Función real de PROPORCIONALIDAD INVERSA Llamaremos así a la función real en la que, para un valor de la variable independiente perteneciente al dominio, su correspondiente imagen se determina mediante la regla: Ejemplo En 1662 publicó BOYLE una descripción del experimento sobre la comprensibilidad del aire que le llevó a encontrar la relación, formulada matemáticamente, existente entre la PRESIÓN (P) y el VOLUMEN (V) del aire. 1. Describe Boyle cómo preparó un tubo de cristal en J con el brazo corto cerrado y el largo abierto (gráfico 1) ; introdujo mercurio en el tubo por la rama abierta hasta que alcanzó el mismo nivel en las dos ramas, quedando además en la rama corta una cantidad de aire aprisionado. En este momento la presión sobre el aire aprisionado era igual a la presión atmosférica. Colocó sobre el exterior del brazo más corto un papel graduado en pulgadas y fracción de pulgadas, haciendo coincidir el cero con el extremo del tubo. El nivel del mercurio en la rama más corta señalaba entonces el 48. P = 1 atmósfera *)))))))))' V = 48 u. 2. Añadió entonces mercurio por el orificio E (gráfico 2), y cuando el nivel de la rama más corta señalaba 24, la diferencia de nivel entre las dos ramas era de 754 mm . Esta diferencia era, aproximadamente, la correspondiente a la presión atmosférica en el lugar del experimento, presión que Boyle había estimado en 740 mm . Esto significa que la presión del aire en la rama más corta era, aproximadamente, dos veces la presión atmosférica. P = 2 atmósferas *)))))))))' V = 24 u. 3. Siguió Boyle añadiendo mercurio (gráfico 3), y cuando el volumen del aire comprimido en la rama más corta del tubo marcaba la unidad 12, la diferencia entre las alturas de las dos ramas era de 2246 mm . Quiero esto decir que, en ese momento, la presión que ejerce la masa de aire comprimido equivale a 2246 mm + 740 mm = 2986 mm . Esto equivale, aproximadamente, a cuatro veces la presión atmosférica del lugar del experimento ( 740 mm ) . P = 4 atmósferas *)))))))))' V = 12 u. Así que, doblando la presión, el volumen del aire contenido en la rama cerrada se reduce a la mitad; y cuadruplicando la presión, el volumen se reduce a su cuarta parte. Esto sugiere que a temperatura constante, la presión y el volumen del aire varían en forma inversamente proporcional ( LEY DE BOYLE-MARIOTTE ) : El volumen del aire está en función de la presión ejercida. Existe una función, que a cada valor de la presión le hace corresponder un único valor del volumen : V = F(P) . La presión y el volumen varían en forma inversamente proporcional: I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicada a las CC.SS. II . Funciones Funciones de proporcionalidad inversa. Hipérbolas Asíntota horizontal y=0 Asíntota vertical x=0 Funciones de proporcionalidad inversa Dominio : ú-{0} / I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Recorrido : ú-{0} / Asíntota horizontal :y=0 / Asíntota vertical :x=0 Matemática Aplicada a las CC.SS. II .Funciones Trasladarla al punto : Dominio Recorrido Continuidad Simetrías Periodicidad Corte con los ejes ATRAS Creciente Decreciente Asíntota horizontal Extremos Cóncava Asíntota vertical Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Periodicidad Corte con los ejes Trasladarla al punto : Dominio Recorrido Continuidad Simetrías ATRAS Creciente Decreciente Asíntota horizontal Extremos Cóncava Asíntota vertical Convexa Inflexiones Asíntota OblIcua Ramas parabólicas Periodicidad Corte con los ejes Trasladarla al punto : Dominio Recorrido Continuidad Simetrías ATRAS Creciente Decreciente Asíntota horizontal I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Extremos Asíntota vertical Cóncava Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Matemática Aplicada a las CC.SS II . Funciones Ejercicio 1 Trasladarla al punto : | Propiedades de la función Dominio Recorrido Continuidad Simetrías Periodicidad Corte con los ejes ATRÁS Creciente Decreciente Asíntota horizontal Extremos Cóncava Asíntota vertical Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Periodicidad Corte con los ejes Ejercicio 2 Trasladarla al punto : | Propiedades de la función Dominio Recorrido Continuidad Simetrías ATRÁS Creciente Decreciente Asíntota horizontal I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Extremos Asíntota vertical Cóncava Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Matemática Aplicada a las CC.SS. II . Funciones Funciones racionales Ejercicio 1 . Esbozo de la gráfica y propiedades de la función Trasladarla al punto : P( -3 , -2 ) | Propiedades de la función Dominio Recorrido Continuidad Simetrías Periodicidad Corte con los ejes ATRAS Creciente Decreciente Asíntota horizontal Extremos Cóncava Asíntota vertical Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Periodicidad Corte con los ejes: Ejercicio 2 . Esbozo de la gráfica y propiedades de la función | Propiedades de la función Dominio Recorrido Continuidad Simetrías ATRAS Creciente Decreciente Asíntota horizontal I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Extremos Asíntota vertical Cóncava Convexa Inflexiones Asíntota Oblicua Ramas parabólicas Matemática Aplicada a las CC.SS. II . Funciones Estudio y análisis de funciones racionales ( 1 ) Para estudiar el ritmo al que aprenden los animales, un grupo de científicos realizan un experimento en el que una rata es enviada repetidamente a través de un laberinto. Así, encuentran que el tiempo, en minutos, requerido por la rata para atravesar el laberinto está en función del número de veces que repite la prueba y viene dado por: | Elabora, rápidamente, un esquema de la gráfica de la función. Primera hipérbola La función sin contexto La función en su contexto | ¿Cuánto tiempo se tomará la rata para recorrer el laberinto en la tercera prueba? | ¿En qué prueba hizo el recorrido, por primera vez, en cuatro minutos? | A la vista de la gráfica, comenta con detalle los resultados obtenidos en el experimento. | ¿Podrá la rata atravesar el laberinto en menos de tres minutos? I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones Estudio y análisis de funciones racionales ( 2 ) Durante un programa nacional para vacunar a la población contra una forma virulenta de la gripe, los funcionarios de salud encontraron que el coste, en millones de euros, de inocular al x por ciento de la población viene dado, aproximadamente por: | Transformación de la función. | Esquema de la gráfica de la función. Primera hipérbola La función sin contexto La función en su contexto | ¿Cuál fue el coste que supuso vacunar al primer 50% de la población? | ¿Y el de vacunar a la segunda mitad de la población? | ¿Qué porcentaje de la población había sido inoculado en el momento en que se habían gastado 37,5 millones de euros? | Observando la gráfica, comenta la evolución de los gastos en función del porcentaje de población vacunada. I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones Estudio y análisis de funciones racionales ( 3 ) En una empresa agrícola, el balance quincenal, en miles de euros, está en función del precio al que se vende el litro de aceite, en euros. La relación vienen dada por la función: | ¿Cuál fue el balance en la quincena en la que se vendió el litro de aceite a 0'6i? | Esquema de la gráfica de la función. Primera hipérbola La función sin contexto La función en su contexto | ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? | Analiza, en función del precio de venta, la evolución de los balances quincenales que obtiene la empresa. | ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esa empresa? ¿Y las pérdidas? I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones Estudio y análisis de funciones racionales ( 4 ) En una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en función de lo que cada empleada ha vendido, en cientos de euros. El incentivo sigue la función: | ¿Cuáles el incentivo que recibirá un empleado que ha vendido productos por valor de 40.000 euros? | Transformación del segundo tramo. | Gráfica de la función que aparece en el segundo tramo. | Esbozo de la gráfica de la función. La recta | 0 # v # 100 La hipérbola v > 100 Los dos tramos : gráfica de la función Comenta el incentivo que la empresa ofrece a sus empleados en función de sus ventas. I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones