EL ÁTOMO MECANO CUÁNTICO

EL ÁTOMO MECANO CUÁNTICO
Obtención de la ecuación de Schrödinger
Se parte de la ecuación de una onda
ψ= Asen( ωt –kx)
en la cual Ψ es la elongación, A la amplitud, ω
frecuencia angular, k el número de onda, y x la
posición respecto al centro de la perturbación.
Derivándola dos veces respeto a la posición:
d2ψ/dx2 = - k2Asen(ωt-kx)= - k2ψ
Como: k=2π/λ ;
k2 =4π2/ λ2 .
Al introducir como λ la longitud de onda de De
Broglie λ= h/mv; k2 =4π2(mv)2/ h2
La energía total del sistema E =Ecin+Epot
Ec=E-V= mv2/2;
mv2=2(E-V),
Multiplicando por m ;
(mv)2= 2m(E-V)
Sustituyendo la expresión, k2 tomará el valor:
k2 =8π2m(E-V)/ h2
Con lo que la ecuación de ondas para el
electrón
Será:
d2ψ/dx2 = -8π2m(E-V) ψ/ h2
Generalizando
(d2ψ/dr2 )+8π2m(E-V) ψ/ h2=0
que es lo que se conoce como ecuación de
Schrödinger
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Ecuación de Schrödinger y Orbitales atómicos
La incertidumbre introducida por Heisenberg, hace que se
busque un modelo matemático que determine la probabilidad de
encontrar al electrón en una zona determinada del átomo.
El tratamiento matemático considerando su condición ondulatoria
lo hace en 1926, Schrödinger (1887-1961) que convierte la ecuación de
una onda, en la ecuación general de ondas para el electrón:
(d2ψ/dr2 )+8π2m(E-V) ψ/ h2=0
La solución matemática de la ecuación de ondas de Schrödinger
para el átomo de hidrógeno, sustituyendo los parámetros E y V para la
energía en el campo eléctrico del átomo sólo alcanzaba valores válidos,
cuando se la hacía dependiente de unos números enteros, coincidentes
con los números cuánticos de la teoría de Bohr-Sommerfeld, n, l y m.
Las soluciones de ψ se conocieron inicialmente con el nombre de
orbitales atómicos, pero sólo tenían significado matemático.
Born(1881-1970) les dio significado físico, al asociar a sus
valores radiales la probabilidad de encontrar al electrón a una distancia r
del núcleo como referencial, fue necesario multiplicarlo por si mismo, a
fin de anular los valores negativos (no existe probabilidad negativa). Esta
consideración apoyada por Bohr, se divulgó como “interpretación de
Copenhague”.
Más tarde la función R2 al referirla a un elemento de volumen
infinitesimal del espacio dV, alrededor del núcleo, proporcionó la función
radial que para el caso del átomo de hidrógeno según los valores de n, l,
m, toma la forma dada en la figura 1. En ella observamos que la máxima
probabilidad de encontrar al electrón del hidrógeno, que es del 58%, se
produce precisamente a 0,53D, que era el radio de la órbita del electrón
del hidrógeno según Bohr.
Sin embargo actualmente se suele dibujar como orbital
atómico la línea de contorno de la densidad de probabilidad
acumulativa aproximadamente del 90% que para el del hidrógeno,
delimita una esfera de radio 140,8pm, que es 2,66 veces el radio de
Bohr (si se dibujara como orbital atómico la superficie límite que
encerrara el 99% de probabilidad, su radio sería de 220pm).
Fig.1. Probabilidad radial del hidrógeno
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DIFERENCIA ENTRE ÓRBITA Y
ORBITAL
La órbita indica el camino recorrido por
electrón, por ejemplo la del H de Bohr una
circunferencia de radio 52,9pm, mientras
que el orbital es la solución de la ecuación
de onda para las condiciones cuánticas
del electrón y lo que suele dibujarse, es la
superficie de contorno que encierra una
probabilidad de encontrar al electrón del
90%, que para el H, en su estado
fundamental es una esfera de r=141pm.
Así, cuando aparece dibujada una circunferencia con el epígrafe
orbital 1s, lo que se está indicando es el contorno que encierra el 90% de
probabilidad de encontrar a los electrones para unas determinadas
condiciones cuánticas, y teniendo siempre en cuenta el principio de
exclusión de Pauli.
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Para átomos diferentes del H, las soluciones de la ecuación de
Schrödinger se complican extraordinariamente, por lo difícil que
resulta hallar los términos energéticos. Una simplificación muy usada
consiste en el empleo de la carga nuclear efectiva del núcleo para
hallar la función potencial aplicada a los electrones externos.
Se debe recordar que en el modelo mecano cuántico, los
números cuánticos n, l y m, surgen como una necesidad
matemática para dar valores válidos, definidos y continuos a
las funciones de onda.
Para otros valores de números cuánticos n, las
distribuciones de probabilidad, toman formas diferentes,
surgiendo para n>2, puntos en los que la distribución de
probabilidad toma valores nulos (puntos nodales, que en el
espacio engendrarán zonas nodales). La máxima expansión
del orbital atómico dependerá del valor de n, tal como
ocurría con las órbitas de Bohr.
CONDICIONES
CUÁNTICAS
n=2
l=1
m=1
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
2px
PROYECCIÓN DE LA DENSIDAD
DE PROBABILIDAD SOBRE EL PLANO XY
CURVAS DE DENSIDAD DE
PROBABILIDAD CONSTANTE
Los valores del número cuántico secundario l, van a
determinar la distribución angular
de la zona de
probabilidad, que para el caso l=0, siempre va a ser esférica
(orbital atómico s).
Para l=1,
Se producirá un plano nodal en el que la probabilidad es
nula, lo que delimitará un contorno orbital en forma
parecida al ocho, orbital atómico p.
Los valores de m determinarán las orientaciones de
las zonas de probabilidad en el espacio, similar al que tenía
en la teoría de Bohr-Sommerfeld (m=0, producirá una
distribución sobre el eje vertical).
PLANO NODAL
MAPA DE CONTORNO
DIBUJO DEL ORBITAL 2px
90% DE PROBABILIDAD
ACUMULADA
EJE X
Fig.2. Origen del dibujo del OA 2px
3
4
En la figura 2, se observa la génesis de lo que se dibuja como orbital atómico
2px, obtenida a partir de las soluciones de la ecuación de Schrödinger para los
valores indicados en coordenadas rectangulares (visión tridimensional), y elevándolas
al cuadrado(densidad de probabilidad) y proyectando las curvas de igual densidad de
probabilidad sobre en plano XY en unidades de radio de Bohr o bohrs y por fin lo que
se dibuja como OA 2px, es la línea de contorno que abarca el 90% de la probabilidad
acumulativa.
Para l=2,
orbital
3s
3px
3py
3pz
3dx2-y2
3dxy
3dxz
3dyz
3dz2
n
3
3
3
3
3
3
3
3
3
l
0
1
1
1
2
2
2
2
2
m
0
1
-1
0
2
-2
1
-1
0
Existirán dos planos nodales perpendiculares entre sí, y el orbital forma 4 lóbulos (orbital tipo d), parecido a un trébol
de 4 hojas y así sucesivamente, formándose los diferentes orbitales atómicos que se dan para n=3 ( tabla 1).
De esta forma la distribución espacial de los diferentes OA, para n=3, en sus diferentes valores de , l y m, dan
lugar a los OA cuyos contornos deberás dibujar
Actividad. Dibujar los contornos de los OA 3s,3p y 3d
Tabla 1
En el caso de orbitales d (l=2) habría 5 valores de m, y a cada uno correspondería una distribución
espacial de probabilidad. Obsérvense los mapas tridimensionales que hacen referencia al 3dz2 y al 3dxy y las
correspondientes superficies de contorno de densidades de probabilidad y la envolvente del 90%, que es lo
que se dibuja como OA (fig.3 y 4).
4
5
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
3dz2
CONDICIONES
CUÁNTICAS
n=3
l=2
m=0
PROYECCIÓN DE LA DENSIDAD
DE PROBABILIDAD
SOBRE EL PLANO XZ
EJE Z
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
3d(xy)
CONDICIONES
CUÁNTICAS
n=3
l=2
m= -2
PROYECCIÓN SOBRE EL PLANO XY
DE LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD
CURVAS DE NIVEL DE PROBABILIDAD CONSTANTE
EJE X
EJE X
PLANOS
NODALES
EJE Y
Fig.4. OA 3dxy
Fig.3. OA 3dz2
Los OA d dados en las figuras son los dos tipos perfectamente diferenciados ya que el 3dxz, es igual que el
3dxy aunque orientado sobre otros ejes, y los 3dyz y 3dx2-y2, también son similares aunque están orientados sobre
los ejes de coordenadas xy y no entre ellos.
10.00
Representando funciones ψ
Si se toman las funciones R y no sus cuadrados,
aparecerán zonas con valores negativos (por debajo
del plano), y la forma no es tan estilizada como las
distribuciones de probabilidad.
FUNCIÓN DE ONDA
2px
EJE Y
5.00
0.00
-5.00
EJE X
ZONA POSTIVA
GRIS MAS CLARO
VALORES LAS POSTIVOS
ZONA NEGATIVA
GRIS MAS OSCURO
VALORES MAS NEGATIVOS
-10.00
-20.00 -15.00 -10.00 -5.00
0.00
5.00
Fig.5.. ψ 2px
En los p aparecerá un lóbulo con el signo positivo y
otro con el negativo como se puede apreciar en la
figura 5
10.00 15.00 20.00
5
En los d, surgirán dos lóbulos con signo -, como se puede
apreciar en la gráfica dada (fig 6. para las soluciones de la
ecuación de Schrödinger si n=3, l=2, m=0 (3dz2). (zonas oscuras
(lóbulos con signo negativo)
Estos signos serán extremadamente importantes a la hora
de interpretar la superposición de orbitales atómicos de similar
simetría para formar un enlace covalente.
6
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
-5.00
-10.00
-15.00
Diferencia entre OA 2p y 3p
La diferencia entre ambos OA no sólo está en el tamaño y
la energía que dependen de n, ya que A parte de los planos
nodales que conforman la estructura del orbital, existen una
serie de superficies nodales interiores (SN) que determinan zonas
en las que la probabilidad de encontrar al electrón es nula.
El número de superficies nodales viene dado por n-(l+1), de
forma que los orbitales s presentan el mayor número, puesto que
l=0. Las superficies nodales permiten diferenciar internamente los
orbitales atómicos, así la que existe entre un 3px y un 2px no se
limita únicamente al tamaño, que depende de n, sino también a las
zonas nodales interiores, aunque ambos tengan un mismo plano
no
SN 2px = 2-(1+1) =0
-20.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
Fig.6. ψ( 3dxy)
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
3px
CONDICIONES
CUÁNTICAS
n=3
l =1
m=1
PLANO NODAL
l=1
SN 3px= 3-(1+1) =1
Se ve en la figura (7) la aparición de la superficie nodal interior
diferenciada del plano nodal característico de este OA.
Esta misma diferencia surgirá entre los OA 3d y 4d
SUPERFICIES
NODALES
n-(l+1)=3-2=1
Los números cuánticos en el modelo mecanocuántico.
Fig.7. OA 3px
Surgen como una necesidad matemática, para dar soluciones válidas a la ecuación de Schrödinger.
n:
Determina la energía y tamaño del OA
l:
Determina la forma del OA y el número de planos nodales, junto con n informa de las superficies nodales.
m:
Determina la orientación del OA en el espacio, y del número de OA del tipo precisado por l.
s:
Sólo aparece como solución a una modificación relativista de la ecuación de Schrödinger hecha por Dirac
(1902-1984),en 1928.
6
7
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