Los números y sus relaciones
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Distribución gratuita Prohibida su venta 2002-2003 Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales Programa de estudio Los Números y sus Relaciones er semestre Los Números y sus Relaciones Programa de estudio Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Tercer semestre Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales México, 2002 Los Números y sus Relaciones. Programa de estudio. Licenciatura en Educación Secundaria. 3er semestre fue elaborado por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública. La SEP agradece la participación de los profesores de las escuelas normales en el diseño del programa. Coordinación editorial Esteban Manteca Aguirre Cuidado de la edición Sergio Peña Diseño Dirección Editorial de la DGMyME, SEP Formación Lourdes Salas Alexander Primera edición, 2000 Primera reimpresión, 2001 Segunda reimpresión, 2002 D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2000 Argentina 28 Centro, C. P. 06020 México, D. F. ISBN 970-18-5093-9 Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA Índice Presentación Los Números y sus Relaciones Programa Introducción 9 Organización de los contenidos 9 Orientaciones didácticas 10 Las ideas de problematizar el estudio de la disciplina 10 Propósitos generales 11 Bloques temáticos Bloque I. Aspectos históricos de los sistemas númericos 12 Bloque II. Los números enteros 12 Bloque III. Números racionales 15 Bloque IV. Proporcionalidad 20 Presentación La Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativas estatales, ha puesto en marcha el Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales. Una de las acciones de este programa es la aplicación de un nuevo Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria, que se inicia en el ciclo escolar 1999-2000. Este cuaderno está integrado por el programa Los Números y sus Relaciones. Los textos cuya consulta es fundamental en el desarrollo del curso, son los propuestos en el apartado de bibliografía básica y están disponibles en las bibliotecas de las escuelas normales. Es importante que los maestros y los estudiantes sean usuarios constantes de estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos del curso. Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores que atienden las asignaturas y a los estudiantes que cursan el tercer semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria. Es importante conocer los resultados de las experiencias de trabajo de maestros y alumnos, sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consideradas para mejorar este material. La Secretaría de Educación Pública confía que este documento, así como las obras que integran el acervo de las bibliotecas de las escuelas normales del país, contribuyan a la formación de los futuros maestros que México requiere. Secretaría de Educación Pública Los Números y sus Relaciones Horas/semana: 4 Créditos: 7.0 Programa Introducción La naturaleza misma de las matemáticas tiene como punto de partida los números y sus operaciones; de hecho, a las matemáticas se les solía definir como “la ciencia del número y la magnitud”. Esto justifica que, desde sus orígenes y en los diferentes niveles educativos, el curriculum de matemáticas se haya organizado en torno a las propiedades y el estudio de los números. La importancia de los números en la vida del hombre es manifiesta pues, entre otras cosas, le permiten cuantificar las múltiples actividades que realiza diariamente. Los números también pueden ayudar al hombre en actividades no tan prácticas, como cuantificar distancias astronómicas o cantidades de años que nos remiten al origen del hombre. En general, podemos afirmar que, para el hombre de nuestros días, los números son imprescindibles y su entendimiento y uso, esenciales. Organización de los contenidos Teniendo como antecedente lo anterior y partiendo de que los números y sus operaciones tienen relevancia lo mismo en actividades prácticas que teóricas, se sugiere que el estudio de los números y sus relaciones se haga tomando en cuenta los siguientes aspectos fundamentales. a) Significado de los números, diferentes formas de representarlos, relaciones entre ellos y sistemas numéricos. En el proceso de entender el significado de los números, los estudiantes deben diferenciar y dar sentido a números muy pequeños o muy grandes, ya que ambos se usan con frecuencia en la información que aparece en los medios de comunicación referida a la población, la economía o la ciencia. Las diferentes interpretaciones de los números racionales (fracciones, decimales, porcentajes) y su representación en una recta numérica ayudarán a entenderlos. Otro aspecto del proceso de entender los sistemas numéricos se relaciona con las propiedades de los números enteros, tales como la divisibilidad, la descomposición en factores primos y las propiedades de números primos. Un elemento adicional de mucha importancia para entender los sistemas numéricos son las relaciones entre los elementos del sistema. En el caso de los números reales, la comprensión de la relación de orden es fundamental para abordar una variedad amplia de problemas, que van de lo práctico a lo teórico, y es la base para discutir las ideas fundamentales de lo que suele llamarse “matemáticas superiores”. 9 b) Significado de las operaciones y sus relaciones. La comprensión del significado de las operaciones en los sistemas numéricos es el fundamento para estudiar otras áreas de las matemáticas como el álgebra, la geometría y el cálculo, entre otras. Esto permitirá operar con otros sistemas algebraicos de gran utilidad, como pueden ser los vectores, las matrices, etcétera. En los aspectos prácticos, la comprensión de las propiedades de las operaciones tiene gran utilidad. Por ejemplo, se puede usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma para simplificar o transformar cálculos. También se puede usar e interpretar el sentido inverso de la suma y la resta o de la multiplicación y la división para resolver problemas. c) Calcular con fluidez y hacer aproximaciones razonables. Un aspecto de gran importancia al resolver problemas de matemáticas es poder decidir con “buen criterio” si un determinado problema requiere de una solución más o menos precisa y cómo obtenerla. También es importante poder discernir entre el uso de cálculos mentales, con calculadora o computadora o usando solamente papel y lápiz. En algunas situaciones es recomendable acudir a cálculos mentales aproximados. Por ejemplo, se requiere calcular mentalmente, con fluidez y cierto grado de precisión, cuando hay que tomar decisiones, para hacer alguna compra u otro tipo de operación. El programa del curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos que cuentan con actividades sugeridas que los profesores responsables de conducirlo pueden enriquecer con base en su experiencia. Orientaciones didácticas La idea de problematizar el estudio de la disciplina Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierta forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas. Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción 10 del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes. Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que llegan a ser rutina –en un curso que valore la resolución de problemas– y que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿he usado o identificado la información importante en el problema? ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? ¿Puedo convencer a otros compañeros? ¿He resuelto totalmente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Se puede generalizar este resultado? Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los problemas. Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes. La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático. Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina. Propósitos generales Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: 1. Adquieran bases sólidas en relación con el estudio de los números y sus relacio- 11 nes, tanto para abordar los siguientes cursos de la especialidad como para realizar un trabajo docente de calidad. 2. Adquieran elementos para analizar situaciones de estudio relacionadas con el significado de los números, sus relaciones y operaciones, que resulten adecuadas para los estudiantes de secundaria. 3. Desarrollen habilidades para resolver problemas en diferentes contextos, con base en el conocimiento de los números y sus relaciones. Bloques temáticos Bloque I. Aspectos históricos de los sistemas numéricos Temas 1. Origen del concepto de número. 2. Números, lenguaje y el origen del conteo y las cifras. 3. Sistemas de numeración (romano, decimal, egipcio): su evolución. Bibliografía básica Ifrah, G. (1988), Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial. Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP. SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México. Actividades sugeridas 1. Los estudiantes pueden formar equipos para leer los capítulos del libro de Ifrah. En el salón de clase, los equipos reportarán sus trabajos y señalarán las cuestiones relevantes vinculadas con los temas propuestos. Pueden abordar preguntas como las siguientes: ¿cuáles son las ventajas de calcular en base 10 en relación con otros sistemas? ¿Cuál es la representación de 12345.75 en el sistema binario? 2. Organizados en equipos, resuelvan el tema I de primer grado del Fichero de actividades didácticas. Bloque II. Los números enteros Temas 1. Los números enteros y las propiedades de las operaciones de suma y producto. 2. Divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, números primos y el Teorema Fundamental de la Aritmética. 12 3. Algunos criterios de divisibilidad (divisibilidad por 2, 3, 5, 11). 4. Los enteros en la recta numérica. 5. Orden en los números enteros. 6. Algunos principios de conteo. Bibliografía básica Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP. SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México. Actividades sugeridas 1. Una propiedad importante de los números enteros es el concepto de números consecutivos, que son aquellos cuya diferencia es 1 o -1. Por ejemplo, 10 y 11 son consecutivos; -110, -111. Con esta idea se pregunta: ¿es 4 suma de dos números consecutivos? Para contestar se puede empezar ensayando algunos casos, por ejemplo: 1 y 2 no suman 4; 2 y 3 tampoco. ¿Podemos concluir que 4 no es la suma de dos números consecutivos? ¿Por qué? ¿Será un número par la suma de dos números consecutivos? Dos números consecutivos tienen la propiedad de que uno es par y el otro es impar, por lo que al sumarlos se obtiene un número impar. De esta discusión se tiene que los números pares no son la suma de dos números consecutivos. Se formula la misma pregunta para números impares. Un número impar es de la forma 2n+1 y ésta representación es claramente la suma de dos consecutivos. Con esta misma idea se pregunta: ¿es un número impar la suma de tres consecutivos? La suma de tres números consecutivos es de la forma n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3 (n+1). De esta ecuación se tiene que para que un número sea la suma de tres consecutivos se requiere que 3 lo divida. ¿Qué condición se requiere para que un número entero sea la suma de 4, 5, 6, etcétera, números consecutivos? ¿Puede un número dado ser la suma de 2, 3, 4, 5 números consecutivos? Los estudiantes pueden formar equipos para hacer una discusión de las preguntas planteadas. El profesor puede guiar la discusión para profundizar en el estudio de propiedades de divisibilidad y factorización de enteros en primos haciendo preguntas como las siguientes: ¿cuántos factores primos puede tener un número menor que 100? ¿Cuáles son los números menores que 100 cuyos factores primos son todos diferentes? ¿Habrá un número primo que sea mayor que todos los otros números primos? Si el número 2n +1 es primo, ¿tendrá n factores impares diferentes de uno? 2. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema. Encontrar dos factores de 100 tales que ninguno sea divisible por 10. Una forma de abordar el problema es encontrando diferentes factores de 100, por ejemplo 2 y 50, pero uno de ellos no cumple las condiciones pedidas. Otros posibles factores son 4 y 25, los cuales sí satisfacen las condiciones deseadas. Se debe notar que al factorizar 100 como producto de números primos se tiene: 100 = 25 52. Con esta representación, la solución 13 al problema planteado se puede dar casi directamente. El problema se puede extender al caso 1 000 000. 3. El profesor puede pedir a los estudiantes que formulen problemas que extiendan al anterior. Por ejemplo, el número 1 296 es divisible por 6 (¿por qué?). La respuesta debe ser dada sin hacer la división. ¿Puede encontrar dos factores que dividan a 1 296 y que no sean divisibles por 6? ¿Cómo se formula un problema en donde intervengan los primos 2 y 7? Para abordar estos problemas, los estudiantes se pueden auxiliar de alguna calculadora que factorice enteros. 4. Resuelvan los siguientes problemas del Libro para el maestro de matemáticas: problemas 2 y 9 (p. 92) y problemas 6 y 7 (p. 95). 5. En relación con los problemas que involucran a los números enteros, se tienen aquellos en donde se aplican propiedades que derivan de dividir enteros y dejan resto. Estos problemas dan origen a lo que se llama “aritmética modular”. Un par de buenos ejemplos que ilustran esto son los problemas 8 y 10 (p. 95) del Libro para el maestro. 6. Con frecuencia se encuentran situaciones en que se debe determinar el número de posibles formas de agrupar objetos o personas de una manera determinada. Por ejemplo, se tiene un grupo de cinco personas de las cuales se han de elegir un presidente y un secretario que los representen semanalmente. ¿De cuántas formas se pueden nombrar los representantes? ¿Cuántas semanas habrán transcurrido antes de que se repitan los mismos representantes? Posibles formas de solución. Los estudiantes pueden simular la situación y elegir algunas formas de representar la información. Por ejemplo, se pueden formar parejas con las iniciales de los nombres, por facilidad pueden suponer que las iniciales son: A, B, C, D y E. Ahora, ilustrar en una tabla las diferentes parejas posibles que se forman y, a la vez, una forma eficiente de contarlas. (A, B) (A, C) (A, D) (A, E) (B, C) (B, D) (B, E) (C, D) (C, E) (D, E) Si ahora se tiene un grupo de n personas y a los miembros del grupo se les asigna un número del 1 hasta n y se pregunta: ¿de cuántas formas se pueden nombrar a los representantes? Notemos que el número 1 puede formar pareja con 2, 3,..., n, de lo cual contamos n-1 parejas, el 2 forma pareja con 3, 4, 5,... n (el 1 ya fue incluido antes). Con el auxilio de una tabla se puede “ver” que el número de parejas es (n-1) + (n-2) + ... + 1. ¿A qué es 14 igual esta suma? ¿Encuentra una forma isomorfa de este problema? Esta actividad se puede extender al caso en que se tenga que elegir k representantes de un total de n. 7. (Cálculo de cuadrados.) Con cierta frecuencia se requiere calcular el cuadrado de números enteros que terminan en cinco. Por ejemplo 152, 252, etcétera. Calculando estos cuadrados se observa que el resultado termina en 25, es decir 152 = 225, 252 = 625. ¿Hay una regla que ayude a determinar los cuadrados de números enteros que terminan en 5? El profesor puede pedir a los estudiantes que experimenten con más enteros del tipo pedido para observar el comportamiento. Una vez hecho esto, puede preguntar si es posible formular y probar el resultado que han observado. (Sugerencia: un entero que termina en 5 es de la forma 10n+5). 8. Realicen las actividades del tema 3 y del tema 4 de primer grado del Fichero de actividades didácticas. Bloque III. Números racionales Temas 1. Lectura y escritura de números decimales y su representación en la recta numérica. 2. Operaciones con decimales (cálculo mental, algoritmos y aproximaciones). 3. Decimales periódicos. 4. Diferentes representaciones de los números racionales: decimales, cociente de enteros y por ciento. 5. Propiedades de las operaciones en los números racionales. 6. Orden en los números racionales. 7. Uso de números racionales para representar cantidades en la recta numérica. 8. Uso de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones para simplificar cálculos. Bibliografía básica Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP. SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México. Llinares, S. y V. Sánchez (1988), “Las fracciones: diferentes interpretaciones”, en Fracciones, Madrid, Síntesis, pp. 51-78. Actividades sugeridas 1. La comprensión de las diferentes representaciones de los números es fundamental para que los estudiantes puedan comunicar e interpretar con el lenguaje matemático y resuelvan una variedad de problemas. Cada representación puede ofrecer ventajas o desventajas para analizar o entender situaciones. Así, los estudiantes deben utilizar di15 versos tipos de representación de fracciones, decimales y porcentajes. Por ejemplo, el profesor puede plantear preguntas como las siguientes: ¿cómo es más conveniente escribir 22/100 o 11/50 en un cheque? ¿Puede explicar por qué las siguientes representaciones 15/100, 3/20, 0.15 y 15% corresponden al mismo número? ¿Puede identificar problemas o situaciones en las que el uso de cada una de estas representaciones sea la más adecuada? ¿Cómo se expresa la probabilidad de sacar una bola blanca de una bolsa que contiene 20 bolas con igual probabilidad? ¿Cómo representa el descuento que tiene un determinado producto? 2. Los modelos que involucran áreas pueden ser de utilidad para que los estudiantes visualicen el sentido de los números. En las siguientes representaciones se observa que las fracciones l8/12 y 2/3 son equivalentes y pueden representar áreas. ¿Cómo se explica esto geométricamente? En la multiplicación (1.2) x (1.4), ¿cuál es el significado geométrico? ¿Cómo se puede representar gráficamente el 80% de 20? 3. De la siguiente lista, seleccionen aquellos números que sean racionales. Expliquen por qué: √ 4 ; 5 √ 5 ; √ -16 ; 1.3434; 7 ; 0; 25% (9 - 32) 16 - 5.6; 1.121121112...; 2 ; 3 4. En una gran variedad de problemas reales se requiere obtener respuestas aproximadas. Para comentar este aspecto, el profesor puede plantear los siguientes problemas: • Las dimensiones de un terreno rectangular son 40.15 y 60.25 metros. ¿Cuál es el área aproximada del terreno? • ¿Cuál es el resultado aproximado de sumar 7/8 y 16/15? • ¿Cuál es el valor aproximado de la diagonal de un cuadrado de lado 4? ¿Es mayor que 6? Al contestar a las preguntas planteadas, el maestro puede orientar una revisión de las propiedades y operaciones con fracciones, áreas de cuadrados y el Teorema de Pitágoras. 5. Otra situación en donde los métodos de aproximación juegan un papel importante es la siguiente: • ¿Qué proceso se puede utilizar para estimar 64.6 x 0.16? Una forma de realizar esta estimación es observar que los números 64 y 16 se pueden expresar como potencias de 2 y aprovechar esta propiedad para operar con 26 x 24 = 210 y, después, al resultado (1 024) colocarle el punto decimal en el lugar correspondiente 10.24. ¿Cómo se aproxima 482 x 50.2? Aquí, por ejemplo, se puede aproximar usando la operación: 482 x 1/2 x 100 de lo que resulta 24 100. El redondeo, la distributividad y el uso de potencias de dos son las estrategias que ayudaron a realizar las operaciones anteriores. La estimación es una habilidad fundamental que los estudiantes deben desarrollar y forma parte de las propiedades de los números. El contexto de la pregunta o problema desempeña un papel importante en la forma de estimar. Por ejemplo, si han de comprarse 35 artículos a un precio de $45 pesos cada uno y se desea saber si se tiene suficiente dinero para comprarlos, entonces el número 40 x 40 = 1 600 da una idea de la cantidad de dinero que se necesita. Otra situación análoga a la anterior es la siguiente: si se va a pintar una superficie de 35 x 45 metros, entonces 1 600 sería una buena estimación. En general, para estimar el resultado de alguna operación se realiza un cálculo mental teniendo en cuenta números aproximados a los originales. Aquí es importante discutir lo razonable de la respuesta. Otra variante de la estimación se relaciona con el proceso de estimar mediciones, es decir, llegar a una medición sin utilizar herramientas para medir, por ejemplo, la estimación del área de una habitación. El tema de aproximaciones está lleno de ejemplos de la vida diaria. Por ejemplo, ¿cuánta basura se recolecta en tu casa cada semana? ¿Cuánta agua se consume diariamente en tu casa?, etcétera. Nótese que, en estas situaciones, el estudiante tiene que aportar cierta información y asumir una serie de condiciones que le permitan plantear y llevar a cabo un plan de solución. Estos problemas se pueden abordar de distintas maneras y una forma de evaluar la respuesta es comparando (con sus compañeros) las soluciones que se obtengan en esos diversos caminos. 17 6. El maestro debe utilizar actividades de estudio en las que los estudiantes exploren propiedades de los números. A continuación se presentan algunos aspectos que son importantes durante el proceso de resolver problemas: • Usar diferentes representaciones de los números y reconocer cuando una representación es más útil que otra. Por ejemplo, observar que 12 x 15 puede fácilmente operarse como 6 x 30, o que 12 x 25 puede calcularse como un cuarto de 12 y multiplicar el resultado por 100 (ya que 25 es 100/4). • Reconocer la magnitud relativa de los números. Por ejemplo, saber que 1/3 es mayor que 1/4 y que la diferencia entre 3 y 5 es la misma que la diferencia entre 123 y 125; relativamente, cuando los números son más grandes, el significado de la diferencia puede variar. • Usar números de referencia para comparar cantidades. Por ejemplo, puede usar el 1 como referencia para reconocer que la suma de 7/8 y 9/10 debe ser un poco menos que 2, ya que cada fracción es un poco menos que 1. • Conectar entre los números, operaciones y relaciones entre símbolos. Por ejemplo, reconocer que 365 ÷ 0.69 será un número mayor que 365, o que la diferencia entre $6 y $2.85 se puede encontrar restando 2 (que da 4) y quitando otros .85¢ o sumando .85¢ a $2.85, y sumarlos a $3.00 • Reconocer los efectos de las operaciones. Por ejemplo, explicar qué le ocurre a un número cuando se multiplica por .5 o cuando se divide por un número entre 0 y 1. O con la información representada en la recta, ¿qué número (de los allí representados) está más cerca de: ab, 1/f, √h y √e? • Reconocer cuando una estimación es apropiada. Por ejemplo, explicar si la suma de dos números de dos dígitos es más o menos que 100. ¿Cuántas cifras o dígitos contienen dos números consecutivos cuyo producto sea 4 160? • Utilizar diferentes estrategias para aproximar resultados. Por ejemplo, ¿aproximadamente cuántas personas caben en el zócalo del D.F.? Es una pregunta que puede ser contestada a partir de estimar las dimensiones de la plaza y dividirla en cuartos, y estimar esa porción para después multiplicar ese número por cuatro. Otra estrategia podría ser la estimación de cuantas personas entran en alguna fila en un lado de la plaza y después estimar el número de filas. La idea de utilizar diversas estrategias ayuda a contrastar las respuestas que se obtengan. 18 7. Resolver las actividades del tema 6 y del tema 8 de primer grado del Fichero de actividades didácticas. 8. (Orden y comparación.) Una de las propiedades más importantes en los números (enteros, racionales y reales) es la relación de orden. Con las propiedades de ésta se puede abordar una gama muy amplia de problemas prácticos y teóricos (usualmente hay que comparar para tomar decisiones). Para abordar este aspecto, el maestro puede plantear los siguientes problemas: 1 Si a es un número positivo, ¿qué tan pequeño es S = a + a ? Posible forma de solución: Para darnos una idea de la posible respuesta tomemos algunos casos particulares. Por ejemplo, si a = 1, S = 2. Si a = 1 , 3 S = 13 + 3 ≥ 2. Si a = 5 , 4 S= 5 + 4 =1+ 1 + 4 ≥ 5 5 4 4 1 + 1 + 4 = 2. 5 5 Con estos datos se puede conjeturar que S ≥ 2 para todo a positivo. ¿Cómo se a2 + 1 puede justificar la conjetura? Notemos que S = a + 1a = a y la conjetura equi2 a + 1 vale a: ≥ 2. Como a es un número positivo, la última desigualdad es equivalena 2 te a: a + 1 ≥ 2a, y esto a la vez equivale a: a2 + 1 - 2a = (a-1)2 ≥ 0, lo cual es cierto. Un problema más es el siguiente: ¿cuál de los siguientes números u es mayor? Otra situación por considerar es comparar números muy pequeños. Por ejemplo, ¿cuál de 1 1 los siguientes números es más pequeño?: 215 , 33 . 9. Dos pasteles idénticos han sido divididos en 5 y 9 partes iguales. Se te propone decidir entre recibir tres pedazos del que ha sido dividido en 5 partes o 4 pedazos del que se dividió en 9 partes. ¿Qué parte seleccionarías? (Argumenta tu respuesta.) 10. (Números racionales.) Cuando se toma una unidad de medida se divide ésta en b partes iguales y se toma algún número a de esas b partes de la unidad, entonces se puede hablar de una de esas partes de la unidad dada. La expresión a/b es una forma de escribir el número racional formado por algún número de subunidades. Nótese que π/2 no es un número racional (pues no es cociente de enteros) pero puede ser escrito como una fracción. 19 Para abordar este aspecto se plantea los siguientes problemas. Tome como unidad, u = 1/3 represente en la recta numérica 5/2 de u. ¿Cuál es la diferencia geométrica entre tomar u=1/3 y u=1 al representar 5/2 de u? Usando la siguiente figura u otra similar, el maestro pedirá a los alumnos que expliquen por qué cada una de las partes sombreadas representa 1/4. Deben notar que sin importar el tamaño de las piezas, sus colores, formas, arreglos o cualquier otra característica física, 1/4 representa la parte sombreada. La actividad puede ser extendida usando otro tipo de representaciones tanto gráficas como numéricas. 11. Organizados en equipos, leer el artículo que se sugiere en la bibliografía y tratar de establecer las características de cada una de las cuatro interpretaciones de la fracción que en él se sugieren. Por equipos, inventar cuatro problemas en los que se pueda distinguir el uso de las fracciones como expresión de una cantidad, como operador, como cociente y como razón. En trabajo colectivo, analicen los problemas inventados. Bloque IV. Proporcionalidad Temas 1. Razones y medición. 2. Proporcionalidad y variación. Bibliografía básica Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP. SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México. 20 Actividad I. (Razonamiento proporcional.) Seis albañiles construyen una barda en tres días. Si todos trabajan con la misma rapidez, ¿cuántos albañiles más se necesitan para construir la misma barda en un día? ¿Cuál es la razón de hombres a mujeres en un pueblo donde 2/3 de los hombres están casados con 3/4 de las mujeres. Se asume que los matrimonios se permiten solamente entre un hombre y una mujer. Para el primer problema se observa que al aumentar el número de albañiles, el número de días para la construcción de la barda disminuye. Si todos trabajan con la misma rapidez, entonces un albañil realiza cada día 1/8 del trabajo. Por lo tanto se necesitan 18 albañiles para terminar la barda en un día. El segundo problema se puede representar de la siguiente manera: Los alumnos pueden usar diferentes representaciones para ilustrar el manejo de la información. Por ejemplo, una figura como la siguiente les permite analizar la segunda pregunta planteada arriba. Se observa que la razón de mujeres a hombres es de 8/9 o de hombres a mujeres es de 9/8. Actividad 2. (Razonamiento proporcional.) Una fábrica de componentes de computadoras produce 100 000 piezas con 10 máquinas trabajando 8 horas diarias durante 7 días. Si se incorporan 6 máquinas a la producción, ¿en cuánto tiempo se producirán las 100 000 piezas? El total de horas que trabaja cada máquina es 8 x 7 = 56 horas, y cada máquina pro00 duce 100 10 = 10 000 piezas. Con esta información se tiene que cada máquina produce 100 00 piezas por hora. Las 16 máquinas producen 100 00 piezas por hora. Si t 56 56 21 denota el tiempo que tardan las máquinas en producir 100 000 piezas se debe tener: 00 t = 100 000. De esto último se tiene que el valor de t = 35 horas. t160 56 El profesor puede utilizar el problema anterior para hacer una discusión con los estudiantes en donde se planteen situaciones como la siguiente. Una compañía, para transportar una cierta cantidad de materia prima utiliza 3 camiones y le toma 7 días (sólo puede hacer un viaje por día cada camión). En condiciones de emergencia solamente dispone de 3 días. ¿Cuántos camiones del mismo tipo son necesarios para transportar la materia prima? Estas situaciones ocurren con cierta frecuencia. Es recomendable que el profesor pida a los estudiantes que ellos propongan problemas análogos. Actividad 3. Resolver los problemas del tema 13 para primer grado del Fichero de actividades didácticas. 22 Los Números y sus Relaciones Programa de estudio Licenciatura en Educación Secundaria 3er semestre se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de con domicilio en el mes de abril de 2002. Se imprimieron 2 500 ejemplares más sobrantes de reposición. El cuidado de la edición estuvo a cargo de la Dirección General de Normatividad de la Secretaría de Educación Pública.
