Problemas de conexión y de reparto de costes

Problemas de conexión y de reparto
de costes
Justo Puerto*
Federico Perea
MaMaEuSch**
Management Mathematics for European Schools
94342 - CP - 1 - 2001 - DE - COMENIUS - C21
*
Universidad de Sevilla
Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del marco del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna
responsabilidad por parte de la Unión Europea.
**
0
1.
Conceptos previos
En este trabajo describimos algunas situaciones que pueden ser representadas mediante
grafos. Para investigar dichas situaciones no necesitamos un estudio detallado de grafos,
aunque sı́ algunos conceptos. Comenzamos introduciendo la idea de grafo a partir de
unos ejemplos.
1.1.
Ejemplos
El diagrama de la figura 1 es un mapa de lo que será el metro de la ciudad de Sevilla.
Como todos los mapas, no representa cada detalle de la ciudad, sino sólo aquellos de
relevancia para sus usuarios. En el caso de este mapa, la localización geográfica exacta
de las estaciones no son importantes. Sin embargo, lo que sı́ es importante es la forma
en la que están interconectadas, de tal forma que un pasajero pueda planear una ruta
desde una estación hasta otra. El mapa es simplemente un diagrama que indica como
las estaciones están interconectadas.
Planos arquitectónicos El plano de la planta baja de una casa viene representado en la
figura 2.
Para pequeños planos como éste, tales diagramas son apropiados para mostrar que
habitaciones están conectadas, pero para planos grandes necesitarı́amos una representación más cómoda. Una representación posible serı́a la mostrada en la figura 3,
donde las habitaciones vienen dibujadas como pequeños cı́rculos rellenos.
Los arquitectos denominan a estos diagramas diagramas de circulación, debido a su
uso al analizar movimientos de personas en edificios grandes. En particular, se han
usado en el diseño de aeropuertos y en el trazado de supermercados. Diagramas de este
tipo son útiles para representar la conexión entre varias habitaciones, pero no nos dan
información sobre su tamaño o forma.
1.1.1.
Definición de un grafo
El punto que tienen en común los ejemplos anteriores es que en cada uno de ellos tenemos
un sistema de ‘objetos’ que están interrelacionados de alguna forma. En el primer ejemplo
los objetos son estaciones interconectadas por vı́as de tren, y en el segundo ejemplo son
habitaciones con accesos entre ellas. En cada caso podemos dibujar un diagrama en el cual los
objetos vienen representados por puntos y las interconexiones se representan mediante lı́neas.
Dichos diagramas se denominan grafos. Los puntos que representan los objetos se llaman
vértices (también llamados nodos o puntos), y las lı́neas que representan las interconexiones
1
Figura 1: Futuro metro de la ciudad de Sevilla.
se denominan ejes (también llamadas arcos o simplemente lı́neas). Por ejemplo, el diagrama
de circulación de la casa es un grafo con siete vértices (la cocina, el hall, la sala de estar, etc.)
y diez ejes (que son las interconexiones entre las diferentes habitaciones).
Podemos formalizar estas ideas de la siguiente forma:
Definición 1.1 Un grafo es un diagrama que se compone de puntos, llamados vértices, unidos
entre sı́ por lı́neas, llamadas ejes; cada eje une exactamente dos vértices.
También necesitamos conocer dos conceptos: el de ciclo y el de conexión.
Decimos que un grafo G es conexo si entre cada par de puntos en G existe un camino que
los une. Tanto el ejemplo del metro como el del plano de la planta baja de la casa nos dan
grafos conexos. El grafo de la figura 4 es disconexo, en otras palabras, no conexo.
Un camino que conecta un vértice consigo mismo se denomina ciclo. En la figura 3 el
camino
2
Figura 2: Planta baja.
sala de estar - salón - estudio - sala de estar
es un ciclo, porque une la sala de estar consigo misma.
Estos conceptos nos llevan a un tipo de grafos que vamos a usar en este trabajo: los árboles.
Un grafo conexo que no contiene ciclos es un árbol. En la figura 5 se muestran algunos ejemplos
de árbol.
Si G es un grafo conexo, entonces un árbol de unión en G es un árbol que contiene a todos
los vértices de G. Consideremos como ejemplo el grafo de la figura 6.
El número de árboles de unión en un grafo puede ser muy grande (acotado superiormente
por 2n−2 , donde n es el número de nodos que tiene la red). En la figura 7 presentamos tres
posibles árboles de unión del grafo mostrado en la figura 6.
1.2.
Situaciones cooperativas
En muchas situaciones encontramos varios agentes que, cuando unen sus esfuerzos, pueden
obtener mayores beneficios (o menores costes) después de llevar a cabo una acción, por ejemplo un negocio. Esas situaciones se llaman situaciones cooperativas, porque se permite a los
agentes que cooperen. Veamos un ejemplo.
1.2.1.
Ejemplo
Tres amigos, Julián, Paula y Marcos, están pensando la posibilidad de crear un centro de
atención para la tercera edad, dirigido a personas de entre 60 y 80 años. Después de investigar
3
Figura 3: Grafo.
las leyes locales y el mercado, estiman lo siguiente. Necesitan una enfermera por cada cuatro
ancianos de entre 71 y 80 años, y una enfermera por cada diez personas de entre 60 y 70 años.
Se necesitan 8 metros cuadrados interiores y 4 exteriores por cada anciano de entre 71 y 80
años. Para los clientes entre 60 y 70 años se exigigen 5 y 6 metros cuadrados respectivamente.
Después de calcular los costes se dan cuenta de que pueden obtener un beneficio neto de 200
Euros por cada cliente de entre 71 y 80 años y un beneficio neto de 150 Euros por cada uno
del otro grupo.
Julián conoce a 9 personas a las que podrı́a contratar como enfermeras. También tiene la
posibilidad de alquilar 260 metros cuadrados interiores y 200 exteriores. Por lo tanto tiene
que resolver un problema de programación lineal para calcular el máximo beneficio que puede
tener por su cuenta cumpliendo con las leyes. Si llamamos x1 al número de ancianos del grupo
de edad 71-80 que puede atender, y x2 al número de personas que puede alojar del otro grupo,
el problema a resolver para calcular el máximo beneficio que Julián puede obtener es: 1
1
Para más detalles sobre programación lineal ver: H.W.Hamacher, E.Korn, R.Korn, S.Schwarze Planificación de la Producción y Optimización Lineal en la página web de MaMaEuSch
http://www.mathematik.uni-kl.de/ mamaeusch/allgemein e/frames2 e.html (2004).
4
Figura 4: Grafo disconexo.
máx
s.a.
200x1 + 150x2
1
+ 10
x2 ≤ 9
8x1 + 5x2 ≤ 260
4x1 + 6x2 ≤ 200
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
1
x
4 1
Después de resolver el problema se deduce que puede obtener un beneficio de 7000 Euros
si actuase solo, alojando a 20 personas de cada grupo de edad.
Paula conoce a 5 personas a las que puede contratar como enfermeras y Marcos conoce
a 14. Paula tiene la posibilidad de alquilar 120 metros cuadrados interiores y 200 exteriores,
mientras que Marcos puede alquilar 590 interiores y 400 exteriores. Cuando resolvemos los
problemas de programación lineal para Paula y Marcos, averiguamos que Paula puede tener
un beneficio máximo de 3600 Euros si actúa sola, y Marcos puede ganar 14000 Euros si monta
la residencia contando solo con sus medios.
Pero también pueden combinar sus recursos. Suponemos que no hay coincidencias entre las
personas que pueden emplear como enfermeras. Si Julián y Paula decidiesen trabajar juntos,
tendrı́an un beneficio de 11000 Euros. Si Julián y Marcos trabajasen juntos obtendrı́an un
beneficio de 22500 Euros. Si Paula y Marcos trabajasen juntos ganarı́an 19500. Y si todos
ellos unen sus recursos y trabajan juntos obtendrán un beneficio de 26500 Euros. La situación
5
Figura 5: Árboles.
se puede resumir en la siguiente tabla:
S v(S)
{1} 7000
{2} 3600
S
{3}
{1,2}
v(S)
14000
11000
S
{1,3}
{2,3}
v(S)
22500
19500
S
{1,2,3}
∅
v(S)
26500
0
donde denotamos a Julián con el número 1, a Paula con el 2 y a Marcos con el 3, y v(S) es
el máximo beneficio que el grupo S puede obtener si actúa uniendo sus recursos y sin contar
con la ayuda de los demás.
Su beneficio total es maximizado si combinan sus recursos. En este caso tendrán que
encontrar la forma de dividir los 26500 Euros que ganan entre los tres.
2.
Problemas de conexión y de reparto de costes
En muchas situaciones cotidianas nos encontramos con problemas de optimización. Suele
ocurrir que cuando varios elementos (personas, empresas, etc.) unen esfuerzos para realizar
6
Figura 6: Este grafo no es un árbol.
una acción en común que va a dar servicio a todos ellos, el gasto total generado es inferior
al gasto que generarı́an realizando dicha acción por separado. Hasta ese momento todo es
ventajoso, ya que entre todos van a gastar menos dinero al actuar en común y tendrán el
mismo servicio. Pero un nuevo problema aparece: como se reparten los pagos que ha generado
la realización de la acción común.
Imaginemos que un grupo de granjeros va a construir una valla de alambre para separar sus
tierras. Debido a que las vallas delimitan dos territorios estas son usadas por varios granjeros.
Por ello parece lógico que las vallas sean instaladas entre todos ellos y no que cada uno se
construya su propia alambrada. Llega la hora de pagar y, por tanto, aparecen los problemas.
En muchas situaciones similares a las descritas se llega a la determinación de que todos
los usuarios del servicio han de pagar los gastos a partes iguales, en adelante esta regla
será llamada reparto proporcional, e incluso se piensa que es los más justo. Veremos a través
de unos ejemplos que el reparto proporcional no siempre es “justo”, teniendo en cuenta los
problemas que el significado de la palabra “justicia” puede ocasionar.
3.
El problema de asignación de costes de conexión
El primer problema que vamos a abordar pertenece a una clase de problemas: problemas
de árbol de expansión de coste mı́nimo (minimum spanning tree). En estos problemas tenemos
una serie de usuarios que quieren beneficiarse de un producto proveniente de una fuente fijada.
Queremos conectar a todos los usuarios a la fuente. La red de conexión no es fija, es decir, se
7
Figura 7: Árboles.
podrán conectar los puntos de cualquier forma posible.
Ejemplo 3.1 Consideremos un grupo de aldeas, cada una de los cuales necesita ser conectada
a un embalse, directamente o a través de otras aldeas. Cada posible conexión tiene algún
coste asociado y el problema radica en como conectar todas las aldeas al embalse de tal modo
que los costes totales de crear la red sean mı́nimos. La red construida a mı́nimo coste se
denominará árbol de mı́nima unión (minimum spanning tree).
Sin embargo, la construcción de un árbol de unión mı́nima es sólo parte del problema.
Además de minimizar los costes totales, también tiene que ser planteado un problema de
reparto de costes, es decir, decidir cuanto paga cada aldea para construir la red que las
conecta a todas. En siguientes ejemplos plantearemos varias reglas de reparto y discutiremos
la idea de reparto justo.
Formalmente, un problema de mı́nima unión es una tripleta T = (N, ∗, t), donde N =
{1, ..., n} es el conjunto de jugadores (aldeas), ∗ es la fuente (el embalse) y t : EN ∗ → R+ es la
función de coste no negativa, es decir, asigna a cada arista un coste (lo que costarı́a construir
8
cada tuberı́a). ES está definida como el conjunto de todas las aristas entre pares de elementos
de S ⊂ N ∗ , ası́ que (S, ES ) es el grafo completo sobre S.
ES = {{i, j} / i, j ∈ S, i 6= j}.
Como los costes de conexión son no negativos, es obvio que un grafo de coste mı́nimo que
conecte todos los jugadores a la fuente es en realidad un árbol, lo que explica el nombre del
problema.
Dado un problema T = (N, ∗, t) y un juego (N, R) para la coalición principal, el reparto
de Bird, β R (T ) se construye mediante la asignación de cada nodo i ∈ N al coste de la primera
arista sobre el camino único en (N ∗ , R) desde el jugador i a la fuente ∗. La computación de
este reparto puede ser obtenida a partir del algoritmo de Prim, el cual, empezando desde la
raı́z fijada, construye un árbol de unión mı́nima mediante la consecuente adición de aristas con
el coste más bajo, sin introducir ciclos (caminos que unen un punto con si mismo). Veamos
un ejemplo.
En el caso que aparece en la figura 8, queremos conectar tres nodos; A, B y C a una fuente
(S) localizada en el punto rojo del dibujo, con el menor coste posible.
Figura 8: Ejemplo del algoritmo de Prim.
Primero unimos la fuente con su nodo más cercano, que en este ejemplo es B. Después
de eso encontramos el nodo más cercano a B o a la fuente, y éste resulta ser A. A está más
cerca de B que de C, por tanto conectamos A con B. Para terminar tenemos que conectar
C al grafo. Para conseguir el mı́nimo árbol de unión tenemos que hacerlo a mı́nimo coste,
es decir, conectamos C a su nodo más cercano de entre los que ya están en el grafo. En el
9
ejemplo, el nodo más cercano a C es la fuente, por eso construimos el arco que une C con
la fuente. El resultado es el dibujo número 4 de la figura 8, el mı́nimo árbol de unión de los
nodos mostrados en el dibujo número 1.
Veamos formalmente como funciona la Regla de Bird:
Entrada: un problema de mı́nima unión (N, ∗, t).
Salida: un conjunto de aristas R ⊂ EN ∗ y el correspondiente reparto de Bird β R (T ).
1. Elegir la fuente ∗ como raı́z
2. Iniciar R = ∅.
3. Encontrar una arista de coste mı́nimo e = {i, j} ∈ EN ∗ \R incidente en ∗, o en cualquiera
de los vértices presentes en una de las aristas en R, de tal modo que la unión e a R no
introduzca un ciclo.
4. Uno de los vértices i, j, digamos j, fue conectado previamente a la fuente y el otro
vértice i es un jugador que no estaba todavı́a conectado a la fuente. Asignamos el coste
βiR (T ) = t(e) al agente i.
5. Unimos e a R.
6. Si no están todos los vértices conectados a la raı́z en el grafo (N ∗ , R), volver al paso 3.
El siguiente ejemplo sirve para ilustrar la regla.
Ejemplo 3.2 Consideremos el problema de mı́nima unión T con N = {1, 2, 3} como se
presenta en la figura 9, donde los números sobre las aristas representan los costes.
Cuando aplicamos el algoritmo a este problema, la primera arista que unimos a R es
{∗, 1} o bien {∗, 3} (son las aristas de mı́nimo coste que parten de la fuente). Supongamos
que elegimos la primera de ellas, entonces el coste β1R (T ) = 10. Posteriormente, siguiendo el
algoritmo, añadimos {1, 2} a R, y queda β2R (T ) = 6, añadimos {2, 3} a R, y queda β3R (T ) = 5.
Esto nos lleva al siguiente reparto de costes (10, 6, 5). Por otra parte, si partimos de {∗, 3},
obtendrı́amos finalmente el reparto de costes β R (T ) = (6, 5, 10).
Los dos árboles de unión a mı́nimo coste (árboles de mı́nima unión) están representados
en la figura 10.
Es decir, en la primera solución tenemos que, según la regla de Bird, el punto 1 ha de
pagar 10 unidades, el 2 pagará 6 y el tercero 5. Por el contrario, según la segunda solución y
la regla de Bird, los jugadores habrán de pagar 6, 5 y 10 unidades respectivamente.
10
Figura 9: Un problema de árbol de unión de coste mı́nimo T .
4.
Aplicación
Andalucı́a es una de las 17 regiones que integran el territorio nacional de España. Está dividida en ocho provincias, cada una de ellas con una capital. El mapa geográfico de esta
Comunidad Autónoma, en donde se han señalado con un punto negro la localización de sus
diferentes capitales, aparece en la figura 11.
Como aplicación del problema de mı́nima unión presentamos los siguientes casos:
4.1.
Caso 1: conexión sin fuente
Supongamos que una empresa de comunicaciones desea conectar las ocho capitales de
provincia andaluzas mediante un cable de fibra óptica. Las distancias en kilómetros entre
todas las capitales vienen dadas en la siguiente tabla:
11
Figura 10: Dos árboles de mı́nima unión.
Almerı́a
Cádiz
Córdoba
Granada
Huelva
Jaén
Málaga
Sevilla
Almerı́a Cádiz Córdoba
0
484
332
484
0
263
332
263
0
166
335
166
516
219
232
228
367
104
219
265
187
422
125
138
Granada
166
335
166
0
350
99
129
256
Huelva Jaén Málaga Sevilla
516
228
219
422
219
367
265
125
232
104
187
138
350
99
129
256
0
336
313
94
336
0
209
242
313
209
0
219
94
242
219
0
Construir el mı́nimo árbol de unión para este caso y decidir cuanto ha de pagar cada capital
de provincia para su construcción.
12
Figura 11: Andalucı́a.
4.2.
Caso 2: conexión con fuente
Supongamos ahora que las ocho capitales han de estar conectadas a una fuente de energı́a
situada en Málaga capital. Construir en mı́nimo árbol de unión para este caso suponiendo
que las distancias entre capitales son las dadas en la tabla anterior y decidir cuánto ha de
pagar cada capital de provincia, suponiendo que el coste generado en Málaga para construir
la fuente es ya suficiente y que esa ciudad no debe pagar nada más.
4.3.
Soluciones
En el primer caso no tenemos ninguna fuente por lo que la primera arista será la que una
las dos capitales más cercanas entre sı́, en este caso Sevilla y Huelva. Después uniremos la
ciudad más cercana de las seis restantes a una de las que ya tenemos en la red, en este caso
Cádiz es la más cercana a una de las dos y está más cerca de Sevilla, luego la siguiente arista
será Sevilla-Cádiz. Se procede ası́ con todas las ciudades y el árbol de mı́nima unión es el
formado por:
13
Sevilla, Huelva, 94
Sevilla, Cádiz, 125
Sevilla, Córdoba, 138
Jaén, Córdoba, 104
Jaén, Granada, 99
Málaga, Granada, 129
Granada, Almerı́a, 166
”distancia total”, 855
Para el caso en el que tenemos una fuente predeterminada, lógicamente el árbol de mı́nima
unión es el mismo y tan solo cambia el orden de aparición de las aristas en el algoritmo:
Málaga, Granada, 129
Jaén, Granada, 99
Jaén, Córdoba, 104
Sevilla, Córdoba, 138
Sevilla, Huelva, 94
Sevilla, Cádiz, 125
Granada, Almerı́a, 166
”distancia total”, 855
El mapa con la conexión de mı́nimo coste viene descrito en la figura 12 para ambos casos.
4.4.
Reparto de costes
En el ejemplo uno, supongamos que cada kilómetro de la red ha costado 10000 Euros y que
el coste de dicha red ha de correr a cargo de las diferentes capitales. ¿Cuánto debe pagar cada
una de ellas en el caso 1?
En el ejemplo dos, si suponemos que Málaga ha invertido dinero en la construcción de
la planta que abastecerá al resto de capitales y que, por tanto, no debe pagar nada de la
construcción de la red, ¿cuánto ha de pagar cada una de las restantes capitales si la red
costó 10000 Euros el kilómetro?
14
Figura 12: Árbol de mı́nima unión.
4.5.
Reparto tras la conexión sin fuente
En el primer caso, debido a que no tenemos fuente, no podemos aplicar la regla de Bird.
Se pueden proponer muchas reglas de reparto. Nosotros aplicamos las siguientes:
Reparto proporcional: Dividimos el coste total (8550000 Euros) entre el número de
ciudades conectadas por la red (8). Cada ciudad paga lo mismo, (1068750 Euros).
Cada ciudad paga la mitad de las conexiones en las que intervenga, por ejemplo, la
conexión Sevilla - Huelva correrá a cargo de ambas ciudades por igual.
4.6.
Reparto tras la conexión con fuente
En el segundo caso si tenemos una fuente predeterminada, Málaga, por lo que podemos
aplicar la regla de Bird. Antes veremos como funciona el reparto proporcional y los problemas
que origina. Para terminar propondremos un tercer sistema de reparto.
15
Reparto proporcional.
El coste total de la red ascendió a 8550000 Euros, por lo que cada una de las siete
ciudades conectadas a Málaga tiene que pagar 8550000
= 1221428,6 Euros. ¿Es esto
7
justo?
Veamos que pasa si Granada y Jaén deciden hacer la red por su cuenta, es decir, deciden
aliarse y construir una red que las conecte solo a ellas. Aplicando el algoritmo del
minimum spanning tree como antes, llegarı́amos a que la conexión más corta para ambas
ciudades y Málaga tiene un total de 129 + 99 kilómetros, es decir, un coste de 2280000
Euros. Si ambas ciudades tienen que someterse al reparto proporcional pagarán entre
ambas un total de 2442857.2 Euros. Lógicamente estas ciudades no están de acuerdo
con repartir el gasto total proporcionalmente, pues ellas por separado pueden construirse
una red que las abastece igualmente por menos dinero.
Este es un ejemplo en el que el reparto proporcional no será secundado por todos.
Si al hacer un reparto encontramos subgrupos de usuarios que por su cuenta puedan
conectarse y pagar menos, ese reparto probablemente será desechado.
En Teorı́a de Juegos los repartos que cumplen esa condición, i.e., aquellos en los que no
hay ningún subgrupo que actuando por su cuenta salga ganando, se dice que pertenecen
a un conjunto denominado core.
Veamos ahora la Regla de Bird.
Cada ciudad pagará:
Granada 1290000 Euros.
Jaén 990000 Euros.
Córdoba 1040000 Euros.
Sevilla 1380000 Euros.
Huelva 940000 Euros.
Cádiz 1250000 Euros.
Almerı́a 1660000 Euros.
(Cada ciudad paga el coste de la arista que la conecta a la red).
Se puede comprobar que tras este reparto no hay subgrupo de ciudades que salgan
ganando si actúan por su cuenta, es decir, en Teorı́a de Juegos dirı́amos que este reparto
pertenece al core.
Está demostrado que en todo problema de conexión con mı́nimo coste (minimum spanning tree) la regla de Bird proporciona un reparto que pertenece al core.
16
Para terminar presentaremos otro tipo de repartos utilizado en problemas de conexión.
Un reparto en el que cada ciudad pagará la parte proporcional de las aristas que utilice
(si una arista es utilizada por varias ciudades, pagan el coste de dicha arista entre todas
las que la usen). Veamos como funciona este reparto:
La arista Málaga-Granada es utilizada por todas las ciudades, ası́ que dividen su coste
(1290000 Euros) entre siete.
La arista Granada-Almerı́a solo es utilizada por Almerı́a, luego ella correrá con todos
los gastos (1660000 Euros).
La arista Granada-Jaén es utilizada por: Jaén, Córdoba, Sevilla, Cádiz y Huelva. Ası́ cada una pagará 990000
Euros.
5
La arista Jaén-Córdoba es empleada para conectarse a la fuente por Córdoba, Sevilla,
Cádiz y Huelva. Ası́ cada una de estas ciudades pagará 1040000
Euros.
4
La conexión Córdoba-Sevilla es utilizada por Sevilla, Cádiz y Huelva, por lo que cada
Euros.
una de ellas pagará 1380000
3
La conexión Sevilla-Cádiz solo es utilizada por Cádiz, por lo que correrá con todos los
gastos de esta arista (1250000 Euros).
Por último, la conexión Sevilla-Huelva solo es utilizada por Huelva, por lo que pagará los
940000 Euros de su construcción.
Ası́ el gasto de cada una de las ciudades es:
Granada: 184285.7
Almerı́a: 184285.7 + 1660000 = 1844285.7
Jaén: 184285.7 + 198000 = 382285.7
Córdoba: 184285.7 + 198000 + 260000 = 642285.7
Sevilla: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 = 1102285.7
Cádiz: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 + 1250000 = 2352285.7
Huelva: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 + 940000 = 2042285.7
Aunque este reparto parece justo no pertenece al core, ya que si Sevilla, Cádiz y Huelva
deciden construir una red para ellas tres los costes serı́an 2190000 (Sevilla-Málaga) +
940000 (Sevilla-Huelva) +1250000 (Sevilla-Cádiz), lo que asciende a un total de 4380000
Euros, inferior a los 5496855 Euros que pagan entre las tres tras el reparto descrito antes.
Es decir, este reparto no cumple condiciones de justicia suficientes para que se de y, por
tanto, probablemente no se llevará a cabo.
17
5.
El problema del pago de un ascensor en una comunidad de vecinos
Aún existen edificios en los que no hay ascensor y los vecinos quieren ponerlo. En estos
casos surge la polémica de cómo pagar el ascensor. Como vimos antes el reparto proporcional
puede dar lugar a situaciones en las que un grupo de usuarios decida actuar por su cuenta sin
contar con los demás, ya que aunque el gasto total se verá incrementado el suyo en particular
va a ser menor. Veamos el siguiente caso:
En un bloque de cinco plantas, con un piso en cada planta, se quiere instalar un ascensor.
La empresa encargada de la instalación del ascensor tiene un precio de instalación fijo según
el número de plantas. Debido a problemas técnicos el coste de la conexión entre dos plantas
incrementa según su altura, es decir, costará más construir el hueco de ascensor entre la sexta
y la séptima planta que entre la primera y la segunda. Los precios fijos según la altura del
ascensor vienen reflejados en la siguiente tabla:
No de Plantas
1
2
3
4
5
Coste del ascensor
10000
21000
33000
46000
60000
El esquema del ascensor es el siguiente:
En la comunidad de vecinos se propuso pagar el ascensor entre todos los vecinos a partes
iguales, es decir, 10800 euros cada uno. ¿Es este reparto de costes ”justo”? ¿Cómo repartirı́as
los gastos del ascensor entre todos los vecinos?
5.1.
Reparto de costes
Veremos las tres reglas de reparto de antes aplicadas a la nueva situación.
1. El reparto proporcional dice que cada vecino ha de pagar 10800 Euros por el ascensor.
Pero, ¿es esto justo? Si el vecino del primer piso quisiera construir un ascensor para él
solo tendrı́a que pagar menos (10000 Euros), por lo que no querrá formar parte de la
construcción conjunta del ascensor.
18
Figura 13: Esquema del ascensor.
2. La regla de Bird, que como sabemos es un reparto tras el que ningún subgrupo de
vecinos podrá construir un ascensor para ellos por menos dinero, en este caso dice que:
El vecino del primero paga 10000, el del segundo 11000, el del tercero 12000, el del
cuarto 13000 y el del quinto 14000. Este reparto es un elemento del core, ningún grupo
de vecinos podrá construir un ascensor sin contar con los demás y a menor coste.
3. Se propone la siguiente regla de reparto: cada vecino pagará por la cantidad de tramos
que el ascensor ha de recorrer hasta llegar a su planta, es decir, el vecino del tercer
piso pagará por el primer tramo, el segundo y el tercero. En este caso lo que paga cada
vecino es:
El primer tramo cuesta 10000 Euros y será pagado entre los cinco vecinos, pues lo
usan todos ( 10000
= 2000 Euros).
5
Pagan el segundo tramo los vecinos desde el segundo hasta el quinto, ( 11000
= 2750
4
Euros).
El tercer tramo tiene un coste de 12000, que pagan los tres últimos vecinos, ( 12000
=
3
4000 Euros).
El tramo entre el tercer y el cuarto piso cuesta 13000 es pagado a medias entre los
= 6500 Euros).
vecinos del cuarto y el quito piso, ( 13000
2
El tramo entre el cuarto y el quinto piso es pagado por el vecino del quinto, el
único que lo utiliza, ( 14000
= 14000 Euros).
1
19
Por tanto, el vector de pagos es:
(2000, 4750, 8750, 15250, 29250),
donde el vecino del i-ésimo piso pagará la componente i-ésima del vector anterior.
Aunque es un reparto que pertenece al core, parece exagerado que el vecino del quinto
piso pague quince veces más que el del primero.
¿Qué opinas sobre la justicia al repartir costes?
20