Solución a las cuestiones

INGENIERÍA INDUSTRIAL. CURSO 2010-2011
Estadística I
4 de julio de 2011
1) Una empresa fabrica distintos tipos de transistores bipolares NPN, que pueden
clasificarse según su tensión base-emisor (VBE), que puede ser 5, 6 o 7 v, y según su
disipación de energía total (Ptot), que puede ser 300 mW o 37 W.
Se sabe que, de cada 1000 unidades, 300 se fabrican con VBE=5, y 329 con VBE=7. Por
otro lado, las probabilidades de que la disipación de energía de un transistor sea de
300 mW cuando su VBE es 5, 6 o 7 v, son respectivamente 0.44, 0.53 y 0.03.
Se escoge un transistor al azar. Se desea saber:
a) Probabilidad de que su VBE sea 5 si su Ptot = 300 mW.
b) Probabilidad de que Ptot = 300 mW.
c) Probabilidad de que Ptot = 300 mW y VBE=7
d) ¿Son Ptot y VBE independientes? Razonar la respuesta.
Tenemos 3 modalidades de tensión base-emisor
B1: VBE = 5 v.
B2: VBE = 6 v.
B3: VBE= 7 v.
P(B1) = 0.3
P(B3)= 0,32. Por tanto P(B2)= 1-0.30-0.32=0.38
Tenemos 2 modalidades de disipación de energía
A1: Ptot = 300 mW
A2: Ptot = 37 W
Según los datos del enunciado:
11 0,44
a) 11 .
.
0.3848
12 0,53 13 0,03
b) 1 111
122
...... ..
133 0.343
c) Tenemos que calcular 1 ! 3.
1 ! 3
3
1
1 ! 3 33 0.03 0.32 0.0096
13 d) No, porque $1 & ' 1
%
2) La longitud del grupo emisor-colector-base del
transistor BF 199 (dimensión C del croquis
adjunto) sigue una distribución normal. Se sabe
que en un 75.80% de los transistores fabricados
este año, esta longitud resultó mayor que 14.2
mm, y en el 57.93% de los transistores, menor que
14.6 mm. Se pide:
a) Determinar los parámetros de la distribución de
la dimensión C.
b) Si la probabilidad de encontrar un transistor
defectuoso es del 1%, calcule la probabilidad de
encontrar 1 transistor defectuoso en una muestra
aleatoria de 5 transistores.
c) Si esos transistores se distribuyen en cajas de
1000 unidades, calcule la probabilidad de que en
una caja haya más de 11 defectuosos.
a) P(X>14.2)=0.7580
P(X<14.6)=0.5793
$( )
( . $
.*+
,
.*+
,
& 0.7580
00.7
1 14.2
0.72
./*+
,
./*+
,
0.2
& 0.5793
1 14.6 0 0.22
2 0.44
1 14.51
b) Z: nº de transistores defectuosos en una muestra de 5
( 3 5,0.01; 5 0.01
5
( 1 $ & 0.01 0.99 0.048
1
c) D: nº de transistores defectuosos en una caja de 1000
6 3 1000, 0.01 3 785, 985: 710,3.1464
6 ) 11 1 0 6 . 11 1 0 ;( .
1 0 0.6255 0.3745
11 0 10
< 1 0 ( . 1.32
3,1464
3) Cierto parámetro de calidad se puede modelizar como una variable aleatoria con
función de densidad.
=> ?
@> 2 0 A > A 4H
0 B8 BC DBEFG
a) Hallar el valor de k para que sea realmente una función de densidad.
b) La función de distribución
c) La media
d) La varianza
a)
I @>
@K
LM
2J> 1
2>N 1
16@ 1
L
b) Entre 0 y 4
O> P
Luego: O> S
0
L M L
1
1
>
16
ET
@
2J> >.0
ET 0 A > A 4H
ET > U 4
/
1 >
Q
16 2
2>R >
32
4>
c) V> I >=>J>
1
1 >
> 2>J> Q
16 3
16
d) YZD[ V[ 0 \V[]
V> P
V[ P > =>J> P
20
3
1
>
16
2> 4
1 64
R W
2 0 16 3
2 > J> 1 >
Q
16 4
16X 1 112 7
16 3
3
2> 4
1
R W64
3 0 16
128
X
3
20
7 11
^ZD[ 0; < 1.222
3
9
3
4) Durante una auditoría de calidad, la empresa tomó una muestra de 100 transistores,
resultando un 1.2% de defectuosos. Para contrastar esta medida, un laboratorio
independiente tomó una muestra de 180 transistores, encontrando un 1.5% de
defectuosos.
a) ¿Podemos afirmar con una confianza del 95% que el laboratorio
independiente ha encontrado una proporción de defectuosos mayor?
b) El equipo de control de calidad ha observado que el principal defecto en la
fabricación del transistor BF 199 lo constituyen los errores en la longitud del grupo
emisor-colector-base (longitud C del croquis), para el que se ha calculado un índice de
capacidad de 1.83. ¿Qué conclusiones pueden deducirse de este dato?
c) Después de que el equipo de ingeniería introdujese algunas variaciones en el
punto de fabricación, se obtuvo una desviación típica de la longitud C de 0.14 en
condiciones de control. ¿Qué conclusiones pueden deducirse de este dato?
a)
p1 = 0.012, proporción de defectuosos detectados por la empresa; n=100
p2 =0.015, proporción de defectuosos detectada por el laboraratorio; n=180
Planteamos el contraste.
_ : 5 A 5
_ : 5 ) 5
5̂ 8 5̂
8
8 5̂ 100 0.012 180 0.015
0.0139
280
8
La discrepancia es:
( bcd *bcM
d
d
ebcf gcf $h h &
d
M
.*.
d
d
e.i.i/$ &
dff djf
*.
./
00.2054
( ) (k 0.05
( . (k 0.95 (k 1.64
Rechazamos si Z>1.64, luego aceptamos H0.
b) El índice de capacidad es mayor que 1, y por tanto el proceso no es capaz de cumplir
las especificaciones, y producirá un porcentaje de defectuosos mayor del 0.3%.
c)
no *no
lm M/, d
En este caso, las tolerancias técnicas según croquis son 14.87 y 14.07, luego:
lm 14.87 0 14.07
0.95
6 0.14
El índice de capacidad ha disminuido, y se sitúa por debajo de 1, con lo que el proceso
es capaz de cumplir las especificaciones.