Métodos de conteo

Métodos de conteo
Algunos valores de q:
k
q
5
0.027
10
0.117
15
0.253
20
0.411
25
0.507
30
0.706
40
0.891
50
0.970
Métodos de conteo
Combinaciones
Supongamos que tenemos un conjunto con n
distintos elementos, de los cuales escogemos un
subconjunto de k elementos.
¿Cuál es el número de subconjuntos diferentes
que se pueden formar con los n elementos?
●
●
En este problema el orden de los elementos es
irrevelante
No hay dos combinaciones que tengan los
mismos elementos
Métodos de conteo (combinaciones)
Cada subconjunto se trata como una unidad y a ésta
se le llama combinación.
El número de combinaciones se denota por:
(n combinación k)
Ejemplo: un conjunto contiene los elementos a,b,c,d.
¿Cuál es el número de subconjuntos de 2 elementos
que podemos formar?
Respuesta:
{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo: Se quiere seleccionar un comité de 8
personas de un grupo de 20. ¿Cuál es el número
de comités que pueden formarse?
Respuesta: número de combinaciones de 8
elementos tomados de un grupo de 20.
Métodos de conteo (combinaciones)
Teorema del binomio
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo:
Supongamos que lanzamos una moneda 10
veces y queremos determinar
a) la probabilidad de obtener 3 caras
exactamente
b) la probabilidad de obtener 3 caras, o menos
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo (usando regla de multiplicación
ycombinaciones):
En una clase hay 15 hombres y 30 mujeres. De estos 45
estudiantes, 10 serán seleccionados aleatoriamente.
¿Cuál es la probabilidad de que 3 hombres sean
seleccionados?
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo (playing cards):
Un paquete de 52 cartas se distribuyen entre 4
jugadores, de modo que cada jugador recibe 13 cartas.
Si el paquete contiene 4 aces, determinar la probabilidad
de que cada jugador reciba un as.
Coeficientes multinomiales
Generalización de los coeficientes binomiales.
Veamos antes un ejemplo:
Supongamos que con 20 personas se forman 3
comités: A, B y C. Los comités A y B tendrán 8
miembros, mientras que C tendrá 4 miembros.
¿Cuál es el número de formas posibles en que
las 20 personas pueden repartirse en cada uno (y
sólo uno) de los comités?
Coeficiente multinomiales
Supongamos que tenemos n elementos distintos
que serán repartidos en k
grupos, de
modo que para
, el j-ésimo grupo
contiene exactamente
elementos, donde
Entonces, el número de formas distintas en que
los n elementos pueden repartirse entre los k
grupos puede obtenerse de la siguiente forma:
a) Los
elementos del primer grupo pueden
seleccionarse de los n elementos disponibles de
formas.
Coeficientes multinomiales
b) Los
elementos del segundo grupo pueden
seleccionarse de los restantes
elementos
de
formas distintas.
De aquí que el número total de formas distintas
de seleccionar los dos primeros grupos es
c) Continuando con este procedimiento para el
tercer grupo tenemos
formas
posibles de escoger
elementos y un total de
formas para los 3 grupos
Coeficientes multinomiales
Por lo tanto, el número total de modos distintos de
seleccionar/repartir n elementos en k grupos es
Al número
coeficiente multinomial
se le llama
Coeficientes multinomiales
Ejemplo
Suponga que las cartas de una baraja serán
repartidas entre 4 jugadores A, B, C y D. De
modo que cada jugador recibirá 13 cartas. ¿Cuál
es la probabilidad de que el jugador A reciba 6
corazones, el jugador B, 4 corazones; C, 2
corazones y el jugador D, un corazón?
[En una baraja (52 cartas), 13 son corazones].
Combinaciones (con reemplazamiento)
Así como hemos visto el caso de permutaciones con
reemplazamiento, ahora nos preguntamos por el
número de combinaciones de k elementos
seleccionados de n con reemplazamiento.
Antes veamos un ejemplo para ver que hay una
relación uno a uno entre el número de
combinaciones de tamaño k (de n objetos) con
reemplazamiento y el número de combinaciones de
muestras de tamaño k (de n+k-1 objetos), sin
reemplazamiento.
Combinaciones (con reemplazamiento)
Consideremos 3 bolas con los números 1, 2 y 3:
Combinaciones (con reemplazamiento)
1,1,1
1,1,2
1,1,3
1,2,2
1,2,3
1,3,3
2,2,2
2,2,3
2,3,3
3,3,3
Muestras con reemplazo
k=3, n=3
-------- 1,2,3
-------- 1,2,4
-------- 1,2,5
-------- 1,3,4
-------- 1,3,5
-------- 1,4,5
-------- 2,3,4
-------- 2,3,5
-------- 2,4,5
-------- 3,4,5
|
Muestras sin reemplazo
k=3, n+k-1=5
Combinaciones (con reemplazamiento)
Es decir, el número de combinaciones con
reemplazamiento de k objetos seleccionados
de n está dado por
Enfoque “físico”
Supongamos que tenemos k partículas
indistinguibles que queremos repartir en n
niveles (cajas) distinguibles
¿De cuántas formas distintas se pueden
repartir las partículas?
Estadística de Maxwell-Boltzmann,
Bose-Einstein y Fermi
Un sistema contiene un número de partículas N. La
estructura del sistema es tal que existen R niveles
de energía, con energías
y cada
nivel de energía contiene
(degeneración)
estados cuánticos.
Encuentre el número de formas posibles en que las
partículas se pueden repartir entre los estados
cuánticos, tal que el i-ésimo nivel de energía
contenga
partículas, bajo las siguientes
condiciones:
Estadística de Maxwell-Boltzmann,
Bose-Einstein y Fermi
a) Las partículas son distinguibles y no hay
restricción en el número de partículas en cada
estado.
b) Las partículas son indistinguibles y no hay
restricciones en cuanto al número de partículas en
cada estado.
c) Las partículas son indistinguibles con un
máximo de una partícula en cada estado.
Estadística de Maxwell-Boltzmann,
Bose-Einstein y Fermi
Estadística de Maxwell-Boltzmann, BoseEinstein y Fermi
Olvidémonos por un momento de la degeneración
en cada nivel.
●
Caso de partículas distinguibles:
Si las partículas son distinguibles entonces ya
sabemos el resultado: recién hemos visto el
número de formas distintas en que n objetos
pueden repartirse en k grupos (en este caso
k=R) es:
i.e., este es el número de arreglos distintos que
podemos hacer con las N partículas
Estadística de Maxwell-Boltzmann,
Bose-Einstein y Fermi
●
Caso de partículas indistinguibles:
Ahora, si las N partículas son indistinguibles de
cuántas formas distintas se pueden repartir éstas
en los R niveles, con
partículas en cada nivel :
De una sóla forma !