Universidad de Montevideo Macroeconomı́a II Danilo R. Trupkin Notas Adicionales Interpretación Económica del Control Óptimo Dado que la primera aplicación que hemos visto sobre optimización dinámica en tiempo continuo es el modelo de crecimiento de Ramsey, entonces usaremos dicha notación como punto de partida para el presente análisis. Recordemos que el problema del agente representativo era maximizar su “lifetime utility”, Z U= ∞ u(c(t))e−ρt dt, (1) 0 sujeto a dk = f (k(t)) − c(t) − δk(t) dt (2) Recordemos también que c es la variable de control y k, la variable de estado. El procedimiento de control óptimo se basa en formar el Hamiltoniano (en valor presente, en este caso), H = u(c(t))e−ρt + λ[f (k(t)) − c(t) − δk(t)], donde λ es la variable de co-estado asociada a la variable de estado k. Una alternativa diferente dentro del control óptimo (ver Dorfman, 1969), es definir V (t) = λ(t)k(t) como el valor del stock de capital en cada punto del tiempo t, con λ como el “precio sombra” de una unidad de capital. Diferenciando esta expresión respecto del tiempo nos da V̇ (t) = λ(t)k̇(t) + λ̇(t)k(t) (3) La expresión (3) nos dice que, en cada punto del tiempo, el valor del stock de capital cambia, por un lado, por los cambios en el stock fı́sico y, por otro lado, por los cambios en el precio sombra de cada unidad. Luego, una interpretación para nuestro problema de optimización à la Ramsey serı́a que, para cada punto en el tiempo, el plan óptimo debe maximizar la suma de: (i) la utilidad directa provista por el consumo y, (ii) la tasa a la cual el valor del capital está cambiando 1 [expresión (3)]. Esto se puede expresar a través de un “Hamiltoniando modificado”: H̃ = u(c(t))e−ρt + λ(t)k̇(t) + λ̇(t)k(t) Tomando las 2 variables c y k como aquellas cuyas secuencias deben ser elegidas por el agente, entonces el procedimiento actual se basa en maximizar el Hamiltoniano modificado con respecto a estas variables [donde reemplazamos k̇(t) ≡ dk dt por su expresión en (2)], lo cual nos brinda las siguientes condiciones de primer orden: ∂ H̃ = uc e−ρt − λ = 0 ∂c (4) ∂ H̃ = λ[f 0 (k) − δ] + λ̇ = 0 ∂k (5) Notemos que la expresión (5) es idéntica a la que vimos en clase (apareciendo además en el handout sobre Ramsey subido a la web del curso), donde tenı́amos que . ∂H = λ[f 0 (k) − δ] = −λ ∂k (6) De esta manera, la interpretación económica descripta en las presentes notas muestra resumidamente una forma alternativa de entender dicha expresión (6). Referencia: • Dorfman, R. (1969), “An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”, American Economic Review, 59(5), 817–831. 2