Clase 4 algebra y simbologia - DME-UFRO

ALGEBRA
La importancia del álgebra radica en que constituye el cimiento de casi todas las ramas de la matemática;
es una poderosa herramienta para desarrollar el pensamiento analı́tico. Con la ayuda del álgebra podemos
ser capaces de modelar situaciones de ı́ndole práctico como teórico.
Establezcamos algunos conceptos algebraicos básicos que nos ayudarán en la comprensión y desarrollo del
tema.
Término Algebraico, Grado: Se denomina término algebraico al producto de un factor numérico por
una o mas variables literales. En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye
el signo y constantes) y la factor literal (que incluye las variables).
El grado de un término algebraico es la suma de los exponentes de las variables que componen cada factor
literal.
Ejemplo:
Término algebraico
a5 bc
3 2x
7b y
−2, 7xy
3
3
4 πr
2128 m4 na
Coeficiente numérico
1
3
7
−2, 7
3
4π
2128
Parte literal
a5 bc
−1
b2 xy = b2 xy
xy
r3
m4 n5
Grado
5+1+1=7
2 + 1 + (−1) = 2
1+1=2
3
4+a
Expresiones Algebraicas: Una expresión algebraica es la suma de términos algebraicos. De acuerdo con
el número de términos que componen la expresión algebraica, estas se clasifican en:
Monomio: Expresión algebraica de un término.
Binomio: Expresión algebraica de dos términos.
Trinomio: Expresión algebraica de tres términos.
Polinomio: Expresión algebraica que puede tener uno o más términos y donde los exponentes de la
parte literal son todos enteros positivos.
Grado de una expresión algebraica: El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los
grados de los términos que la componen.
Ejemplo:
10
Los términos de la expresión 4x5 y 6 z 8 − 2x2 y 2 z 7 + 3x2z 3 y − z 6 + 10x3 y 2 z 8 tienen grados 19, 11, 8, 6 y 13 respectivamente. Luego el grado de la expresión algebraica anterior es 19.
Algunos conceptos importantes para la operatoria algebráica son:
1. Evaluación de expresiones algebraicas (valoración): Valorar una expresión algebraicas, consiste
en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones
aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión.
Ejemplo:
Dados los valores de x = 2, y = −1 y z = −3, el valor numérico de 5xy 2 − z 2 , es 5 · 2 · (−1)2 − (−3)2 =
5·2·1−9=1
2. Términos semejantes: Son aquellos términos que tienen idéntico factor literal, solo pueden diferir
en el coeficiente numérico.
Ejemplo:
En 2a2 b − ab −
√
√
3a2 b, los términos 2a2 b y − 3a2 b son semejantes.
En −0, 2m3 n − 0, 1mn2 − 6mn2 + m3 n, hay dos pares de términos semejantes:−0, 2m3 n con m3 n
y −0, 1mn2 con −6mn2
3. Reducción de términos semejantes: Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus
coeficientes numéricos y mantener el factor literal.
Ejemplo: 5xy + x + y − 3xy + 2x − 3y = 3x − 2y + 2xy
4. Uso de paréntesis: El uso de paréntesis es frecuente en matemática y en especial en álgebra. Sirve
para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo a las siguientes reglas.
Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio.
Si esta precedido de un − se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del
interior del paréntesis. Es importante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina
el signo que lo antecede.
Si se tienen paréntesis dentro de paréntesis se pueden eliminar de adentro hacia afuera o viceversa,
aunque lo mas utilizado es el primer caso.
Ejemplo:
−(a + b − c) − (−a − b + c) + (a − b + c) = −a − b + c + a + b − c + a − b + c
.
= a−b+c
2ab − [3a − (−2ab + 3a) − ab] =
=
=
=
2ab − [3a + 2ab − 3a − ab]
2ab − [ab]
2ab − ab
ab
Operatoria algebraica
Adición de polinomios
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de
paréntesis.
Multiplicación de polinomios
1. Monomio por monomio: Usando la propiedad conmutativa se multiplican los coeficientes numéricos
entre si y sus factores literales utilizando las propiedades de potencias.
Ejemplo:
5xy 2 · −6xy 3 z = (5 · −6)(xy 2 · xy 3 z) Propiedad Conmutativa
=
−30x2 y 5 z
2. Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir,
a(b + c + d) = ab + ac + ad
Ejemplo:
3x3 · (4xy − x4 + 2y 3 ) = 3x3 · 4xy − 3x3 · x4 + 3x3 · 2y 3 Propiedad Distributiva
=
−3x7 + 12x4 y + 6x3 y 3
Propiedad Conmutativa
3. Polinomio por polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del
segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.
Ejemplo:
(2x + 3y)(x2 − 3xy + y 3 ) =
=
=
=
2x · (x2 − 3xy + y 3 ) + 3y(x2 − 3xy + y 3 )
2x · x2 − 2x · 3xy + 2x · y 3 + 3y · x2 − 3y · 3xy + 3y · y 3
2x3 − 6x2 y + 2xy 3 + 3yx2 − 9xy 2 + 3y 4
2x3 − 3x2 y − 9xy 2 + 2xy 3 + 3y 4
Productos Notables
1. Cuadrado de binomio (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2. Suma por su diferencia (a + b)(a − b) = a2 − b2
3. Producto de binomios con un término en común (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
4. Cubo de binomio (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
5. Cuadrado de trinomio (a ± b ± c)2 = a2 + b2 + c2 ± 2ab + 2bc ± 2ac
6. Suma de cubos (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
7. Diferencia de cubos (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Factorización.
La factorización de una expresión algebraica consiste en convertirla en producto de expresiones más simples.
Para llevarla a cabo se debe buscar un factor común, pues la factorización es el proceso inverso de aplicar el
axioma de distributividad y los productos notables.
Factor común (monomio y polinomio)
En este caso todos los términos de la expresión algebraica presentan un factor común, que puede ser un
monomio o polinomio, por el cual se factoriza.
Ejemplo:
Factoricemos
3xy 2 − 15x3 y 5 + 24x4 y 4 = 3xy 2 (1 − 5x2 y 3 + 8x3 y 2 ), donde el factor común es 3xy 2
x2 (a2 − b2 ) − y(a − b) = x2 (a + b)(a − b) − y(a − b) = (a − b)(x2 (a + b) − y), en este caso el factor común
es el binomio a − b
Factorización por agrupación-factor común compuesto
En este caso todos los términos de la expresión algebraica no presentan un único factor común, pero se
pueden factorizar por grupos.
Ejemplo:
Factorice:
ax + ay − bx − by = a(x + y) − b(x + y)
= (x + y)(a − b)
x3 − 3x2 y + 3xy 2 − 9y 3 = 6x2 (x − 3y) + 3y 2 (x − 3y)
= (x − 3y)(x2 + 3y 2 )
En el caso que la expresión algebraica corresponda al desarrollo de un producto notable para factorizar se
utilizan las mismas fórmulas pero de manera inversa.
Completación de Cuadrados
La completación de cuadrado es una técnica en la cual se utilizan operaciones algebraicas para expresar
un trinomio de la forma ax2 + bx + c donde a, b, c ∈ R, a 6= 0 en una expresión equivalente con un cuadrado
de binomio más otros términos.
Ejemplos:
Escribir la expresión x2 + 4x de tal manera que aparezca un cuadrado de binomio: Sumando 0 a la
expresión original:
x2 + 4x + 0
Como debe aparecer una expresión de la forma a2 + 2 · a · b + b2 se tiene
x2 + 4x + 0 = x2 + 2 · x · 2 + 0
Nos damos cuenta que el término que falta es 4, luego la expresión anterior puede ser escrita en la
forma:
x2 + 2 · x · 2 + 0 = x2 + 4x + 22 − 22
Finalmente la expresión original queda escrita como:
x2 + 4x = (x + 2)2 − 4
.
4x2 + 24x + 3y 2 + 24y. En este caso podemos factorizar por 2 los dos primeros términos y por 3 los dos
últimos términos.
4(x2 + 6x) + 3(y 2 + 8y),
sumamos nuestro cero conveniente en ambas expresiones pero eso sı́, dentro de los paréntesis respectivos.
4(x2 + 6x + 9 − 9) + 3(y 2 + 8y + 16 − 16) = 4((x + 3)2 − 9) + 3((y + 4)2 − 16),
que finalmente queda,
.
4 (x + 3)2 + 3 (y + 4)2 − 84
Fracciones Algebraicas(F.A.)
Son expresiones racionales donde el numerador y denominador generalmente son polinomios. Para la operatoria asumiremos que estas fracciones están definidas, es decir, sus denominadores son distintos de cero.
Ejemplo:
x+y
,
ab2
a, b 6= 0
5xy 2 − 3x + y
,
x−y
x 6= y
Operatoria de fracciones algebraicas
Estas expresiones racionales son las extensiones algebraicas de los números racionales y por lo tanto las reglas
fundamentales del manejo de estos números abarcan las F.A.
Ejemplos:
1. Simplificación
x2 − 3x + 2
(x − 2)(x − 1)
=
x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
x−2
=
,
x 6= ±1
x+1
2. Multiplicación
(x − y)xy
x − y xy
·
=
a
b−c
a(b − c)
x2 y − xy 2
=
, a 6= 0, b 6= c
ab − ac
3. Suma
4
5
4
x−y
5
−
=
−
·
x2 − y 2 x + y
(x + y)(x − y) x + y x − y
5
4x − 4y
=
−
(x + y)(x − y) (x + y)(x − y)
5 − (4x − 4y)
=
(x + y)(x − y)
5 − 4x + 4y
, x 6= ±y
=
x2 − y 2
Ejercicios
1. La expresión a4 − b4 se puede escribir como
a) (a − b)4
b) (a + b)2 (a − b)2
c) (a3 − b3 )(a + b)
d ) (a2 + b2 )(a2 − b2 )
e) (a − b)(a3 + b3 )
2. La expresión
xy − x ay − a
:
es igual a:
y
y2
a) 0
a
b)
xy
ax
c)
y
xa(y − 1)2
d)
y3
xy
e)
a
3. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
I) −
II)
d ) Sólo II y III
III)
e) I, II y III
3x − y
y − 3x
x2 + y 2
(x + y)2
x3 + x2 − x − 1
(x + 1)2 (x − 1)
4. El ancho de un rectángulo mide 2x + 3y. Si su perı́metro mide 12x + 8y, ¿cuánto mide el largo del
rectángulo?
a) 6x + 3y
b) 2x + y
c) 8x + 2y
d ) 4x + y
e) 4x + 6y
5. El área de un rectángulo es 2x2 + 2x − 24. Si uno de sus lados mide (x − 3), el otro lado mide:
a) (x + 8)
b) 2(x + 8)
c) 2(x − 4)
d ) 2(x − 3)
e) 2(x + 4)
6. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica 3x2 − 3x − 18?
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
I) 3
II) (x − 3)
III) (x − 2)
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
z
7. Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces ¿cuánto mide el lado de un cuadrado
2
que tiene igual área que el triángulo?
a)
b)
c)
d)
e)
z
4
z√
2
2
z
z
2
z2
4
8. Si x = −2, entonces (3 − x)(x5 + 17) =
a) −45
b) −75
c) 15
d ) 75
e) 105
9. Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces
a)
b)
c)
d)
e)
x2 + y 2
xy
x+y
xy
1
2x + 2y
xy
2
10. Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
a) 9
b) 16
c) 18
27
d)
10
e) Ninguno de los valores anteriores.
x y
+ =
y
x
11. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k 2 − k − 6?
a) k + 1
b) k + 3
c) k − 6
d) k − 3
e) k − 2
12. Si x es un número entero mayor que 3 y el área de un rectángulo se expresa como (x2 + 3x − 18),¿cuál
de las siguientes opciones puede representar a sus lados?
a) (x − 2) y (x − 9)
b) (x + 2) y (x − 9)
c) (x − 3) y (x + 6)
d ) (x + 3) y (x − 6)
e) (x + 2) y (x + 9)
13. Dada la expresión x2 y 2 + x2 y + xy + x, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de ella?
a) Solo I
I) xy + 1
b) Solo II
II) x + 1
c) Solo III
III) y + 1
d ) Solo I y III
e) Solo II y III
14. Si n es un número natural, una expresión equivalente a (3n−3 − 3n−2 )2 es:
a) 2 · 32(n−3)
b) −2 · 3(n−3)
c) 4 · 32(n−3)
d ) 16 · 32(n−3)
e) −8 · 32(n−3)
15.
5a + 4 2a − 6
−
=
3a − 6 2a − 4
a)
b)
c)
d)
e)
2a + 13
3(a − 2)
2a − 5
3(a − 2)
2a + 5
3(a − 2)
2a − 3
3(a − 2)
3a − 2
a − 10
16. a − a(1 − a) =
a) 1 − a
b) a
c) 0
d ) −a2
e) a2
17. Si a · b = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor de (a − b)2 es:
a) 9
b) 19
c) 29
d ) 49
e) No se puede determinar el valor.
18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n)2 − 4mn?
a) (m − n)2
b) m2 − 2 + n2
c) m2 − 4mn + n2
d ) 2m − 4mn + 2n
e) 2m − 2mn + 2n
19. Sea m 6= 0, al simplificar la expresión
m − mr
resulta:
2m
a) 0
r
2
1−r
c)
2
m−r
d)
2
1 − mr
e)
2
x
x
20. Al sumar con m se obtiene
, entonces ¿cuál es el valor de m?
t
t+2
b) −
a) 0
2x
t(t + 2)
−x
c)
t+2
−2x
d)
t(t + 2)
−2
e)
t(t + 2)
b)
21. Jorge compró tres artı́culos distintos en $(4a+b). El primero le costó $a y el segundo $(2a−b). ¿Cuánto
le costó el tercero?
a) $a
b) $7a
c) $(3a − b)
d ) $(3a + 2b)
e) $(a + 2b)
22. Si a∇b = (a + b)2 y a#b = a2 + b2 , ¿a Cuánto equivale la expresión 3(m∇p) − 5(m#p)?
a) −2m2 + 8p2
b) −2m2 + 6mp + 8p2
c) 8m2 + 6mp − 2p2
d ) −2m2 + 3mp + 8p2
e) Ninguna de las anteriores
2
2
23.
x+y
x−y =
3
3
a)
b)
c)
d)
e)
4 2
x − y2
3
4 2
x − y2
9
2 2
x − y2
9
4 2
x − y2
6
Ninguna de las expresiones anteriores
x+y
x−y
24. Para que la expresión
x + y sea positiva, se debe cumplir necesariamente que:
1+
x−y
1−
a) xy < 0
b) x < 0
c) xy > 0
d) y < 0
e) x > y
x1
x2
x3
x10
+
+
+ ··· +
, si x1 , x2 , x3 , · · · , x10 son reales distintos de cero, entonces
|x1 |
|x2 |
|x3 |
|x10 |
¿Cuántos valores distintos tiene w?
25. Sea w =
a) 9
b) 10
c) 11
d ) 20
e) 21
26. Al simplificar (x + 3)2 − (x − 3)2 resulta:
a) 0
b) 18
c) 12x
d ) 2x2 + 18
e) 6x
1
27. La fracción 1 +
x+
2
x+3
puede ser expresada como
x2 + ax + b
, luego a + b + c + d =
x2 + cx + d
a) 9
b) 11
c) 12
d ) 13
e) 14
28. Al resolver la ecuación 6x − (8 − x) = 7[9 − (3 + 2x − 2)], el valor de x es:
a) −4
36
b) −
7
64
c)
21
48
d)
21
e) 0
29. Si
1 1
3 7
+ = 4 y − = −13, entonces x + y =
x y
x y
a) 4
16
b)
15
1
c)
4
19
d)
6
19
e)
10
30. En la figura 1, las áreas achuradas corresponden a dos cuadrados iguales más medio cuadrado, el área
del rectángulo grande menos la suma de las áreas achuradas es:
a) 5a2
b)
5a2
2
c)
3 2
a
2
d ) 3a2
e)
7 2
a
2
SIMBOLOGIA
Algunas maneras de formar algebraicamente una frase son:
1. Número natural cualquiera = n
2. El antecesor de un número = n − 1
3. El sucesor de un número = n + 1
4. Número natural par = 2n
5. Número natural impar = 2n − 1
6. El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1)2
7. El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
8. El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
9. Dos números naturales impares consecutivos = 2n − 1, 2n + 1
10. El inverso aditivo u opuesto de un número = −n
11. El inverso multiplicativo o recı́proco de un número =
1
n
12. El triple de un número = 3n
13. Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de
las decenas es d = 10d + u
14. Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de
las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
15. La razón o cuociente entre p y q =
p
q
16. El valor absoluto de un número = |n|
17. p es directamente proporcional a q
p
= k(constante)
q
18. p es inversamente proporcional a q
pq = k(constante)
Ejercicios
1. El doble del cuadrado de (x − 3) se expresa por:
a) [2(x − 3)]2
b) 2(x2 − 32 )
c) (2x − 6)2
d ) 2(x − 3)2
e) (x2 − 32 )2
2. Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la
quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”
a)
b)
c)
d)
e)
2x
+5−4
5
2x
+5−x
5
x
+9−x
5
2x
+9−x
5
x
+5−4
5
3. El enunciado “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el
cuadrado del triple de d”, se escribe:
a) d + 2d · 3d2
b) d + 2d · (3d)2
c) (d + 2d) · (3d)2
d ) (d + 2d) · 3d2
e) (d + 2) · (3d)2
4. Un número real n, distinto de cero, sumado con su recı́proco, y todo al cuadrado, se expresa
como:
1 2
)
n
1
b) n2 + ( )2
n
1
c) n + ( )2
n
d ) n + (−n)2
a) (n +
e) n2 + (−n)2
5. Si el radio r de un cı́rculo aumenta en ǫ unidades, entonces el área del nuevo cı́rculo se
expresa, en unidades cuadradas, como:
a) πr2 + ǫ
b) πr2 + ǫ2
c) π(r2 + ǫ2 )
d ) π(r2 + ǫ)
e) π(r + ǫ)2
6. “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”, se escribe:
a)
b)
c)
d)
e)
5m + m2
t
m
+ m2
5
t
m2
5m +
t
m m2
+
5
t
m
+ 2m
5
t
7. Marı́a (M ) tiene dos años menos que el 25 % de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan
tenı́a 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones
que permiten calcular las edades de Marı́a y Juan?
a) M − 2 =
b) M − 2 =
c) M + 2 =
d) M − 2 =
e) M + 2 =
J
4
J
4
J
4
J
4
J
4
y J + 2 = 10
y J − 2 = 10
y J − 2 = 10
y J = 10
y J + 2 = 10
8. Hace 3 años Luisa tenı́a 5 años y Teresa a años.¿Cuál será la suma de sus edades en a años
más?
a) (11 + 3a) años
b) (11 + 2a) años
c) (11 + a) años
d ) (8 + 3a) años
e) (5 + 3a) años
9. La expresión“El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 − b)”, es
representa como:
a) [2(3 + b)]2 = 2(3 − b)2
b) 4(3 + b)2 = 4(3 − b)2
c) [2(3 + b)]2 = 2(3 + b)(3 − b)
d ) 2(3 + b)2 = 2(3 − b)2
e) 2(3 + b)2 = [2(3 − b)]2
10. La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa al planteamiento algebráico de este problema?
a) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
b) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
c) (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
d ) (x − 1)2 · x2 · (x + 1)2 = 291
e) x2 · (x2 + 1) · (x2 + 2) = 291
11. La expresión:“Para que el doble de (a + c) sea igual a 18 le faltan 4 unidades”, se expresa
como:
a) 2a + c + 4 = 18
b) 2(a + c) − 4 = 18
c) 2(a + c) + 4 = 18
d ) 4 − 2(a + c) = 18
e) 2a + c − 4 = 18
12. Compré x kg de café en $36000 y compré 40 kg más de té que de café en $48000. ¿Cómo se
expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?
a)
b)
c)
d)
e)
36000
x
36000
x
x
36000
x
36000
36000
x
+
+
+
+
+
48000
x + 40
48000
x − 40
x + 40
48000
x − 40
48000
48000
40
13. El siguiente enunciado: “El cuadrado del triple de la diferencia entre dos números es equivalente al doble del cuadrado de la suma de ellos menos el producto de los números” corresponde
a:
a) 3(x − y)2 = 2(x + y)2 − xy
b) [3(x − y)]2 = 2(x + y)2 − xy
c) 3x2 − y 2 = 2(x2 + y 2 ) − xy
d ) 3(x − y)2 = 2(x + y)2 − xy
e) 3(x2 − y 2 ) = 2(x + y)2 − xy
1
r
15.- Si r ‰ 0; r ‰ 1; r ‰ ´1 entonces
1 “
r`
r
r´
A)
B)
C)
D)
E)
16.-
El inverso aditivo de xyz es:
A)
0
B)
´1
1
xyz
C)
D)
E)
17.-
´1
r`1
r´1
r´1
r`1
r2 ´ 1
r2 ` 1
r2 ` 1
r2 ´ 1
´xyz
1
´
xyz
Al simplificar la fracción
A)
1
x`y
B)
1
C)
D)
E)
x`y
x2 ´ y 2
x`y
2
x ` 2xy ` y 2
Otro valor
x3 ´ y 3
se obtiene:
px2 ´ y 2 q px2 ` xy ` y 2 q