Parte 1. Anillos y Módulos Capítulo 4. Anillos y módulos Noeterianos 4.7. Dominios de Dedekind De…nición 4.7.1. Sea R un anillo conmutativo, se dice que R es un anillo hereditario (AH) si cada ideal de R es proyectivo. Si R es además un dominio de integridad, entonces se dice que R es un dominio de Dedekind (DD). Ejemplo 4.7.2. (i) Todo dominio de ideales principales es un dominio de Dedekind. (ii) Sean p K1 ; K2 cuerpos. Entonces, K1 K2 es un AH pero p no es un DD. (iii) Z[ 5] es un DD pero no es un DIP. En efecto, Z[ 5] no es un DFU ya que 9 presenta por lo menos distintas en producto p dos factorizaciones p p de irreducibles: 9 = 3:3 = 2 + 5 2 5 . Esto hace que Z[ 5] no p sea un DIP. Veamos ahora que Z[ 5] es un DD. Teorema 4.7.3. Sea R un AH y sea M un R-módulo libre …nitamente generado. Entonces, cada submódulo N de M es isomorfo a una suma directa …nita de ideales de R, y en consecuencia N es proyectivo. Demostración. Si M = 0, entonces N = 0 y la condición se cumple trivialmente. Sea M 6= 0 y sea X = fx1 ; :::; xn g una base de M . Vamos a probar el teorema por inducción sobre n. n = 1: Sea N M =< x1 >= R, entonces N es isomorfo a un submódulo de R, es decir, N es isomorfo a un ideal de R. Supongamos que cada submódulo de un módulo libre de dimensión n 1 es una suma directa …nita de ideales de R, y sea N M , donde X = fx1 ; :::; xn g es una base de M . Cada elemento v 2 N se representa en forma única en la forma v = r1 :x1 + + rn :xn , de…nimos entonces :N !R v 7! rn Nótese que es un homomor…smo donde Im ( ) = I es un ideal de R, se tiene entonces el homomor…smo sobreyectivo : N ! I; por hipótesis I es 1 proyectivo y entonces N = N ( ) N 0 , donde N 0 = I. Pero N ( ) = N \ (< x1 > < xn 1 >) es submódulo del módulo libre < x1 > < xn 1 >. Por inducción, N ( ) es isomorfo a una suma directa …nita de ideales de R, N ( ) = I1 It . En total, N = I1 It I, y el teorema está probado. Corolario 4.7.4. Sea R un AH y sea M un R-módulo proyectivo …nitamente generado. Entonces, (i) M es suma directa …nita de ideales de R. (ii) Si N un submódulo de M . Entonces, N es proyectivo. Demostración. (i) Sabemos que M es sumando directo de un R-módulo libre F de dimensión …nita, por lo tanto, M es submódulo de F . Por el teorema anterior, M es suma directa …nita de ideales de R. (ii) N es entonces un submódulo de F , nuevamente por el teorema anterior, N es proyectivo. Nota 4.7.5. El Teorema 4.7.3 es válido removiendo la hipótesis de …nitud, es decir, si R es AH, entonces cada submódulo de un R-módulo libre es isomorfo a una suma directa de ideales de R. De igual manera, en el Corolario 4.7.4, si M es proyectivo, entonces M es suma directa de ideales de R, y si N es un submódulo de M entonces N es también proyectivo. La prueba se puede consultar en [Rotman, p. 121], y por razones de completez la vamos a incluir. Teorema 4.7.6. Sea R un AH. (i) Sea M un R-módulo libre . Entonces, cada submódulo N de M es isomorfo a una suma directa de ideales de R, y en consecuencia N es proyectivo. (ii) Sea M proyectivo y N M , entonces N es proyectivo. Demostración. (i) Si M = 0 el resultado se tiene trivialmente. Sea M 6= P 0 y sea X = fx g 2K una base de M ; sabemos que M = < x >. 2K Puesto que el lema de Zorn implica el principio de buena ordenación, podemos suponer que K es un conjunto bien ordenado, es decir, cada subconjunto de K tiene primer elemento, y además que K es totalmente ordenado. Para cada 2 K de…nimos 2 M = P < M +1 = M0 = 0 P <x > < x >= M <x > donde 0 el primer elemento de K. Sea N M ; cada elemento z 2 N \ M +1 admite una representación única en la forma z = u + r:x , donde u 2 M . De…nimos : N \ M +1 ! R por (z) = r; nótese que es un R-homomor…smo y su imagen es un ideal de R, rede…nimos entonces : N \ M +1 ! Im ( ) y este homomor…smo es sobreyectivo, puesto que Im ( ) es proyectivo entonces N \ M +1 = N ( ) N , donde N = Im ( ). Pero N ( ) = N\ M . P N . En primer lugar veamos 2K P Veamos que N = P que N = N : puesto que para cada 2 K, N N , entonces N; 2K 2K N supongamos que no se alcanza la igualdad. Para cada z 2 N M = [ 2K M +1 , existe tal que z 2 M +1 ; sea z el menor tal Pque z 2 M z +1 ; suponemos entonces que existen z 2 N tales que z 2 = 2K N , escojamos uno de tales z con la condición de que z sea mínimo. Entonces, z 2 N \ M z +1 , por lo tanto, z = u + v, donde P u 2 N \ M z y v 2 N z . Se sigue = 2K N (de lo contrario z 2 P entonces que u = z v 2 N , pero u 2 2K N ), pero como u 2 M P z , entonces u < z , lo cual es contradictorio. Se tiene entonces que N = 2K N . Para terminar, veamos que la suma es directa: supongamos que 0 = v 1 + +v n , con v i 2 N i y podemos asumir que 1 < < n . Entonces, v 1+ + v n 1 = v n 2 N n \ (N \ M n ) = 0. De manera recurrente encontramos que c 1 = = 0 = c n. Así pues, N es isomorfo a una suma directa de ideales de R. Como cada ideal es proyectivo, entonces N es proyectivo. (ii) Si M es proyectivo, entonces es un submódulo de un módulo libre, por lo tanto N es un submódulo de un módulo libre, y por la parte (i), N es proyectivo. Del teorema anterior resultan las generalizaciones de la Proposición 4.6.13 y de los Corolarios 4.6.16 y 4.6.17 de la Sección 6. Corolario 4.7.17. Sea R un DIP. 3 (i) Sea M un R-módulo libre . Entonces, cada submódulo N de M es libre, y dim(N ) dim(M ). (ii) Si M proyectivo entonces M es libre. Demostración. (i) Puesto que cada DIP es un AH (realmente un DD) entonces dado N M , N es isomorfo a una suma directa de ideales de R, pero estos son principlaes, y por lo tanto libres. En total, N es libre. Usando Pla notación de la demostración del teorema anterior se tiene que N = N ; teniendo en cuenta que algunos N pueden ser nulos, 2K entonces dim (N ) card(K) = dim(M ). (ii) Sea M proyectivo, entonces M es un submódulo de un módulo libre, luego por (i), M es libre. De…nición 4.7.18. Sea R un dominio de integridad y K su cuerpo de fracciones. Un R-submódulo no nulo I de K es un ideal fraccionario de R si existe 0 6= r 2 R tal que rI R. Además, se de…ne I 1 = f 2 K j I Rg. Proposición 4.7.19. (i) I 1 es un ideal fraccionario de R y además I 1 I R. (ii) Sea I R un ideal no nulo de R, entonces I es un ideal fraccionario de R. Demostración. (i) I 1 6= ? ya que existe r 6= 0 en R (y por lo tanto en K) tal que rI R, luego r 2 I 1 . Es claro que I 1 es un R-submódulo no nulo de K. Sea ar 2 I no nulo, entonces para cada 2 I 1 se tiene que a 2 R, es decir, ar I 1 R, luego aI 1 R, donde a 6= 0 es de R. r (ii) I es un R-submódulo no nulo de K; además, 1:I R. De…nición 4.7.20. Un ideal fraccionario I de R es invertible si I 1 I = R. Proposición 4.7.21. (i) Sea F(R) la colección de ideales fraccionarios de R. Entonces, F (R) es un monoide conmutativo. (ii) Sea I(R) la colección de ideales invertibles de R. Entonces es un grupo abeliano. (iii) Si I es un ideal fraccionario invertible, entonces I es …nitamente generado. Demostración. (i) Se de…ne un producto en F (R) por 4 IJ = f n P i=1 i i j i 2 I; i 2 J; n 1g: Esta es una operación binaria interna en F (R) ya que IJ es un Rsubmódulo no nulo de K, y además rsIJ R, con r; s no nulos de R tales que rI R; sJ R. Es claro que esta operación es asociativa y que IJ = JI; además el neutro de este producto es R. (ii) Sea I 2 I(R), entonces II 1 = R = I 1 I, es decir, cada elemento de I(R) tiene inverso. n P 1 (iii) Puesto que II 1 = R, entonces 1 = , i i , con i 2 I; i 2 I i=1 luego si es un elemento cualquiera de I se tiene que = n P i ( i ), pero i=1 cada i 2 R, entonces I =< 1 ; :::; n >. Para la prueba del Teorema 4.7.23 necesitamos la siguiente caracterización de los módulos proyectivos. Lema 4.7.22. (Teorema de la base proyectiva). Sea R un anillo conmutativo y sea M un R-módulo. M es proyectivo si y sólo si existe una colección fxi gi2I de elementos de M y una colección f'i : M ! Rgi2I de R-homomor…smos tales que: (i) Para cada x 2 M seP tiene que 'i (x) = 0 para casi todo 2 I (ii) Dado x 2 M; x = i2I 'i (x): xi : Demostración. )) Sea : F ! M un homomor…smo sobreyectivo, donde F es un R-módulo libre, entonces existe : MP! F tal que = 1M ; sea ffi gi2I una base de F ; dado x 2 M; (x) = i2I ri :fi donde ri = 0 para casi todo i 2 I: Se de…ne xi = (fi ) y los homomor…smos :M !R x 7! i (x) = ri i 5 P P P Nótese que x = ( )(x) = i2I (ri :fi ) = i2I ri :xi = i2I i (x): xi : () Sea F = R(I) el módulo libre cuya base tiene cardinalidad igual a la del conjunto I , y sea ffi gi2I una base de F ; de…nimos : F ! M tal que P(fi ) = xi ; entonces es sobre. Sea : M ! F de…nido por (x) = (x):f ; es entonces un R-homomor…smo y se tiene que i i2IPi P ( )(x) = i2I i (x): (fi ) = i2I i (x):xi = x, es decir, = 1M . Teorema 4.7.23. (Rotman, p. 125) Sea R un DI e I no nulo de R. I es invertible si y sólo si I es proyectivo. Demostración. )) Sea I 2 I; i 2 I R invertible, entonces 1 = n P i i, con i=1 1 . De…nimos 'i : I ! R por 'i ( ) = n P Nótese que 'i es un R-homomor…smo; además = i( i R un ideal i=1 i, con 2 I. n P 'i ( ) i . i) = i=1 Las colecciones f 1 ; :::; n g y f'1 ; :::; 'n g satisfacen las condiciones del lema anterior, por lo tanto, I es proyectivo. () Sea I un ideal proyectivo, entonces I posee una base proyectiva f k gk2K con R-homomor…smos f'k : I ! Rgk2K ; sea 6= 0 en I, entonces de…nimos k = 'k ( ) 2 K 0, nótese que k no depende de la escogencia de . En efecto, sea 0 6= 0 en I, entonces 0 'k ( ) = 'k ( 0 ) = 'k ( 0 ), 0 luego 'k ( ) = 'k ( 0 ) . Entonces, sea 6= 0 en I …jo, tenemos pues sólo un número …nito de elementos k , digamos 1 ; ::: n 2 K 0. Nótese que n n n n P P P P = 'k ( ) k = k k = k k , luego 1 = k k . Esto k=1 garantiza que I < 1 ; ::: R. k=1 n k=1 k=1 >= R. Nótese que < 1 ; ::: n > es un ideal fraccionario de Corolario 4.7.24. Sea R un DD. Entonces R es Noeteriano. Demostración. Sea I un ideal de R, si I = 0 entonces I es …nitamente generado. Sea I 6= 0, entonces I es proyectivo, y por lo tanto, invertible. Pero un ideal invertible es …nitamente generado. 6