Docentes: Departamento de Matematica Sr. Ricardo Carrillo Curso: Cuarto Medio

Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Departamento de Matematica
Curso: Cuarto Medio
Unidad 1: Logarítmos
Guia N° 2 - 2012
GUIA MATEMATICA
¿Qué aprenderé?
1. Analizar el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia, logarítmica y
exponencial.
2. Reconocer las funciones exponencial y logarítmica una como inversa de la otra.
3. Analizar las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los parámetros en la función potencia.
4. Utilizar las funciones potencia, logarítmica y exponencial para modelar situaciones o fenómenos
naturales o sociales.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función f definida por
f(x)  loga x, con a IR+ , a  1 y x > 0
Función logarítmica.
Observo las siguientes graficas DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA y busco relaciones
1) f(x)  log2 x
2) f(x)  log 1 x
2
En los gráficos se puede observar que:
• La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).
• Si a > 1, entonces f(x) = loga x es creciente.
• Si 0 < a < 1, entonces f(x) = loga x es decreciente.
• La curva no intersecta al eje y.
se denomina
Resuelvo los ejercicios:
1. Respecto a la función f(x) = log2 (x + 1), ¿cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I) Si x = -1, f(x) = 1
II) Si x = 0, f(x) = 0
III) Si f(x) = 2, x = 3
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
2. En la función f(x) = log3 x, el valor de x para
que f(x) = 1 es:
A)
1
3
B) 
1
3
C) -1
D) 3
E) -3
3) ¿Cuál de las siguientes figuras representa al gráfico de la función f(x) = log 3 x + 1?
A)
B)
C)
D)
E)
4) Dada la función f(x) = log2(x – 1), su representación gráfica es
5) El gráfico de la figura representa la función
6) Respecto a la función f(x) = log5(2x + 1),
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) verdadera(s)?
I) f(12) = 2
II) Intersecta al eje x en (1,0).
III) f es creciente.
A) y = log x
B) y = log x + 1
C) y = log x + 2
D) y = log (x + 1)
E) y = log (x + 2)
A) Sólo I
D) Sólo I y III

7) Si y = 5x con x > 0, entonces log5 x – log5 y =
8) log
A) -1
B) 1
C) 0
D) 5
E) 1/5
A) 0
B) 1
C) 2
D) log 2
E) 2 log 2

B) Sólo II
E) I, II y III
2  1  log

C) Sólo I y II

2 1 
Observo las siguientes gráficas, corresponden a las
funciones y = 2x; y = log2x,
a) ¿cuál grafica corresponde a cada función?
b) ¿cómo son estas graficas?, ¿qué tienen en común?
¿Qué conclusiones puedo sacar de estas gráficas, para ello analizo las condiciones de posee cada
función, comparo mis ideas con mi compañero(a)?
APLICACIONES:
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento
(o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del
mismo.
A continuación se ven tres aplicaciones:
• Crecimiento de poblaciones.
• Interés del dinero acumulado.
• Desintegración radioactiva.
Interés compuesto
En el interés compuesto, los intereses producidos por un capital, Co se van acumulando a éste, de
tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los
intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r
es el interés anual (en %), el capital final obtenido viene dado por la fórmula:
r 

C f  Co  1 

 100 
t
Ejemplo: Se colocan 5000 € al 6% anual. ¿En cuánto se convertirán al cabo de 5 años?
• Si los intereses se acumulan anualmente
• Si los intereses se acumulan mensualmente
125
5
6 

Cf  5000  1 
  6691,13 €
 100 
6 

Cf  5000  1 

 100 
• Si los intereses se acumulan trimestralmente
• Si los intereses se acumulan semestralmente
6 

Cf  5000  1 

 100 
 6744,25 €
45
 6734,27 €
Crecimiento de poblaciones
El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y
defunciones. Si inicialmente partimos de una población Po, que tiene un índice de crecimiento i, al cabo
de t años se habrá convertido en
P  Po 1  i
t
Ejemplo: Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%.
• ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años?
P  600 1  0,03   760 habitantes
8
Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia
que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:
M  Mo  at
Mo es la masa inicial, 0 < a < 1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo
que tomemos.
La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración”
que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.
Ejemplo: Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20 gr y
tomamos como origen de tiempo el año 2000.
• La función es:
• En el año 2053 quedará:
x
28
M(x)  20  0,5  20  0,9755x
M  20  0,975553  5,38 gr
Ejercicios: Resuelvo detalladamente cada uno de ellos.
1. Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales. Escribe la función que relaciona el número de
botellas y su capacidad.
2. Un móvil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante. Escribe la función
velocidad→tiempo, calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50 km/h, y la velocidad si el tiempo
ha sido 5 horas.
3. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si el
caudal fuera de 24 litros/min?. Escribe la función caudal→tiempo.
4. En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual?
5. Un capital colocado a interés compuesto al 2% anual, se ha convertido en 3 años en 9550,87€. ¿Cuál
era el capital inicial?
6. Un capital de 29000€ colocado a interés compuesto se ha convertido al cabo de 4 años en 31390,53
€. ¿Cuál es el rédito (interés anual) a que ha estado colocado?
7. El periodo de desintegración del Carbono 14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten 10 gr al
cabo de 1000 años?
8. ¿Cuántos años han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 20,86 gr.?
(Periodo de desintegración del C14 5370 años).
9. Una muestra de 60 gr. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 gr en 30 años. ¿Cuál es el
periodo de desintegración?.
10. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si suponemos que el
cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, ¿dentro de cuántas horas tendrá 320 millones de
bacterias?.
11. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si al cabo de 3 horas el
cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿cuántas había en el instante inicial?
CURIOSIDADES:
Terremotos, música y champú
¿Qué tienen en común cosas tan dispares?
Pues precisamente los logaritmos.
¿Cuántas veces es mayor la intensidad de
un terremoto de magnitud 7,9 en la
escala Richter que uno de magnitud 5?.
Las medidas de la escala Richter son
logaritmos decimales:
7,9-5=2,9
102,9 = 794 veces
Cuando se pretende representar medidas que toman valores
muy dispares, desde muy pequeños a muy grandes, se
emplea la escala logarítmica. Algunos ejemplos en que se
utiliza:
• La escala Richter que mide la intensidad de los terremotos.
• La intensidad del sonido en belios o decibelios, o el mismo
pentagrama.
• El ph de una sustancia
• La magnitud de las estrellas.