Teoremas de Traslación

95
Unidad 4 : Método de la Transformada de Laplace
Tema 4.3 : Teoremas de Traslación
Primer Teorema de Traslación
Función Escalón Unitario
f (t ) ⇒ F (s )
0 ; 0 ≤ t < a
U (t − a ) = 
1 ; a ≤ t ≤ ∞
e at f (t ) ⇒
F (s − a )
Transformada del Escalón Unitario
U (t − a ) ⇒
1 −as
e
s
Función Impulso Unitario
δ (t − a ) =
Segundo Teorema de Traslación
f (t ) ⇒
F (s )
f (t − a )U (t − a ) ⇒ e −as F (s )
Transformada del Impulso Unitario
d
U (t − a )
dt
δ (t − a ) ⇒ e − as
Ejemplos para la clase del 1er Teorema de Traslación:
E1 : L{e at t n }
E 2 : L{e at senbt }
E 3 : L{e cosh bt }
at
 s−5 
E 4 : L−1  2

 s + 6 s + 11
 5 
E 5 : L−1 
3
 (s − 1) 
1


E 6 : L−1  2

 s + 2s − 8 
R1 : n! (s − a )
n +1
[
R 2 : b (s − a ) + b 2
R3 :
2
(s − a ) [(s − a )2 − b 2 ]
( )
R 4 : e −3t cos 2 t −
5 2 t
t e
2
1 −t
R6 :
e senh(3t )
3
R5 :
]
( )
8 − 3t
e sen 2 t
2
96
Ejemplos para la clase del 2º Teorema de Traslación:
E1 : L{e
U (t − 2 )}
3 (t − 2 )
R1 : e −2 s (s − 3)
E 2 : L{e U (t − 2 )}
R 2 : e − 2 ( s − 3 ) ( s − 3)
 π2 s 

 e
E 3 : L−1  2

+
s
9




R3 :
3t
1
  π   π 
sen 3 t − U  t − 
3
2  
2
 
1
 π
= cos(3t )U  t − 
3
2

Para la próxima clase estudiar las secciones:
7.3 Zill
7.3
Nagle
Teoremas de Traslación
7.4 Zill
7.5 y 7.6 Nagle
Otros Teoremas de Transformadas
Tarea para entregar la próxima clase:
Tarea No. 23 : Teoremas de Traslación
97
Primer Teorema de Traslación
Primer Teorema de Traslación
Primer Teorema de Traslación
L{ f (t )} = F (s )
Si
Si
entonces
e at f (t ) ⇒
F (s − a )
Demostración:
L{e at f (t )} =
=
∫
∞
∞
e at f (t )e − st dt =
L{ f (t )} =
∫
∞
0
f (t )e
∫
0
0
−( s − a )t
f (t )e − st dt = F (s )
Si
b
s + b2
2
Si
n!
(s − a )n+1
L{ cos(bt )} =
s
s + b2
2
entonces
b
(s − a )2 + b 2
L{ e at cos(bt )} =
Ejemplo 4:
Si
n!
s n+1
entonces
Ejemplo 3:
entonces
L{ e at sin (bt )} =
L{ t n } =
L{ e at t n } =
dt = F (s − a ) LCQD
L{ sin (bt )} =
F (s − a )
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Si
F (s )
entonces
L{e at f (t )} =
Si
f (t ) ⇒
L{ sinh (bt )} =
b
s2 − b2
entonces
L{ e at sinh (bt )} =
s−a
(s − a )2 + b 2
Ejemplo 5:
Si
L{ cosh (bt )} =
s
s 2 − b2
entonces
b
(s − a )2 − b 2
L{ e at cos(bt )} =
s−a
(s − a )2 − b 2
98
Segundo Teorema de Traslación
Segundo Teorema de Traslación
Segundo Teorema de Traslación
L{ f (t )} = F (s )
Si
f (t ) ⇒
Si
entonces
F (s )
entonces
L{ f (t − a )U (t − a )} = e −as F (s )
f (t − a )U (t − a ) ⇒ e −as F (s )
Demostración:
L{ f (t )} =
Si
∫
∞
0
f (t )e − st dt = F (s )
=
∫
a
0
f (t − a )0 e − st
= e −as
∞
∞
∫
dt +
∫
L{ f (t − a )U (t − a )} =
0
∫14f4(u2)e44du3 =
− su
0
∞
a
entonces :
f (t − a )U (t − a )e − st dt =
f (t − a )e − st dt = 0 +
14243
u =t − a
∫
∞
0
f (u )e − s (u + a ) du
e −as F (s ) L.C.Q.D.
F (s )
Ejemplo 2:
Ejemplo 1:
Si
L{ e
L{ e 3t } =
1
s−3
entonces
e −5 s
U (t − 5)} =
(s − 3)
3 (t −5 )
Si
L{ e 3t } =
1
s−3
entonces
L{ e 3tU (t − 5)} = L{ e 3(t −5+5 )U (t − 5)} =
L{ e 3(t −5 )e15U (t − 5)} = e15 L{ e 3(t −5 )U (t − 5)} =
e −5 s
e −5 s +15 e −5( s −3 )
e
=
=
(s − 3) (s − 3) (s − 3)
15
99
Ejemplo 3:
1
s2
2
L{ t 2 } = 3
s
entonces
L{ t} =
Si
Si
Ejemplo 4:
Si
L{ (t − 5)U (t − 5)} = e
−5 s
1
s2
e −5 s
= 2
s
{
2
s3
entonces
{
}
= L{ [(t − 5) + 10(t − 5) + 25]U (t − 5)}
= L{ (t − 5) U (t − 5)}+ 10 L{ (t − 5)U (t − 5)}
L{ t 2U (t − 5)} = L (t − 5 + 5) U (t − 5) =
2
2
2
}
L (t − 5) U (t − 5) = e −5 s
=
L{ t 2 }=
2
2
s3
2e −5 s
s3
+ 25 L{ U (t − 5)}
=
e −5 s
e −5 s
2e −5 s
+
10
+
25
s3
s2
s
Ejemplo 6:
Ejemplo 5:
Si
L−1 { e − as F (s )} = f (t − a )U (t − a )
Si
L−1 { e − as F (s )} = f (t − a )U (t − a )
entonces
entonces
 e −3 s  −1  −3 s 1 
L 

=L  e
s − 7

 s − 7
= e 7 (t −3 )U (t − 3)
−1
π
− s 

π
2
s 
 −1  − 2 s
−1  se
L  2
=L  e

2
s + 36 

 s + 36 


  π   π 
= cos 6 t − U  t − 
2  
2
 
100
Ecuaciones Diferenciales
Funciones Seccionalmente Continuas
Función Escalón Unitario
Obteniendo una sección de una función
0 ; 0 < t < a
U (t − a ) = 
1 ; a < t < ∞
f(t)
f(t)
f(t)
1
t
a
a
t
f(t)
Función Pulso Rectangular
U(t-a)-U(t-b)
1
f(t)
1
b
U(t-a)
a
b
a
t
-U(t-b)
-1
b
t
f(t)
f(t)[ U(t-a)-U(t-b) ]
f(t)
U(t-a)-U(t-b)
a
1
a
t
b
δ (t − a ) = 0 si t ≠ a ;
b
∫
+∞
δ (t − a )dt = 1
−∞
d
U (t − a ) = δ (t − a )
dt
t
101
Ecuaciones de una Función
Seccionalmente Continua
Gráfica de una Función
Seccionalmente Continua
 p(t ) ; a < t < b

f (t ) =  q(t ) ; b < t < c
 r (t ) ; c < t < d

f(t)
f (t ) = p(t )[U (t − a ) − U (t − b )]
+ q(t )[U (t − b ) − U (t − c )]
q(t)
p(t)
r(t)
+ r (t )[U (t − c ) − U (t − d )]
b
a
c
t
d
f (t ) = p(t )U (t − a )
+ [q(t ) − p(t )]U (t − b )
+ [r (t ) − q(t )]U (t − c )
− r (t )U (t − d )
Funciones Escalón e Impulso Unitario
f(t)
f(t)
U(t-a)
1
1
a a+ε
t
f’(t)
t
a
f’(t)
1/ε
δ(t-a)
1
a a+ε
∫
+∞
δ (t − a )dt = 1
−∞
t
t
a
− as
d
 e 
 − U (0 ) = e −as
L{δ (t − a )} = L  U (t − a ) = s
 dt
  s 
L{δ (t − a )} = e −as
; L{δ (t )} = 1
102
Ma-841 : Ecuaciones Diferenciales
Tarea No. 23 : Teoremas de Traslación
En los siguientes problemas calcule las Transformadas o Transformadas Inversas
indicadas.
P1 : L{e 5t senh(3t )}
{
P 2 : L t (e + e
t
P6 : L{tU (t − 2 )}
)}
2t 2
P7 : L{cos(2t )U (t − π )}
{
1


P3 : L−1  2

 s − 6 s + 10 
s


P 4 : L−1  2

 s + 4s + 5 
}
P8 : L (t − 1) e t −1U (t − 1)
3
 e −πs 
P9 : L−1  2

 s + 1
 e −s 
P10 : L 

 s(s + 1)
−1
 2s − 1 
P5 : L−1  2
3
 s (s + 1) 
Respuestas
3
(s − 5)2 − 9
1
2
1
+
+
R2 :
2
2
(s − 2) (s − 3) (s − 4)2
R1 :
R3 : e 3t sent
R 4 : e −2t cos t − 2e −2t sent
3
R5 : 5 − t − 5e −t − 4te −t − t 2 e −t
2
e −2 s
e −2 s
+
2
s2
s
s
R7 : 2
e −πs
s +4
6e − s
R8 :
(s − 1)4
R9 : − sentU (t − π )
R6 :
R10 : U (t − 1) − e −(t −1)U (t − 1)