GEOMETRÍA II. Segundo Parcial.

GEOMETRÍA II. Segundo Parcial.
16 de junio de 2011.
1. Enunciar y demostrar los teoremas de Pascal y Brianchon.
2. Teorema.- Si los lados homólogos de dos cuadriláteros de RP2 se cortan en puntos alineados
sobre una recta r y un par de rectas diagonales homólogas se cortan en un punto de r,
entonces el otro par de rectas diagonales homólogas también se cortan en r.
(a) Dualizar el resultado anterior.
(b) Dar una versión afı́n.
(c) Demostrar el teorema.
3. Dado un triángulo ABC, se consideran dos cuaternas armónicas AB; C 0 C 00 y AC; B 0 B 00 .
(a) Demostrar que existe una proyectividad que aplica una en otra.
(b) Deducir que A0 = B ∨ C ∩ B 00 ∨ C 00 está alineado con B 0 y C 0 .
(c) Probar que A00 = B ∨ C ∩ C 0 ∨ B 00 es el conjugado armónico de A0 respecto de BC.
4. Clasificar proyectivamente y afinmente (la familia uniparamétrica de) las cónicas que pasan
por los puntos (−1, 0), (0, 1), (1, 0) y son tangentes a la recta y = 1.
Puntuación: 1o ) 2 puntos, 2o ) 3 puntos, 3o ) 3 puntos y 4o ) 2 puntos.
Tiempo: 3 horas y media.