P.41 (P-07/08) En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:y(x, t) = 0, 02Sen 4 xCos8t (S.I.) a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y 6 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados. a) Si sumamos las ondas: y 1 (x, t) = 0, 01Sen(8t + 4 x) (hacia izqda.) y y 2 (x, t) = −0, 01Sen(8t − 4 k) (hacia dcha. y desfasada en rad respecto de la anterior) tenemos: y(x, t) = y 1 + y 2 = 0, 01[Sen8tCos 4 x + Cos8tSen 4 x − Sen8tCos 4 x + Cos8tSen 4 x] = y(x, t) = 0, 02Cos8tSen 4 x Corresponde a una onda mecánica, estacionaria, armónica y unidimensional. Por la forma de la función existen puntos en el medio que no vibran nunca, NODOS, y por lo tanto no permiten el paso de la energía ni la transmisión de la onda. Los nodos son los puntos del medio que cumplen Sen 4 x = 0 d 4x = n d x = 4n (n=0,1,2,3,etc.). La longitud de onda y la frecuencia de la onda estacionaria y de las ondas que superpuestas que dan lugar a ella son: k= 2 = 4 d = 8 m ; w = 2f = 8 d f = 4 Hz b) La velocidad demandada es la de VIBRACIÓN y no la velocidad de la onda (de fase). Para calcularla hemos de derivar la ecuación de onda respecto del tiempo: v(x, t) = dy(x,t) dt = −0, 02.8.Sen 4 xSen8t = v(x, t) = −0, 16.Sen 4 xSen8t Si observamos la ecuación de los nodos: x = 4n, x = 4 corresponde al segundo nodo y la velocidad ha de ser nula siempre (no vibra). Efectivamente: Sen 4 4 = 0. En x=6 tenemos un vientre ya que Sen 4 6 = Sen3 2 = −1 (en los vientres Senkx=!1) Distancia entre nodos consecutivos= 2 . Distancia entre vientres consecutivos = 2 Distancia nodo-vientre consecutivos= 4 Esto se nos cumple en nuestro problema. Sustituyendo el la v del recuadro x=6, la velocidad demandada nos queda: v(x, t) = 0, 16Sen8t (variable con el tiempo). La gráfica aproximada es la siguiente: 1 1 [ T = f = 4 = 0, 25s] v 0 0 0,125 0,25 2 t Fase=wt