Regiones poligonales - alumnos-nsdlm

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Definicio n 3 . 1
Una regio n triangular e s la uni on de un triangulo y su interior.
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Definicio n 3 . 2
Una regi´on p oligon al e s la u ni o n d e u n n ´ umero finito
de regione s tri´ angularesen u n plano, tale s que si dos
cualesqu ieras de ellas se interse can, su intersecc i´ o n e s , u n
p u n t o o un segmento.Figura 48 region po lig onal
3.2. Postulados de ´areas
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Postulado 3.1
El po stulado del areaCuando hablamo s de una reg i´ o n , n o s
estamos refiriendo a una regi´on poligonal A toda
r e g i ´ onpoligonal le c orresp ond e un n´um ero p ositivo ´un ico
denominado a r e a .
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Definici´on 3.3
El ´area de una re gi´on p oligon al es el n´umero que se le
asigna seg´un e l po stulado
del ´area. El ´area de la regi´on R se denota por
A(R)
Regiones Poligonales
De la definición de polígono podemos concluir que todo polígono está
contenido completamente en un plano. Dado un polígono se distinguen
entonces dos conjuntos en el plano: el interior del polígono y el exterior.
La unión de un polígono con su interior es una región poligonal.
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Postulado 3.2
El po stulado de la co ngruenc ia. S i d o s t r i a n g u l o s o
r e c t ´ angulos son con gruentes, entonces las reg ione s
determinadas p or ello stiene n la misma ´area. Do s paredes
del mismo tama˜n o t i e n e n l a m i s m a area, por lo tanto
nece-sitan la misma cantidad de pintura
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Postulado 3.3
El po stulado de adici´ o n d e areasSi un a reg ion p oligon al e s
la uni´on de n regiones poligo n ales que se inte rsec an a lo
sumo en unn´umero finito de se gmentos y puntos, Su a r e a
e s l a s u m a d e l a s ´ areas de las n regio nes.
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Postulado 3.4
El po stulado del ´area de l rectangulo El ´a r e a d e u n
r e c t ´ angulo de longitud
l y ancho
a est´a d a d o p o r l a f o r m u l a l xa
Un polígono se dice convexo sí y sólo si su correspondiente región
poligonal es convexa (es decir si dados dos puntos cualesquiera en la
región el segmento de recta que determinan, está completamente
contenido en ella). Muchos de los polígonos con los que trabajamos
corrientemente son convexos.
ıt
aṕ
C
de las dos regiones a( C) = l 2 l R 2 ) = a (R 1 )+ a (R 2 ) R 1
C C cuadrado con lado de longitud l  a( R 1   int(R 2 ) =
 T 2 a( T 1 ) = a ( T 2 ) R 2 int(R 1 )  T 1 T 2 T 1 es igual a
la suma de las áreas de cada una de ellas. P4 : El área de un
cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. R a la
región R se le puede asociar un único número real positivo a( R
3.
AREAS Definición : una región poligonal es la unión de un
polígono y su interior. Definición : una región circular es la
unión de una circunferencia y su interior. Definición : una
región es : (1) La unión de un número finito
de regiones poligonales o circulares, o bien: (2) La intersección
de un número finito de regionespoligonales y circulares con la
intersección de sus interiores no vacía, o bien: (3) La unión de
un número finito de combinaciones de los tipos (1) o (2).
No convexo
2.
Regiones poligonales
Postulados de áreas de regiones P1 : A cada región le
corresponde un único número real positivo. P2 : Si dos
triángulos son congruentes, entonces la regiones determinados
por ellos tienen la misma área. P3 : Si la intersección de los
) llamado área de la región R.
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Demostración:
Indicación Formalizar la siguiente idea: Armar un
“rompecabezas “ mediante regiones yuxtapuestas como en la
figura adjunta, usar los postulados sobre áreas y el cuadrado
de un binomio. A B C D a b a b Teorema El área de una región
rectangular es el producto de las longitudes de los lados del
rectángulo que la delimitan. A B C D Dado : ABCD rectángulo
que delimita región R AB = a BC = b Demostrar : área( R )
=ab a b R
4.
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El
área de una región delimitada por un paralelogramo es el
producto de las longitudes de un lado y de la altura
correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación
Formalizar la siguiente idea: Si se traza el segmento CF
perpendicular al prolongación del lado AB se obtiene un
triángulo rectángulo CFB congruente con AED y AB DE = h
Demostrar : área( P ) =ah a P E h A B C D a h P E Fun
AREAS POLIGONALES
1.
Convexo
interiores de dos regiones es vacía, entonces el área de la unión
rectángulo EFCD de área ah , luego por el problema 24 de la
página 199… A B C D Dado : ABCD paralelogramo que
5.
delimita región P AB = a DE
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El
área de una región delimitada por un triángulo es el
semiproducto de las longitudes de un lado y de la altura
correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación
Formalizar la siguiente idea: Por el vértice B se traza recta
paralela al lado AC y por el vértice C una recta paralela al
lado AB. Se forma así un paralelogramo ABEC, y dos
triángulos congruentes ABC y AB CD = h Demostrar : área( T
) =ch/2 D c A B C h T D c A B C h T EECB. T Dado : ABC
triángulo que delimita la región T AB = c CD
6.
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Corolario 1:
PQR BDDado : ABC y QS alturas correspondientes
El área de una región poligonal regular es el semiproducto de
su apotema lateral por su perímetro. Corolario 2: Todos los
Demostrar : a( ABC)/a( PQR)=AC 2 /PR 2 =BD 2 /QS 2 2.
Luego se tiene, por ejemplo: 3.
triángulos que tienen respectivamente congruentes un lado y la
altura correspondiente a dicho lado tienen la misma área.
o
Indicaciones :
o
Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo
que debe demostrarse
o
Visualice y formalice la siguiente idea: si el polígono
regular tiene n lados, uniendo el centro con cada uno de
los vértices del polígono se forman n triángulos con
“base” cada lado y altura la apotema.
o
Indicaciones :
o
Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo
o
que debe demostrarse.
Aplique la fórmula que permite calcular el área de una
región triangular.
7.
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Definición La
altura de un trapezoide es el segmento perpendicular a las
bases del trapezoide y con sus extremos en dichas bases.
Teorema : El área de una región trapezoidal es el semiproducto
entre la longitud de la altura y AB , DE = h Demostrar : a( T )
= h(b 1 +b 2 )/2 Demostración : Trace una diagonal del
trapecio, por ejemplo CA, obteniendo dos triángulos ABCla
suma de las longitudes de sus bases. Dado : ABCD trapecio AB
|| CD AB = b 1 , CD = b 2 DE y ACD con bases b 1 y b
2 y altura común h A B C D E b 1 b 2 h T A B C D E b 1 b 2 h
Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: Si
8.
dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es
igual a la razón entre los cuadrados de las longitudes entre dos
lados correspondientes o igual a la razón entre los cuadrados
de dos alturas correspondientes cualesquiera. 4. Sustituyendo
o
o
convenientemente (*) en (**) se tiene la tesis.
Demostración : ( Indicaciones )
Los triángulos BDC y QSR son semejantes ¿Por qué?
 INSTITUCION EDUCATIVA:
Nuestra Señora de las Mercedes
 ALUMNA:
Castro Galan Jurico
 AREA:
Matematica
 PROFESORA:
Catherine Meza Coronado
 GRADO Y SECC:
4º A tm