Unidad II - Web del Profesor

UNIDAD II.
II INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Prof. Eliana Guzmán U.
Semestre A-2015
Tema 1. Conceptos Básicos de
P b bilid d
Probabilidades
…
Introducción: los fenómenos que, generalmente son
objeto de estudio, pueden describirse de dos
maneras:
†
Determinísticos: son aquellos que siguen una ley natural como por
ejemplo las leyes de Newton, de Coulomb, de Ohm, de Kirchhoff, entre
otras. Esto q
quiere decir,, que
q si se estudian este tipo
p de fenómenos,, bajo
j
las mismas condiciones, siempre se obtendrá el mismo resultado.
Tema 1. Conceptos Básicos de
P b bilid d
Probabilidades
†
Aleatorios: son aquellos fenómenos que no parecen responder a ninguna
ley natural, por tal razón, si se estudian estos fenómenos, bajo las
mismas condiciones, no necesariamente se obtiene el mismo resultado.
Por esta razón, se indica que los resultados son aleatorios o que están
sujetos al azar.
Este tipo de fenómenos se estudian, estadísticamente, usando la teoría
de las probabilidades.
La disciplina llamada Probabilidades, trata de obtener leyes y hacer
predicciones,, sobre aquellos
p
q
fenómenos que
q no parecen
p
obedecer a
ninguna ley de la naturaleza.
Experimento
p
…
Los estadísticos utilizan este término para describir
cualquier proceso que genere un conjunto de datos
(
(observaciones).
)
Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire,
aire
disparo de un proyectil y observar el comportamiento
de la velocidad en el tiempo,
p , resistencia de tubos
circulares de acero, edad en que una mujer tiene a su
primer hijo, entre otros.
Experimento
p
Aleatorio
…
En el caso de la estadística, interesan los resultados
de experimentos que dependan del azar, y por lo
tanto,, no p
puedan pronosticarse
p
con certidumbre.
Experimento
p
Aleatorio
En un estudio estadístico interesa, básicamente, la
presentación e interpretación de resultados
aleatorios q
que se obtienen en un estudio o
investigación científica, como por ejemplo:
† Estudio
de la cantidad de accidentes en una
intersección, para justificar la instalación de un
semáforo.
† Clasificación
Cl ifi ió d
de llos artículos
tí l d
de una línea
lí
d
de
producción, como defectuosos o no defectuosos.
Experimento
p
Aleatorio
† Co
Conocer
oce
eel vo
volumen
u e de gas que se libera
be a een uuna
a
reacción química, cuando la concentración de ácido
varía.
† Nivel de colesterol en sangre.
† Efectividad de una prueba de embarazo.
† Longitud de las fisuras por fatiga en estructuras de
concreto.
† Resistencia
R i t i a lla compresión
ió d
de un material
t i l empleado
l d
en la construcción de casas rurales.
Experimento
p
Aleatorio
Observando estos ejemplos se puede notar que los
estadísticos frecuentemente manejan datos
experimentales
p
que
q representan:
p
† Conteos
o mediciones.
† Datos categóricos que pueden clasificarse de acuerdo
a algún criterio.
Espacio
p
Muestral
…
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento estadístico y se denota como S.
† Por
ejemplo,
j p , cuando se lanza al aire una moneda
únicamente se tienen dos posibles resultados, por lo
cual el espacio muestral de este experimento aleatorio
sería:
í SS={cara,
{
sello}.
ll }
Espacio
p
Muestral
Más de un espacio muestral puede utilizarse para
describir los resultados del mismo experimento.
En general, se desea utilizar el espacio muestral que
proporcione la mayor cantidad de información
p
posible.
Espacio
p
Muestral
Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda dos
veces, se puede definir un espacio muestral como
S={cc,
{ , cs,, sc,, ss},
}, p
pero si en este mismo experimento
p
se está interesado en contar la cantidad de caras
obtenidas, el espacio muestral de interés sería:
S={0, 1, 2}.
Punto Muestral
…
Es cada resultado posible de un espacio muestral.
† En
el ejemplo del lanzamiento de una moneda
balanceada (S={cara, sello}), existen dos puntos
muestrales: Cara y Sello.
Métodos para describir el espacio
muestral
t l de
d un experimento
i
t aleatorio
l t i
Existen dos métodos para facilitar la escritura del
espacio muestral:
… Diagrama de árbol.
… Enunciado o regla matemática.
Métodos para describir el espacio
muestral
t l de
d un experimento
i
t aleatorio
l t i
Diagrama de árbol: se emplea para espacios
muestrales no muy grandes y discretos.
… Ejemplo: escriba el diagrama de árbol para el
lanzamiento de una moneda dos veces.
c
c
s
c
s
s
SS={CC,CS,SC,SS}
{CC,CS,SC,SS} → se obtiene escribiendo, cada unas de
las ramas del diagrama de árbol.
…
Métodos para describir el espacio
muestral
t l de
d un experimento
i
t aleatorio
l t i
…
…
Enunciado o regla matemática: describe mejor los
espacios muestrales que tienen una gran cantidad o
infinita de p
puntos muestrales.
Ejemplo: escriba el espacio muestral para el
experimento
p
que
q consiste en lanzar una flecha
contra un blanco de diámetro D y se mide la
distancia desde el punto de impacto hasta el centro
del blanco.
Métodos para describir el espacio
muestral
t l de
d un experimento
i
t aleatorio
l t i
X: distancia medida desde el punto de impacto en el
blanco, hasta el centro del mismo.
SS={x/0≤x
{x/0≤x ≤D/2}
x
D
Evento o Suceso
Es un subcojunto del espacio muestral. Se denota
usando letras en mayúscula.
A cada evento se le asigna una colección de puntos
muestrales, que hacen que el evento sea verdadero,
es decir, son los resultados del experimento
p
aleatorio que hacen que el evento ocurra.
Evento o Suceso
Cuando se está realizando un estudio, generalmente
lo que interesa es la ocurrencia de un evento
específico
p
(hecho
(
en particular),
p
), y no todos los
posibles resultados del experimento aleatorio.
puede incluir a todos los elementos del
Un evento p
espacio muestral o no contener ninguno (vacío).
Evento o Suceso
Ejemplo: el experimento aleatorio consiste en lanzar
al aire un dado balanceado.
Espacio
p
muestral: S={1,
{ , 2,, 3,, 4,, 5,, 6}.
}
Se pueden definir los siguientes eventos:
† A: resultado sea p
par. A={2,
{ , 4,, 6}.
}
† B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6}.
† C: resultado sea mayor que 5. C={6}.
† D: resultado sea entero. D={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
† E: resultado se mayor que 6. E={∅}.
† F: resultado sea menor que 3. F={1,2}.
Diagrama
g
de Venn
Permite expresar gráficamente la relación entre
eventos y el espacio muestral, el cual se representa
por un rectángulo
p
g y los eventos con círculos que
q se
dibujan dentro del mismo.
S
C
A
B
Complemento
p
de un Evento
…
El complemento de un evento A con respecto a S, es
el conjunto de todos los elementos de S que no
pertenecen al evento A. Se denota como Ac.
p
S
A
Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}; A={2, 4, 6}; Ac={1, 3, 5}
Operaciones
p
con eventos
…
Intersección: La intersección de dos eventos A y B,
que se presenta por el símbolo ∩ (A ∩ B), es el
evento q
que contiene a todos los elementos comunes
a A y B.
S
A
B
A∩B
Operaciones
p
con eventos
Del ejemplo anterior: S={1,
S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
A: ocurra un resultado par.
par A={2,
A={2 4,
4 6}
B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6}
A ∩ B={4,
B {4 6} Ambos
A b eventos ocurren
simultáneamente, si se obtiene alguno de estos
resultados.
resultados
Por ejemplo, si sale el 4 es un resultado par y mayor
a 3.
3
Operaciones
p
con eventos
…
Unión: La unión de dos eventos A y B, que se
presenta por el símbolo ∪ (A ∪ B), es el evento que
contiene a todos los elementos q
que pertenecen
p
a A,,
ó a B ó a ambos.
S
A
B
A∪B
Operaciones
p
con eventos
Del ejemplo anterior: S={1,
S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
A: ocurra un resultado par.
par A={2,
A={2 4,
4 6}
B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6}
A ∪ B={2,
B {2 4,
4 5
5, 6}
Operaciones
p
con eventos
…
Diferencia: La diferencia de dos eventos A y B,
A - B, es el evento que contiene a todos los
elementos q
que pertenecen
p
a A pero
p
que
q no
pertenecen a B.
S
A-B
A
B
Operaciones
p
con eventos
Del ejemplo anterior: S={1,
S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6}
B ocurra un resultado
B:
l d mayor que 3
3. B={4,
B {4 5,
5 6}
A - B={2}.
Eventos Mutuamente Excluyentes
y
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o
disjuntos, si A ∩ B = ∅, esto es si A y B no tienen
elementos en común.
Esto quiere decir que los eventos A y B no pueden
ocurrir simultáneamente en el resultado del
experimento aleatorio.
Eventos Mutuamente Excluyentes
y
Del ejemplo anterior: S
S={1,
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6}
F resultado
F:
l d sea menor que 3
3. F={1,2}
F {1 2}
B ∩ F = ∅ Esto indica que al lanzar un dado no es
posible
ibl obtener
b
un resultado
l d que sea divisible
di i ibl entre
3 y menor a dicho valor.
Ejemplos de espacios muestrales y
eventos
t
Ocurrencia y Clasificación: conteo de
puntos
t muestrales
t l
Uno de los factores que deben tomarse en cuenta
cuando se lleva a cabo un experimento, es la
aleatoriedad q
que está asociada a la ocurrencia de
los eventos de interés.
Ocurrencia y Clasificación : conteo de
puntos
t muestrales
t l
Dicho factor pertenece al campo de las
probabilidades, donde en muchas ocasiones es
necesario realizar el conteo de la cantidad de
elementos que tiene el espacio muestral del
experimento, sin tener que anotar cada uno de
ellos.
Ocurrencia y Clasificación : conteo de
puntos
t muestrales
t l
Algunas de las técnicas de conteo de puntos
muestrales son:
† Regla
g
de la multiplicación.
p
† Regla de la suma.
† Permutaciones.
† Combinaciones.
Regla
g de la Multiplicación
p
Si una operación puede llevarse a cabo en n1 formas
diferentes, y si por cada una de estas una segunda
operación
p
puede
p
llevarse a cabo de n2 formas
diferentes, entonces las dos operaciones se pueden
ejecutar juntas de n1x n2 formas.
Regla
g de la Multiplicación
p
Ejemplo: lanzamiento de dos dados
n1=6 y n2=6, por lo tanto, n1x n2=6x6=36
Por supuesto que esta regla puede generalizarse
para k operaciones diferentes.
diferentes
Regla
g de la Suma
Si un suceso puede ocurrir de n1 formas diferentes, y
otro suceso puede ocurrir de n2 formas diferentes,
si no es p
posible que
q los dos sucesos ocurran
simultáneamente, habrá n1+n2 formas de que
ocurran los sucesos 1 ó 2.
Regla
g de la Suma
Ejemplo: Para mañana puede decidir ir a la montaña
a pie, en teleférico o en su carro, o puede decidir ir
a la p
playa
y en bus,, en moto,, en bicicleta o en su
vehículo. ¿Cuántos planes hay para decidir lo que
va a hacer mañana?
Regla
g de la Suma
Ir a la montaña: 3 formas, n1
n1=3
3
Ir a la playa: 4 formas, n2=4
Como no puede ir a la playa y a la montaña a la
vez, en total hay 3+4=7 planes posibles de paseos
para mañana.
Permutaciones
Es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de
objetos.
Existen varios tipos de permutaciones:
† Permutación
de n objetos distintos: Pn = n!
† Permutación de n objetos distintos, tomados en grupos
de r objetos a la vez:
n!
nP
Pr =
(n − r )!
Permutaciones
† Permutación
e u ac ó
circular:
c cu a : aco
acomodar
oda obje
objetos
os een círculo:
c cu o:
Pn=(n-1)!
† Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un
tipo, n2 son de un segundo tipo, nk son de un k-ésimo
tipo, es: n1!n2n!...! nk!
† Permutación
P
ió d
de n objetos
bj
a ser repartidos
id en r celdas,
ld
con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en
la segunda
g
celda,, con nr elementos en la r-ésima celda,,
es: ⎛⎜⎜ n ⎞⎟⎟ = n!
donde n=n1+n2+…+nr
⎝ n1, n 2,...nr ⎠
n1!n 2!...nr!
Combinaciones
Es la cantidad de posibles formas de seleccionar r
objetos de un total de n, sin importar el orden de
selección. Es como si se tomaran los r objetos
j
al
mismo tiempo.
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ r ⎠ r!(n − r )!
Noción de Muestreo
…
…
…
Muestreo aleatorio con reemplazo:
p
en este caso,,
generalmente importa el orden en el cual fueron
seleccionados los objetos de la muestra (regla de la
multiplicación:
l i li ió nk).)
Muestreo aleatorio sin reemplazo y teniendo en
cuenta el orden de selección de la muestra
(permutación).
Muestreo aleatorio sin reemplazo sin tener en
cuenta el orden de selección de la muestra
(combinación).
Noción de Muestreo
Ejemplo: en una caja hay 4 pelotas numeradas 1, 2,
3, 4. ¿Cuántas muestras aleatorias se pueden
obtener al seleccionar al azar 3 pelotas?:
p
… Con reemplazo:
siempre hay 4 pelotas al momento de hacer la
selección, por lo tanto se usa la regla de la
multiplicación: 4 x 4x 4 = 64 muestras posibles.
Noción de Muestreo
…
…
Sin reemplazo teniendo en cuenta el orden de
extracción en la muestra:
Si importa el orden se usa una permutación
4P3=4!/(4-3)! = 24 muestras
Sin reemplazo sin tener en cuenta el orden en la
muestra:
Si no importa el orden se usa una combinación:
4C3=4!/(3!(4-3)!) = 4 muestras.
Ejemplos de conteo de puntos
muestrales
t l
Tema 2. Teoría de las
P b bilid d
Probabilidades
El interés del hombre por los juegos de azar, fue lo
que condujo al desarrollo de esta teoría. Se acudió
a matemáticos p
para que
q hicieran estudios y
propusieran estrategias óptimas para diversos
juegos de este tipo. Algunos de los matemáticos que
accedieron a este pedido fueron Pascal, Leibniz,
Fermat y James Bernoulli.
Teoría de las Probabilidades
Esta teoría se ha extendido mucho más allá de los
juegos de azar para abarcar muchos otros campos
que se relacionan con los sucesos aleatorios,, como
q
la política, los negocios, el pronóstico del tiempo y
la investigación científica.
Teoría de las Probabilidades
Para que las predicciones y generalizaciones sean lo
más exactas posibles, resulta esencial contar con un
entendimiento claro de la teoría básica de la
probabilidad, de la información que se tiene del
pasado y de la comprensión de la estructura del
experimento.
Concepto
p de Probabilidad
Mide la frecuencia con la que aparece un resultado
específico, cuando se realiza un experimento
aleatorio.
Tipos
p de probabilidades
p
Según el conocimiento que se tiene antes de realizar
un experimento aleatorio, las probabilidades
puede clasificarse como:
p
†A
priori: es necesario conocer, antes de realizar el
experimento, cuáles son los posibles resultados y sus
probabilidades de ocurrencia.
† A posteriori: se debe repetir el experimento varias
veces para conocer los valores de las probabilidades
de los posibles resultados.
Probabilidades a Priori
Probabilidad de un evento
La probabilidad de un evento A, es la suma de las
probabilidades de cada uno de los puntos
muestrales de A. Por lo tanto,,
≤ P(A) ≤ 1
† P(∅) = 0
† P(S) = 1
†0
Definición clásica de Probabilidad
Definición clásica ó Regla de Laplace: Si un
experimento puede tener cualquiera de N
resultados diferentes,, igualmente
g
factibles
(equiprobables), y si exactamente n de estos
resultados corresponden al evento A, entonces la
probabilidad de A es:
n
P ( A) =
N
Definición clásica de Probabilidad
Esta definición se conoce como “probabilidad
probabilidad a
priori”, ya que para aplicarla es necesario conocer,
antes de realizar el experimento,
p
, cuáles son los
posibles resultados y saber que todos tienen la
misma probabilidad de ocurrir (equiprobables).
Definición clásica de Probabilidad
Ejemplo: si se lanza al aire una moneda balanceada
dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga
cuando menos una vez en cara?
S={CC, CS, SC, SS} C: cara y S: sello.
Evento:
A: la moneda caiga cuando menos una vez en
cara. A={CC,
A {CC CS,
CS SC}
Definición clásica de Probabilidad
Para aplicar la definición clásica de
probabilidad o Regla de Laplace, se debe
conocer de antemano que los 4 posibles
resultados de este experimento tienen la
misma probabilidad de presentarse
presentarse. Entonces,
Entonces
N = 4 resultados que tiene el espacio muestral.
n = 3 resultados
l d que pertenecen all evento A.
A
P(A) = ¾
Definición clásica de Probabilidad
Esta definición no puede usarse siempre, puesto que
algunas veces los resultados posibles del
experimento
p
aleatorio,, no son igualmente
g
probables y otras veces puede existir una infinidad
de resultados posibles.
Definición de Probabilidad
f
frecuencial
i l
En estos casos puede usarse la definición de
probabilidad frecuencial (probabilidad a
posteriori):) si al repetir
p
p
un experimento
p
N veces,, el
evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa
de A es:
n
f ( A) =
≈ P ( A)
N
Definición de Probabilidad
f
frecuencial
i l
Ejemplo: Se está interesado en estudiar la cantidad
de veces que debe lanzarse una moneda, hasta
que se obtenga
q
g una cara por
p primera
p
vez. Todos
los posibles resultados son 1,2,3,4,…
probabilidad ½
En este caso el resultado 1 tiene p
(salga cara en el primer lanzamiento), en cambio el
resultado 4 (salga cara por primera vez en el
cuarto lanzamiento) tiene probabilidad de 1/16.
Definición de Probabilidad
f
frecuencial
i l
Por lo tanto los resultados del experimento NO son
equiprobables, no puede usarse la Regla de
Laplace
p
sino la definición de probabilidad
p
frecuencial.
Teoremas Básicos de las
P b bilid d
Probabilidades
A continuación se presentan los teoremas básicos de
las probabilidad a priori:
† Regla
g
de Laplace.
p
† Sea S un espacio muestral y P una función de
probabilidad definida sobre S, la probabilidad de
que un evento A no ocurra (complemento de Ac) es:
P(Ac) = 1 – P(A)
Teoremas Básicos de las
P b bilid d
Probabilidades
† Sea
S uun espac
espacio
o muestral
ues a co
con su función
u c ó de
probabilidad asociada P, entonces se cumple que
0 ≤ P(A) ≤ 1 para cualquier evento A en S.
† Sea S un espacio muestral con su función de
probabilidad asociada P, si ∅ es el conjunto vacío o
nulo entonces P(∅) = 0.
nulo,
0
Reglas
g Aditivas
Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad
de un evento a partir de las probabilidades de
otros eventos.
Esto es cierto si el evento en cuestión puede
presentarse como la unión de los otros dos eventos
p
o como el complemento de alguno.
Reglas
g Aditivas
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A ∩B)
2
2.
Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes,
excluyentes
entonces:
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)
Demostración: Si A y B son eventos mutuamente
excluyentes A∩B=∅.
A∩B=∅ Además se sabe que
P(∅)=0, por lo tanto P(A ∩B)=0.
1
1.
Reglas
g Aditivas
Estas reglas se pueden generalizar para 3 o más
eventos. Por ejemplo para 3 eventos serían:
1
1.
Regla 1:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)
Regla 2:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)
2
2.
Ejemplos de cálculo de probabilidades y reglas
aditivas
Probabilidad Condicional
…
…
Una probabilidad condicional de un evento ocurre,
cuando la probabilidad se afecta por el
conocimiento de otras circunstancias.
Una característica de todo problema de
probabilidad condicional, es que
p
q implica
p
una
reducción del espacio muestral.
Probabilidad Condicional
Sean A y B dos eventos de un espacio muestral S, tal
que P(B)>0. La probabilidad condicional del evento
A,, cuando ha ocurrido el evento B,, es:
P( A ∩ B)
P( A / B) =
P(B
( B)
Ejemplo
j p
Una universidad tiene 30000 estudiantes de los cuales
16000 son hombres y 14000 son mujeres. Se sabe
que 270 hombres y 30 mujeres que estudian en esta
universidad, tienen una estatura superior a 190 cm.
a)
Determine la probabilidad de que un estudiante
elegido al azar tenga una estatura superior a 190
cm.
b)
Si se sabe que el estudiante elegido al azar es un
hombre, ¿cuál es la probabilidad de que su estatura
sea superior a 190 cm?
Ejemplo
j p
Parte a)
1.
Entender el experimento aleatorio.
2
2.
Definir los eventos de interés:
A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm.
P(A) ?
P(A)=?
n
300
P ( A) = =
= 0.0100
N 30000
Es muy poco probable que el estudiante tenga una
estatura superior a 190 cm.
Ejemplo
j p
Parte b)
Definir los eventos de interés:
A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm.
cm
B: estudiante seleccionado es hombre.
P(A/B) ?
P(A/B)=?
270
P(A∩B)=270/30000
30000 = 0.0169
P( A / B) =
16000
P(B)=16000/30000
30000
Es muy poco probable que el estudiante que es
hombre tenga una estatura superior a 190 cm.
Reglas
g Multiplicativas
p
Estas reglas permiten calcular la probabilidad de que
dos eventos ocurran simultáneamente.
… Regla 1: Si en un experimento pueden ocurrir los
eventos A y B, entonces:
P( A ∩ B) = P( A) P( B / A)
como A ∩ B es equivalente a B ∩ A, entonces:
P( B ∩ A) = P ( B) P( A / B)
Reglas
g Multiplicativas
p
…
Regla 2: Dos eventos A y B son independientes, si y
solo si:
P( A ∩ B) = P( A) P( B)
Reglas
g Multiplicativas
p
…
Dos eventos mutuamente excluyentes A y B, no
pueden ser independientes (excluyendo el caso
trivial cuando P(A)=0
( ) ó P(B)=0).
( ) )
S
A
B
…
A∩B = ∅ ∴ P(A∩B)=0 ∴P(A∩B)≠P(A)P(B)
Ejemplos
j p
Ejemplos de cálculo de Probabilidades Condicionales
y reglas multiplicativas
Tema 3. Probabilidades a
P
Posteriori
i i
En el caso de que los resultados de un experimento
aleatorio, no posean igual posibilidad de
ocurrencia o q
que exista una infinidad de posibles
p
resultados, el problema de asignar probabilidades
ocurre a posteriori.
Tema 3. Probabilidades a
P
Posteriori
i i
Este cálculo de probabilidades se basa en la
experiencia: cuando se realiza un experimento
aleatorio una cantidad elevada de veces,, las
probabilidades de los diversos eventos empiezan a
converger hacia ciertos valores, que son sus
respectivas probabilidades a posteriori.
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
En estos casos puede usarse la definición de
probabilidad frecuencial (probabilidad a
posteriori):) si al repetir
p
p
un experimento
p
N veces,, el
evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa
de A es:
n
f ( A) =
≈ P ( A)
N
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
Se observa experimentalmente que a medida que N
aumenta, la relación n/N tiende a un valor estable
p. Este valor p recibe el nombre de probabilidad
p
p
del evento A: P(A).
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
Cualquier problema de este tipo de probabilidades a
posteriori, se puede resolver usando el:
† Teorema
de la Probabilidad Total,, ó
† Teorema de Bayes.
Tema 3. Probabilidades a
P
Posteriori
i i
…
Teorema de la Probabilidad Total.
Este teorema permite calcular la probabilidad de un
evento a partir de probabilidades condicionadas. Para
que este teorema se pueda aplicar hace falta que los
eventos Bi, formen un sistema completo o partición del
espacio
i muestral
t l S,
S es d
decir,
i que contemplen
t
l todas
t d las
l
posibilidades, P(B1)+P(B2)+…+P(Bk)=1
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
…
Teorema
eo e a de la
a Probabilidad
obab dad Total:
o a : SSi los
os eve
eventos
os B1,,
B2,…, Bk constituyen una partición del espacio muestral S,
de tal forma que P(Bi)≠0 para i=1,2,…,k, entonces para
cualquier
l
evento A d
de S:
S
k
k
i =1
i =1
P( A) = ∑ P ( Bi ∩ A) = ∑ P( Bi ) P( A / Bi )
B1
B3
A
B2
B4
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
Teorema de Bayes
Este teorema surge al seguir el proceso inverso que se
sigue en el Teorema de la Probabilidad Total: a
partir de que ha ocurrido el evento A (p.e. ha
ocurrido un accidente),) se deducen las
probabilidades de los eventos Bi (¿estaba lloviendo
ó estaba soleado?)
…
Tema 3. Probabilidades a
P t i i
Posteriori
…
Teorema
eo e a de Bayes:
ayes: SSi los
os eve
eventos
os B1,, B2,…,
,…, Bk
constituyen una partición del espacio muestral S, de tal
forma que P(Bi)≠0 para i=1,2,…,k, entonces para
cualquier
l
evento A d
de S:
S
P( Br / A) =
P ( B r ∩ A)
=
k
P( Br ) P ( A / Br )
k
∑ P( B ∩ A) ∑ P( B ) P( A / B )
i =1
i
i =1
B1
B3
A
B2
B4
i
i
Ejemplos de cálculo de Probabilidades a Posteriori