FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 1. Utilizando identidades notables, desarrollar las siguientes expresiones: a) (x+2) b) (x-2) 2 e) (3x-5) 2 i) (3x-2) f) (3x+2) (3x-2) c) (x+2)(x-2) d) (2x+3) 2 g) (ax+1) 2 h) (ax-b) k) (-1+2x) 2 l) (-2-x) ( )( m) x + 3 x − 3 j) (2x+5) (2x-5) 2 2 2 2 ( n) x + 2 ) ) 2 2 o) (x +x+2) 2 2 2 2 2. a) Razonar por qué (A-B) y (B-A) dan el mismo resultado. b) Ídem con (A+B) y (-A-B) 2 er 3. Averiguar de qué expresiones notables proceden los siguientes polinomios (Fíjate en el 1 ejemplo): 2 a) x +2x+1=(x+1) 2 g) 9-x 2 2 h) x +2ax+a 2 i) 3x +6x+3 2 j) x -a 2 k) a x -b b) x -4x+4 c) x -1 d) x +6x+9 e) x -8x+16 2 2 2 t) x -25 2 2 2 2 u) 25x -16 2 2 p) a x -2ax+1 2 4 q) x -16 2 f) x -4 2 o) 4x -9 2 2 2 s) x -6x+9 n) x -2 2 2 2 m) x +10x+25 2 l) x -16 r) 4x +4x+1 Ejercicios libro: pág. 34: 13; pág. 42: 35 y 36; pág. 43: 53 (pasar a identidad notable); pág. 43: 54 (más elaborado) 4. Utilizar identidades notables para simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 2 a) x − 2x + 1 x −1 2 2 b) x − 16 2 2 f) x − y x 2 + xy y Soluc : 1 - x x2 − 4 x2 − 4x + 4 x+2 Soluc : x - 2 4 Soluc : 1 + x g) 2x − 4 x+2 Soluc : x - 2 2 h) x + 2x + 1 2x 2 − 2 3x 2 + 6 x + 3 2x - 2 Soluc : 3x + 3 2 2 i) x − 2ax + a x − 4x 2 c) 2x + 4 d) x -1 Soluc : x + 1 2 2 e) x + 2ax + a mx + ma x+a Soluc : m x4 − 1 x 2 − a2 j) a2 x2 − 1 a2 x2 + 2ax + 1 x +1 Soluc : x 3 - x 2 + x - 1 x-a Soluc : x + a ax - 1 Soluc : ax + 1 RECORDAR: TEOREMA DEL FACTOR: "P(x) es divisible por x-a (o dicho de otra forma, P(x) contiene el factor x-a) si se cumple que P(a)=0" 2 Ejemplo: Dado P(x)=x +x-2, como P(1)=0, podemos asegurar que P(x) es divisible por x-1 2 De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene x +x-2=(x-1)(x+2) ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 5. Utilizar el teorema del factor para simplificar, siempre que sea posible, las siguientes fracciones algebraicas: a) b) x-2 x2 + x − 6 x −1 2x − 3 x + 1 2 2 c) x + x − 6 x −4 2 d) x2 − 1 5x + 4x − 9 2 e) x2+ 2 x −1 x+2 g) h) 1 Soluc : 2x - 1 i) x+3 Soluc : x + 2 3 j) x − 1 x 2 + x +1 Soluc : x +1 x +1 Soluc : 5x + 9 2 k) 2x − x − 6 2x + 3 Soluc : x + 2 (S oluc : 2 f) x + x - 2 2x − 2 x2 + x − 2 x−3 1 Soluc : x + 3 irreducible ) (S oluc : x 2 + 5x + 6 x −1 irreducible ) 1 Soluc : 5x + 9 5x + 4x − 9 2 x −1 2 x −4 2 2 l) x − a − a 2 x + a +1 Soluc : x + a x 2 − a2 Ejercicio libro: pág. 38: 20 (Soluc : x - 1) 2 Soluc : x + 2 6. Averiguar, factorizando previamente numerador y denominador, si es posible simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 2 a) x - 3x + 2 x −x−2 2 2 b) x + x − 2 x 2 + 3x + 2 2 c) x − 5 x + 6 x + 5x + 6 2 2 d) 2x − 3 x + 1 2x − x − 1 2 3 2 e) x − 6x + 11x − 6 x − 2x − x + 2 3 2 f) x + x + 2 x2 − x + 1 x -1 Soluc : x + 1 x -1 Soluc : x + 1 (S oluc : irreducible ) x3 - 4x2 + x + 6 3 2 h) x - 3x + 3 x − 1 x − 2x + 1 2 i) 4x 2 − 1 4x 2 + 4x + 1 3 2 j) x - x − 10 x − 8 2 x + 3x − 4 x3 + 4x2 + x − 6 3 2 l) 4x + 7x + 2x − 1 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 3 2 m) 2x − x − 8x + 4 x3 + 8 x-3 Soluc : x + 3 4x - 1 Soluc : x +1 2x 2 - 5x + 2 Soluc : 2 x - 2x + 4 2x - 1 Soluc : 2x +1 3 2 n) 4x − 2x − 4x + 2 2x + 2 Soluc : x -1 x-3 Soluc : x + 1 3 2 o) 2x − x − 2x + 1 2x − 5x + 4x − 1 x +1 Soluc : x -1 (S oluc : p) x 3 - 3x 2 - x + 3 x - 3x 2 + 4x − 12 x 2 -1 Soluc : 2 x +4 2 3 2 g) x + 6x + 11x + 6 3 2 k) x − 2x − 5x + 6 irreducible ) x 2 + 5x + 6 Soluc : 2 x - 5x + 6 (Soluc : x - 1) 2x - 1 Soluc : 2x +1 (S oluc : 2x 3 − 5x 2 + 4x − 1 3 2 3 2 q) x + x + 1 1 Soluc : x - 1 x3 - 1 3 2 r) 4x − 8x − x + 2 2x3 − x 2 − 8x + 4 s) x2 − 4 2x +1 Soluc : x + 2 x-2 Soluc : x 2 - 2x - 3 x 3 − 7x − 6 irreducible ) 7. Efectuar las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común denominador y dando el resultado simplificado (NOTA: Con un * se indican aquellos casos en los que, al final del proceso de sumas y restas de F.A., se obtiene una expresión que se puede simplificar): a) 3 2x + 2x + 4 x2 − 4 7x - 6 Soluc : 2x 2 - 8 2 b) x − 1 − 2 x 3 2 x x +7 -x 4 + 6x 2 - 7 Soluc : x 5 + 7x 3 ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS x c) x −1 2 + 1 x −x−2 2 d) x − 2 + x + 2 x+2 2x 2 + 8 Soluc : x2 - 4 x−2 2x x +1 + x − 4 4x − 8 e) 2 f) x + 1 − x − 1 x −1 1 2x 1 + − x + 1 x2 − 1 x − 1 * g) x 2 +11x + 2 Soluc : 4x 2 - 16 4x Soluc : 2 x -1 x +1 h) 1− x y x2 −1 i) x − x x −1 7x x+5 − 6 x + 12 2x 2 − 8 l) x + 3 + 2x 2 x +1 m) n) x−3 3x x+2 − x −1 x +1 2 3 x x +1 + − 2 x −1 x + 1 x −1 o) x + 2y + 2x − 5y 2 2 x−y x −y p) x − y + y − z xy yz q) x + 1 x+2 x−2 1 Soluc : x-2 x −4 1 3x + 3 1 − + x - 1 x2 + x − 2 x + 2 v) x - 1 − x − 2 + 1 x 2 - 4 x 2 + 2x x − 2 1 Soluc : 1- x * u) x 2 + 5x - 4 Soluc : x 3 - 4x 2x + 3 Soluc : x+2 2 x + x +11 Sol : 3 x - x 2 - 4x + 4 * w) x + 1 + x − 2 − 12 x) x - 2 x + 2 x2 − 4 x-2 x +1 x+3 − + x 2 + x − 2 x 2 − 4 x 2 − 3x + 2 2 y) x - x + 9 + x 3 - 9x x + 6x Soluc : x 2 -1 2 1 1 1 − + x2 − 9 x − 3 x 1 Soluc : x+3 z) 2x + 3x + 1 − 1 − x 2 5x 2 + 7x Soluc : x 2 -1 x 4 +7x 3 - 2x 2 + 5x - 3 Soluc : x 4 -1 x −1 x −1 x −1 7x 2 - 17x - 15 Soluc : 6x 2 - 24 α) 2x 3 + x 2 + 2x - 9 Soluc : x 3 - 3x 2 + x - 3 4 x x +1 + 2 + x +1 x +1 x −1 β) 3 1 x + 10 + − 2x − 4 x + 2 2x2 − 8 -x 2 + 2x + 2 Soluc : x2 - 1 1 Soluc : 2 x + 4x + 4 2 * t) x − 2 − 1 + 6 x − x 2 2 * γ) x − x + 1− x2 2 Soluc : x+2 1+ x 1− 2x − x2 + 2x +1 1+ x 3x Soluc : x + 1 x2 + x + 2 Soluc : x 2 -1 δ) 2x2 - 5y 2 - 3xy + x + 2y Soluc : x2 - y 2 1 2x + 1 x + + x(x − 1) x2 − 1 ( x + 1)2 ε) 1 1 1 − + x2 − 9x + 20 x2 − 11x + 30 x2 − 10x + 24 x-z Soluc : xz 3x 3 + 3x 2 + 3x +1 Soluc : x4 + x3 - x2 - x x -7 Soluc : x 3 - 15x 2 + 24x - 120 Ejercicios libro: pág. 44: 58 a 61 x 2 +1 Soluc : x x a 2 + b2 Soluc : 2 2 a -b a −b 1 x 2 + 4x + 8 1 − + x − 2 ( x + 2)2 ( x − 2) x 2 − 4 * s) 1 Soluc : x j) 3 x − 2 + x + 2 k) a−b 2 Soluc : x +1 y-x Soluc : y x2 − 1 r) a + b − 22ab 2 x 2 - x -1 Soluc : 3 x - 2x 2 - x + 2 8. Efectuar los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado: a) 3x - 1 ⋅ x + 3 3x - 1 Soluc : 2x 2 - 6x x +1 x + 2 : x2 − 2 x − 1 x2 - 1 Soluc : 4 x -4 x −9 2 b) 2x 2 x +1 x+3 Soluc : x + 2 x +1 x+3 3x + 1 x −4 x 2 = 3x 2 - 5x - 2 Soluc : x 2 + 2x e) 3 x − 1 ⋅ x + 1 x2 x −1 x2 −1 x +1 x5 3x + 2x -1 Soluc : x7 (Soluc : 1) = x 2 + 2x + 1 h) x 2 − 4x + 4 2 x 3 + x 2 + 2x + 2 Soluc : 3 x - x 2 - 2x + 2 x −1 x2 + 2 g) c) x + 2 = d) x +1 f) x 2 − 2 = i) j) x 3 − 3ax 2 + 3a 2 x − a 3 x+a = x−a x+a 9 x + 2y + 6z 3 = 3 x 3 x x3 = (Soluc : x 2 - 2ax + a 2 (Soluc : ) x + 2y + 2z ) (Soluc : 1 / 2 ) ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS l) (Soluc : A (1 − B) + A = B k) x3 2x 2 5x2 2x − + − + x 6x = 5x 6 A/B ) x +1 Soluc : 5x m) 2 −1 a 2 a = 1 − 2 (Soluc Ejercicios libro: pág. 44: 62, 64 y 65 9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas con F.A. y simplificar: a) 1− 1 ⋅ 2x − 1 = 2 1 Soluc : x b) x + 1 + x + 2 x − 1 = 2 2x 3 - 2x 2 - 2x Soluc : 3 x - 2x 2 - x + 2 x x −1 x +1 2 x −1 x − 2 x +1 2 2 c) a + b − a + b a + b = 2 2 a −b d) 2 Soluc : - a - b a − b ab xy x−y y : + = 2 x −y y x−y x2 + y 2 Soluc : 2 x - y2 2 Ejercicios libro: pág. 39: 22; pág. 44: 63, 66 y 67 10. Demostrar que: a) a b = c d ⇒ a−c b−d = a b b) (a + b)2 − (a − b)2 4 4 = a ·b : a - 2)