1 Mezclas. E: Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 gal

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Mezclas.
E: Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 gal de agua en los cuales hay 10 lb de sal di1
suelta. Una salmuera que contiene lb de sal por galón se bombea al tanque con una rapidez
2
de 6 gal/min. La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera del tanque con
una rapidez de 4 gal/min. Calcular el número de libras de sal que hay en el tanque después de
30 min.
D: H Si Q.t/ es la cantidad (en libras) de sal en el tanque al cabo de t minutos, entonces Q.0/ D 10.
Además:
La rapidez con que entra solución al tanque:
Re D 6 gal/min.
La concentración de sal en la solución que entra
:
Ce D
1
lb/gal.
2
La rapidez con que entra sal al tanque:
1
lb/min.
Re Ce D 6
2
La rapidez con que sale la mezcla del tanque:
Rs D 4 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque es variable:
Aumenta dos galones en cada minuto transcurrido.
V .t/ D .100 C 2t/ gal.
La concentración de sal en la mezcla que sale:
Cs .t/ D
La rapidez con que sale sal del tanque:
Q.t/
lb/gal.
100 C 2t
Q.t/
Rs Cs .t/
D
4
100 C 2t
lb/min.
La rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque, en cualquier instante t 0 es
d
Q.t/
4Q.t/
1
Q.t/ D Re Ce Rs Cs .t/ D 6
4
D3
:
dt
100 C 2t
100 C 2t
2
La cantidad Q.t/ está dada por la solución del PVI:
Q 0.t/ C
4
Q.t/ D 3; con Q.0/ D 10:
100 C 2t
Resolvemos la ED lineal:
Q 0.t/ C
2
Q.t/ D 3;
50 C t
con factor integrante:
e
13. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
R
2
dt
50Ct
2
D e 2 ln.50Ct/ D e ln.50Ct/ D .50 C t/2 :
2
Por lo tanto:
2
2Q.t/
2
0
Q .t/ C
Q.t/ D 3 ) .50 C t/ Q .t/ C
D 3.50 C t/2 )
50 C t
50 C t
Z
d
2
2
2
)
Œ.50 C t/ Q.t/ D 3.50 C t/ ) .50 C t/ Q.t/ D 3 .50 C t/2 dt )
dt
.50 C t/3
) .50 C t/2 Q.t/ D 3
C C D .50 C t/3 C C )
3
C
) Q.t/ D .50 C t/ C
:
.50 C t/2
0
La anterior es la solución general de la ED. Ahora:
Q.0/ D 10 ) 50 C
C
D 10 ) C D
.50/2
40.50/2:
Luego:
Q.t/ D .50 C t/
40.50/2
D .50 C t/
.50 C t/2
50
40
50 C t
2
lb de sal:
La anterior es la solución del PVI. Entonces, la cantidad de sal en el tanque después de 30 min
es
2
50
Q.30/ D 80 40
D 80 15:625 D 64:375 lb.
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