê3 | = 53 Pues se sabe que el determinante de la matrix identidad |I3 | = |ê1 3. ê2 ê3 | = 1. Problemas Propuestos. Problema 1. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 2. 4 5 −1 3 |M2 | = |M1 | = 2 7 4 3 Problema 2. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 3. 4 5 −1 3 2 2 3 −2 |M3 | = 2 7 −3 |M4 | = 4 2 −3 4 2 −1 0 6

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