Dominios euclídeos

S EC . 1. D OMINIOS EUCL ÍDEOS
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Dominios euclı́deos
Un dominio D es un dominio euclı́deo si existe una aplicación δ : D \ {0} → N, la aplicación
grado, tal que
(I) Si a, b ∈ D \ {0} verifican a | b, entonces δ(a) ≤ δ(b);
(II) Para cada m, n ∈ D con n 6= 0 existen c, r ∈ D tales que m = nc + r con r = 0 o
δ(r) < δ(n).
Ejemplo. 1.1.
Ejemplos de dominios euclı́deos son: Z, K [X ] (si K es un cuerpo) y Z[i].
Lema. 1.2.
Prueba que si D es un dominio euclı́deo con aplicación euclı́dea δ y que si a, b ∈ D \ {0}
verifican a | b y δ(a) = δ(b), entonces a y b son asociados.
D EMOSTRACI ÓN . Tenemos que ver que b | a. Por el algoritmo de la división tenemos a =
bc + r. Si r 6= 0, entonces δ(r) < δ(b). Por otro lado, como a | b, existe d ∈ D tal que b = ad;
entonces
r = a − bc = a − adc = a(1 − dc),
y tenemos que a | r, y por la propiedad de la aplicación euclı́dea se tiene δ(a) ≤ δ(r) < δ(b),
lo que es una contradicción.
Proposición. 1.3.
Prueba que si D es un dominio euclı́deo, entonces cada ideal de D es un ideal principal.
D EMOSTRACI ÓN . HACER
Como consecuencia, dados dos elementos a1 , a2 ∈ D el ideal (a1 , a2 ) está generado por un
elemento, sea, d, y se verifica pues d | ai , i = 1, 2, y existen c1 , c2 ∈ D tales que d = c1 a1 + c2 a2 .
Observa que si x | ai , i = 1, 2, entonces x | d.
Sea D un dominio, dados a1 , a2 ∈ D un máximo común divisor de a1 y a2 es un elemento
d ∈ D tal que
(I) d | ai , i = 1, 2;
(II) si x | ai , i = 1, 2, entonces x | d.
P. Jara
ÁLGEBRA CONMUTATIVA
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Observa que un máximo común divisor está determinado de forma única salvo multiplicar
por elementos invertibles.
De forma análoga se define un mı́nimo común múltiplo de dos elementos en un dominio.
Proposición. 1.4.
En un dominio euclı́deo cada par de elementos tiene un mı́nimo común múltiplo.
Si D es un dominio euclı́deo y d ∈ D es un máximo común divisor de a1 , a2 ∈ D, entonces
(a1 , a2 ) = (d), esto es, existen c1 , c2 ∈ D tales que d = c1 a1 + c2 a2 . Esta identidad se conoce
con el nombre de identidad de Bezout. En este caso es posible determinar los elementos
c1 , c2 mediante el algoritmo de Euclides. En efecto, basta observa que si haceos la división de
a1 por a2 : a1 = a2 c + r, si r = 0 se tiene que a2 | a1 y d = a2 . Por el contrario, si r 6= 0 se tiene
m. c. d.{a1 , a2 } = m. c. d.{a2 , r}. Como δ(r) < δ(a2 ), repitiendo el proceso el número de veces
necesario se llega a que d = m. c. d.{a1 , a2 } es el último resto no nulo; los coeficientes ci se
obtienen a partir de las divisiones realizadas.
Ejercicio. 1.5.
Dar un algoritmo que permita calcular los coeficientes ci de la identidad de Bezout.
Proposición. 1.6.
En un dominio de factorización única cada par de elementos tiene un mı́nimo común múltiplo.
En un dominio D un elemento p ∈ D se llama primo si cuando divide a un producto de dos
elementos divide a uno de ellos. Esto, si p | ab, entonces p | a o p | b.
Proposición. 1.7.
En cada dominio D todo elemento primo es irreducible. Además si D es un dominio euclı́deo
o un dominio de factorización única, cada elemento irreducible es primo.
D EMOSTRACI ÓN . HACER
Teorema. 1.8.
Cada dominio euclı́deo es un dominio de factorización única.
D EMOSTRACI ÓN . Sea D un dominio euclı́deo con aplicación euclı́dea δ, vamos a ver que cada
elemento no nulo y no invertible x ∈ D se puede factorizar en producto de irreducibles. Si
existe un elemento no nulo y no invertible x que no es un producto de elementos irreducibles,
por ser N un conjunto bien ordenado tomamos x tal que δ(x) es mı́nimo. Por la hipótesis x
no es irreducible, luego x = x1 x2 en donde ni x1 ni x2 son invertibles. Se tiene δ(xi ) ≤ δ(x), y
como no son asociados resulta que δ(xi ) < δ(x), lo que implicada que cada x1 es un producto
de irreducibles, y esto es una contradicción.
15 de octubre de 2009
Curso 2008–2009. NOTAS DE TRABAJO, 6
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Tenemos que cada elemento no nulo y no invertible x ∈ D tiene una factorización en irreducibles. Supongamos que se tienen dos factorizaciones
x = p1 · · · pt = q1 · · · ps
en elementos irreducibles. Como p1 es un elemento primo, resulta que existe qj tal que p1 | qj ,
y como ambos son irreducibles, son asociados. Supongamos, por simplicidad, que p1 = q1 .
Entonces p2 · · · pt = q2 · · · ps . Ahora por inducción sobre la longitud de las descomposiciones
se llega a que las factorizaciones p2 · · · pt y q2 · · · ps son iguales, lo que implica que s = t y que
las factorizaciones p1 · · · pt y q1 · · · ps son iguales.
Sea ahora D un dominio en el que existe el máximo común divisor de cada par de elementos.
Dado un polinomio F ∈ D[X ] definimos el contenido de F como el máximo común divisor
de los coeficientes de F, y lo representamos por c(F).
Lema. 1.9.
Para cada par de polinomios F, G ∈ D[X se tiene c(FG) = c(F)c(G).
Un polinomio F ∈ D[X ] se llama primitivo si c(F) = 1.
Corolario. 1.10. (Lema de Gauss)
El producto de polinomios primitivos e sun polinomio primitivo.
Consecuencia de estos resultados tenemos un resultado de interés para dominios de factorización única:
Teorema. 1.11.
Si D es un dominio de factorización única, el anillo de polinomios D[X ] es un dominio de
factorización única.
P. Jara
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