AMPLIACI´ON DE AN´ALISIS FUNCIONAL MATEM´ATICAS / 4

AMPLIACIÓN DE ANÁLISIS FUNCIONAL
MATEMÁTICAS / 4◦ CURSO
Examen Final / Junio de 2003
NOMBRE ...............................................................................................................
1.- a) Enunciar el teorema de Hahn-Banach para espacios normados.
b) Sea X un espacio normado y M un subespacio de X. Probar que
M = X ⇐⇒ M ⊥ = {0}.
c) Sean X e Y dos espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Probar que
⊥
R(T ) = N (T ∗ ).
1’.- Enunciar el teorema de representación de Riesz y usarlo para probar que
d
xn → x ⇐⇒ hxn , zi → hx, zi, ∀z ∈ H.
2.- a) Dado un espacio de Hilbert H y un subespacio cerrado N ⊂ H, definimos la
proyección ortogonal PN : H → H por PN x = y si x = y + z, con y ∈ N , z ∈ N ⊥ .
Probar que PN ∈ L(H) y que PN2 = PN = PN∗ .
b) Sea T ∈ L(H) un operador autoadjunto. Probar que
T es proyección ortogonal ⇐⇒ σp (T ) = {0, 1}.
2’.- Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador autoadjunto.
a) Probar que rσ (T ) = kT k y que existe λ ∈ σ(T ) tal que |λ| = kT k.
b) Probar que, si λ ∈ σp (T ), entonces λ ∈ R. Probar además que autovectores
asociados a autovalores distintos son ortogonales.
3.- Se considera el operador T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] dado por
Z
T f (x) =
1−x
f (t) dt.
0
Determinar el espectro y el radio espectral y obtener una base ortonormal de autovectores de T .
3’.- Resolver, según los valores de α y β, la ecuación
Z
1
x(t) − λ
−1
(t2 − 2ts)x(s) ds = αt3 − βt.
4.- a) Sea T ∈ L(H) un operador autoadjunto y compacto. Probar que existe un sistema
ortonormal {ϕn }n∈N de autovectores, de modo que, si {λn }n∈N es la familia de autovalores asociados,
X
λn hx, ϕn iϕn , ∀x ∈ H.
Tx =
n∈N
b) Sea {ϕn }n∈N un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H y {λn }n∈N una
sucesión de números reales finita o que converge a cero. Probar que el operador
T ∈ L(H) definido por
Tx =
X
λn hx, ϕn iϕn , ∀x ∈ H,
n∈N
es compacto y autoadjunto.
4’.- Sea T ∈ L(H) un operador autoadjunto y compacto, con {ϕn }n∈N base ortonormal
de autovectores asociados a los autovalores {λn }n∈N .
a) Si λ 6= 0, λ 6= λn , probar que la solución de (T − λI)x = y tiene la forma
1 X λn
1
hy, ϕn iϕn .
x=− y+
λ
λ
λn − λ
n∈N
b) Si λ = λj = λj+1 = . . . = λj+n−1 , probar que la solución de (T − λI)x = y existe
si y sólo si hy, ϕj+k i = 0, k = 0, 1, . . . n − 1. En este caso, probar que la solución tiene
la forma
n−1
X
X
1
1
λk
ϕk +
ck ϕj+k .
x=− y+
λ
λ
λk − λ
k6=0,1,...,n−1
k=0