4.3 Función Logarítmica Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. Función Logarítmica La función que es inversa de la exponencial f (x) = bx es la función logarítmica. Introducimos el vocabulario y la notación que nos permita escribir este concepto en forma abreviada. y= exponente bx potencia base logb y = x base exponente potencia Definición: Entonces logb y representa “el exponente” x para elevar la base b y obtener la potencia y.” 2 Función Logarítmica Ejemplos (a) log2 (8)= 3, porque 3 es el exponente donde elevas a 2 para tener la potencia 8: 23 = 8 (b) log10(1/10) = –1, porque –1 es el exponente para que 10 se eleva para obtener 1/10: 10-1 = 1/10 (c) log5 1 = 0, porque 0 es el exponente donde elevas 5 para obtener la potencia 1: 50 = 1 3 Función Logarítmica Usando notación algebraica, sea y = f (x). Entonces y = logb x es equivalente a x = by Llamamos a la ecuación y = logbx la forma logarítmica y la ecuación equivalente x = by es la forma exponencial. 4 Función Logarítmica La Tabla 1 muestra algunos ejemplos. 5 Funciones Logarítmicas Resumimos: 1. Por la prueba de la línea horizontal, f (x) = bx es uno-a-uno y tiene una inversa. Esta función inversa escribe f –1(x) = logb x que representa el exponente para el cual la base b genera la potencia x. 2. En notación algebraica, logb P = n means that P = bn. 6 Función Logarítmica Recuerda que la función exponencial f definida por f (x) = bx es uno-a -uno. Se ve al aplicar la prueba de la línea horizontal. La funcion exponencial y = bx es uno-a-uno. Figura 1 7 Gráfica de función Logarítmica Conociendo la gráfica de la función exponencial y = bx , y que la función logarítmica es su inversa y = logb x, (intercambia los nombres x y), se obtiene la gráfica simétrica a la identidad: y = x. La gráfica con b > 1 se muestra. Figure 2 8 Función Logarítmica Se observa que la función logarítmica y = logb x en la Figura 3: siempre crece pero muy lentamente. 9 Función Logarítmica Considere y = log2 x, por ejemplo. Entonces ¿para qué valor de x el valor de la curva alcanza la altura de y = 10? Figure 4 10 Función Logarítmica Contestar esta pregunta es resolver la ecuación logarítmica, sustituyendo y = 10 en la ecuación y = log2 x: 10 = log2 x La forma exponencial de la ecuación anterior es: x = 210 = 1024 Se concluye que hay que pasar de 1000 en el eje de x antes que y = log2 x alcance una altura de y= 10 unidades. 11 Función Logarítmica Precaución: En la tabla hay unos errores comunes que surgen al olvidar que logb es el nombre de una función, No un número. Errores para evitar: 12 Ejemplo para Hallar el Dominio de una Función Logarítmica Halle el dominio de la función f (x) = log2(12 – 4x). Solución: Como se observa, el Dominio (entrada) de la función logarítmica está restringido a números positivos: D = (0, ). Figure 3 13 Ejemplo 1 – Solución cont’d Al Transformar la gráfica se requiere que 12 – 4x se positivo. Por lo tanto, 12 – 4x > 0 –4x > –12 x<3 El dominio de la función f (x) = log2(12 – 4x) es el intérvalo (– , 3). 14 Función Logaritmo Natural Definición: La notación “ln” se usa para logaritmos de Base e ln (x) significa loge (x) Ejemplo 1. ln e = 1 porque ln e = loge e, es igual a 1, o sea: e1 = e 2. ln(e2) = 2 porque ln(e2) = loge(e2), que es igual a 2: e2 = e2. 3. ln 1 = 0 porque ln 1 = loge 1= 0, o sea: e0 = 1. 15 Ejemplo 2: Gráfica de Transformaciones de ln x Dibujar las gráficas de las siguientes funciones: (a) y = ln x; (b) y = ln (x – 1) – 1. Solución: (a) La función y = ln x (= loge x) es la inversa de y = ex. 16 Ejemplo 2: Solución cont’d La gráfica se obtiene reflejando la gráfica de y = ex con respecto a la recta identidad y = x. Figure 17 Ejemplo 2 – Solución cont’d Detalles de la gráfica: el dominio D = (0, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio. Intercepto del eje- x: y = 0 implica 0 = ln x, que en forma esponencial equivale a: x = e0 = 1. Entonces el intercepto del eje de-x es (1,0). La asíntota vertical (A.V.) es x = 0 (el eje de y) porque la función y = ln x va hacia - cuando se acerca al eje de y por la derecha. 18 Ejemplo 2 – Solución cont’d En la otra esquina, la función y = ln x , crece sin asíntota (sin cota). (b) La gráfica de y = ln(x – 1) – 1, es una transformación de y = ln x , se mueve una unidad en la dirección positiva (derecha) de x, 1 unidad en dirección negativa (abajo) de y. Figure 19 Example 2 – Solución cont’d Detalles de la gráfica: el dominio D = (1, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio. Intercepto del eje de x: y = 0 implica 0 = ln(x – 1) – 1, resolviendo: ln(x – 1) = 1. En forma exponencial: x – 1 = e1 . Resuelve para x: x = e1 + 1 Entonces el intercepto de x es e + 1 ( 3.72). 20 Ejemplo 2 – Solución cont’d La asíntota vertical es x = 1, porque y = ln(x – 1) – 1 la gráfica tiende a - , cuando x se acerca a 1 por la derecha. Este comportamiento no cambia al mover la gráfica 1 unidad hacia abajo.. En la otra esquina, y = ln(x – 1) – 1 crece sin asíntota (sin cota). Este comportamiento no cambia al trasladar la gráfica horizontal o verticalmente. 21