Documento 686204

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 11: ONDAS MECÁNICAS –SONIDODiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas
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Introducción
Fundamentos
Cualidades del sonido: la intensidad
Cualidades del sonido: el timbre
Cualidades del sonido: el tono
Tubos sonoros: repaso
La voz humana
El Efecto Doppler
Taller
Introducción
Las ondas que se propagan a lo largo de un resorte como
consecuencia de una compresión longitudinal del mismo
constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja
bastante a la forma en la que el sonido se genera y se
propaga. Las ondas sonoras en los fluidos se producen
también como consecuencia de una compresión del medio a lo
largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas
longitudinales.
La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su
correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se
propagan en forma de ondas. Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según
un mecanismo análogo.
En los sólidos se dan ondas sonoras transversales además de las longitudinales. Dichas ondas transversales
aparecen en los sólidos porque en éstos las fuerzas entre las moléculas ordenadas no actúan tan solo en la
misma dirección de la onda sino también en dirección transversal a la misma. Como las fuerzas
recuperadoras para el movimiento trasversal son más débiles, la velocidad de la onda transversal es en
general menor que la de la onda longitudinal. En este módulo sólo se analizarán las ondas sonoras
longitudinales.
En definitiva, para que se produzca un sonido, es necesario que exista un cuerpo que vibre y un
medio elástico que propague esas vibraciones. Los sonidos son diferentes unos de otros, la voz de un ser
humano se puede distinguir del sonido que emiten los pájaros, de un instrumento musical o del viento; pero
para que pueda transmitirse requiere de un medio que puede ser gaseoso, sólido o líquido. El ser humano
requiere del aire para comunicarse mediante los diversos sonidos, los peces del agua y algunos animales
como los topos y castores de la tierra que es sólida. En el vacío el sonido no se propaga.
El sonido se propaga más rápido en el estado sólido que en el estado líquido y se propaga más rápido en el
estado líquido que en el gaseoso. La razón de esto tiene que ver con la cercanía de las partículas en cada
uno de estos medios y en la magnitud de la interacción eléctrica entre ellas. El sonido en el hierro se
propaga a unos 5 000 m/s, en el agua a unos 1 500 m/s y en el aire a temperatura ambiente a unos 340m/s.
En relación a la frecuencia, el oído humano es capaz de captar sonidos emitidos entre los 16 Hz y los
20 000 Hz. Los ultrasonidos tienen una frecuencia mayor a los 20 000 Hz y los infrasonidos una
frecuencia menor a los 16 Hz.
En resumen, las ondas sonoras en los fluidos son longitudinales y mecánicas.
Fundamentos
En éste módulo se tratarán sólo las ondas sonoras en un gas. En el módulo 8 se explicó cómo es que en un
gas cuando se propaga una onda longitudinal se presentaban simultáneamente tres ondas: onda de
deformación (elongación), onda de presión y onda de densidad. Las tres viajan con la misma velocidad igual a
V=
B
ρo
[1]
en donde B (se mide en Pa) es el módulo de compresibilidad del gas y o su densidad volumétrica en estado
de equilibrio (se mide en kg.m-3) aunque las ondas de elongación están desfasadas
espacialmente
π
(es decir
2
λ
respecto a las ondas de presión. En el aire a del aire a unos 25 ºC el valor es
4
aproximadamente 340 m/s. Se acostumbra hablar del sonido como una ONDA de PRESIÓN.
Tener en cuenta que la onda de presión corresponde a oscilaciones de la presión alrededor de la presión
atmosférica, es decir, a oscilaciones de la denominada presión manométrica. La onda de deformación (o
elongación), corresponde a oscilaciones de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Un valle
en la onda de presión, corresponde a una presión manométrica negativa, o sea, a una expansión. Una cresta
corresponde a una presión manométrica positiva, o sea, a una compresión.
Además, la amplitud de presión
Po = BkA = VρoωA [2]
Ejemplo 1:
Demostrar la expresión [2].
Solución:
Po y la amplitud de elongación A se relacionan mediante la expresión:
2
Sea la onda viajera de deformación (elongación),
y = A sen  kx - ωt 
(1)
La ley de Hooke aplicada a fluidos es (ver módulo 9),
P=-B
y
x
(2)
3
Por lo tanto la onda viajera de presión es,
P = - BkA cos  kx - ωt 
Definiendo a
(3)
Po como la amplitud de presión se obtiene,
P = - Po cos  kx - ωt 
(4)
y,
Po = BkA
(5)
Observar que la onda de elongación y la de presión están desfasadas
veces: P es la presión manométrica y
π
como se ha repetido ya varias
2
Po la amplitud de presión manométrica.
De (5) y como,
kV = ω
se obtiene,
Po = VρoωA
(6)
Ejemplo 2:
A 400 Hz el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de presión de alrededor
8,00x10-5 N.m-2. Calcular la amplitud de deformación A, suponiendo una densidad del aire de 1,29 kg.m -3 y
una velocidad del sonido de 345 m.s-1
Solución:
Como
ω = 2πf
La ecuación [2] toma la forma,
Po = 2πVρof A
Y por lo tanto,
A=
Po
2πVρo f
4
Reemplazando,
Po = 8,00×10-5
kg
m3
ρ o = 1,29
V = 345
N
m2
m
s
f = 400 Hz
se obtiene,
A = 7,16×10-11 m
Esta amplitud de vibración de las partículas del gas es del orden de las dimensiones moleculares (10-12 m), y
mucho menor que la separación molecular media en un gas. En la práctica se prefiere tratar la onda sonora
estudiando la onda de presión.
En la siguiente simulación se ilustra la onda longitudinal viajando en un gas.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras
longitudinales en gas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 1. Se
despliega la simulación de la Figura 2. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente
los resultados.
5
Figura 1
Figura 2
Velocidad de sonido en el aire
Cuanto mayor es la temperatura del aire mayor es la velocidad de propagación del sonido a través de el. La
velocidad del sonido en el aire aumenta 0,6 m/s por cada 1º C de aumento en la temperatura. Una velocidad
V aproximada (en m/s) puede ser calculada mediante la siguiente fórmula empírica:
V = 331,5 + 0,6t
[3]
en donde t es la temperatura en oC
Cualidades del sonido: la intensidad
El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir
entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la
intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas
con diferentes propiedades de las ondas sonoras.
La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está
relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La
intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio
como consecuencia de la propagación de la onda. Se define como la energía que atraviesa por segundo una
superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a la potencia por
unidad de superficie y se expresa en W.m-2.
Ley del inverso cuadrado
En el módulo 10 ecuación [10] se mostró que la intensidad media de una onda mecánica armónica plana,
I=
1 2 2
ρω A V
2
[4]
Esta sería entonces la intensidad media de la onda sonora considerada armónica plana y se mantendría
constante en su propagación (obviamente bajo la consideración de no disipación de energía).
Pero en general la onda sonora no es plana sino esférica debido a que las fuentes son en general puntuales.
Por tanto, la intensidad decrece a medida que el sonido avanza, de acuerdo a la ley del inverso cuadrado,
I1
R 22
= 2
I2
R1
[5]
siendo R la distancia a la fuente sonora.
Nivel de intensidad
La ley de Weber-Fechner:
Establece una relación cuantitativa entre la magnitud de un estímulo físico y como este es percibido. Fue
propuesta en primer lugar por Ernst Heinrich Weber (1795-1878), y elaborada hasta su forma actual por
Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Ernst Heinrich Weber estableció su ley de la sensación (o Ley de
Weber) en la que formulaba la relación matemática que existía entre la intensidad de un estímulo y la
sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción de que era posible
explicar mediante principios físico-químicos todos los actos humanos. La ley expresa que la relación entre
el estímulo y la percepción corresponde a una escala logarítmica:
6
La sensación crece con el logaritmo del estímulo. Esta relación logarítmica significa que si un estímulo
crece como una progresión geométrica (es decir multiplicada por un factor constante), la percepción
evolucionará como una progresión aritmética (es decir con cantidades añadidas).
Aplicada esta ley al sonido expresa que el nivel sonoro crece con el logaritmo de la intensidad, es decir
cuando la intensidad crece en progresión geométrica, la sonoridad crece en progresión aritmética. A esta
escala se le denomina nivel de intensidad  y se expresa en dB:
β = 10 log
I
Io
[6]
donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del aire se ha tomado 10 -12 W.m-2. Una intensidad
acústica de 10 decibelios corresponde a una energía diez veces mayor que una intensidad de cero
decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que la que corresponde a 0
decibelios y así sucesivamente. El nivel de intensidad mide la sensación y la intensidad mide el estímulo.
En la tabla 1 se ilustra las equivalencias entre las intensidades y los niveles de intensidad de ondas sonoras
en el aire y en la tabla 2 se ilustra ejemplos de ondas sonoras cotidianas y su valor aproximado de nivel de
intensidad .
Tabla 1: Intensidad y Nivel de Intensidad
I (W.m-2)
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-11
10-12
 (dB)
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Tabla 2: Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora
Ejemplo
Sonido más tenue que percibe el oído humano
Biblioteca silenciosa
Conversación normal, máquina de cocer, máquina de escribir
Cortadora de pasto, herramientas pesadas, tráfico pesado
Motosierra, Martillo neumático
Concierto de rock pesado, bocina de auto
Explosión, Motor de jet
 (dB)
0
30
60
90
100
115
140
7
Ejemplo 3:
Camila gritando genera un sonido de 70 dB, ¿Cuántas personas deberían gritar con la intensidad de Camila
para generar entre todos un sonido de 80 dB?
Solución:
La escala en dB no es una escala lineal por lo que no se podrá hacer reglas de tres con sus conversiones. Por
lo tanto para lograr hacer la regla de tres es necesario convertir los niveles de intensidad a intensidades
empleando la ecuación [6].
Para =70 dB,
70 = 10 log
I = 10-5
I
10-12
W
m2
Para =80 dB,
80 = 10 log
I = 10-4
I
10-12
W
m2
Por lo tanto realizando la regla de tres se obtiene,
# personas =
1×10-4
 10
10-5
Ejemplo4:
¿Duplicar la intensidad del sonido a cuántos decibeles corresponde?
Solución:
Empleando la ecuación [6],
β1 = 10 log
I1
Io
β 2 = 10 log
I2
Io
8
β2 - β1 = 10 log I2 - 10 log Io - 10 log I1 + 10 log Io
β2 - β1 = 10 log I2 - 10 log I1
β 2 - β1 = 10 log
y como
I2
I1
9
I2 = 2I1 se obtiene
β = 10 log 2
β = 3,0 dB
Es decir un aumento en 3 dB en el nivel de intensidad del sonido equivale a duplicar la intensidad del
sonido.
Ejemplo 5:
Una fuente puntual emite un sonido tal que a 1,00 m de ella tiene un nivel de intensidad igual a 40,0 dB. ¿A
qué distancia no se escuchará el sonido emitido por la fuente?
Solución:
Como la fuente sonora es puntual la onda sonora correspondiente es esférica y por lo tanto se cumple la ley
del inverso cuadrado, ecuación [5],
I1
R 22
= 2
I2
R1
Primero hay que obtener las intensidades correspondientes a los niveles de intensidad. Para R1
y por lo tanto de la ecuación [6],
40 = 10 log
I1 = 10-8
Para R2
I1
10-12
W
m2
β1 = 0 dB y por lo tanto de la ecuación [6],
β1 = 40 dB
0 = 10 log
I 2 = 10-12
I2
10-12
W
m2
Reemplazando estas intensidades en la ley del inverso cuaddaro,
10
R2 =
R 12 ×I1
I2
R 2 = R1
I1
I2
R 2 = 100 m
Cualidades del sonido: el timbre
El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos,
aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona
por su voz, que resulta característica de cada individuo. El timbre está relacionado con la complejidad de
las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros; sólo los
diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una
onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de
vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones
armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas (teorema de Fourier), cada una de las
cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es
característica de cada instrumento y define su timbre: cada instrumento posee su propio espectro de
Fourier. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le acostumbra
denominar también color del tono.
En resumen, el timbre depende del espectro de Fourier del instrumento. Varios instrumentos podrían
tener la misma frecuencia fundamental (tono), Figura 3, pero se diferenciarán en sus armónicos
superiores.
Figura 3: Igual tono pero diferente timbre
Cualidades del sonido: el tono
El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo,
por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la
frecuencia fundamental. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias fundamentales
bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias fundamentales altas. Así el sonido más grave de
una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. Junto con la frecuencia,
en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo
general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las
frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1 000 y 3 000 Hz el tono es relativamente
independiente de la intensidad.
Tubos sonoros: repaso
Recordar los resultados obtenidos para los tubos sonoros en el módulo sobre ondas estacionarias, módulo 8.
Las frecuencias propias (o frecuencias de resonancia) para los tubos cerrados cumplen,
fn =
 2n-1 V ,
4L
n=1,2,3,...
[7]
y las de los tubos abiertos cumplen,
fn =
nV
, n=1,2,3,...
2L
[8]
en donde L es la longitud de la columna de gas, es decir, del tubo que la contiene, V la velocidad de
propagación del sonido en el gas.
La voz humana
El aparato fonatorio involucra una serie de órganos que comparte con el sistema respiratorio y el digestivo.
Para lograr comprender el proceso de la fonación y la función que cumple cada parte del aparato fonatorio
en dicho proceso, se lo puede dividir en tres partes:



Sistema productor de energía: vías respiratorias inferiores, diafragma y músculos del tórax.
Sistema generador de sonido: laringe y cuerdas vocales.
Sistema de resonancia: faringe, cavidad bucal y cavidad nasal.
En la Figura 4A se ilustra la anatomía del sistema fonatorio y en la Figura 4B un modelo físico del mismo.
Sistema generador: las cuerdas vocales
Las cuerdas vocales se abren y cierran rápidamente produciendo variaciones en la presión generando una
onda de presión que constituye el sonido básico del habla (pero sin amplificación, es muy débil). Desde el
punto de vista físico las cuerdas vocales no pueden asimilarse exactamente a un instrumento de cuerda ni a
un instrumento de viento aunque en algunos aspectos se asemejan. Tiene masa y tensión como los primeros
y actúan sobre una corriente de aire como los segundos: la frecuencia de vibración de las cuerdas vocales
depende de la tensión muscular, de la masa de tejido involucrado en la vibración y del caudal del flujo de
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aire que proviene de los pulmones, componentes que varían voluntariamente durante el proceso de fonación.
Normalmente la frecuencia fundamental f1 de vibración de las cuerdas vocales es del orden de 120 Hz para
los hombres, 250 Hz para las mujeres. El espectro completo del sonido generado por está compuesto por la
frecuencia fundamental f1 y la serie de frecuencias correspondientes a los armónicos o múltiplo de f1.
12
Figura 4
Sistema de resonancia: cavidad resonante (tubo sonoro)
Por último el tracto vocal el cual está conformado por tres cavidades (la faringe, la nasal y la vocal)
produce modulaciones en el sonido originado en las cuerdas vocales comportándose como un complejo
sistema de resonancia que filtra y refuerza componentes del sonido original: el aire contenido en el tracto
vocal recibe el tren de pulsos cuasi periódicos que se genera en la cuerdas vocales y comienza a vibrar en
una forma bastante compleja según las frecuencias naturales de resonancia de las distintas cavidades que
lo componen. Estas frecuencias corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado (el tracto se
puede asimilar a un tubo de sección uniforme cerrado a nivel de la glotis y abierto en la boca),
fn =
 2n-1 V ,
4L
n=1,2,3,...
[7]
De esta forma el aparato fonador se comporta como un emisor de sonido compuesto por un sistema
productor de sonido, cuerdas vocales, y un sistema de resonancia, el tracto vocal.
Si se toma como valores normales para la longitud del tracto vocal 17 cm en los hombres y 13 cm en las
mujeres las longitudes de onda para los primeros cuatro modos resonancia y sus correspondientes
frecuencias (también denominadas frecuencias formantes) tomando como velocidad del sonido 349 m/s se
ilustran en la Tabla 3.
Tabla 3
Hombre
Mujer
Longitud de onda (cm)
Frecuencia (Hz)
Longitud de onda (cm)
Frecuencia (Hz)
Armónico 1
68
500
52
650
Armónico 2
22,67
1 500
17,33
1 960
Armónico 3
13,66
2 500
10,4
3 270
Armónico 4
9,71
3 500
7,43
4 580
Resumiendo:
El sistema generador (laringe + cuerdas vocales) produce un conjunto de vibraciones armónicas sonoras
con una frecuencia fundamental que depende de la tensión y de la masa de las cuerdas vocales. En general
esta frecuencia es menor en lo hombres que en las mujeres porque las cuerdas de los hombres tienen más
masa: 120 Hz lo hombres y 250 Hz en las mujeres (estos valores son estimaciones). Los múltiplos de estas
frecuencias corresponden a los armónicos sucesivos: hombres (240 Hz, 360 Hz, 480 Hz, …), mujeres (500
Hz, 750 Hz, 1 000 Hz…).
Para el sistema de resonancia (faringe + cavidad bucal + cavidad nasal) las frecuencias propias
corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado. En la tabla 3 se dan estimaciones de las
frecuencias correspondientes a los cuatro primeros armónicos para un hombre y para una mujer (estas son
estimaciones de las frecuencias formantes de los sonidos en el habla).
Los sonidos cuyas frecuencias formantes están cercanas a frecuencias de sistema generador entran
en resonancia y se amplifican.
La voz del pato Donald
Las frecuencias formantes de la cavidad de resonancia son proporcionales a la velocidad del sonido en la
cavidad, ecuación [7]. Si se inhala helio las frecuencias formantes de la cavidad del habla se ven
aumentadas en un factor de 2,9: la velocidad del sonido en el helio es 2,9 veces mayor que la velocidad del
sonido en el aire. Así se genera una voz parecida a la del Pato Donald
El Efecto Doppler
El efecto Doppler consiste en la variación de la frecuencia de una onda percibida por un observador cuando
la fuente de la perturbación y/o el observador están en movimiento.
13
Este efecto fue analizado por Christian Doppler (1803 - 1853) para dar explicación de la variación en
frecuencia de las ondas luminosas que provienen de cuerpos celestes, aunque el fenómeno pueda observarse
más fácilmente en las ondas sonoras.
Se presentan tres casos:

Fuente en movimiento y observador quieto.

Fuente quieta y observador en movimiento.

Fuente y observador en movimiento.
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Fuente en movimiento y observador quieto
En este caso supóngase que la fuente F de
ondas sonoras está en movimiento con
velocidad
u,
Figura 5. Esta fuente emite
ondas de frecuencia f y longitud de onda
λ . Se mostrará que el observador O
recibirá las ondas que se mueven con
velocidad
de
propagación
V
con
una
frecuencia f  y una longitud de onda λ :
se tomará como positivo el sentido de las velocidades concorde con el sentido de la velocidad de
propagación de la onda, es decir el sentido F  O (es decir, de fuente hacia observador).
Si la fuente estuviera quieta, después de cierto tiempo t , necesario para que el observador reciba la
primera onda, la fuente habría emitido N ondas,
N=ft
(1)
que ocuparían la distancia,
FO = Nλ
(2) .
Si, mientras se emiten las ondas, la fuente se mueve (hacia el observador) con velocidad
u,
entonces al
tiempo t , el mismo número N de ondas debe ocupar un distancia FO < FO dado que la fuente se ha
desplazado una distancia,
FF = ut
(3)
Esto implica que si en una distancia menor debe distribuirse el mismo número N de ondas, la longitud de
onda debe acortarse de manera que,
FO = Nλ
(4)
Es evidente que,
FO = FF + FO
y por lo tanto de (2), (3 y (4),
Nλ = ut + Nλ
(5)
15
Reemplazando (1),
f t λ = u t + f t λ
f λ = u t + f λ
(6)
Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación V de las ondas es independiente del movimiento de la
fuente, la variación de la longitud de onda implica una variación de la frecuencia de manera que,
V = λf = λ'f'
(7)
Reemplazadas (7) en (6),
f
f
=
V-u
V
(8)
Esta ecuación muestra que la frecuencia percibida por el observador aumenta si la fuente se acerca
( u > 0 ) y disminuye si la fuente se aleja ( u < 0 ).
Los otros dos casos pueden reducirse a este caso escogiendo un sistema de referencia con respecto al cual
el observador esté quieto. Este será el camino que se seguirá a continuación.
Fuente quieta y observador en movimiento
Supóngase que la fuente esté quieta y el observador está en movimiento con velocidad
w con respecto
al
sistema de referencia S. Si se escoge un sistema de referencia S’ en el cual el observador esté quieto, la
fuente se moverá con velocidad
-w
mientras que las ondas se propagaran con velocidad V - w . De esta
forma el caso se redujo al de la ecuación (8) y por lo tanto se obtiene,
f
V - w  - - w 
f
f
=
V
V-w
=
f
V - w
(9)
Fuente y observador en movimiento
Supóngase que la fuente F se mueve con velocidad
u
y el observador O con velocidad
w ; como en el caso
anterior podemos escoger un sistema de referencia S’ en el cual el observador esté quieto. En este sistema
S’ la fuente se moverá con velocidad
u-w
mientras las ondas se propagan con velocidad
V - w ; si se
reemplaa en la ecuación (8) se otiene,
16
f
f
=
V - w - u - w V - w
f
f
=
V-u
V-w
[9]
Esta es la expresión que se empleará para el efecto Doppler.
Convenio de signos:
Recordar que se considerará V siempre positiva;
u
y
w serán
positivas si tienen el sentido de V de lo
contrario se tomarán negativas.
La aplicabilidad de la ecuación [9] está sometida a la condición V > w dado que si el observador se mueve
con velocidad superior a la velocidad de las ondas no sería alcanzado por la perturbación, además w > V ;
implicaría valores negativos para f , resultado que no tendría sentido.
Por la misma razón debe ser
V > u dado que si la fuente se mueve más rápido que las ondas la ecuación [9] conduciría a frecuencias f 
negativas.
Ejemplo 6: Este ejemplo mostrará la NO SIMETRÍA del efecto Doppler y la explicación de esto.
Una ambulancia emite una frecuencia de 1 000 Hz. Calcular la frecuencia que percibe un conductor de un
auto si: (a) la ambulancia se acerca a éste con una rapidez igual a 30,0 m/s y el carro del conductor está en
reposo, (b) la ambulancia está en reposo y el conductor se acerca a la ambulancia con una rapidez igual a
30,0 m/s.
Nota: mostrar que en ambos casos da una frecuencia mayor a 1 000 Hz pero no dan el mismo valor como
aparentemente se podría pensar (esta es la denominada NO SIMETRÍA del efecto Doppler). Dar las
razones físicas de esto
Solución:
En la Figura 6 se ilustra cada uno de los casos.
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Figura 6
Reemplazando los valores del caso (a) en la ecuación [9] y despejando f’ se obtiene,
1 000
f
=
340 -  30 
340
f  = 1 097 Hz
Reemplazando los valores del caso (b) en la ecuación [9] y despejando f’ se obtiene,
1 000
f
=
340
340 -  30 
f  = 1 088 Hz
Observar que en ambos casos da mayor que 1 000 Hz pero no da igual. La razón de esto es la siguiente:

En el caso (a) el observador mide una longitud de onda menor pero las ondas de sonido se acercan a él
con la velocidad de 340 m/s. En la Figura 7 se ilustra por qué cuando la fuente se mueve el observador
hacia donde se acerca detecta menor longitud de onda, λ < λ , mientras que el observados que observa
la fuente alejándose detecta mayor longitud de onda, λ > λ . El fundamento de esto es que la fuente
puntual emite ondas esféricas con centro en ella y cuando esta se mueve el centro va cambiando dando
como resultado que los frentes de onda se pegan hacia donde se mueve la fuente y se alejan entre ellos
en el sentido contrario.
18
Figura 7
Por lo tanto como,
λf = V
f=
V
λ
y como el numerador permanece constante pero el denominador disminuye (la fuente se acerca al
observador), entonces la frecuencia detectada por el observador se incrementa.

En el caso (b) la fuente está en reposo y por lo tanto todos los frentes de onda son concéntricos y por
lo tanto no hay variación en la longitud de onda; sin embargo el observador al acercarse a la fuente con
una rapidez igual a 30,0 m/s ve que la onda sonora se acerca a él con una rapidez mayor e igual a 370
m/s. En este caso el denominador de la expresión anterior permanece constante pero aumenta del
numerador generando también un aumento en la frecuencia detectada. Sin embargo no es lo mismo un
aumento en la frecuencia debido a un aumento en el numerador que a una disminución en el
denominador.
En definitiva, el aumento de la frecuencia percibida por el observador en el caso (a) es debido a una
disminución en la longitud de onda captada por el observador y en el caso (b) a un aumento en la velocidad
de propagación percibido por el observador.
Ejemplo 7: Ecografía Doppler
Enunciado y figura 8 tomados de: http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/ONDAS/ond_2_ad_02.html
La velocidad media del flujo sanguíneo en una arteria de perro es
2,3 x 10-2 m/s. ¿Cuál es la frecuencia media del sonido detectado en un
aparato Doppler de medida si la frecuencia de la fuente es 10 5 Hz (la
velocidad del sonido en la sangre es 1 570 m/s)? ¿A cuántas pulsaciones
Doppler equivalen?
Nota: las pulsaciones Doppler se calculan haciendo la diferencia entre la
frecuencia emitida por la fuente y la recibida.
Solución:
En la Figura 9 se ilustra las dos partes
en las cuales se debe dividir la
solución. En la parte se toma como
fuente el instrumento de ultrasonido y
como observador los glóbulos rojos:
corresponde a la onda sonora que
incide en los glóbulos. En la segunda
parte
se
toma
como
fuente
los
glóbulos rojos y como observador el
instrumento ultrasónico: corresponde
a la onda reflejada por los glóbulos
rojos. Se debe anotar que en la
reflexión
NO
se
cambia
la
frecuencia de la onda, es decir, la
frecuencia con la cual llega la onda que
incide en los glóbulos es igual a la frecuencia de las ondas que salen de la reflexión en éstos.
Con base en lo anterior y suponiendo la sangre moviéndose hacia el aparato ultrasónico se tiene para el
Doppler de ida,
19
u1 = 0
w1 = Vg = - 0,023
m
s
f1 =100 000 Hz
f1= ?
V = 1 570
20
m
s
Reemplazando en la ecuación [9] se obtiene,
f1
100 000
=
1 570
1 570 -   0, 023
f1 = 100 014, 65 Hz
Para el Doppler de regreso se tiene,
u 2 = + 0,023
m
s
w2 = 0
f2 = 100 014,65 Hz
f 2 = ?
V = 1 570
m
s
Reemplazando en la ecuación [9] se obtiene,
f 2
100 014,65
=
1 570 -   0, 023 1 570
f2 = 100 016,12 Hz
Esta es la frecuencia de la onda de regreso detectada por el instrumento. Las pulsaciones Doppler son
iguales a,
Δf = f1 - f2
Δf = 100 000 - 100 016,12 Hz
Δf = 16,1 Hz
Es decir se detectan 16,1 pulsaciones por segundo. Pece muy poca la diferencia pero el instrumento es
capaz de detectarla.
Este examen médico denominado “Doppler venoso o arterial” es muy preciso y exacto para detectar
trombos en la sangre: en este caso el aparato mide Δf y con base en esto calcula la velocidad de la sangre.
Ejemplo 10: Sobre el efecto Doppler en la luz y su uso en astronomía.
Tomado textualmente de: http://home.earthlink.net/~astronomia/_/Main/T_doppler.html
El efecto Doppler en astronomía es una herramienta esencial, ya que éste suministra información para
investigar el movimiento y la composición química de las estrellas lejanas. Para entender cómo el efecto
Doppler nos da esta información, considere los siguientes hechos:

Cuando la luz emitida por una estrella pasa por sus capas de gas más externas, las ondas de
determinadas longitudes de onda son absorbidas por estos átomos.

En el espectro de la luz emitido por la estrella aparecen estas líneas de absorción como bandas oscuras.

Cuando una estrella se aleja de nosotros o se acerca, el efecto Doppler cambia las longitudes de onda
percibidas, haciendo que las líneas en los espectros cambien de lugar.
Figura 10
La gráfica ilustra un ejemplo del espectro de absorción de la luz de la estrella. Las dos líneas negras
corresponden a luz que fue absorbida por loa átomos de la atmósfera de la estrella. El primer espectro
corresponde a una estrella en reposo relativo a nosotros que observamos desde la Tierra. El segundo
espectro corresponde a una estrella que se aleja de nosotros. Notar como las líneas del espectro se corren
hacia el rojo. Finalmente, el último espectro corresponde a una estrella que se acerca a nosotros. Notar
como las líneas del espectro se corren hacia el violeta.
21
Taller
1.
Una persona es capaz de distinguir entre dos sonidos que le llegan con una diferencia de 0,10.
(a) Demostrar que podrá distinguir entre sonidos simultáneos de dos fuentes que estén a 34 m. (b) Si
su propia voz se reflejase en una pared percibirá dos sonidos diferentes, fenómeno conocido con el
nombre de eco. Demostrar que la distancia mínima a la superficie reflectante para que se detecte el
eco es igual m 17 m.
22
2. Una fuente puntual radia el sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10,0 m,
la intensidad del sonido es 10-4 W/m2. ¿A qué distancia del foco la intensidad es 10 -6 W/m2? ¿Qué
potencia está radiando el foco?
Rp. 100 m, 0,126 W.
3. Una unidad de aire acondicionado opera con un nivel de intensidad de sonido de 73 dB. Si se pone a
trabajar en un cuarto, con un nivel de sonido ambiental de 68 dB ¿Cuál será el nivel de intensidad
resultante?
Rp. 73,9 dB
4. Tres frecuencias de resonancia sucesivas de un tubo de órgano son 1 310, 1 834 y 2 358 Hz. ¿Está el
tubo cerrado por un extremo o abierto por los dos? Hallar la frecuencia fundamental y la longitud del
tubo.
Rp. Es cerrado en un extremo, 262 Hz, 32,4 cm
5. Un estudiante sostiene un diapasón que oscila a 256 Hz. Camina hacia una pared con una rapidez
constante de 1,33 m/s (a) ¿Cuántas pulsaciones escucha? (b) ¿Cuán rápido debe caminar para escuchar
5 pulsaciones por segundo?
Rp: (a) 1,99 Hz (b) 3,38 m/s
6. La fuente de sonido del sistema de sonar de un barco opera a 25,0 kHz. La rapidez del sonido en el
agua es de 1 480 m/s. (a) Calcular la longitud de onda de las ondas emitidas por la fuente. (b) Calcular
las pulsaciones que se detectan cuando al reflejarse las ondas en una ballena que viaja directamente
hacia el barco a 5,85 m/s.
Rp: (a) 0,0592m (b) 198 Hz
7. Una sonda Doppler emite con una frecuencia de 2 MHz. Encontrar las pulsaciones Doppler captadas por
la sonda debido a la reflexión de las ondas en los glóbulos rojos que se alejan de ésta con una velocidad
igual a 0,10 m/s.
Rp. 260 Hz