3. NOTA: ambas integrales se pueden calcular integrando por partes; sus valores son Z 1 Z 1 Z 1 |x| x (c(x) + c(−x)) e|x| dx = 1.4891 c(x) e dx = c(x) e dx = 0.4863 , −1 −1 0 donde abreviamos c(x) = cos(x + 1) y más abajo, s(x) = sen(x + 1) . Por otra parte, observando la gráfica (aproximada) de f (x) = c(x) ex en I = [−1, 1] , derivando y estudiando los signos de las derivadas en ese intervalo, se llega a las conclusiones siguientes: f = c ex , f 0 = (c − s) ex , f 00 = −2s ex < 0 , f 000 = −2(s + c) ex < 0 , f 4) = −4f maxI |f 00 | = |f 00 (2)| = 4.94 , max[−1,0] |f 00 | = |f 00 (0)| = 1.68 , maxI |f 4) | = 4 max|f | = 4.52 . • 3.1. Los errores de ambas Reglas son f 00 (ξ) h3 /12 , f 4) (ξ) h5 /90 . (la segunda, en un intervalo de longitud 2h , luego en nuestro caso h = 1 en ambas fórmulas). Las cotas de las derivadas dan (en valor absoluto): ET rap < 0.55 , ESimp < 0.050 . • 3.2. Para integrar exactamente lasR funciones: 1, x, x2 , x3 , los dos pesos w deben ser: - iguales para dar exactamente la I x dx = 0 , y en consecuencia la de todo monomio impar; R - e iguales a 1, para dar I 1 dxR= 2 , - luego debe ser 2wa2 = 2a2 = I x2 dx = 2/3 , de donde a2 = 1/3 . El resultado es la Regla Gaussiana con 2 nodos. • 3.3. La fórmula de error para esa Regla dependerá de la derivada 4a., y puede deducirse de lo que hace al aproximar la integral de x4 : R 4 x dx − 2a4 = 2/5 − 2/9 = 8/45 = Cf 4) (ξ) = C · 4! , luego C = 8/(45 · 4!) = 1/135 . I Hemos dejado el factor h5 incluido en la constante C para comparar con Simpson en este intervalo I , sin complicarnos con “quién debe llamarse h” en cada caso; la conclusión es que hay un factor 2/3 de ventaja sobre aquel método: 135 = 1.5 · 90 . • 3.4. En tal caso, el integrando pierde todas sus derivadas en 0, y todas nuestras cotas dejan de tener valor salvo la del Trapecio, que vamos a aplicar en cada mitad por separado. En el medio intervalo izquierdo, f 00 sólo cambia de signo al cambiar el del exponente de e , luego las cotas de antes se mantienen, con una pequeña “ventaja”: esta vez los dos errores del Trapecio se restan, de forma que la cota de error es el máximo de sus dos “sumandos”: ET rap < 0.41 . • 3.5. Como I(f ) = w f (a) debe ser exacta para f = 1, f = x , se debe tener R1 I(1) = w = 0 1 ex dx = e − 1 R1 , luego w = e − 1 = 1/a , a = 0.5820 I(x) = wa = 0 x ex dx = 1 I(c(x)) + I(c(−x)) = w(cos(1 + a) + cos(1 − a)) = 1.5511 . R1 Para hallar la constante C en la fórmula de error I(f ) − 0 f (x) ex dx = Cf 00 (ξ) , podemos aplicarla a la función f = x2 − x , que da un cálculo más cómodo que x2 : I(f ) = w(a2 − a) = a − 1 R R1 , luego Cf 00 (ξ) = 2C = a − 1 − (e − 3) = −0.1363 . 1 x x f (x) e dx = − (2x − 1) e dx = e − 3 0 0 y la integral pedida se aproxima como Usando esta C y las cotas de |f 00 |, que para f (x) = c(±x) son cos(0), cos(1) , se deduce EI < 0.10 . Nótese cómo haber sacado ex del integrando reduce las cotas de |f 00 | . VALORES OBTENIDOS CON CADA Regla: T rap Simp cos(x + 1) e dx = 0.4863 0.16 0.466 R 1−1 cos(x + 1) e|x| dx = 1.4891 1.33 1.25 −1 R1 x 1 Gauss I 0.500 1.61 1.551 4. • 4.1. Operando con Gram-Schmidt resulta: 0 −1 0 0 −1 0 2 3 1 0 1 1 0 := QR A= 0 0 1 = 0 2 3 1 1 0 0 1 Salvo por el signo de la columna 2, Q es la matriz de una permutación: la que coloca las filas de R en el orden en que las vemos en A . Es decir, si hacemos LU con pivotaje sobre A , la permutación hecha con las filas será P = abs(QT ), y resultará: L = matriz unidad, U = R salvo el signo de la fila 2. • 4.2. Cuando las Q, R que produce ese algoritmo, y que en aritmética exacta cumplirı́an QR = A, cumplan, para toda A , QR = A + δA , con kδAk < O(εM )kAk (para una norma cualquiera kAk). • 4.3. Como QT Q = I , Au = λu ⇒ Ru = λQT u ⇒ RQv = λv , con v = QT u . Lo único que se usa es que Q tiene inversa; pero el que sea ortogonal es clave para la estabilidad: para que al pasar de A = QR a B = RQ , que es lo que el algoritmo QR va repitiendo, se conserven de hecho los λ , pese a los errores de redondeo. • 4.4. Basta una simetrı́a de Householder, que actúe sobre las filas 2:3, para hacer =0 la entrada 3,1. Esa simetrı́a, que hay que aplicar luego a las columnas para conservar los autovalores, es s(x2 , x3 ) = (x3 , x2 ) , 0 0 −1 luego el resultado es la matriz de Hessenberg 2 1 3 1 0 • 4.5. Como la matriz A − λ̃I es regular, sólo obtendremos x = 0 como solución de (A − λ̃I)x = 0 . Pero si v = u + w , donde Au = λu y w es suma de otros autovectores de A , la función (A − λ̃I)−1 multiplicará u por el (enorme) factor 1/(λ− λ̃), y los sumandos de w por factores menores 1/(µ− λ̃); luego la solución de (A − λ̃I)x = v será casi paralela a u , salvo el caso muy improbable de que v , escogido al azar, tenga su componente u = 0 , o casi. 2 5. • 5.1. Las incógnitas serán los coeficientes aj de la parábola y = a0 + a1 x + a2 x2 := f (x) , y querrı́amos que cumpliesen las 4 ecuaciones f (xi ) = yi . • 5.2. En ese caso la matriz del SEL es 1 −2 1 0 A= 1 2 1 4 4 1 −3 4 1 1 6 0 1 −1 −4 1 2 = 4 1 1 −4 1 16 1 3 4 √ que es el producto QR si pasamos al factor derecho las normas = 2, 2 5, 8 de las columnas del izquierdo. • 5.3. Llamando b = (−2, 0, 0, 18)T = πA (b) + c , donde c es ortogonal. a la Im(A) = Im(Q) , se tiene QT c = 0 , luego QT b = QT (Ax) = Rx para algún x ∈ IR3 . Basta por lo tanto resolver el SEL 8√ Rx = QT b = 30/ 5 que equivale a 8 1 1 6 1 2 1 4 3 1 , y da: a0 = −3, a1 = 1, a2 = 1, , y = −3 + x + x2 . • 5.4. Los factores (reducidos) de la SVD de A serán, por el orden en el que actúan: V T : IR3 → IR3 , que lleva los vectores singulares vj sobre los vectores unidad ej , Σ : IR3 → IR3 (diagonal), que multiplica los ej por los valores singulares σj , U : IR3 → IR4 , que aplica cada ej sobre el vector singular uj . • 5.5. QR = U ΣV T ⇒ R = (QT U )ΣV T , y ésta es la SVD de R: los vectores vj y valores σj son iguales, y Q envı́a los vectores singulares uj de R sobre los de A . Por lo tanto, podemos operar con R , buscando los autovalores y autovectores de RT R , para ası́ tener los vj y deducir lo demás. Problema: hay que hallar las raı́ces de un polinomio de grado 3; y si κ(R) fuese grande, lo peor de este cálculo serı́a que el de RT R es κ(R)2 . 3