Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial

Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Matrices
Una matriz de m x n con elementos en C es un arreglo de la forma
 a11
 a 21

 M

 am1
donde
a 12 KKK
a1 n
a 22 KKK
a2n
a m 2KKK
a mn
a 11, a 12, ..., a mn






Є ℮ y m, n Є Z. La matriz es de orden m x m.
[ a 11, a 12,..., a 1n ] primer renglón
[ a 21, a 22,... a 2n ] segundo renglón
[ a i1, a i2,..., a in ] i-ésimo renglón
en forma análoga
 a1 j 
 a2 j 
 
M 
 
 anj 
j-ésima columna
Definición
Sean A= [ a ij] y B= [bij] dos matrices de m x n con elementos en C. A y B son iguales, lo
que representamos con A=B, si:
a ij= bij; para i = 1,2,...m y
j = 1,2,..., n
Adición de matrices y multiplicación por un escalar.
1 de 1
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
La adición
Definición
Sean A= [ a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La suma
una matriz s = [sij] de m x n definida por
a ij + bij
Sij =
A + B es
i = 1,2,..., m
y
j = 1,2,..., n
Ejemplo:
3 + i
 7
;
Sean A= 
1 
2 + i
5 + i 2 − i 
B= 
;
4 
 3i
6
 1

C=  3 4i
5 − i 1




 7 + (5 + i ) (3 + i ) + (2 − i )

1+ 4
(2 + i ) + 3i

A+B= 
12 + i 5

2 + 4i 5
= 
A+C No existe porque no son del mismo orden. “No son conformables para la suma”.
Teorema
Si A, B y C son matrices de m x n cuyos elementos son números complejos, entonces:
1) A+(B+C) = (A+B)+C
asociatividad
2) A+B = B+A
conmutatividad
3) ∃ la matriz 0 de orden m x n tal que A+ (-A)=0 elemento neutro
Definición
2 de 2
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Sean A= [ a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La diferencia A-B se
define como
A-B= A+ (-B)
A-B= (A+(-B) = ([ a ij + (-bij)] = [ a ij - bij]
Para las matrices definidas en el ejemplo anterior:
 7
A-B = 
2 + i
3 + i
1 
5 + i 2 − i 
4 
- 
 3i
 7 − (5 + i )
= 
(2 + i ) − 3i
(3 + i ) − (2 − i )

1− 4

 2 − i 1 + 2i 
=
2 − 2i − 3 


A-C No son conformables para la sustracción.
Multiplicación por un escalar
Definición
Sean A=[ a ij] una matriz de m x n con elementos en C y
una matriz E dada por E = [eij ] de m x n definida
e
ij
=
α Є C. El producto α
A es
α a ; para i= 1,2,...,m y
ij
j = 1,2,..., n
si
α = 3i
α A=3i
3 + i
 7
=
2 + i
1 

3i (3 + i )
 3i (7)
 21i 9i − 3
2
= 
3i (2 + i )

 (i-i)=i =-1
3
i
(
1
)
6
i
−
3
3
i




Teorema
3 de 3
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Si A y B son matrices de m x n con elementos en C y ∞ β Є C, entonces
α (A+ β ) = α A+α B
α +B) A = α A +BA
α (BA) = (α B)A
1)
2) (
3)
Multiplicación de matrices
Definición
Sean A=[ a ij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C, de m x n
y n x q,
respectivamente. El producto AB da como resultado p= [pij], de m x q, definida por
n
pij =

i


∑a
k =1
ik
bkj
para i = 1,2…………m
j = 1,2…………n
A
 j


 
B
  pij
=
 
 
P




Teorema
Sean A, B y C matrices de m x n, n x p
y
p x q, respectivamente, entonces:
A(BC)=(AB)C
Teorema
4 de 4
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Sean A,B y C matrices de m x n, n x p y n x p respectivamente y D, E y F matrices de m
x n, m x n y n x p, respectivamente, cuyos elementos son numeros complejos.
Entonces:
1) A(B+C) = AB+AC
2) (D+E)F = DF+EF
Definición
Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n,
In=
[δ ]
ij
tal que
∂ij = 1 si i =j
∂ij = 0 si i ≠ j
∂ij Delta de kronecker
I3 =
1 0 0 
0 1 0 Matriz de identidad de orden 3


0 0 1
Ejemplo:
Sean las matrices
1 2 
 
A= 3 4
 
0 1 
3X2
B=
4 3
 2 1


C=
2X2
1 0 
 2 3


2X2
Demostrar que A(BC) = (AB)C
5 de 5
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
4 3 1 0 10 9
BC = 
=




2
1
2
3
2
3

 


2 x2
2x2
2 x2
2 x2
1 2
4 3 10 9


=
AB = 3 4 
  2 3  4 3
0 1 
3x 2 2 x 2
3x 2
3x2
6 de 6
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
1 2
18 15 
10 9 



A( BC ) = 3 4 
=
46
39
   4 3 

0 1 
 4 3 
3x2
2 x2
3x2
3x2
8 5
18 15 
1 0  



( AB )C = 2013 
=
46
39


 2 3 
 2 1 
 4 3 
3x2
2 x2
3x2
3x 2
∴ A( BC ) = ( AB )C
7 de 7
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Ejemplo:
Sean A y B dos matrices de 4 x 5 y C, D y E de 5 x 2, 4 x 2
y
5 x 4,
respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes operaciones son conformables.
a) AB
A B
4x5 4x5
|---/---|
No son conformables para la multiplicación
b) AC+D
A C + D
4x5 5x2
4x2
|---/---|
|----/----|
4x2
|--------/---------|
4 x 2
Matriz de 4 x 2
c) AE + B
A E + B
4x5 5x4
4x5
|------------|
4x4
No son conformables para la suma
8 de 8
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
d) E (A + B)
E
(A + B)
5x4 4x5
4x5
|--------|
4x5
|------------|
Matriz de 5x5
|----------------|
5x2
e) E (AC)
E
(A
C)
5x4 4x5
5x2
|------|
4x2
|--------|
|---------------|
5x2
Matriz de 5x2
Inversa de una matriz
Definición
Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Una matriz X se dice que es inversa de A
si:
XA=AX=In
Y se representa con A-1
A, X
y
A-1 son matrices cuadradas de orden n.
Si A tiene inversa ⇒ matriz “no singular”
Si A no tiene inversa ⇒ matriz “singular”
9 de 9
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Matrices elementales
Definición
Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a In una transformación
elemental y se representa con
In
In
In
(i,j)
Se obtiene intercambiando los renglones i y j de In
Se obtiene multiplicando por un número k ≠ 0 el renglón i de In
k(i,j)
Se obtiene multiplicando por k el renglón i de In
k(i)
Ejemplo:
2 4 1
Sea la matriz A= 5 3 7
4 1 2
Se aplica la transformación T1 igual a I3 (1,2)
E1= I3
(1,2)
0 1 0 
= 1 0 0
0 0 1
Si multiplicamos E, A se tiene
0 1 0   2 4 1   5 3 7 
A1 = EA = 1 0 0 5 3 7 = 2 4 1
0 0 1 4 1 2 4 1 2
E1= Matriz elemental
Teorema
Las matrices elementales son “no singulares”
10 de 10
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Teorema
El producto de dos matrices elementales es una matriz “no singular”
Supongamos que existe una sucesión finita de matrices elementales
T
T
T
A
→
→
K , AK −1 →
A1 
In
1
2
K
Entonces existe una sucesión finita de matrices elementales
E1, E2, ..., Ek
E K (K( E 2 ( E1 A))K
(E K E E ) A = I
K
2
1
)= I
n
n
Si llamamos P al producto (Ek ... E2 E1) se tendrá que
PA= In
Como P es un producto de matrices elementales, P es “no singular” y existe P-1
P-1(PA)= P-1In
(P-1P)A= P-1
InA= P-1
A= P-1
Si post multiplicamos por P
AP= P-1P
AP=In
En consecuencia
PA=AP=In
∴ P es la inversa de A
11 de 11
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Se tiene que
P= Ek... E2 E1
=( Ek... E2 E1)In
= Ek(...(E2(E1,In))...)
por lo tanto, P se obtiene aplicando a In una sucesión de transformaciones elementales
T1, T2,... Tk
T1 Tk
[A | In] → ... → [In | A-1]
Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo la matriz A y del lado derecho la matriz
identidad In.
Se efectúan (en ambas matrices) las transformaciones necesarias para obtener del lado
izquierdo la matriz In y al finalizar el proceso se obtiene del lado derecho la matriz A-1.
Ejemplo:
3 4 
Determinar la inversa de la matriz A= 

5 6
3
[A I 2 ] = 
5
41
60
1
0  1 4
0
3
3

~

5
2
1  0 − −
1
3
3


R1/3
R1(- ) + R2
∂
2 
1 0 − 3
0 1 5 2 − 3 2 


R2 (-3/2)
12 de 12
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
R2 (-1/3) + R1
∴
-1
A =½
− 6 4 
 5 − 3


A es NO singular
Ejemplo:
Encontrar, si existe, A-1 para
1 4 6 
A= 3 1 2
4 5 8 
1 4 6 1 0 0
3 1 2 − 3 1 0

~
4 5 8 −1 −1 1
6 1 0 0
1 4
0 −11 −16 −3 1 0


0 −11 −16− 4 0 1
R1(3)+ R2
R1(4)+ R3
6 1
0 0
1 4
0 − 11 − 16 − 3 1 0


0 0
0 − 1 − 1 1
R2(-1)+ R3
13 de 13
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
El ultimo renglón de la resultante maestra que no se puede transformar en I3; por tanto,
A-1no existe
A es singular
Ecuaciones con matrices
Un ejemplo de ecuaciones con matrices la constituye la llamada representación matricial
de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
puede quedarse representada por la ecuación
AX=B
Donde
A – Matriz de coeficientes, de mxn
B – Vector de términos independientes, de nxl
X – Vector de incógnitas de mxl
Si ∃ A-1 se tiene
AX=B
A-1(AX)= A-1B
(A-1A)X= A-1B
InX= A-1B
X= A-1B
Ejemplo:
Resolver el sistema de ecuaciones lineales que se plantea
X1+3X3=2
X2 -2X3=-1
X1+X2+2X3=3
14 de 14
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
1 0 3 
 X 1
2
A= 0 1 − 2 X=  X 2 B= − 1
1 1 2 
 X 3
 3 
3 − 3
 4

A = − 2 − 1 2 
 − 1 − 1 1 
-1
3 − 3  2 
 4

∴ X= A B= − 2 − 1 2  − 1
 − 1 − 1 1   3 
-1
 − 4
X=  3 
 2 
Es decir:
X1=-4
X2=3
X3=2
Ejemplo:
Obtener la matriz X1, si existe tal que XA+B=XC
 2
Si A= 
− 2
− 1
3 − 2
1 − 1
; B= 
; C= 



4
1 − 1
1 − 2
XA+B=XC
X-1[XA+B] = X-1[XC]
X-1 XA+ X-1 B = X-1XC
InA + X-1 B = InC
A+ X-1 B=C
15 de 15
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
[A+ X-1 B] –A= C-A
A+ X-1 B –A= C-A
X-1 B=C-A
X[X-1 B]=X[C-A]
InB=X[C-A]
B=X[C-A]
B[C-A]-1= [X[C-A]] [C-A]-1
B[C-A]-1= XIn
B[C-A]-1=X
X=B[C-A]-1
1 − 1  2
C-A= 
-
1 − 2 − 2
− 1 − 1 2 
=
4   3 − 6
 − 1 2 1 0  1 − 2 − 1 0 
[C-A]-1 → 
~ 
−
3
6
0
0

 0 0 3 1
R1 (− 1)
R1 (− 3) + R2
(C-A) es una matriz singular ∴ ∃ [C-A]-1 y no es posible determinar X.
Se presentan algunas diferencias importantes entre el álgebra de los números y el de las
matrices:
16 de 16
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
1) Podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre
podemos hacerlo con las matrices, éstas deben ser conformables para la suma o la
multiplicación.
2) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de
matrices no lo es.
Para los números se tiene:
Si b=c ⇒ ab=ac
Si b=c ⇒ ab=ca
Para las matrices:
Si B=C ⇒ AB=AC
Si B=C ⇒ AB=CA
3) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que la
multiplicación de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a la matriz de cero.
Para las matrices
− 3 − 1
 1 − 2
B= 


3
− 3 − 6
A= 
9
− 3 − 1  1 − 2 0 0
=
3  − 3 6  0 0
AB= 
9
A ≠ 0 B ≠ 0 AB ≠ 0
Tipo Especial de Matrices
Diagonal principal, triangular superior y triangular inferior
Diagonal principal →
Triangular superior →
a ii
a ij tal que
i<j
17 de 17
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Triangular inferior →
a ij tal que
i>j
Traza
Definición
Sea A=[ a ij] una matriz de n x n con elementos en C. Se llama traza de A, y representa
con trA, al número
n
∑a
ii
i =1
Ejemplo
5i 3 1 
Sea A=  2 1 4 
 0 3 − 2i 
trA= 5i+1+(-2i)
= 1+3i
Teorema
Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y ∝ ∈ C .
1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
2) tr(∝A) = ∝ [tr(A)]
3) tr(AB) = tr(BA)
Matrices triangulares
Definición
Sea A=[
a ij] una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que
1) A es triangular superior si
a ij=0 para i>j
18 de 18
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
2) A es triangular inferior si
a ij=0 para i<j
1 2 3 
0 4 5 Triangular superior


0 0 6
1 0 0 
2 3 0 Triangular inferior


4 5 6
Teorema
Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y
∈ C entonces
α
1) A+B es triangular superior (inferior)
2) ∝A es triangular superior (inferior)
3) AB es triangular superior (inferior)
Matriz Diagonal
Definición
Sea A=[ a ij] un matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es una matriz diagonal
si a ij=0 para i ≠ j y se representa con
diag ( a 11,,
a 22,..., a nn)
1 0 0 
0 2i 0


0 0 0
Matriz diagonal
diag (1,2i,0)
19 de 19
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Teorema
Si A y B son dos matrices diagonales
diag A =( a 11, a 22,..., a nn)
diag B = (b11, b22,..., a nn)
1) A+B = diag ( a 11 + b11,
2) ∝A= diag (∝ a 11, ∝
3) AB =( a 11b11,
a 22 + b22,..., a nn bnn)
a 22,..., ∝ a nn)
a 22b22,..., a nnbnn)
4) A-1 = diag (1/ a 11, 1/
a 22,..., 1/ a nn)
Si A es no singular
Regla de Sarrus
Cálculo de determinantes
Este método se emplea para determinantes de segundo y tercer orden
a
a
11
21
a
a
12
a a
a a
a a
a a
a a
22
11
12
21
22
31
32
11
12
21
22
=
a 11 a 22 - a 21 a 12
a
a
a
a
a
13
23
33
= ( a 11 a 22 a 33 +
a 21 a 32 a 13
+
a 31 a 12 a 23) - ( a 21 a 12 a 33 +
13
23
a 11 a 32 a 23
+
a 31 a 22 a 13 )
20 de 20
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
Ejemplo
1 3
Obtenga el det A, para A = 

5 7
det A = 7-15
det A = -8
(1)(7 ) − (5)(3)
1 4 5 
A= 3 2 5 
1 4 − 1
det A =
1 4
5
3 2
5
1 4 −1
1 4 5
3 2 5
= [(1)(2 )(− 1)] + [(3)(4 )(5)] + [(1)(4 )(5)] −
[(3)(4)(− 1) + (1)(4)(5) + (1)(2)(5)]
= 78 − 18 = 60
Desarrollo por cofactores
Sea
 a11

A = a 21
a31

a
a
a
12
22
32
a
a
a


23

33

13
21 de 21
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
a
a 11(-1)1+1 a
det A =
a 12(-1)
1+2
a 13(-1)
1+3
a
a
21
31
a
a
21
31
a
a
a
a
23
22
32
a
a
23
+
33
+
33
22
32
Definición
Sea A= [ a ij] una matriz de n x n con elementos en C (-1)
i+j
Mij
Teorema
Si A= [ a ij ] es una matriz de n xn con elementos en e y r un número entero tal que
1 ≤ r ≤ n , entonces
n
1) det A = ∑
arj crj
j =1
n
2) det A = ∑
air cir
i =1
Ejemplo
1
0 
 3

Sea A = − 2 − 4 3 
 5
4 − 2
Calcular det A
1+1
det A= 3(-1)
−2 −4
−4 3
−2 3
1+2
1+3
4 − 2 + (1)(-1)
5 − 2 + (0)(-1)
5
4
= 3[(8)-(12)] -1 [(4)-(15)]
22 de 22
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
= 3(-4) -1(-11)
=-12+11
det A =-1
Método de condensación
Este método se basa en lo siguiente:
1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible.
2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia 1 ó -1) y aplicar
reiteradamente transformaciones elementales hasta reducir a ceros el resto de los
elementos de la línea.
3) Desarrollar los factores según dicha línea.
4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer o
segundo orden y obtener su valor por medio de la regla de Sarrus
Ejemplo
Calcular el determinante de la matriz A
A=
− 1 1 − 5 − 2 3 
3 2
1
0
1


1
0
 1 −1 2

0 2
1
3
1
−


 1 2
4
0
1 
Seleccionamos la cuarta columna para efectuar el desarrollo y para “pivote” el tercer
elemento de dicha columna. Se multiplica por 2 y -3 el renglón 3 y se suma a los
renglones 1 y 4, respectivamente.
23 de 23
Tema 1
det A =
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
−1
1
−5 −2
3
1
0
2
−1
2
1
2
1
0
1
3
1
2
4
0
3
1
3
−1 −1 0 3
2
1 0 −1
−1
0 ~ 1 −1 2 1 0
−1 − 3 5 − 5 0 −1
1
2
4 0 1
1
desarrollamos por cofactores la columna 4
det A= (1)(-1)3+4
1 −1 −1 3
3
2
1 −1
− 3 5 − 5 −1
1
2
4
1
Se escoge el primer renglón para el desarrollo y el elemento de la primer columna como
pivote
1 −1 −1 3
3
2
1 −1
det A= (-1)
− 3 5 − 5 −1
1
2
4
1
c1 (1)+ c2
c1 (1)+ c3
c1 (-3)+ c3
1
3
=-1
−3
1
0 0
0
5 4 − 10
2 −8 8
3 5 −2
24 de 24
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
5
− 10
4
det A= (-1)(1)(-1)1+1 2 − 8
3
8
−2
5
c1 (4)+ c2
c1 (-4)+ c3
5 24 − 30
0
det A = -1 2 0
3 17 − 14
2+1
det A= -1(2)(-1)
24 − 30
17 − 14
det A= 2[(24)(-14)-(17)(-30)]
=2 (-336+510)
=348
Cálculo de la inversa por medio de la adjunta
Sea A= [ a ij ] una matriz de n x n con elementos en C. y sea cij el cofactor del elemento
a ij. Se llama adjunta de A a la matriz Adj A= [bij ]donde bij= cij.
1 2 3
Considérese la matriz A = 1 2 4
1 6 4
2 4
c11 = (-1) 6 4 = 8-24=-16
2
25 de 25
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
1 4
c12 = (-1)3 1 4 = (-1)[4-4]=0
1 2
c13 = (-1) 1 6 = 6-2=4
4
-3
c21 = (-1)
2 3
6 4 = (8-18)(-1)=10
1 3
c22 = (-1) 1 4 = (4-3)=1
4
1 2
c23 = (-1)5 1 6 = (6-2)(-1)=-4
2 3
c31 = (-1) 2 4 = (8-6)=2
4
1 3
c32 = (-1) 1 4 = (4-3)(-1)=-1
5
1 2
c33 = (-1) 1 2 = (2-2)=0
6
c11
Adj A = c12
c13
∴
c
c
c
21
22
23
c
c
c
 − 16 10 2 
  0
1 − 1
32 =
 
− 4 0 
33 
  4
31
1 2 3 − 16 10 2 
A Adj A = 1 2 4 =  0
1 − 1
1 6 4  4
− 4 0 
∴
26 de 26
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
0 
− 4 0
=  0 − 4 0  = −4 I3
 0
0 − 4
¿Cuál es la relación de -4 con la matriz A? si calculamos detA
1 2 3
det A= 1 2 4 = −4
1 6 4
es decir
Si A es una matriz de n x n con elementos en C, entonces
A(Adj A) = (det A)A=(detA)In
Teorema
Sea A una matriz de n x n con elementos en e.
A-1 existe si y sólo si A ≠ 0
* A-1 =
1
(Adj A)
det A
* Si ∃ A-1 entonces det A-1
1
det A
En el ejemplo anterior,
− 16 10 2 
A = 1/-4  0
1 − 1
 4
− 4 0 
-1
Ejemplo
1 2
Calcular la inversa de A= 
 utilizando el método de la adjunta
1 4
27 de 27
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
c11 = (-1)2 (4)=4
c12 = (-1)3 (1)=-1
c21 = (-1)-3 = (2)=-2
c22 = (-1)4 (1)=1
c11 c 21 
 4 − 2
∴ Adj A = c12 c 22  = 
− 1 1 

 
1 2
det A=
= 4−2 = 2
1 4
− 2
1 
4
A-1=1/2 
− 1
Solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer
Sea
a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a n1 x 1 + a n2 x 2 +...+ a nn x n = bn
Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y sea A=
[a ] su matriz de coeficientes
ij
28 de 28
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
 a11 a12... a1n 
a 21 a 22... a 2 n 
A=


 an1 an 2... ann 
Si det A ≠ 0 entonces
xk=
det Ak
para k=1,2,…n
det A
donde Ak = [Cij] es tal que
 aij para j ≠ k
Cij 
bij para j = k
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer
3
2
x 1-4 x 2 =-5
x 1+ x 2 = 4
 3 − 4
− 5
B=  

1 
4
A= 
2
j
 3 − 4 − 5 i
[A b] = 
1
2 − 1 4  2
1
det A =
2
3
3 −4
=3+8=11
2 1
29 de 29
Tema 1
Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
det A1=
−5 −4
= -5+16=11
4
1
k=1
∴ b1
det A2=
3 −5
= 12+10=22
2 4
k=2
∴ b2
det A1
11
x 1 = det A = 11 = 1
x2 =
det A2 22
=
=2
det A 11
30 de 30