Soluciones Ejercicios 7: Principio de Resolución TAII(I)-Lógica 22 de mayo de 2006 1. Ejercicio 7.1 Comprobar mediante el principio de resolución que el siguiente conjunto de cláusulas en insatisfacible: β = {P, ¬P ∨ Q, ¬Q ∨ R, ¬R} Solución La secuencia de deducción es la siguiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. P ¬P ∨ Q ¬Q ∨ R ¬R Q ¬P ∨ R ¬Q R R ¬P ¬P φ P.R. P.R. P.R. P.R. P.R. P.R. P.R. P.R. β β β β 1,2 2,3 3,4 3,5 1,6 4,6 2,7 5,7 Como puede verse en la secuencia anterior se han realizado todas las combinaciones posibles entre aquellas cláusulas que contienen un literal (L) y su complementario (¬L). 2. Ejercicio 7.2 Demostrar por resolución que la siguiente deducción, expresada en Cálculo Proposicional, es correcta: {p, p ∧ q → r, s ∨ t → q, t} ⇒ r Solución 1 1. Obtención de la forma clausular: F : p ∧ (p ∧ q → r) ∧ (s ∨ t → q) ∧ t ∧ ¬r F : p ∧ (¬(p ∧ q) ∨ r) ∧ (¬(s ∨ t) ∨ q) ∧ t ∧ ¬r F : p ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ((¬s ∧ ¬t) ∨ q) ∧ t ∧ ¬r F : p ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ((¬s ∨ q) ∧ (¬t ∨ q)) ∧ t ∧ ¬r 2. Conjunto β de cláusulas: β = {p, ¬p ∨ ¬q ∨ r, ¬s ∨ q, ¬t ∨ q, t, ¬r} 3. Proceso iterativo de resolución: Primera Iteración: Cp : ¬p ∨ ¬q ∨ r Cm : ¬r Ch : ¬p ∨ ¬q Segunda Iteración: Cp : ¬p ∨ ¬q Cm : p Ch : ¬q Tercera Iteración: Cp : ¬q Cm : ¬t ∨ q Ch : ¬t Cuarta Iteración: Cp : ¬t 2 Cm : t Ch : φ La secuencia anterior de deducción puede expresarse de la siguiente forma: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 12. 3. p ¬p ∨ ¬q ∨ r ¬s ∨ q ¬t ∨ q t ¬r ¬p ∨ ¬q ¬q ¬t φ P.R. P.R. P.R. P.R. β β β β β β 2,6 1,7 4,8 5,9 Ejercicio 7.3 Demostrar por resolución que la siguiente deducción, expresada en Cálculo Proposicional, es correcta: p → ¬q ¬q → (¬r ∧ ¬s) (r ∨ s) → t t→q p → (¬r ∧ ¬s) Solución 1. Obtención de la forma clausular: F : (p → ¬q)∧(¬q → (¬r ∧¬s))∧((r ∨s) → t)∧(t → q)∧¬(p → (¬r ∧¬s)) F : (¬p∨¬q)∧(¬¬q ∨(¬r ∧¬s))∧(¬(r ∨s)∨t)∧(¬t∨q)∧¬(¬p∨(¬r ∧¬s)) F : (¬p∨¬q)∧(q ∨(¬r ∧¬s))∧((¬r ∧¬s)∨t)∧(¬t∨q)∧(¬¬p∧¬(¬r ∧¬s)) F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ (¬r ∧ ¬s)) ∧ ((¬r ∧ ¬s) ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ (p ∧ (¬¬r ∨ ¬¬s)) F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ (¬r ∧ ¬s)) ∧ ((¬r ∧ ¬s) ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ (p ∧ (r ∨ s)) F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬s) ∧ (¬r ∨ t) ∧ (¬s ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ p ∧ (r ∨ s) 3 2. Conjunto β de cláusulas: β = {¬p ∨ ¬q, q ∨ ¬r, q ∨ ¬s, ¬r ∨ t, ¬s ∨ t, ¬t ∨ q, p, r ∨ s} 3. Proceso iterativo de resolución: Primera Iteración: Cp : r ∨ s Cm : q ∨ ¬r Ch : s ∨ q Segunda Iteración: Cp : s ∨ q Cm : q ∨ ¬s Ch : q Tercera Iteración: Cp : q Cm : ¬p ∨ ¬q Ch : ¬p Cuarta Iteración: Cp : ¬p Cm : p Ch : φ 4. Ejercicio 7.4 Comprobar mediante el principio de resolución que el siguiente conjunto de cláusulas en insatisfacible: 4 β = {¬q ∨ ¬u ∨ p, ¬p, q ∨ r, u ∨ t, ¬r, ¬t} Solución Proceso iterativo de resolución: Primera Iteración: Cp : ¬r Cm : q ∨ r Ch : q Segunda Iteración: Cp : q Cm : ¬q ∨ ¬u ∨ p Ch : ¬u ∨ p Tercera Iteración: Cp : ¬u ∨ p Cm : u ∨ t Ch : p ∨ t Cuarta Iteración: Cp : p ∨ t Cm : ¬p Ch : t Quinta Iteración: Cp : t 5 Cm : ¬t Ch : φ 5. Ejercicio 7.5 Comprobar si es unificable el conjunto de átomos: T = {P (x, f (y)), P (a, b), P (x, z)} Solución 1. Inicialización del conjunto de discordancias y de la sustitución: D(T ) = {(x, a), (f (y), b, z)} σ = {φ} 2. Proceso de Unificación: Ciclo 1: D no tiene discordancias de un elemento (v1 = x, t1 = a) ⇒ σ = {< x/a >} Tσ = {P (a, f (y)), P (a, b), P (a, z)}) D(T )σ = {(a, a), (f (y), b, z)} = {(a), (f (y), b, z)} Ciclo 2: D no tiene discordancias de un elemento (v2 = z, t2 = b) ⇒ σ = {< x/a >, < z/b >} Tσ = {P (a, f (y)), P (a, b), P (a, b)}) D(T )σ = {(a), f (y), b, b)} = {(a), (f (y), b)} Ciclo 3: D no tiene discordancias de un elemento No puede encontrarse en el conjunto de discordancias D(T) una variable v3 , por lo tanto T NO es unificable. 6. Ejercicio 7.6 Comprobar si es unificable el conjunto de átomos: T = {P (x, g(x, y), a), P (y, u, a), P (f (z), u, w)} Solución 6 1. Inicialización del conjunto de discordancias y de la sustitución: D(T ) = {(x, y, f (z)), (g(x, y), u, u), (a, a, w)}={ (x,y,f(z)), (g(x,y),u), (a,w) } σ = {φ} 2. Proceso de Unificación: Ciclo 1: D no tiene discordancias de un elemento (v1 = x, t1 = y) ⇒ σ = {< x/y >} Tσ = {P (y, g(y, y), a), P (y, u, a), P (f (z), u, w)}) D(T )σ = {(y, y, f (z)), (g(y, y), u), (a, w)} = {(y, f (z)), (g(y, y), u), (a, w)} Ciclo 2: D no tiene discordancias de un elemento (v2 = y, t2 = f (z)) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >} Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), u, a), P (f (z), u, w)}) D(T )σ = {(f (z), f (z)), (g(f (z), f (z)), u), (a, w)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z)), u), (a, w)} Ciclo 3: D no tiene discordancias de un elemento (v3 = u, t3 = g(f (z), f (z))) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >, < u/g(f (z), f (z)) >} Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), w)}) D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z)), g(f (z), f (z))), (a, w)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, w)} Ciclo 4: D no tiene discordancias de un elemento (v4 = w, t4 = a) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >, < u/g(f (z), f (z)) > , < w/a >} Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a)}) D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, a)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a)} Ciclo 5: D sólo contiene discordancias de un elemento, T ha sido unificado. El conjunto unificado es: Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a)}) E Unificador serı́a: D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, a)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a)} 7 7. Ejercicio 7.7 Demostrar por resolución que el siguiente conjunto de cláusulas es insatisfacible: F : {B(x, y)∨B(y, x), ¬B(y, x)∨C(x), ¬A(x)∨¬A(y)∨¬B(x, y)∨D(y), ¬D(a), A(b), ¬C(b), A(a)} Solución Proceso iterativo de resolución: Primera Iteración: Cp : ¬A(x) ∨ ¬A(y) ∨ ¬B(x, y) ∨ D(y) Cm : A(a) ..... (σ =< y/a >) Ch : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) ∨ D(a) Segunda Iteración: Cp : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) ∨ D(a) Cm : ¬D(a) Ch : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) Tercera Iteración: Cp : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) Cm : B(x, y) ∨ B(y, x)..... (σ =< x/b >) Ch : ¬A(x) ∨ B(a, x) Cuarta Iteración: Cp : ¬A(x) ∨ B(a, x) Cm : A(b)..... (σ =< x/b >) Ch : B(a, b) 8 Quinta Iteración: Cp : B(a, b) Cm : ¬B(y, x) ∨ C(x)..... (σ =< y/a >, < x/b >) Ch : C(b) Sexta Iteración: Cp : C(b) Cm : ¬C(b) Ch : φ 9