Ecuaciones Diferenciales I

Programación Avanzada
Para Ingenieros Petroleros 2008-1
El problema de los dos tanques
1. Planteamiento del problema
Dos tanques A y B se encuentran “conectados” de tal forma se tiene un paso de fluidos
entre el tanque A hacia B por medio de una válvula. Un diagrama de esto se muestra en la
Figura de abajo. De igual forma se considera que el tanque B cuenta con una válvula
desde la cual se drena su contenido.
El tanque A contiene una solución de 100 galones en la que se encuentran disueltas 20
libras de sal. De igual forma, el tanque B cuenta con una solución de 200 galones en la
cual se encuentran disueltas 40 libras de sal. Por otra parte, al tanque A se le inyecta agua
a una razón de 5 galones por segundo y que por la válvula que conecta A con B se
transfieren 5 galones por segundos de la solución. De igual forma, del tanque B se drena
a una razón de 5 galones por segundo. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque B después
de un minuto de haber abierto las válvulas?
2. Observaciones
Este es un problema donde se involucra un “balance de masa” debido a que hay una
solución que sale, otra que entra, y no hay pérdida en la transferencia. El problema se
enfoca a identificar la cantidad de sal entre los tanques (podemos incluso ir más y hablar
de la concentración de la solución). Dado que B se encuentra conectado con A,
observaremos una dependencia de concentración del segundo con respecto al primer
tanque. Por otra parte, se considera que al verter las soluciones estas se mezclan
uniformemente, esto es, un problema soluto-solvente (sal-agua, es este caso), esto no
siempre es cierto, pero para los fines prácticos que se persigue suficiente.
3. Procedimiento
Plantiemos el problema del balance de la cantidad de sal en cada uno de los tanques en
función del tiempo y a partir de ahí describamos las ecuaciones que gobiernan este
sistema de intercambio de fluidos.
4. Datos
1. El tanque A cuenta con volumen de 100 gal, donde hay 20 lb de sal, esto es en el
inicio la concentración de sal es de 1/5 lb/gal.
2. El tanque B cuenta con un volumen de 200 gal, en el que se encuentra disuelta 40
lb de sal, esto es, el en inicio la concentración es de 1/5 lb/gl
3. Al tanque A se le inyecta agua, a una razón de 5 gal/s por lo que su concentración
de sal varía, irá este disminuyendo.
4. El tanque B recibe la solución del tanque A a razón de 5gal/s y es drenada a razón
de 5 gal/s; sin embargo, la concentración (cantidad de masa por volumen) B es
distinta que en A. Cómo se comportará ésta? Es una de las cuestiones que nos
importará resolver.
5. Notación
Llamemos x(t ) a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del
dx
tanque A.
representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque A.
dt
Llamemos y (t ) a la cantidad de sal (masa) de la solución en el paso del tiempo del tanque
dy
B.
representa la tasa de cambio de contenido de sal en el tanque B.
dt
Llamemos C A (t ) la concentración de de sal en el tanque A y CB (t ) a la concentración de
de sal en el tanque B.
6. Las ecuaciones del modelo
La tasa de cambio de la cantidad de sal en los tanques, se rige por la diferencia entre la
tasa de entrada y la de salida (un balance de masa puro y llano)
dx
= tasa de entrada − tasa de salida
dt
dy
= tasa de entrada − tasa de salida
dt
La tasa de entrada (salida) para el tanque A es
tasa de entrada ( salida ) = flujo de entrada ( salida ) × concentración
Para el caso del tanque A, tenemos que se inyecta agua limpia; es decir, no hay
concentración de sal y esto se hace a una razón de 5 gal/s, por lo que la tasa de entrada se
observa:
tasa de entrada = 5 gl / s × 0 concentración
Por otra parte, del problema se tiene que la solución que entra al tanque A es la misma
que sale, por lo que el volumen permanece constante (a 100 gal), con esto la
concentración de de sal en el tanque A es
C A (t ) =
x(t )
lb / gal
100
Por consiguiente la tasa de salida de la sal del tanque A es
x(t )
1
lb / gal = lb / s
100
20
Con esto, tenemos que la cantidad de sal que se encuentra en el tanque A es:
tasa de salida = 5 gal / s ×
dx
1
=− x
20
dt
Esto claramente seála que e va limpiando conforme entra el agua al tanque.
Ahora obtengamos la otra ecuación. La tasa de entrada al tanque B es la tasa de salida del
tanque A, esto es:
tasa de entrada = 5 gal / s ×
x(t )
1
lb / gal =
x(t )lb / s
100
20
Ahora bien, la solución que entra al tanque B lo hace a la misma razón en que sale, con
esto, no hay cambio en el volumen del tanque por lo que la concentración de sal es de
CB (t ) =
y (t )
lb / gal
200
Con esto, tenemos que la tasa de sal que sale del tanque es
tasa de salida = 5 gal / s ×
y (t )
1
lb / gal =
y (t )lb / s
200
20
Por lo que la cantidad de tasa de sal dentro del tanque B es de
dy 1
1
=
x−
y
40
dt 20
En el inicio, la cantidad de sal que se encuentra en el tanque B es de 40 libras, por lo que
y (0) = 40 .
Describamos las ecuaciones que gobiernan el modelo
dx
1
=− x
20
dt
dy 1
1
=
x−
y
40
dt 20
Sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 20
y (0) = 40
7. Solución analítica del modelo
Este sistema de ecuaciones es separable, por lo que resolver de manera independiente.
Por una parte es relativamente fácil ver que:
x(t ) = 20e − t / 20
al sustituir en la segunda ecuación e integrar adecuadamente,
y (t ) = −40e −t / 20 + 80e −t / 40
Los detalles de la solución analítica se le dejan al lector.
8. Grafica de la concentración de sal en los tanques
9. Solución al problema planteado
10. Códido Fortran empleado