EC.de primer orden y + a(t)y + b(t)y = f(t)  Variables separables v=e ° − a(x)dx : y = v(C + ° f(x) ) v u  + (2 + 2by p )u + bu 2 = 0 y = f(x, y) e z = − 1 f(x, y)  f(sx, sy) = f(x, y) y z= x y = g(ax + by) z = ax + by  Ley de Maltus: p(t) = p o e (b−c)(t−t o ) a x+b y+c a 1 x + b1 y + c 1 = 0 a 2 x + b2 y + c 2 = 0 Ley logística: p(t) = ap o bp 0 + (a − bp 0 )e −a(t−t o ) si son paralelas: a1x + b1y + c1 y  = f( ) = g(a 1 x + b 1 y) k(a 2 x + b 2 y) + c 2 u = x − xc, v = y − yc a u + b1v v = f( 1 ), homogénea a2 v + b 2 v  y  + a(x)y + b(x)y n = 0 u = y 1−n u + (1 − n)a(x)u = (n − 1)b(x)  W [f 1 ...fn ](x) = si{f 1 , ...f n }son LI e W = ? y  + P 1 (x)y  + P 2 (x)y = 0 y = yÂz De existencia y unicidad: f(t, y) c C o (D) ¹f (t, y) c C o (D) ¹y existe una única solución Lineales y coef ctes: Raíces del polinomio característico l : multiplicidad definida en un cierto intervalo. La solución que no se puede prolongar se denomina “solución maximal” De prolongación Bernouilli Wronskiano: f1 - fn ® ¯ ® f n−1) - f n−1) n 1 y 1 z  + (2y Â1 + P1 y 1 )z  = 0 Teoremas si si no, buscar puntos de corte: Ecuación homogénea Método d’Alembert: Para reducir el orden Reducibles a homogéneas y  = f( a 21x+b 21y+c 21 ) y n) = f(x) si{f 1 , ...f n }son LD e W = 0 Modelos de población  Del tipo Reducción de orden Trayectorias ortogonales Cambios Homogéneas EC.de orden superior 2 y = u + yp Ricatti y  + a(x)y = f(x) Lineal 1 por Jesús Sanz Marcos Ecuaciones diferenciales si f(t,y) cumple teorema anterior y su solución maximal tiene un extremo finito alfa :|y(t)| d +º tda k : vap k c ‘ : y j1..l = e k jx $ x 0..l−1 kcŠ: : y j1 1..l = e Re k j x $ x 0..l−1 $ cos(Im kx) : y j2 1..l = e Re k j x $ x 0..l−1 $ sin(Im kx) EC.de primer orden y + a(t)y + b(t)y = f(t)  Variables separables v=e ° − a(x)dx : y = v(C + ° f(x) ) v u  + (2 + 2by p )u + bu 2 = 0 y = f(x, y) e z = − 1 f(x, y)  f(sx, sy) = f(x, y) y z= x y = g(ax + by) z = ax + by  Ley de Maltus: p(t) = p o e (b−c)(t−t o ) a x+b y+c a 1 x + b1 y + c 1 = 0 a 2 x + b2 y + c 2 = 0 Ley logística: p(t) = ap o bp 0 + (a − bp 0 )e −a(t−t o ) si son paralelas: a1x + b1y + c1 y  = f( ) = g(a 1 x + b 1 y) k(a 2 x + b 2 y) + c 2 u = x − xc, v = y − yc a u + b1v v = f( 1 ), homogénea a2 v + b 2 v  y  + a(x)y + b(x)y n = 0 u = y 1−n u + (1 − n)a(x)u = (n − 1)b(x)  W [f 1 ...fn ](x) = si{f 1 , ...f n }son LI e W = ? y  + P 1 (x)y  + P 2 (x)y = 0 y = yÂz De existencia y unicidad: f(t, y) c C o (D) ¹f (t, y) c C o (D) ¹y existe una única solución Lineales y coef ctes: Raíces del polinomio característico l : multiplicidad definida en un cierto intervalo. La solución que no se puede prolongar se denomina “solución maximal” De prolongación Bernouilli Wronskiano: f1 - fn ® ¯ ® f n−1) - f n−1) n 1 y 1 z  + (2y Â1 + P1 y 1 )z  = 0 Teoremas si si no, buscar puntos de corte: Ecuación homogénea Método d’Alembert: Para reducir el orden Reducibles a homogéneas y  = f( a 21x+b 21y+c 21 ) y n) = f(x) si{f 1 , ...f n }son LD e W = 0 Modelos de población  Del tipo Reducción de orden Trayectorias ortogonales Cambios Homogéneas EC.de orden superior 2 y = u + yp Ricatti y  + a(x)y = f(x) Lineal 1 por Jesús Sanz Marcos Ecuaciones diferenciales si f(t,y) cumple teorema anterior y su solución maximal tiene un extremo finito alfa :|y(t)| d +º tda k : vap k c ‘ : y j1..l = e k jx $ x 0..l−1 kcŠ: : y j1 1..l = e Re k j x $ x 0..l−1 $ cos(Im kx) : y j2 1..l = e Re k j x $ x 0..l−1 $ sin(Im kx)