Práctica 5 Procesos Estocásticos 5.1. Objetivos Iniciar al alumno en los conceptos básicos de procesos estocásticos aplicados a las telecomunicaciones. 5.2. Bibliografı́a C. Alberola López, Probabilidad, Variables Aleatorias y Procesos Estocásticos. Una introducción orientada a las telecomunicaciones. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Editorial. Universidad de Valladolid, 2004. P. Z. Peebles, Probability, Random Variables and Random Signal Principles. Mc-Graw Hill Int. Ed., 3rd Ed., 1994. A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Mc-Graw Hill Int. Ed., 3rd Ed., 1993. 5.3. Ejercicio previo Considere la señal aleatoria X[n] = A cos(Ωc n+Θ), donde A es una variable exponencial de parámetro λ, Ωc es una frecuencia angular constante y Θ una variable uniforme en el intervalo (0, 2π). Suponga que las variables A y Θ son independientes. Además considere un proceso de ruido W[n] blanco, gaussiano, WSS, con media cero y CW [k] = N0 δ[k] e independiente de X[n]. La señal Y[n] = X[n] + W[n] pasa por un filtro paso banda ideal con frecuencia central Ωc y ancho de banda ∆Ω para dar lugar a otra señal Z[n]. Se pide: 1. Determine la media de las señales Y[n] y Z[n]. 2. Determine la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de Y[n]. 3. Determine la densidad espectral de potencia de Z[n]. 4. Determine la potencia media de las señales Y[n] y Z[n]. 5.4. Solución analı́tica 1. E{Y[n]} = E{Z[n]} = 0 2. RY [k] = 1 cos(Ωc k) + N0 δ[k] λ2 10 Señales Aleatorias y Ruido 11 SY (Ω) = ∞ π X [δ(Ω − Ωc + 2mπ) + δ(Ω + Ωc + 2mπ)] + N0 λ2 m=−∞ 3. ∞ X π Ω−Ωc +2mπ Ω+Ωc +2mπ π δ(Ω−Ωc +2mπ)+ 2 δ(Ω+Ωc +2mπ)+N0 Π +N0 Π SZ (Ω) = λ2 λ ∆Ω ∆Ω m=−∞ donde Π(x) es un pulso de amplitud unidad y duración unidad centrado en el origen de coordenadas. Se puede definir a partir del escalón unidad como 1 1 Π(x) = u x + −u x− 2 2 4. PY = E{Y2 [n]} = RY [0] = PZ = E{Z2 [n]} = 5.5. 1 2π Z 1 + N0 λ2 π SZ (Ω)dΩ = −π 1 N0 ∆Ω + 2 λ π Ejercicios de laboratorio Se pretende generar varias realizaciones de los procesos estocásticos definidos en el ejercicio previo. A partir de las realizaciones se pretende obtener estimaciones para la autocorrelación, densidad espectral y potencia media para los procesos Y[n] y Z[n]. Igualmente se pretende analizar el efecto del filtro paso banda en una señal sinusoidal enmascarada por ruido. Se pide: 1. Genere M=1000 realizaciones de los procesos estocásticos X[n] y W[n]. Considere los instantes temporales 0 ≤ n ≤ N − 1 con N=1500 (cada realización será una fila de las matrices MxN que construya). Considere que Omega_c=pi/8;, lambda=2;, DeltaOmega=pi/64; y N0=10;. Genere también el proceso Y[n]. Se recomienda utilizar el comando de Matlab repmat. 2. Represente la primera realización del proceso Y[n] para 200 < n ≤ 300. Como vamos a mostrar por pantalla varias cosas, escriba ContFigura=ContFigura+1; figure(ContFigura);plot(...); title(’Primera realizacion de Y[n]’) con ContFigura una variable previamente inicializada a cero y la leyenda entre tildes de la orden title cambiante según el contenido del plot que represente. 3. Estime la potencia del proceso Y[n] y compárela con el valor teórico. 4. Obtenga el histograma del proceso Y[n] para n = 10 con bins=50. 5. Estime la autocorrelación RY [k] usando la función de Matlab xcorr mediante autocorrelacion_y=zeros(M,2*N-1); for m=1:M autocorrelacion_y(m,:)=xcorr(Y(m,:),Y(m,:),’unbiased’); end autocorrelacion_y=mean(autocorrelacion_y); y muéstrela por pantalla usando el eje definido por k=-N+1:N-1; 12 Práctica 5. Procesos Estocásticos 6. Estime la densidad espectral SY (Ω) usando las funciones de Matlab fft, abs y fftshift según SY=abs(fftshift(fft(autocorrelacion_y))); y dibújela respecto al eje de frecuencias definido por Omega=-pi:2*pi/(length(SY)-1):pi; 7. Defina los coeficientes de un filtro paso banda discreto con frecuencia central Ωc y ancho de banda ∆Ω de orden 128 usando el comando de Matlab fir1 según h=fir1(128,[Omega_c-DeltaOmega/2 Omega_c+DeltaOmega/2]/pi); 8. Filtre cada realización usando el comando filter con el filtro paso banda definido en el punto anterior para obtener N=1000 realizaciones del proceso estocástico Z[n] según Z=zeros(M,N); for m=1:M Z(m,:)=filter(h,1,Y(m,:)); end 9. Represente la primera realización del proceso Z[n] para 200 < n ≤ 300 y compare el resultado con la realización representada anteriormente para el proceso Y[n]. 10. Estime la potencia del proceso Z[n] y compárela con el valor teórico. 11. Estime la autocorrelación RZ [k] y la densidad espectral SZ (Ω) usando el mismo procedimiento que para el proceso Y[n] y dibuje ambas. Compare los resultados con los obtenidos para el proceso Y[n]. 12. Estime la potencia del proceso Z[n] a partir de la autocorrelación RZ [k] y la densidad espectral SZ (Ω) estimadas en el punto anterior y compárelas con el valor teórico.