Divisibilidad - Escuela de Matemáticas UIS

Divisibilidad
Rafael F. Isaacs G.
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Fecha: 14 de abril de 2005
El máximo común divisor
La relación “n divide a m” tiene sentido cuando n y m son enteros o naturales, pero no para
fraccionarios o reales (por qué?). En la sección 4 vimos la forma de demostrar las propiedades
mas elementales sobre esta relación, propiedades que resumimos a continuación utilizando
la notación “n|m”, también introducida en esa sección.
Propiedades de la relación “n divide a m”. Siendo a, b, c enteros no nulos se tiene:
1. a|0 y 1|a
2. a|a
3. Si a|b y b|c entonces a|c.
4. Si a|b y b|a entonces |a| = |b|.
5. Si a|b y a|c entonces para cualesquier enteros x, y se tiene que a|(xb + yc)
6. Si a|b entonces |a| ≤ |b|.
En base a estas propiedades desarrollaremos el concepto de máximo común divisor de dos
enteros a y b (no nulos). En aritmética elemental se conocen algoritmos para encontrar el
máximo común divisor de dos enteros y se entiende que por ejemplo el máximo común divisor
de 9 y 12 es 3, ya que de los divisores positivos comunes de 9 y 12 el mayor es 3. Nosotros
nos basaremos en la siguiente definición:
Definición 1. Dados dos enteros a, b ninguno nulo, Máximo Común Divisor de a y b que
notaremos (a, b), ser el entero positivo c tal que:
i) c|a y c|b.
ii) Si x|a y x|b entonces x|c.
La condición i) nos indica que c debe ser un común divisor y la condición ii) no señala que
es el máximo. En los ejercicios 4 y 5 se da una necesaria discusión sobre esta definición. La
siguiente proposición nos permite hablar del m.c.d. de tres o mas números.
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UIS
1
Proposición 1. ((a, b), c) = (a, (b, c))
Demostración. Sean d = (a, b), e = (b, c), f = (a, e) y g = (d, c) debemos demostrar que
g = f.
Por ser g = (d, c) entonces g|d y g|c. Por ser d = (a, b) y g|d tenemos que d|a y d|b o sea se
tiene que g divide a a, b y c. Pero si g divide a b y a c entonces g debe dividir a e = (b, c) y
como también divide a a entonces g—f. De manera similar se ve que f |g lo que implica que
g = kf , pero como ambos son positivos concluimos que g = f .
Para hallar (n, m) un método muy antiguo, llamado el algoritmo de Euclides, consiste
en hacer divisiones sucesivas, como mostraremos en el siguiente ejemplo para enseguida
formalizar:
Ejemplo 1. Para hallar (32, 18) dividimos 32 entre 18 y obtenemos como residuo 14, luego
dividimos 18 entre 14 obteniendo como residuo 4, enseguida dividimos 14 entre 4 y obtenemos
residuo 2, y al dividir 4 entre 2 obtenemos residuo 0. Como 2 es el último residuo no nulo,
2 es el máximo común divisor de 32 y 18.
Dividendo Divisor
32
18
18
14
14
4
Residuo
14
4
2
(32,18)
Cuadro 1: Divisiones sucesivas para encontrar (32, 18) según el algoritmo euclidiano.
Proposición 2. (Algoritmo Euclidiano) Si a y b son enteros positivos por el algoritmo
de la división (Propiedad 6-1 Capı́tulo 1) podemos encontrar r1 , ..., rk y q1 , ..., qk+1 tales que:
a = bq1 + r1
b = r 1 q2 + r 2
r 1 = r 2 q3 + r 3
..
.
0 < r 1 < b = r0
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
..
.
rk−3 = rk−2 qk−1 + rk−1
rk−2 = rk−1 qk + rk
rk−1 = rk qk+1
0 < rk−1 < rk−2
0 < rk < rk−1
(1)
de esta forma, el último residuo no nulo rk , es el máximo común divisor de a y b.
Demostración. Vamos a proceder por inducción sobre k, que es el número de pasos que hay
en el proceso. Notemos que el proceso se detiene cuando rk+1 = 0 pues no se puede hacer la
siguiente división.
i) Si k = 0 o sea el primer residuo r1 es 0, entonces a es múltiplo de b y por tanto (ejercicio
2) el máximo común divisor es b.
2
ii) Supongamos que se tiene demostrado cuando hay sólo k−1 residuos, entonces empecemos
el proceso en la segunda ecuación de (1) o sea en b = r1 q1 + r2 . Partiendo de esta
ecuación hasta llegar a la última tenemos k−1 residuos no nulos, entonces por hipótesis
de inducción podemos decir que rk = (b1 , r1 ). Tenemos:
1. rk |b y rk |r1
2. x|b y x|r1 ⇒ x|rk .
Como r0 > r1 > ... > 0 entonces algún rk+1 debe ser cero, esto nos garantiza que el
proceso descrito en (1) es finito.
Pero a = bq1 + r1 entonces rk |a y tenemos que
i)0 rk |a y rk |b.
Ahora bien, si x|a y x|b entonces x|a − bq1 o sea x|r1 y por ii) tenemos que x|rk , por
tanto:
ii)0 Si x|a y x|b entonces x|rk .
i)0 e ii)0 nos garantizan que (a, b) = rk con lo cual queda demostrada la proposición.
Corolario. Si a y b son enteros, un número de la forma αa + βb con α, β ∈ Z es una
combinación lineal de a y b. La menor combinación lineal positiva de dos enteros no
nulos es el máximo común divisor.
Ejemplo 2. Para expresar (32, 18) como combinación lineal de 32 y 18 podemos recurrir al
algoritmo euclidiano pero en sentido inverso. Según este (tabla 1) tendrı́amos:
32 = 18 × 1 + 14
18 = 14 × 1 + 4
14 = 4 × 3 + 2
4=2×2
(2)
Entonces de la penúltima ecuación tenemos: 2 = 14 − 4 × 3. Pero 4 = 18 − 14 × 1 entonces
2 = 14−(18−14×1), 3 = 14×4−18×3 y como 14 = 32−18 entonces 2 = (32−18)×4−18×3 =
32 × 4 + (18) × (−7) y hemos encontrado α = 4 y β = −7 tal que 2 = (32, 18) = 32α + 18α.
Este proceso es el que utilizamos para la demostración general.
Demostración. Nótese primero que si x es combinación lineal de n y m, y a la vez m es
combinación lineal de n y m0 , entonces x es combinación lineal de n y m0 (ejercicio 6). Por
esta razón y según las ecuaciones de (1) vemos que rk es combinación lineal de rk−1 y rk−2 y
a la vez rk−1 es combinación lineal de rk−2 y rk−3 entonces rk es combinación lineal de rk−2
y rk−3 . Por este proceso “vamos subiendo” hasta llegar a que rk es combinación lineal de r1
y b, pero como r1 es combinación lineal de a y b; vemos que rk , el máximo común divisor, es
combinación lineal de a y b.
Por otra parte, el máximo común divisor divide a a y divide a b y por tanto a cualquier
combinación lineal de a y b y se deduce que es la menor de todas las combinaciones lineales
positivas de a y b.
Definición 2. a y b se llaman primos relativos si y sólo si (a, b) = 1.
3
Proposición 3. (Lema de Euclides) Supongamos que a y b son primos relativos y que
a|bc entonces a|c.
Demostración. Como (a, b) = 1, según el corolario anterior existen α, β ∈ Z, tales que
1 = αa + βb multiplicado por c a ambos lados obtenemos que c = αac + βbc, como a|bc y
a|ac entonces a|c.
El siguiente resultado, cuya demostración se deja como ejercicio al lector, establece un método
muy usado para construir el máximo común divisor de dos números: Se descomponen en
factores primos y se escogen aquellos factores comunes con su menor exponente.
Proposición 4. Si las descomposiciones en factores primos de a y b son:
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαnn
y
β
β
b = p1 1 p2 2 . . . pβnn
entonces el máximo común divisor de a y b, (a, b) tiene como descomposición en factores
primos
γ γ
p1 1 p2 2 . . . pγnn
donde γ i es el mı́nimo entre αi y β i .
Ejercicios
1. Encontrar el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros. Expresarlo como
combinación lineal de los dos números:
a) 52, 38
b) 81, 110
c) 320, 112
d ) 7469, 238
2. Demuestre que (a, ka) = a (con a > 0) y que (1, a) = 1
3. Demuestre que la definición 1 es una buena definición. Es decir, que si dos números c
y c0 cumplen la definición se debe tener c = c0 .
4. El máximo común divisor de a y b se puede definir como aquel entero c tal que:
i) c|a y c|b.
ii) x|a y x|b implica x < c.
Demostrar que esta definición es equivalente a la definición 1 (para esto, suponga que
c0 cumple la definición 1 y que c cumple la anterior definición y deduzca que c0 = c).
5. Demostrar que (a, b) = (a, b + ka) para todo k.
6. Si x es combinación lineal de n y m, y a la vez m es combinación lineal de n y m0
entonces x es combinación lineal de n y m0 .
7. Demostrar que a y b son primos relativos si 1 se puede expresar como combinación
lineal de a y b.
4
8. Si m es un entero positivo, demostrar que (ma, mb) = m(a, b).
9. Demostrar que si p es un número primo y a es un entero entonces o (a, p) = 1 o
(a, p) = p.
10. Si p y q son primos distintos entonces (p, q) = 1
11. Probar que (a, bc) = 1 si y solo si (a, b) = 1 y (a, c) = 1.
12. Si x = yz + t , probar que (x, z) = (z, t).
13. Si a y b son primos relativos y c pertenece a los enteros positivos entonces:
i) existen α y β tales 1 = αa + βb.
ii) (a − b, a + b) es 1 o 2.
iii) Si a|bc entonces a|c.
iv) Si a|c y b|c entonces ab|c.
v) (c, ab) = (c, a)(c, b).
14. ¿Cómo es (a2 + b2 , a + b) sabiendo que (a, b) = 1?
15. Pruebe que si a es par y b es impar entonces (a, b) = ( a2 , b).
16. Probar que si c|ab entonces c|(a, c)(b, c).
17.
a) Supóngase que (a, b) = 1. Pruebe por inducción que (an , b) = 1 (Utilice el resultado del problema 11).
b) Demuestre que si (a, b) = 1 entonces (an , bn ) = 1.
c) Usando b) demostrar que si a y b son enteros tales que an |bn entonces a|b.
18. Si d = (a, b), a = a0 d y b = b0 d, demostrar que (a0 , b0 ) = 1.
19. Demostrar la proposición 4 (utilice los resultados del ejercicio 17 de la sección 6).
20. Demuestre que el corolario de la proposición 2 implica lo siguiente: “Si los múltiplos
de a se marcan en rojo sobre una recta y los múltiplos de b en verde donde a y b son
enteros positivos cuyo máximo común divisor es g, entonces g será la distancia más
corta de cualquier punto verde a cualquier otro rojo”.
21. Supóngase que ab y dc son dos fracciones reducidas a su expresión más simple ((a, b) =
(c, d) = 1). Demostrar que si ab + dc = ad+bc
es un entero entonces b = d o b = −d.
bd
22. En base a la proposición 4 demostrar que si dos números a y b son primos relativos y
su producto es un cuadrado, entonces cada uno es un cuadrado perfecto. Deducir esta
misma proposición del resultado establecido en el ejercicio 13.
23. Definir formalmente mı́nimo común múltiplo. Demostrar que éste se puede obtener
multiplicando los dos números y dividiendo el producto por el máximo común divisor. Demostrar finalmente que también se puede obtener descomponiendo en factores
primos y formando el producto de todos los primos cada uno con su mayor exponente.
5
24. Definir recursivamente el máximo común divisor de n números. Definir recursivamente combinación lineal de n números. Demostrar que el máximo común divisor de n
números es la menor combinación lineal positiva de estos n números.
25. Formalizar la demostración dada para el colorario de esta sección procediendo por
inducción sobre k.
26.
a) Demostrar que si b y c son enteros positivos tales que bc es un cuadrado perfecto
y (b, c) = 1 entonces ambos b y c son cuadrados perfectos.
b) En base a la anterior demuestre que no existen enteros a y b tales que a2 = 2b2
(esto demuestra que raı́z de dos no es racional!).
c) Probar que no existen enteros no nulos a y b tales que a2 = 3b2 .
d ) Si n es un entero positivo que no es cuadrado perfecto probar que no existen
enteros no nulos a y b tales a2 = nb2 .
ECUACIONES LINEALES DIOFANTINAS
Un problema adivinanza tı́pico es el siguiente: Marı́a compra pollos a $50 y patos a $70, con
un costo total de $530 ¿Cuántos pollos y cuántos patos compró? Haciendo x el número de
pollos e y el número de patos tenemos la ecuación
50x + 70y = 530
que es equivalente a
5x + 7y = 53
(3)
Es claro que la solución x e y deben ser enteras y positivas, pues no se conciben respuestas
de patos ni tampoco (−3) pollos. Ecuaciones como éstas en que las
como 34 de pollos y 85
9
soluciones deben ser enteras se denominan Ecuaciones diofantinas en honor a Diofantus
(S. III D.C.), matemático de la “segunda escuela alejandrina” y que es considerado pionero
del álgebra y la teorı́a de números. En su aritmética Diofantus da “recetas” para resolver éstas
y otras ecuaciones. Es claro que la teorı́a de números es el estudio de ecuaciones diofantinas en
gran parte, ası́ pues el “Ultimo Teorema de Fermat” establece la imposibilidad de resolución
de ciertas ecuaciones diofantinas. Por ahora, vamos a trabajar con algunas ecuaciones lineales
diofantinas, como la ecuación (3). Con los elementos que tenemos sobre máximo común
divisor podemos justificar el procedimiento que se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3. Sabemos que (5, 7) = 1; existe, según el corolario de la sección anterior, una
solución a la ecuación 5α + 7β = 1 Sea esta α = 3 y β = −2. Podemos entonces conocer una
solución entera para la ecuación (3) a saber: x0 = 53α = 159, y0 = 53β = −106
¿Hay otras soluciones a la ecuación? Supongamos que x, y es otra solución, ¿cómo es?
Tendrı́amos
5x + 7y = 53,
5x0 + 7y0 = 53
Restando estas dos ecuaciones tenemos:
5(x − x0 ) = 7(y0 − y)
6
(4)
Como (5, 7) = 1 y se tiene
5|7(y0 − y).
El Lema de Euclides (proposición 3 de la sección anterior) nos permite deducir que
5|(y0 − y)
es decir que para algún t entero
5t = y0 − y
de donde tenemos que
y = y0 − 5t = −106 − 5t
Para encontrar los valores de x reemplazamos (y0 − y) en (4) por 5t y obtenemos:
5(x − x0 ) = 7 × 5t
de donde
x − x0 = 7t
o sea que
x = 7t + x0 = 159 + 7t.
Tenemos entonces que:
x = 159 + 7t
y = −(106 + 5t)
(5)
Dando valores a t, obtenemos soluciones para la ecuación 3 ası́ para t = 0, 1, 2, 3... se tiene
x = 159, 166, 173, 180y = −106, −111, −116, −121.
Ya habı́amos dicho que nos interesan sólo las soluciones positivas. ¿Cuáles t hacen a x e y
positivos? Según (5) tendrı́amos: 159 + 7t > 0 y −106 − 5t > 0 desigualdades que al despejar
t nos indican:
159
t>−
7
y
106
t<−
5
o sea que t debe estar entre −22,7 y −21,2 y el único valor entero posible para t será t = −22
por lo tanto las únicas soluciones positivas son: x = 5, y = 4
Este proceso es general y lo formalizamos en el siguiente resultado.
Proposición 5. Sean a, b, c enteros no nulos, la ecuación
ax + by = c
(6)
tiene solución si y solo si (a, b)|c
Demostración. Esto es una consecuencia del corolario de la sección anterior.
En el ejercicio se pide encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (6) cuando
estas existen. El método utilizado en el ejemplo 3 se puede expandir a ecuaciones con más
de dos variables como veremos enseguida.
7
Ejemplo 4. Supongamos que queremos encontrar:
5x + 7y − 10z = 12
(7)
como (5, 7) = 1 por la proposición 5 tenemos que la ecuación
5x + 7y = u
(8)
siempre tiene solución para cualquier u entero, debemos resolver entonces, reemplazando u
en 7: u − 10z = 12 que tiene solución particular u0 = 22 y z0 = 1 y por el método del ejemplo
anterior vemos que u = 22 + 10s y z = 1 + s entonces la ecuación (8) queda:
5x + 7y = 22 + 10s(7)
como para s = 0, tenemos u = 22, z = 1, resolviendo (7) para s = 0 obtenemos que x0 = 3,
y0 = 1, z0 = 1 es una solución particular de (5), y de (7) podemos plantear 5(x−2s)+7y = 22
que nos dan las soluciones para (5) que estamos buscando: x−2s = 3+7t o sea x = 3+7t+2s
y = 1 − 5tz = 1 + s al hacer variar t y s obtenemos todas las soluciones posibles enteras.
La existencia de soluciones para ecuaciones diofantinas de más de dos variables se establece
en el resultado siguiente:
Proposición 6. La ecuación diofantina
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c
tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a1 , a2 , ..., an divide a c.
Demostración. Procedemos por inducción para n.
i) Para n = 2 la proposición 1 nos garantiza el resultado.
ii) Supongamos que el resultado se tiene para n = k y queremos probarlo para n = k + 1.
Si tenemos:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c
(9)
Sea d0 el máximo común divisor de a1 , a2 , ..., ak ; sabemos por hipótesis de inducción
que la ecuación a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c0 ’ tiene solución única y exclusivamente
cuando d0 |c0 , o sea cuando c0 = d0 x. Ahora por la proposición 5 la ecuación a1 x1 +
a2 x2 + ... + an xn = c tiene solución si y sólo si (d0 , ak+1 )|c que es lo mismo que exigir
que el máximo común divisor de a1 , a2 , ..., ak+1 divide a c.
PREGUNTAS Y EJERCICIOS
1. Determinar una solución general de las ecuaciones lineales diofantinas:
8
a) 23x + 37y = 17
b) 2072x+1813y=2849.
2. En el plano señalar los puntos enteros de las rectas 3x − 2y = 2 y 3x − 2y = 0.
3. Determinar todas las soluciones de 19x + 20y = 1909 con x > 0 y y > 0.
4. Sean m y n enteros diferentes. ¿Cuántos fraccionarios con denominador n o m hay
entre 1 y 0? ¿Cuál es la menor distancia entre dos fracciones de éstas?
5. Encontrar una solución general para la ecuación 1321x + 5837y + 1926z = 2983.
6. Cuando el Señor González en 1911 cambió su cheque por x pesos con y centavos, el
cajero se equivocó y pagó y pesos con x centavos. El Señor González recibió el doble
de la cantidad mas dos centavos. ¿De cuánto era el cheque?
7. Encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (6) cuando éstas existen.
8. ¿Qué tan separados están los puntos enteros de la recta 7x + 5y = 53
9. Demostrar que cuando (a, b) = 1 entonces ab < 0 si y sólo si existe un número infinito
de soluciones positivas (x > 0, y > 0) para la ecuación ax + by = c.
10. Resolver en forma general los siguientes sistemas de ecuaciones para x, y, z enteros.
a) 2x + 3y + z = 25
c) 4x + 6y − 2z = 12
b) 12x + 16y − 4z = 4
d ) 7x + y + z = 3
11. Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que las ecuaciones ax+by+cz =
d y a0 x + b0 y + c0 z = d0 tengan soluciones en enteros. Exhibir un método general para
encontrar la forma general de las soluciones.
La Relación de Congruencia entre enteros.
Con base en los resultados obtenidos en la sección 8 desarrollaremos una notación muy útil
dentro de la teorı́a de números, notación introducida por Gauss.
Definición 3. Siempre que m|(a − b) diremos que a es congruente con b módulo m y se
notar a ≡ b (mód m)) (sólo se exige que m sea diferente de 0).
Esta notación puede interpretarse como que a y b al dividirse por m tienen el mismo residuo.
En efecto, si a y b tiene el mismo residuo al dividirse por m se tiene:
a = k1 m + r
y
b = k2 m + r
que implica (a − b) = (k1 − k1 )m, o sea que, m|(a − b).
9
Por otra parte, como 0 es el único múltiplo de m que está entre −m y m si a ≡ b
aplicando algoritmo de la división tendremos
(mód m),
a = q1 + r 1 ;
b = q2 + r 2
con 0 < r1 < m y 0 < r2 < m; por tanto m|(a − b) y (a − b) = (q1 − q2 )m + (r1 − r2 ) se
sigue que m|(r1 − r2 ) pero r1 − r2 debe estar entre −m y m por tanto, r1 − r2 = 0 o sea los
residuos r1 y r2 deben ser iguales.
Hemos demostrado la siguientes caracterización.
Proposición 7. a ≡ b
m.
(mód m) si y sólo si a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por
Ejemplo 5. Según el algoritmo de la división al dividir por 4 se puede obtener un único
residuo entre 0 y 3 y por lo tanto un número debe ser de una única forma: 4n, 4n + 1, kn + 2 o
4n + 3. Esto nos ayuda a demostrar, por ejemplo, que todo número cuadrado es un múltiplo
de 4 o es de la forma 4n + 1 (Proposición 2 sección 6). Los números de la forma 4n, los
múltiplos de 4, son congruentes entre sı́, módulo 4. Los de la forma 4n + 1, por ejemplo 41
y l009, son congruentes entre sı́ todos. Lo mismo sucede con los de la forma 4n + 2 y por su
lado con los de la forma 4n + 3. Hacer congruencias módulo 4 es pues, formar los números
enteros en “grupos” como se ve en la tabla
···
···
···
···
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
···
···
···
···
Cuadro 2: Los números de cada fila son congruentes entre si módulo 4.
En estos ”grupos”que se forman, la relación de congruencia módulo 4 hace el papel de
igualdad. Esto nos garantiza en forma general el siguiente resultado.
Proposición 8. La relación “ser congruente pmodm” es una relación de equivalencia en los
enteros, es decir, se cumplen las siguientes leyes:
Reflexiva : Siempre a ≡ a (mód m).
Simétrica : Si a ≡ b
(mód m) ⇒ b ≡ a (mód m).
Transitiva : Si a ≡ b
(mód m) y b ≡ c
(mód m) ⇒ ac
(mód m).
Demostración. A manera de ilustración hacemos la demostración de la simetrı́a. La reflexiva
y transitiva quedan a cargo del lector. Simetrı́a: Si a ≡ b (mód m) según la definición 3,
m|b − a lo que implica que m| − (b − a) o sea m|a − b que significa que b ≡ a (mód m).
Además de ser la relación de congruencia una relación de equivalencia, tiene otra caracterı́stica que la hace supremamente útil: es compatible con la suma y la multiplicación de enteros.
Esto es lo que indica el siguiente resultado.
10
Proposición 9. Si a ≡ b
a + c ≡ b + c (mód m).
(mód m) para cualquier c entero se tiene ac ≡ bc
(mód m) y
Demostración. Si a ≡ b (mód m) por definición m|b − a entonces m|c(b − a) y por lo tanto
m|cb − ca lo que indica que ca ≡ cb (mód m).
Ası́ mismo, si m|b − a entonces m|(b + c) − (a + c) por tanto a + c ≡ b + c (mód m).
Ejemplo 6. Sabemos que 10 ≡ 1 (mód 9) por la proposición anterior vemos que 102 ≡ 10
(mód 9) y aplicando que la relación de congruencia es simétrica y transitiva vemos que:
102 ≡ 10 (mód 9) y 10 ≡ 1 (mód 9) ⇒ 102 ≡ 1 (mód 9)
multiplicando por el mismo número 3 vemos que 3×102 ≡ 3 (mód 9) entonces 3×102 +1 ≡ 4
(mód 9) o sea que 301 ≡ 4 (mód 9). Resumidamente se ha visto que como 10 ≡ 1 (mód 9)
entonces (3(10)2 + 1) ≡ (3(1)2 + 1) (mód 9).
En el ejercicio 10 se pide demostrar que si a +c ≡ b +c (mód m) entonces a ≡ b (mód m).
Esta es una justificación para la ley cancelativa de la suma en congruencia. Se podrı́a esperar
tener una ley parecida para el producto pero se puede buscar un contraejemplo rápidamente,
ası́ cuando m = 24 se tiene 1 × 6 ≡ 5 × 6 y sin embargo no es cierto que 1 ≡ 5 (mód 24).
La siguiente proposición nos indica cuándo es posible cancelar factores comunes en una
congruencia.
Proposición 10. Si (m, c) = 1 y ac ≡ bc
(mód m) entonces a ≡ b
(mód m).
Demostración. Si ac ≡ bc (mód m) entonces m|(b − a)c, como (m, c) = 1 según la última
proposición de la sección 8 concluimos que m|b − a y por lo tanto a ≡ b (mód m). Una
generalización de este resultado se encuentra en el ejercicio 12.
Definición 4. Un conjunto de números {a0 , a1 , ..., am−1 } es un sistema completo de residuos
módulo m si en él hay uno y sólo un representante de cada residuo al dividir por m. En otras
palabras se deben cumplir dos condiciones:
i) i 6= j ⇒ ai no es congruente con aj
(mód m).
ii) Para cualquier entero a existe un 0 ≤ i < m tal que:ai a
(mód m).
La primera condición indica que no hay en {a0 , a1 , ..., am−1 } dos números con el mismo
residuo, la segunda condición asegura que ahı́ están todos los residuos posibles.
Ejemplo 7. Para buscar un sistema completo de residuos módulo 4, según la figura 1, basta
tomar 4 enteros, cada uno de una fila diferente. Ası́ el conjunto {0, −3, 6, 11} es un sistema
completo de residuos módulo 4, mientras si tomamos {6, 10, 5, 8} no es un sistema completo
de residuos pues 6 ≡ 10 (mód 4) y además no hay ninguno que tenga residuo 3. Fijemos
nuestra atención en el s.c.r. {8, −3, 6, 11} teniendo en cuenta las proposiciones 2 y 3 vemos
que: 8+(−3) ≡ (−3) y 6+11 ≡ (−3) y 6+(−3) ≡ 11, etc. y ası́ con el producto 11×11 ≡ −3
y (−3) × 11 ≡ 11 y 6 × 11 ≡ 6, etc. Podemos resumir esto haciendo tablas de multiplicar y
sumar tendremos:
×
8
−3
6
11
+
8 −3
6 11
8
8 −3
6 11
−3 −3
6 11
8
6
6 11
8 −3
11 11
8 −3
6
11
8 −3 6 11
8
8 8
8
8 −3 6 11
8
6 8
6
8 11 6 −3
En este sistema completo de residuos el 8, por ejemplo, representa todos los números que
tienen el mismo residuo que él al ser dividido por 4: todos los múltiplos de 4; −3 representa
los números de la forma 4n + 1; el 6 los de la forma 4n + 2 y 11 a los de la forma 4n + 3. Un
sistema canónico de residuos equivalente al anterior serı́a {0, 1, 2, 3} en donde las tablas nos
quedan: Tablas 2.
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
×
0
1
2
3
3
3
0
1
2
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
1
2
1
Nótese que aquı́ 3 × 3 ≡ 1 indica que dos números de la forma 4n + 3 multiplicados nos da
uno de la forma 4n + 1.
Definición 5. Cuando hablemos de la aritmética módulo m nos referiremos a las operaciones
entre los números 0, 1, 2, .., (m − 1) según la relación de congruencia (mód m).
Los cálculos en la aritmética módulo m se hacen como en los números en cuanto se cumplen
propiedades como la distributiva, las dos operaciones sin conmutativa y modulativa etc. Sin
embargo hay una diferencia importante: la ley cancelativa para el producto es más restringida
en la aritmética módulo m según la proposición 10. Por otra parte cuando el módulo es primo
podemos hablar de inversos multiplicativos lo cual no sucede en los enteros, donde los únicos
que tienen inversos multiplicativos son..... Estas propiedades básicas son formalizadas en la
siguiente afirmación.
Proposición 11. (Propiedad de la aritmética mod. m).
i) Ley cancelativa para la suma: a + x ≡ a + y ⇒ x ≡ y.
ii) Para todo a y b existe un único x tal que: a + x ≡ b.
iii) Si m es primo para todo a no congruente con 0 y todo b, existe un único x tal que:
ax ≡ b.
iv) Si m es primo para todo a no congruente con 0, todo b y c existe un único1 x tal que:
ax + b ≡ c.
Demostración. i) Si a + x ≡ a + y (mód m) entonces m|(a + x) − (a + y) lo que implica
que m|x − y o sea que x ≡ y (mód m).
ii) Vemos primero que para todo a existe (−a) tal que a + (−a) ≡ 0. Hágase simplemente
(−a) = m − a cuando a > 0 y (−0) = 0. Para resolver la ecuación a + xb (mód m)
tómese x ≡ b + (−a) (mód m) y se tendrá:
a + x ≡ a + (b + (−a)) ≡ b
mod m
.
1
Único como residuo, es decir, don soluciones son congruentes módulo m
12
iii) Consideremos los residuos 0, a, 2a, ..., (m − 1)a. Entre estos residuos no pueden existir
dos repetidos pues si ia ≡ ja como m es primo, (m, a) = 1 y podemos aplicar la
proposición 10 obteniendo i ≡ j o sea i = j. Esta consideración nos garantiza que entre
0, a, 2a, ..., (m − 1)a no hay dos residuos iguales y por lo tanto {0, a, 2a, ..., (m − 1)a} es
un sistema completo de residuos módulo m entre los cuales debe estar la clase residual
de b, por tanto existe un x tal que ax ≡ b (mód m). Tal x es único como residuo,en
virtud de la proposición 10.
La parte cuatro de la demostración se deja como ejercicio al lector.
La demostración de la parte 3, como ya se indicó, es básica y sutil. Su argumento lo resaltamos
en la siguiente proposición que ser utilizada mas adelante.
Proposición 12. Si a no es congruente con 0 módulo m cuando m es primo, entonces el
conjunto {0, a, 2a, ..., (m − 1)a} es un sistema completo de residuos.
Como consecuencias de la proposición 12 encontramos la parte iii) de la proposición 11,
ası́ como el Teorema débil de Fermat y el Teorema de Wilson, con los cuales cerramos esta
sección.
Proposición 13. (Teorema débil de Fermat) Si p es primo y a no es múltiplo de p,
entonces:
ap−1 ≡ 1 (mód p)
Demostración. Según la proposición 12 los residuos 0, 1, 2, 3, ...., (m − 1) son exactamente los
residuos de a, 2a, 3a, ..., (m − 1)a; salvo el orden. Por esta razón tenemos:
1 × 2 × ... × (p − 1) ≡ a × 2a × ... × (p − 1)a (mód p)
lo cual indica que:
(p − 1)! ≡ (p − 1)!ap−1
y como (p − 1)! no es múltiplo de p existe según la proposición 11 iii) existe un único x tal
que: (p − 1)!x ≡ (p − 1)! (mód p). Por tanto, ap−1 ≡ 1 (mód p).
Proposición 14. (Teorema de Wilson) Si p es primo entonces:
(p − 1)! − 1
(mód p)
Demostración. Sabemos que en 0, 1, 2, ..., (p − 1) están todos los residuos módulo p y además
que todo residuo no nulo a tiene su inverso multiplicativo a−1 (ejercicio 23). ¿Cuáles residuos
entre 1 y p − 1 tienen inverso igual a si mismo, es decir, para qué x se cumple xx ≡ 1
(mód p)? Claramente para x ≡ 1 y x ≡ −1 se tiene. ¿Hay otros? Si p divide a x2 − 1, p
debe dividir a (x − 1)(x + 1) o sea: (x − 1)(x + 1) ≡ 0 (mód p) pero esto sólo es posible
cuando o bien x − 1 ≡ 0 (mód p) o bien x + 1 ≡ 0 (mód p) (véase ejercicio 15). Esto nos
asegura que los únicos residuos que elevados al cuadrado son congruentes con 1 son 1 y −1.
O sea que cada uno tiene su inverso multiplicativo diferente salvo el 1 y −1 (o sea m − 1).
Ahora bien, como p es impar hay p − 1 residuos no nulos de los cuales p − 3 (salvo el 1 y −1)
tienen su inverso diferente, por tanto al multiplicar 2, 3, ..., (p − 2) tenemos un número par
de residuos que se agrupan 2 a dos anulándose todos, por lo tanto
2 × 3 × ... × (p − 2) ≡ 1
13
(mód p)
y tenemos que
(p − 1)! ≡ −1
(mód p)
Para aclarar un poco el proceso seguido en estas últimas demostraciones analicemos un caso
concreto.
Ejemplo 8. Sea p = 7 y a = 4, según la aritmética módulo p (tabla 3) los elementos
0, 4, 2 × 4, 3 × 4, 4 × 4, 5 × 4 y 6 × 4 (la fila 5 de la tabla del producto) es un sistema completo
de residuos (proposición 10) y por tanto
(4 × 1) × (4 × 2) × (4 × 3) × ... × (4 × 6)1 × 2 × 3... × 6
(mód 7)
y se tiene
46 × 6! ≡ 6!
(mód 7)
lo que implica que
46 ≡ 1
(mód 7)
como lo asegura el Teorema débil de Fermat.
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1 2
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 0
0 1
Tabla
× 0 1 2 3
3 4 5 6
3 4 5 6
0 0 0 0 0
4 5 6 0
1 0 1 2 3
5 6 0 1
2 0 2 4 6
6 0 1 2
3 0 3 6 2
0 1 2 3
4 0 4 1 5
1 2 3 4
5 0 5 3 1
2 3 4 5
6 0 6 5 4
para la suma y el producto modulo
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
7
Por otro lado, según la tabla 2 × 4 ≡ 1 y 3 × 5 ≡ 1, por tanto:
6! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ≡ 6 ≡ −1
(mód 7)
que es el teorema de Wilson.
Preguntas y Ejercicios
1. Demostrar que la relación de congruencia es reflexiva y transitiva.
2. Demostrar que si a ≡ b
(mód m) y c ≡ d (mód m) entonces, a+c ≡ b+d (mód m).
3. Hacer las tablas de adición y multiplicación módulo 11 y 12 y encontrar todos los
residuos x que en cada caso cumplan la ecuación dada:
a) 3x ≡ 6
b) 3x ≡ 6
c) 3x ≡ 7
(mód 11)
(mód 12)
(mód 11)
d ) 3x ≡ 7 (mód 12)
e) x2 ≡ 1 (mód 11)
f ) x2 ≡ 8 (mód 12)
14
g) x2 ≡ 3
(mód 11)
4. Qué horas indica el reloj si:
a) 29 horas antes indicaba las 11.
b) 100 horas antes eran las 2.
c) 50 horas después serán las 6.
5. Determine la forma de todos los enteros que cumplen a la vez cada par de congruencias:
a) x ≡ 3
(mód 7) y x ≡ 4
(mód 9)
b) x ≡ 5
(mód 6) y x ≡ 8
(mód 1)2
6. Explicar en términos de congruencias (módulo 4):
a) El doble de un impar sumado con un múltiplo de 4 es un número de la forma
4n + 2.
b) Un número no primo de la forma 4n+3 tiene al menos un divisor diferente de él,
de la forma 4n+3.
c) Lo anterior no es cierto si cambio 4n + 3 por 4n + 1.
7. ¿Qué se puede concluir de que a2 ≡ b2
(mód p) cuando p es primo?
8. En la aritmética módulo m se puede hablar de algoritmo de la división?
9. Encontrar todas las triplas (x, y, z) módulo 5, tales que
x2 + y 2 = z 2
10. Demostrar que si a + b ≡ c + b
(mód m) entonces a ≡ c
(mód m).
11. Demostrar que si n es entero positivo impar entonces
1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) ≡ 0
(mód n)
12. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que x ≡ y
que f (x) ≡ f (y) (mód m).
13. Sea (m, c) = d y m = dn; si ac ≡ bc
(mód m) entonces a ≡ b(modn).
14. Demostrar que si p es primo xp + y p ≡ (x + y)p
(mód p).
15. Demostrar que si p es primo ab ≡ 0 (mód p) implica a ≡ 0
(mód p). ¿Qué se puede decir si p no es primo?
16. Probar que cuando p es primo impar xp +y p ≡ 0
17. Siendo p primo ap ≡ a
(mód m) implica
(mód p).
18. Encuentre el residuo al dividir por 7:
15
(mód p) o b ≡ 0
(mód p) implica xp +y p ≡ 0(modp2 ).
a) 22131 + 512 .
b) 2131 + 512 + 824 .
c) 2131 + 546 + 2 × 624 .
d ) 21131 +15212 +3×18124 .
19. A qué congruencia de grado inferior a 7 es equivalente la congruencia: 2x17 + 6x16 +
x14 + 5x12 + 3x11 + 2x10 + x9 + 5x8 + 2x7 + 3x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x + 2 ≡ 0 (mód 7)?
20. Probar el teorema débil de Fermat demostrando que
(1 + 1 + ... + 1)p = (1 + 1 + ... + 1)
siempre que el número de 1’s sea menor que p.
21. Si a0 , a1 , ..., am−1 es un sistema residual completo módulo m, entonces ka0 , ka1 , ..., kam−1
también lo es. Demostrar que esto se tiene si k es primo relativo con m.
22. Deducir un resultado similar al anterior para los enteros ka0 + 1, ka1 + 1, ..., kam−1 + 1.
23. Demostrar que si (a, m) = 1 entonces:
a) Existe a−1 tal que aa−1 ≡ 1
b) Si ax ≡ 0
(mód m).
(mód m) entonces x ≡ 0
(mód m).
24. Demostrar que cuando p es primo, si a0 , a1 , ..., an no son múltiplos de p entonces
a0 a1 ...an no es múltiplo de p.
16