Ley de los senos - División de Ciencias Básicas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos es una herramienta básica para resolver triángulos de
cualquier tipo y establece que:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
C
a
b
A
B
c
Figura 1
Esta ley se utiliza cuando se conocen:
1) Dos
os ángulos interiores del triángulo y uno de sus lados.
2) Dos
os lados del triángulo y el ángulo opuesto a cualquiera de estos lados.
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Ejemplo 1: Si A = 40o y B = 60o determinar la longitud de los lados b y c y
el valor del ángulo C para el siguiente triángulo
b
C
A
c
2.8 cm
B
B
Figura 2.
Resolución
Cálculo del lado b
b
2.8
=
o
sen (60 ) sen (40o )
 2.8 
b=
sen (60o )
o 
 sen (40 ) 
 2.8 
b=
 (0.866)
 0.6427 
b = 3.77 cm
Cálculo del ángulo C
A + B + C = 180o
C = 180o − ( A + B)
C = 180o − 100o
C = 80o
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Cálculo del lado c
3.77
c
=
o
sen (60 ) sen (80o )
 3.77 
c=
sen (80o )
o 
 sen (60 ) 
 3.77 
c=
 (0.9848)
 0.866 
c = 4.28 cm
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Ejemplo 2: Determinar la longitud del lado b y los ángulos B y C para el
siguiente triángulo, considerando que A = 125o
C
a = 17 cm
b
A
B
c = 9 cm
Figura 3
Resolución
Cálculo del ángulo C
17
9
=
o
sen (125 ) senC
senC =
9 sen (125o )
17
senC =
9(0.8191)
17
senC = 0.4336
C = ang sen (0.4336)
C = 25o
Cálculo del ángulo B
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A + B + C = 180o
B = 180o − ( A + C )
B = 180o − 150o
B = 30o
Cálculo del lado b
b
9
=
o
sen (30 ) sen (25o )
b=
9 sen (30o )
sen (25o )
b=
9(0.5)
0.4226
b = 10.64 cm
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LEY DE LOS COSENOS
Al igual que la ley de los senos, la ley de los cosenos también es una
herramienta básica para resolver triángulos de cualquier tipo y establece que:
2
2
2
a = b + c − 2bc cos A
b
2
2
2
= a + c − 2 ac cos B
2
2
2
c = a + b − 2 ab cos C
C
a
b
A
B
c
Figura 4
Esta ley se utiliza para determinar la longitud de un lado del triágulo
tri gulo cuando se
conocen los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que
calcular.
También se utiliza cuando se conocen los tres la
lados del triángulo.
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Ejemplo: Para el triángulo que se muestra en la F
Figura
igura 2, calcular la longitud
del lado “a” si A = 35o , b=11cm y c=15cm.
Resolución
b
C
a
B
A
c
Figura 2
2
2
2
o
a = ( 11) + (15) − 2(11)(15) cos(35
cos (35 )
2
o
cos(35
(35 )
a = 121 + 225 − 330 cos
2
a = 121 + 225 − 330(0.8191)
2
a = 75.679
a = 8.699 cm
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