Serie de Ejercicios/Problemas sobre CONTINUIDAD 1. Muestre que la composición de funciones continuas es continua. 2. Muestre que si f : K ⊂ Rn → Rm es continua y K es compacto, entonces f (K) es compacto. Dé un ejemplo que muestre que si K es cerrado y f es continua, f (K) no necesariamente es cerrado. 3. Sea {xk }k es una sucesión en Rn , xk = (xk,1 , xk,2 , · · · , xk,n ). Muestre que la sucesión converge a x0 = (x0,1 , x0,2 , · · · , x0,n ) si y solamente si para cada 1 ≤ i ≤ n lim xk,i = x0,i . k→∞ 4. Para 1 ≤ i ≤ n se define πi : Rn → R por πi (x1 , x2 , · · · , xn ) = xi . Reinterprete la pregunta 3 para demostrar que πi es continua. Muestre que πi es abierta (es decir, πi (U ) es abierto para U ⊂ Rn abierto). Dé un ejemplo de un conjunto A ⊂ Rn que no es abierto tal que πi (A) es abierto para cada i. 5. Muestre que f : U ⊂ Rn → Rm es continua si y solamente si para cada 1≤i≤m fi := f ◦ πi : U → R es continua. 6. Sea f : [a, b] → R continua. Muestre que la gráfica de f , es decir el conjunto Graf f := {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, y = f (x)} es un subconjunto cerrado de R2 . Muestre que su interior es vacı́o. 7. Sea T : Rn → Rm lineal. Muestre que existe MT ∈ R+ tal que kT xk ≤ MT kxk para todo x ∈ Rn . Concluya que toda transformación lineal de Rn con valores en Rm es continua. 8. Muestre que las funciones k k1 , k k2 : Rn → R de la lista de ejercicios sobre topologı́a son continuas.