PROYECCIONES ORTOGONALES 1. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r es el punto Q de r tal que el vector QP es perpendicular a cualquier vector director de r. Si u es un vector director de r, Q proyección ortogonal de P sobre r ⇔ Q ∈ r y QP ⊥ u Q ∈ r = Q proy r P ⇔ QP ⊥ u EJEMPLO x − 3 y −1 z + 2 Halla la proyección ortogonal del punto P ( −1, 4, 3) sobre la recta r : = = 4 2 −1 1 3 9 Solución: Q , − , − 7 7 7 EJERCICIOS x −1 y − 3 z . 1. Determina la proyección ortogonal del punto P ( 3, −3, 7 ) sobre la recta r : = = −1 2 1 x =−2 − 2λ 2. Calcula la proyección ortogonal del punto P ( 2, −9, −9 ) sobre la recta r : y = 7 + 3λ . z = 6 + 4λ 0 x + y + 3z − 1 = 3. Halla la proyección ortogonal del punto P ( −6, −1, 3) sobre la recta r : 0 2 x + 3 y + 4 z − 2 = SOLUCIONES 3 3 1. Q −2, , 2 2 2. Q ( 6, −5, −10 ) 12 3. Q −5, , 5 6 5 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 1 2. Proyección ortogonal de un punto sobre un plano La proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π es el punto Q de π tal que el vector QP es perpendicular a π. Q proyección ortogonal de P sobre π ⇔ Q ∈ π y QP ⊥ π Q ∈ π = Q proy π P ⇔ QP ⊥ π EJEMPLO Halla la proyección ortogonal del punto P ( 6, −9, 7 ) sobre el plano π : x − 3 y + 5 z + 2 = 0. Solución: Q ( 4, −3, −3) EJERCICIOS 1. Determina la proyección ortogonal del punto P ( −3, 2, −2 ) sobre el plano π : 4 x − 6 y + 2 z − 7 = 0. 2. Calcula la proyección ortogonal del punto P (14, 7, −12 ) sobre el plano π : 4 x + y − 5 z + 3 = 0. 3. Halla la proyección ortogonal del punto P ( 4, 5, 4 ) sobre el plano π : 3 x − y + 2 z − 8 = 0. x = λ − µ 4. Calcula la proyección ortogonal del punto P ( 9, 2, 1) sobre el plano π : y = 2 − λ + 3µ . z = 3 + 2λ − 2µ 5. Determina la proyección ortogonal del punto P ( −7, 2, −2 ) sobre el plano π : 3 x − y + 2 z − 8 = 0. SOLUCIONES 1 7 3 1. Q − , − , − 2 4 4 2. Q ( 2, 4, 3) 5 11 3. Q , , 3 2 2 4. Q (1, 2, 5 ) 1 1 5. Q , − , 3 2 2 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 2 3. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano La proyección ortogonal de una recta r sobre un plano π es la recta s contenida en el plano π tal que el plano π' que contiene a las dos rectas r y s es perpendicular al plano π. s proyección ortogonal de r sobre π ⇔ s ⊂ π y π ⊥ π ' siendo π' el plano que contiene a las rectas r y s. Se tiene que s = π ∩ π' Por lo tanto, la recta proyección la daremos mediante sus ecuaciones implícitas, como intersección de dos planos π s: π ' Como el plano π' es un plano que contiene a r y es perpendicular a π, quedará determinado por un punto y un vector director de r, y un vector normal de π. EJEMPLO x =−2 + λ Dada la recta r : y= 2 − 3λ y el plano π : 3 x − 2 y + z − 5 = 0 , calcula la proyección ortogonal de la recta r z= 5 + λ sobre el plano π. 0 3 x − 2 y + z − 5 = Solución: s : 0 x − 2 y − 7 z + 41 = x =−1 + 8λ Expresada mediante sus ecuaciones paramétricas será s : y =−1 + 11λ z = 6 − 2λ I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 3 SELECTIVIDAD - Geometría PROYECCIONES ORTOGONALES Ejercicios Punto-plano: 37, (60) y 71. Punto-recta: 68. PUNTOS SIMÉTRICOS Ejercicios Punto-recta: 7, 15, 49, 51, 66, (80), (82), 119, 125, 131, 138, 144, (149), y 166. Punto-plano: 12, 18, 60, 83, 96, 124, 148 y (156). I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 4