desarrollo de prácticas para un laboratorio de comunicaciones

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
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DESARROLLO DE PRÁCTICAS
PARA UN LABORATORIO DE
COMUNICACIONES
Autor:
Francisco Sivianes Castillo
Director:
José Luís Calvo Borrego
Sevilla, 20 de Octubre de 2006
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PROYECTO FIN DE CARRERA
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DESARROLLO DE PRÁCTICAS
PARA UN LABORATORIO DE
COMUNICACIONES
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Francisco Sivianes Castillo
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Índice General
SECCION 1.- INTRODUCCION, JUSTIFICACION Y OBJETO DEL PROYECTO
1. Introducción_______________________________________________________5
2. Justificación del Proyecto___________________________________________7
2.1. Modelo de Proyecto Docente__________________________________________8
2.2. Objetivos / Competencias_____________________________________________9
2.3. Contenidos________________________________________________________10
2.4. Métodos – Actividades de Aprendizaje__________________________________10
2.4.1. Clases de Teoría__________________________________________________11
2.4.2. Clases de Problemas_______________________________________________11
2.4.3. Prácticas de Laboratorio____________________________________________12
2.4.4. Tutorias_________________________________________________________13
2.4.5. Seminarios______________________________________________________13
2.5. Evaluación________________________________________________________15
2.5.1. Introducción_____________________________________________________15
2.5.2. Propósitos y criterios para la evaluación_______________________________15
2.6. Gestión del Conocimiento y Medios____________________________________17
2.6.1. Gestión del Conocimiento__________________________________________17
2.6.2. Medios_________________________________________________________17
2.7. Fuentes Bibliográficas_______________________________________________18
2.7.1. Internet_________________________________________________________19
3. Objetivos del Proyecto_____________________________________________20
SECCION 2.- DESARROLLO DEL PROYECTO
4. Conjunto de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones________21
4.1. Práctica 1: Análisis Espectral de Señales________________________________23
4.1.1. Práctica LTC-01: Análisis Espectral de una Señal Senoidal________________29
4.1.1.1. Problema PTC0004-07___________________________________________33
4.1.2. Práctica LTC-02: Análisis Espectral de una Señal Cuadrada_______________37
4.1.2.1. Problema PTC0004-08___________________________________________43
4.1.3. Práctica LTC-03: Análisis Espectral de una Señal Triangular______________48
4.1.3.1. Problema PTC0004-09___________________________________________52
4.1.4. Práctica LTC-04: Análisis Espectral de un Tren de Pulsos Sample__________58
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4.1.4.1. Problema PTC0004-10___________________________________________63
4.2. Práctica 2: Análisis Espectral de Sistemas_______________________________77
4.2.1. Práctica LTC-05: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de Baja________82
4.2.1.1. Problema PTC0004-11___________________________________________88
4.2.2. Práctica LTC-06: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de alta_________96
4.2.2.1. Problema PTC0004-12__________________________________________102
4.2.3. Práctica LTC-08: Análisis Espectral de un Sistema RLC Paso de Baja______110
4.2.3.1. Problema PTC0004-14__________________________________________117
4.3. Práctica 3: Transmisión de Señales en Cables___________________________133
4.3.1. Práctica LTC-12: Reflexiones en un Par Trenzado______________________137
4.3.1.1. Problema PTC0004-21__________________________________________144
4.3.2. Práctica LTC-14: Reflexiones en un Coaxial__________________________148
4.3.2.1. Problema PTC0004-24__________________________________________155
4.4. Práctica 4: Ruido y Errores de Transmisión_____________________________171
4.4.1. Práctica LTC-26: Ruido y Errores de Transmisión______________________174
4.4.1.1. Problema PTC0004-35__________________________________________181
4.4.1.2. Problema PTC0004-36__________________________________________189
4.5. Práctica 5: Interfaz RS-232 (V.24) ___________________________________193
4.5.1. Práctica LTC-16: Interfaz RS-232 (V.24)_____________________________196
4.5.1.1. Problema PTC0004-22__________________________________________201
4.6. Práctica 6: Digitalización de Señales__________________________________204
4.6.1. Práctica LTC-11: Digitalización de una Señal Senoidal__________________208
4.6.1.1. Problema PTC0004-24__________________________________________222
4.7. Práctica 7: Modulación_____________________________________________229
4.7.1. Práctica LTC-20: Modulación en Amplitud: Señal Senoidal_______________233
4.7.1.1. Problema PTC0004-28__________________________________________239
4.7.2. Práctica LTC-21: Modulación en Amplitud: Señal Cuadrada______________243
4.7.2.1. Problema PTC0004-29__________________________________________250
4.7.3. Práctica LTC-23: Modulación en Frecuencia: Señal Senoidal______________256
4.7.3.1. Problema PTC0004-31__________________________________________261
SECCION 3.- CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES
5. Conclusiones y Futuras Ampliaciones_________________________266
6. Referencias______________________________________________268
iv
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1.- INTRODUCCION
Tanto la Electrónica Industrial como la Informática, como las Comunicaciones
poseen un triple carácter disciplinar: como una parte de la Matemática, como una
Ciencia y como una Ingeniería. Cada uno de ellos emplea una metodología o proceso de
trabajo académico y profesional que, si bien no suele ser exclusiva, sí es característica.
Uno de dichos procesos, la teoría, es similar al que se usa en el desarrollo de teorías
matemáticas coherentes. Tiene los siguientes elementos principales:
■Definiciones y axiomas
■Teoremas
■Pruebas
■Interpretación de resultados
Este proceso es el usado en el desarrollo y comprensión de los principios
matemáticos que sustentan las Comunicaciones y la Electrónica. Ejemplo de aplicación
en ambas asignaturas son, Teoría de la señal, Teoremas de la Teoría de Circuitos:
Thevenin, Norton, Superposición, etc., la conservación de la energías.
El segundo proceso, la abstracción, se entronca en las ciencias experimentales y
contiene los siguientes elementos:
■Recogida de datos y formación de hipótesis
■Modelado y predicción
■Diseño de experimentos
■Análisis de resultados
El proceso de abstracción en las comunicaciones incluye por una parte el
modelado de posibles aspectos conceptuales, estructuras de datos, arquitecturas, etc.; y
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por otra parte la comprobación de esos modelos, de diseños alternativos, o de la propia
teoría subyacente.
El tercer proceso, el diseño, se relaciona con la ingeniería y se usa en el
desarrollo de un dispositivo o sistema para la resolución de un problema determinado.
Consta de las siguientes partes:
■Requisitos
■Especificaciones
■Diseño e Implementación
■Prueba y Análisis
Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está
conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo
real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante
el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están
orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera
mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la
resolución de un problema particular.
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2.- JUSTIFICACION
En el mundo globalizado en que vivimos en este siglo XXI se disponen de unos
recursos de almacenamiento, de procesamiento y de comunicación que si se gestionan
de forma eficaz ayudarán enormemente en el avance del conocimiento. Esto posibilita la
capacidad de adaptación de una civilización para solucionar los problemas actuales y
futuros, desde un enfoque donde predomina la construcción del propio conocimiento; es
decir:”el aprender a aprender”, potenciando en las personas las competencias que la
Sociedad va demandando. Por otra parte, se deberá actualizar, profundizar y enriquecer
el primer saber a lo largo de toda la vida para ir adaptándose a los cambios que el
mundo plantea.
Vamos a resumir algunas de las competencias que creemos son el núcleo de una
buena formación y que están ligadas muy directamente a la metodología del aprendizaje
en el sentido de potenciar la construcción del propio conocimiento y la capacitación
tanto para la realización de proyectos significativos, como para la resolución de
problemas que demanda nuestro contexto social.
Por otra parte, en las directrices para el desarrollo curricular de las Tecnologías de la
Información y las Comunicaciones en el siglo XXI [CARE01], en cuanto a los aspectos
competenciales y metodológicos coincide a grandes rasgos con lo anteriormente
expuesto; pero vamos a destacar algunos aspectos.
En primer lugar el problema que representa la identificación de los
conocimientos necesarios para alcanzar las competencias deseadas, es decir ser capaces
de conjugar lo básico con lo específico en el título de Grado.
Otro aspecto relevante que aporta el estudio, es que ante la complejidad de los
equipos y sistemas modernos, es importante tener una visión global, y además ser capaz
de analizar, representar y separarlos en subsistemas. Es decir, saber aislar problemas y
resolverlos, facilitando la comunicación entre las diferentes personas que participan en
los mismos.
Otra característica a considerar es estrechar la relación entre industria,
investigadores y profesores que trabajan en desarrollo de las tecnologías.
Es importante saber transferir los conocimientos que se han aprendido a otro
contexto. El estudio también hace hincapié en que es preciso saber aplicar las técnicas a
los problemas reales fomentando la concepción amplia de sistemas teniendo en cuenta
las limitaciones prácticas, tecnológicas y humanas en la resolución de los mismos.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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Desde el punto de vista legislativo, la LOU nos define la actividad docente en
los siguientes términos:
“La actividad y la dedicación docente, así como la formación del personal docente
de las Universidades, serán criterios relevantes, atendida su oportuna evaluación,
para determinar su eficiencia en el desarrollo de la actividad profesional”.
En cuanto la Ley Andaluza de Universidades [LAU03] la creación de la Agencia
Andaluza de Evaluación de la Calidad y Acreditación que, entre sus funciones
asume “La certificación de los sistemas y procedimientos de la calidad de las
universidades, y en especial los referidos a la actividad docente del profesorado de
las universidades...”.
Pero la calidad en su aspecto más amplio se debe regir por los criterios de la Unión
Europea, que en su documento sobre Educación Superior [CARE01] se plantea
como objetivo general:”convertirse en la sociedad del conocimiento más dinámica y
competitiva del mundo, capaz de implantar un crecimiento económico sostenido,
más cantidad y mejor calidad de empleos, y una mayor cohesión social”
2.1.- MODELO DE PROYECTO DOCENTE
Uno de los modelos más ampliamente empleado para la planificación de los
programas formativos es el que podemos ver en la Figura 1. Como puede observarse en
dicha figura, se ha añadido un aspecto de especial relevancia en el mundo actual como
es la gestión del conocimiento. Efectivamente, la incorporación y utilización de las
Tecnologías de la Información y las Comunicaciones en todos los procesos de
formación necesita incorporar este aspecto clave que consiste, básicamente, en gestionar
de forma eficaz el conocimiento.
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Entorno
Socioeconómico y
Profesional
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Entorno
Universitario
Marco Conceptual
OBJETIVOS / COMPETENCIAS
CONTRUCCION DEL PROGRAMA
GESTION DEL
CONOCIMIENTO
METODOS Y ACTIVIDADES
EVALUACION
Modelo de Planificación
Figura 1
2.2.- OBJETIVOS / COMPETENCIAS
Vamos a destacar las competencias generales, que vamos a desarrollar para conseguir
nuestros objetivos en nuestro proyecto docente:
1. Capacidad de análisis y síntesis.
2. Capacidad para aprender.
3. Capacidad para plantearse y resolver problemas complejos.
4. Capacidad para aplicar los conocimientos prácticos.
5. Habilidad para realizar buenas medidas experimentales.
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6. Habilidades para la gestión de la información.
7. Capacidad para trabajar de forma autónoma.
8. Capacidad para trabajar en equipo.
9. Capacidad de organización y gestión.
La prioridad de unas determinadas competencias con respecto a otras dependerá de las
asignaturas.
2.3.- CONTENIDOS
Los contenidos están de acuerdo con los Objetivos – Competencias que se
quieren conseguir después del proceso de Enseñanza –Aprendizaje, pero a nivel general
se organizan en:
1. Los principios
2. Las leyes y las teorías.
3. Los modelos.
4. Los sistemas complejos.
5. Los procedimientos de análisis.
6. Los diseños.
7. Las técnicas de medida.
8. Los servicios innovadores.
2.4.- METODOS – ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Vamos a efectuar en esta sección una presentación y discusión de las principales
actividades docentes que se realizan a lo largo del curso académico.
Como punto de partida obtenemos mediante una encuesta los conocimientos
previos básicos de los alumnos, el interés por la asignatura, lo que les gustaría aprender
y la carga docente de cursos anteriores. Lógicamente existe un factor muy importante a
tener en cuenta: los recursos que disponemos. Es necesario construir el conocimiento
usando lo que tenemos, siendo aspectos a tener en cuenta las horas de clases teóricas,
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horas de clases prácticas, número de alumnos, disponibilidad de Laboratorios, etc... La
aplicación en grupos reducidos como es el caso de algunas asignaturas optativas es
lógicamente más fácil y directo de implementar.
2.4.1.- Clases de Teoría
Antes de cada lección se recuerdan los conceptos claves de la lección anterior:
conocimientos previos, así como el guión de lo que se va a explicar.
Usaremos las técnicas expositivas en las clases teóricas usando unas buenas
transparencias ajustadas a una buena estructura conceptual, intentando hacer participar
activamente al alumno, si la clase es de un número reducido de alumnos como es el caso
de Tecnología de Comunicaciones la participación se consigue de una forma fácil y casi
natural, en grupos más grandes como Tecnología de Computadores resulta bastante más
complejo. En cualquier caso para lograr estos objetivos es necesario dotar a la
exposición de un dinamismo que supere el puro monologo; por ello es conveniente la
introducción de nuevos conceptos o relaciones con ejemplos y casos concretos
ilustrativos
2.4.2.- Clases de Problemas
La resolución de problemas permite una muy positiva realimentación alumnoprofesor que hace que mejore el aprendizaje al poder detectar y revisar aquellos
conceptos, principios o análisis que han presentado más dificultad de comprensión a los
estudiantes y comprobar si se han asimilado los conceptos a través de las aplicaciones
más prácticas.
En las clases de problemas, debe existir una mayor participación de los alumnos
con el consiguiente aumento de su nivel de actividad, ya que la materia básica ha sido
expuesta previamente en las clases de teoría. El profesor debe tener en estas clases una
actividad más distendida, en orden a facilitar la participación.
Aunque en la Universidad es frecuente que la ratio de alumnos/profesor sea la
misma en grupos de teoría y de problemas o aplicación, lo deseable sería que en éstas
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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los grupos fueran más reducidos de tal forma que se facilitara el contacto y el
seguimiento del profesor por parte de los estudiantes.
2.4.3.-Prácticas de Laboratorio
Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño
expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,
tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida
profesional.
Las prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:
la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y
escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.
Las prácticas de laboratorio pueden ser de distintos tipos:
- Realización de medidas para comprobar el uso del comportamiento de los
circuitos y los modelos que más se ajustan a dicho comportamiento real, para diferentes
señales con diferentes parámetros.
- Diseño de subsistemas de equipos complejos, así como la medida de su
correcto comportamiento.
La realización de unas buenas prácticas de Laboratorio, si la asignatura está bien
estructurada en el sentido de una buena relación de teoría con prácticas y con una buena
preparación de las mismas que permitan efectuar de una forma explicita todas las
medidas en el tiempo que disponemos, se convierten en el complemento adecuado para
aprehender los conocimientos (hacerlos propios) propiciando el análisis, la capacidad de
resolución de problemas, las habilidades instrumentales y la síntesis (diseño) y acercar
al alumno al mundo profesional. Debemos, previamente a cada una de la sesiones de
prácticas, hacer llegar al alumno la necesidad de ir a cada una de dichas sesiones, con
los conceptos formales perfectamente definidos (no necesariamente asimilados), que
nos permitan sacar el máximo provecho a las horas de laboratorio. Las horas de
laboratorios deben ser para motar sistemas, comprobar su funcionamiento y realizar
medidas. El análisis se realizará posteriormente culminándose con la elaboración de una
memoria.
Hay dos formas distintas de realizar las prácticas: las prácticas abiertas y las
prácticas cerradas.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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Una práctica la denominamos abierta cuando se le encarga al alumno la
realización, sin supervisión del profesor, de una tarea que supone el uso de un
computador, de unos programas o de equipos de laboratorio.
Los alumnos realizan una práctica cerrada asistiendo a una sesión previamente
programada, usualmente de 2 horas de duración, en un lugar predeterminado, siendo
realizada bajo la supervisión de alguno de los profesores de la materia.
El uso de equipos y programas altamente especializados y la supervisión ofrecida en las
prácticas cerradas las hacen más interesantes en ciertas situaciones, particularmente
cuando la práctica se basa en la interacción profesor-alumno; pero esto no exime la
necesidad de fomentar la realización de prácticas abiertas en horarios alternativos.
2.4.4.-Tutorías
Las tutorías constituyen un método complementario al de las clases de teoría y
de problemas enormemente útil. En ellas, el alumno tiene la oportunidad de discutir
conceptos que no le quedaron suficientemente claros en clase, o que le surgieron con la
labor personal de estudio.
La eficacia docente de esta actividad es alta si es utilizada por el alumnado de
forma continuada ya que le permite solventar las dudas conceptuales y le ayudará a
comprender mejor la asignatura.
Por otra parte al profesor le sirve de retroalimentación para comprobar los
conceptos, principios o análisis que presentan mayor dificultad, sirviéndole para ver si
el alumno esta construyendo bien su propio conocimiento.
El profesor deberá promover su uso continuado durante el desarrollo de las otras
actividades docentes. En consecuencia, el profesor tiene que estar disponible a esta
actividad.
2.4.5.-Seminarios
Puede decirse que esta técnica es un verdadero instrumento de aprendizaje activo
ya que tiene por objeto la investigación o estudio de un tema en reuniones de trabajo
planificadas y, donde los alumnos no reciban la información del todo elaborada, sino
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que la busquen por sus propios medios en un clima de colaboración recíproca. Los
grupos de trabajo estarán compuestos por 4 ó más personas.
Los seminarios serán supervisados por el profesor, el cual actuará generalmente
como asesor y coordinador. Existirá también la figura de un organizador (que podrá ser
un alumno ayudante) encargado de reunir a los grupos, asesorar en la selección de los
temas en que se desea trabajar, preparar un temario provisional, seleccionar las fuentes
de consulta, disponer locales, elementos de trabajo y horarios. El desarrollo del
seminario seguirá los siguientes pasos:
a) En la primera sesión estarán presentes todos los participantes que se dividirán
luego en los diferentes subgrupos de seminario. El organizador formulará a
título de sugerencia la agenda previa que ha preparado, la cual será discutida por
todo el grupo. Modificada o no dicha agenda por el acuerdo del grupo, queda
convertida en agenda definitiva sobre la cual han de trabajar los distintos
subgrupos.
b) El grupo grande se subdivide en grupos de seminario a voluntad de los mismos.
Cada grupo designa su director para coordinar las tareas y un secretario que
tomará nota de las conclusiones.
c) La tarea específica del seminario consistirá en indagar, buscar información,
consultar fuentes bibliográficas y documentales, recurrir a expertos y asesores,
discutir en colaboración, analizar a fondo datos e informaciones, relacionar
aportes, confrontar puntos de vista, hasta llegar a formular las conclusiones del
grupo sobre el tema , así como desarrollar simulaciones funcionales de los
sistemas. Todo ello siguiendo el plan de trabajo formulada en la agenda
aprobada por el grupo general.
d) Al concluir las reuniones de seminario debe haberse logrado en mayor o menor
medida el objetivo buscado.
e) Terminada la labor de los subgrupos, todos ellos se reúnen nuevamente con la
coordinación del organizador, para dar a conocer sus conclusiones. Estas se
debaten hasta lograr un acuerdo y resumen general de las conclusiones del
seminario.
f) Finalmente se llevará a cabo la evaluación de la tarea realizada, mediante las
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técnicas de presentación de memoria escrita y presentación oral.
2.5.-EVALUACION
2.5.1.- Introducción
La evaluación es la parte del proceso curricular que representa para el profesor
una toma de decisiones en la elección de las estrategias de enseñanza / aprendizaje
adecuadas para verificar si conseguimos los objetivos / competencias que nos
proponemos, sabiendo que tenemos unos invariantes en el proceso formativos, que no
dependen del profesor, como son en el aspecto departamental las horas de teoría, las
horas de laboratorio, la disponibilidad de laboratorios y el número de alumnos; y por
otra parte en la Universidad de Sevilla, se tiende a un sistema de evaluación continua, lo
que supone una evaluación formativa que se debe efectuar durante todo el proceso de
enseñanza / aprendizaje, siendo el rasgo característico de la misma el hecho de la propia
formación continua; es decir en el transcurso del proceso instructivo y no en momentos
aislados (única alternativa en grupos grandes).
2.5.2.-Propósitos y Criterios para la Evaluación
La finalidad de la evaluación es saber como ha funcionado el proceso de
enseñanza–aprendizaje, así como el diseño del programa en los siguientes aspectos:
a) Niveles de conocimientos.
b) Niveles de capacidades de expresión y realización de informes.
c) Niveles en el manejo de la documentación.
d) Niveles de habilidades en las medidas experimentales.
e) Niveles en la integración de conocimientos y su aplicación práctica.
f) Nivel de trabajo a nivel autónomo.
g) Nivel de trabajo en grupo.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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Para comprobar dicho funcionamiento las técnicas más usadas que se proponen son:
a) Cuestionario sobre ideas previas.
b) Mapas conceptuales.
c) Resolución de problemas propuestos
d) Prácticas de laboratorio.
e) Trabajos avanzados
f) Exámenes globalizados sobre temas.
g) Desarrollo de proyectos.
h) Pruebas Objetivas
Las diferentes técnicas presentan diferentes potencialidades que debe poner en
funcionamiento el alumno como son: recordar, elaborar, aplicar modelos, diseñar,
comprender, analizar, sintetizar y valorar.
Los criterios de evaluación establecen el tipo y grado de aprendizaje que se
espera que hayan alcanzado los alumnos respecto a las capacidades indicadas en los
objetivos generales.
Se debe tener en cuenta en la calificación el nivel óptimo de aprendizaje en sus
aspectos conceptuales, en sus aspectos de análisis y diseño de sistemas tecnológicos y
en las actitudes respecto a la actividad tecnológica. Por otra parte se deben elegir las
técnicas más idóneas, teniendo en cuenta las limitaciones de recursos, para evaluar las
capacidades expresadas en los criterios de evaluación. Lógicamente no será lo mismo
realizar controles por temas para un grupo de 100 alumnos que para un grupo de 20, ni
en número de ellos, ni en contenido.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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2.6.-GESTION DEL CONOCIMIENTO Y MEDIOS
2.6.1.-Gestión del Conocimiento
Gestionar el conocimiento supone la capacidad que debemos ir adquiriendo
progresivamente para seleccionar la información significativa,
catalogándola,
referenciándola y archivándola de forma estructurada; para una fácil recuperación y
reusabilidad posterior y su integración, convirtiéndola en conocimiento para su posible
utilización en diferentes disciplinas y para que sirva de enriquecimiento en este
movimiento interdisciplinar entre docentes, alumnos, graduados y profesionales en
general.
Por otra parte debemos ser capaces de extraer sentido a la información
incompleta, poder extraer conocimiento del volumen ingente de datos que se encuentran
a nuestro alcance. Otro concepto importante es el mantenimiento y actualización
(reusabilidad) de la información, pudiendo de forma relativamente fácil mantener lo que
sigue vigente y poderlo modificar eficazmente con las nuevas aportaciones.
Aún más importancia, si cabe, toman en la actualidad la labor de búsqueda del
conocimiento, a través de los servicios de biblioteca y centros de documentación de
nuestros centro, la creación de “rutas temáticas”, por áreas que nos permitan tanto a
docentes e investigadores, alumnos y graduados dirigirnos de forma eficiente y rápida
hacia puntos óptimos de conocimiento.
En esencia las actividades de la Universidad no han experimentado cambios
sustanciales: enseñar, investigar, ser epicentro de actividades interculturales y por otro
lado gestionar de forma eficiente, dotando de los recursos suficientes para que todo lo
anterior funcione cumpliendo sus objetivos ante una sociedad cambiante que evoluciona
con los tiempos.
2.6.2.-Medios
Las técnicas docentes explicadas anteriormente necesitan de medios materiales
para su aplicación. Ante la aparición durante los últimos años de nuevos recursos
tecnológicos aplicados a la docencia universitaria que hacen uso fundamentalmente de
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
herramientas
informáticas,
conviene
Francisco Sivianes Castillo
dedicarles
un
apartado
mostrando
sus
características y aplicaciones.
También es importante considerar las herramientas de didáctica universitaria
más tradicionales como la pizarra, que utilizada correctamente es un recurso adecuado a
la explicación (como es el caso de desarrollos matemáticos, demostraciones, resolución
de problemas, etc.) y que combinada convenientemente con otros medios audiovisuales
sirve para enriquecer el proceso de enseñanza/ aprendizaje.
Las ventajas pedagógicas de la pizarra son el permitir al alumno un seguimiento
pausado de la explicación de profesor, favoreciendo su comprensión, ya que el alumno
ve evolucionar de forma secuencial los argumentos y contenidos de la clase, lo que
además facilita la redacción simultánea de sus apuntes.
Para obtener el máximo rendimiento de este recurso es recomendable considerar
los siguientes aspectos:
Una adecuada estructuración del contenido, una presentación del mismo de
forma clara y secuencial, poniendo el índice a seguir, desarrollando con claridad los
conceptos, borrando lo que ya se ha explicado y por tanto no introduciendo ruido en la
información transmitida. En algunos casos será no sólo conveniente sini aconsejado
usar conjuntamente el retroproyector, por ejemplo en el caso de querer visualizar
sistemas complejos y utilizar la pizarra para las demostraciones que se precisan.
El ordenador con el videoproyector puede usarse en vez del retroproyector de
transparencias cuando precisemos simulaciones, resumir un tema en que interaccionan
muchas imágenes o en el caso de necesitar animaciones. El ordenador con el
videoproyector permite la presentación de materiales didácticos con animaciones y
formatos diversos (vídeo, imagen, sonido,…) en una clase, lo que lo convierte en un
elemento que atrae poderosamente atractivo para el alumno; pero aunque puede ser un
recurso muy eficaz para acompañar las exposiciones, es preciso señalar que pueden
distraer o dificultar el aprendizaje por la cantidad excesiva de información que se tiene
que asimilar en un tiempo menor.
Al igual que ocurre con las transparencias, es necesario cuidar los contenidos de
las pantallas y reservar los efectos de animación para aquellos casos en que realmente
aportan una mejor presentación y comprensión de los contenidos.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
2.7.-FUENTES BIBLIOGRAFICAS
Las fuentes bibliográficas constituyen un complemento fundamental en la
docencia universitaria. El profesor deberá seleccionar cuidadosamente una serie de
referencias bibliográficas que recomendará a sus alumnos. Pueden establecerse dos
niveles:
a) Bibliografía básica: trata directamente de los temas de la asignatura, con un
nivel acorde con los objetivos perseguidos. Debe estar disponible en la
biblioteca del centro o en la central.
b) Bibliografía específica: trata de algún tema específico o de ampliación en
algunos temas de la asignatura.
Además de los libros, en los últimos cursos de carrera, el profesor puede
recomendar la lectura de revistas especializadas e incluso de algún artículo en
particular.
2.7.1.-Internet
Internet está revolucionando la sociedad, y la educación no podía quedarse al margen.
Además de su incuestionable utilidad en la formación a distancia y en la semipresencial,
Internet está cambiando la forma de dar las clases, la forma de relacionarse el profesor y
sus alumnos, los trabajos en grupo, la forma de buscar documentación, etc.
Entre las posibilidades que presenta Internet, destacamos por su interés, las siguientes:
Tutorías de correo electrónico, Listas de correo, Chats, Foros de discusión, Información
en la WEB…
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
3.- OBJETIVO DEL PROYECTO
La incorporación de las, ya no tan nuevas, tecnologías de la información en los
procesos de enseñanza – aprendizaje, hacen de la formación y educación a distancia,
cautivadas hace algunos años a entornos académicos muy concretos, una opción
necesaria y obligada de incorporación a asignaturas, seminarios, cursos…Esta opción
que nos ofrece las tecnologías de la información está cambiando la forma en que
docente y alumno enseñan y aprenden el conocimiento. El marco de la EEES, y el libre
desplazamiento de alumnos y enseñanzas hacen todavía más si cabe necesario un
replanteamiento de los planes docentes de las asignaturas.
Los usos simultáneos de video, audio, dibujos y transparencias adaptados bajo
un determinado formato electrónico permiten el seguimiento sencillo de las
explicaciones de casi cualquier asignatura o tema desde cualquier parte del mundo.
Pero hay un aspecto que por su dificultad siempre se deja exclusivamente para la
educación o entrenamiento presencial, y éste es la práctica en laboratorios. Dificultad
añadida por la realización de la práctica en si; que en la mayoría de las ocasiones hace
imprescindible una buena asimilación de los conceptos teóricos, mediatizados a través
de estudios previos, que en muchas ocasiones se vuelven excesivamente costosos en
tiempo y recursos. En muchas ocasiones se hace necesario incluso la presencia del
alumno en tutorías para resolver dichas cuestiones previas. Si añadimos unas memorias
finales de prácticas, para poder evaluar el proceso de enseñanza – aprendizaje dentro del
laboratorio; éstas se convierten en un verdadero obstáculo para el nuevo carácter
docente de muchas asignaturas.
Es cierto que muchas aplicaciones para prácticas en educación a distancia se
basan en simulaciones: con la simple presencia de un ordenador y un programa se
pueden simular los distintos equipos de medida que encontramos en el laboratorio
(Laboratorio Virtual). Esta solución empleada frecuentemente no permiten lógicamente
tomar medidas reales ni enfrentarse al equipo de medida real, perdiéndose una parte
importantísima del proceso de enseñanza – aprendizaje del laboratorio.
Ante la simulación, surge la necesidad del laboratorio real, no accesible
lógicamente a través de Internet. Pero se puede facilitar la realización de las prácticas de
laboratorio, en aquellos aspectos que sean posibles, haciendo accesibles (a través de
Internet), los conceptos y estudios previos que hagan menos costosas la realización de
dichas prácticas.
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Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
El presente proyecto consiste en el desarrollo de un conjunto de prácticas,
referidas a un Laboratorio de Comunicaciones. Para cada una de las referidas prácticas
se establece una estructura jerárquica, que comienza con el enunciado de la misma,
donde se establecen los objetivos del trabajo y una plantilla de recogida de datos. En
dicho enunciado, a su vez, se hace referencia a estudios previos detalladamente
resueltos, que servirán de guía para la adquisición de las medidas necesarias en la
realización de la práctica. En estos estudios previos nuevamente se hace referencia a
problemas desarrollados que resuelven y justifican los conceptos teóricos en los que se
apoya el objetivo a alcanzar por la práctica. Todo el material estará disponible para que
los usuarios accedan desde Internet y puedan hacer uso del mismo desde cualquier parte
del mundo a través únicamente de su navegador.
21
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- CONJUNTO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE
COMUNICACIONES
PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN
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PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES
23
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PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES
1.- Descripción de la práctica
1.1.- Para una señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar,
usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental
coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V.
b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
1.2.- Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar,
usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental
coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V.
b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
d. Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
1.3.- Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar,
usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental
coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V.
b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
1.4.- Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función
Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio,
su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de
laboratorios siguientes:
Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-01
Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-02
Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-03
Epígrafe 1.4: Laboratorio LTC-04
24
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4.- Hojas de resultados experimentales
4.1. Señal sinusoidal
Apartado a)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
Amplitud=2
Teor.
Práct.
Amplitud=5
Teor.
Práct.
Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
0.5 Khz.
Práct.
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
1 Khz.
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
2 Khz.
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
Offset=-1
Teor.
Práct.
Offset=0
Teor.
Práct.
Offset=1
Teor.
Práct.
Offset=2
Teor.
Práct.
4.2. Señal cuadrada
Apartado a)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
Teor.
Práct.
Amplitud=2
Teor.
Práct.
25
Amplitud=5
Teor.
Práct.
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Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
0.5 Khz.
1 Khz.
1.5 Khz.
2 Khz.
2.5 Khz.
3 Khz.
3.5 Khz.
4 Khz.
4.5 Khz.
5 Khz.
Práct.
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
2 Khz.
4 Khz.
6 Khz.
8 Khz.
10 Khz.
12 Khz.
14 Khz.
16 Khz.
18 Khz.
20 Khz.
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
Offset=-1
Teor.
Práct.
Offset=0
Teor.
Práct.
Offset=1
Teor.
Práct.
Offset=2
Teor.
Práct.
Apartado d)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
dc=1%
Teor.
Práct.
dc=12.5%
Teor.
Práct.
dc=25%
Teor.
26
Práct.
dc=50%
Teor.
Práct.
dc=75%
Teor.
Práct.
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4.3. Señal triangular
Apartado a)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
Teor.
Práct.
Amplitud=2
Teor.
Práct.
Amplitud=5
Teor.
Práct.
Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
0.5 Khz.
1 Khz.
1.5 Khz.
2 Khz.
2.5 Khz.
3 Khz.
3.5 Khz.
4 Khz.
4.5 Khz.
5 Khz.
Práct.
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
2 Khz.
4 Khz.
6 Khz.
8 Khz.
10 Khz.
12 Khz.
14 Khz.
16 Khz.
18 Khz.
20 Khz.
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
Offset=-1
Teor.
Práct.
Offset=0
Teor.
Práct.
27
Offset=1
Teor.
Práct.
Offset=2
Teor.
Práct.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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4.4. Tren de pulsos Sample
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
48
49
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
40
41
42
43
44
28
45
46
47
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Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-01: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL SENOIDAL
1.- Descripción de la práctica
Para una señal senoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el
osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide
con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V.
b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-07
29
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa una señal senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.
Figura 1. Señal senoidal
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En
ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de
continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más
importante por el efecto que introduce la escala logarítmica.
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
30
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
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Figura 2. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala en dBV RMS)
31
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Apartado a)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-30.0
-3.01
-3.0
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
Amplitud=2
Teor.
Práct.
-∞
-32.6
3.01
3.0
Amplitud=5
Teor.
Práct.
-∞
-29.6
10.97
11.0
Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
0.5 Khz.
-3.01
Práct.
-32.2
-3.0
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
-∞
-32.2
1 Khz.
-3.01
-3.0
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
Práct.
0 Khz.
-∞
-32.6
2 Khz.
-3.01
-3.0
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
6.02
6
-3.01
-3.0
Offset=-1
Teor.
Práct.
0
0
-3.01
-3.0
Offset=0
Teor.
Práct.
-∞
-31.6
-3.01
-3.0
Offset=1
Teor.
Práct.
0
0
-3.01
-3.0
Offset=2
Teor.
Práct.
6.02
6
-3.01
-3.0
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden
sensiblemente, mostrándose una ligera desviación en la componente de continua que
atribuimos a imperfecciones del instrumental. En cualquier caso, esta desviación en la
componente de continua es del entorno de -30 dBV es decir, de
−30
10 20 V = 10 −1.5 V = 0.031V
lo que supone unas pocas centésimas de voltios.
En algunos osciloscopios las definiciones de dBV o de VRMS no coinciden exactamente
con las adoptadas aquí. Así, por ejemplo, los osciloscopios Tektronix TDS 1012,
calculan el valor de continua como
2M 0
M 0' dBVRMS = 20 log
= 20 log 2 M 0 = 20 log M 0 + 20 log 2 = M 0 dBVRMS + 3dBV
2
es decir, que se obtiene un valor de la componente de continua 3 dB por encima del
valor teórico. Para otros osciloscopios son posibles definiciones (y resultados)
diferentes.
(
)
32
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Problema PTC0004-07
Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales
mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV
RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que
deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una
señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia. Repetir el cálculo para:
1) Amplitudes de 2V y 5V.
2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz.
3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
Solución PTC0004-07
Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función
periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1 ∞
f (t ) = ∑ cn e jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
T /2
cn = ∫
−T / 2
f (t )e − jωnt dt
f(t)
A
t
T
En el caso de una señal sinusoidal tenemos que
f (t ) = A cos(ω f t )
por lo que
T /2
cn = ∫
−T / 2
T /2
f (t )e − jωnt dt = ∫
−T / 2
A cos(ω f t )e − jωnt dt
Recordando que
cos(ω f t ) =
e
jω f t
+e
2
− jω f t
tenemos
T /2
cn = ∫
−T / 2
A
e
jω f t
+e
2
− jω f t
e − jωnt dt =
A T / 2 j (ω f −ωn ) t
A T / 2 − j (ω f +ωn ) t
e
dt
+
e
dt
2 ∫−T / 2
2 ∫−T / 2
Integrando
33
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cn =
[
A
j (ω −ω ) t
e f n
2 j (ω f − ω n )
Francisco Sivianes Castillo
]
T /2
−T / 2
−
[
A
− j (ω +ω ) t
e f n
2 j (ω f + ω n )
]
T /2
−T / 2
T
− j (ω f −ωn ) 
 j (ω f −ωn ) T2
2 
A e
−e


−
cn =
2 j (ω f − ω n )
T
j (ω f +ωn ) 
 − j (ω f +ωn ) T2
2 
A e
−e



2 j (ω f + ω n )
T
− j (ω f −ω n ) 
 j (ω f −ωn ) T2
2 

A e
−e

+
cn = 
2 j (ω f − ω n )
T
− j (ω f +ω n ) 
 j (ω f +ωn ) T2
2 

A e
−e



2 j (ω f + ω n )
Recordando que
e jx − e − jx
senx =
2j
podemos escribir
cn =
A
T
A
T


sen (ω f − ω n )  +
sen (ω f + ω n ) 
(ω f − ω n )
2  (ω f + ω n )
2


Multiplicando y dividiendo cada término por T/2
T
T


sen (ω f − ω n ) 
sen (ω f + ω n ) 
T
T
2
2


cn = A
+A
T
T
2 (ω − ω )
2 (ω + ω )
f
n
f
n
2
2
cn =
cn =
AT 
T  AT 
T
Sa (ω f − ω n )  +
Sa (ω f + ω n ) 
2
2 2
2


AT  2π 2πn  T  AT  2π 2πn  T 
Sa 
−
Sa 
+
 +

2
T  2  2
T  2 
 T
 T
cn =
AT
AT
Sa[(1 − n )π ] +
Sa[(1 + n )π ]
2
2
Considerando que la función Sample es simétrica, Sa(x)= Sa(-x)
AT
AT
cn =
Sa[(n − 1)π ] +
Sa[(n + 1)π ]
2
2
Como sabemos, la función Sample se anula para todos los múltiplos de π, excepto para
el múltiple de orden cero, en el que vale 1. Por tanto sólo existirán términos no nulos de
los coeficientes de Fourier para n-1=0 y para n+1=0, es decir, para n=1 y n =-1.
AT
AT
AT
AT
AT
AT
c1 =
Sa[(1 − 1)π ] +
Sa[(1 + 1)π ] =
Sa (0 ) +
Sa (2π ) =
+0=
+0
2
2
2
2
2
2
Análogamente
AT
AT
AT
AT
AT AT
c−1 =
Sa[(− 1 − 1)π ] +
Sa[(− 1 + 1)π ] =
Sa (− 2π ) +
Sa (0 ) = 0 +
=
2
2
2
2
2
2
34
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
1 ∞
f (t ) = ∑ cn e jωnt
T n =−∞
es decir, que cada armónico vale
c
c
M n = n + −n ∀n > 0
T
T
En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale
c
c
1 AT 1 AT
M 1 = 1 + −1 =
+
=A
T
T
T 2 T 2
Para la componente de continua tenemos que
c
A
A
1 AT
1 AT
M0 = 0 =
Sa[(0 − 1)π ] +
Sa[(0 + 1)π ] = Sa(− π ) + Sa(π ) = 0 + 0 = 0
T T 2
T 2
2
2
Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos.
La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que
disipa la misma potencia media que la señal. Para una tensión senoidal la potencia
media disipada sobre una resistencia unidad es
T
T
T
1
1
A2
2
P = ∫ v 2 (t )dt = ∫ [ A cos(ωt )] dt =
cos 2 (ωt )dt
∫
T0
T0
T 0
Recordando que
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
tenemos
T
T
A2
A2
A2 T A2 1
[t ]0 +
[sen(2ωt )]T0
P=
dt +
cos(2ωt )dt =
∫
∫
2T 0
2T 0
2T
2T 2ω
P=
2
2
2
A2
[T − 0] + A [sen(2ωT ) − sen(0)] = A + A sen(2 2π T )
2T
4ωT
2 4ωT
T
P=
A2
A2
A2
A2
sen(4π ) =
+
+
0
2 4ωT
2 4ωT
A2
P=
2
Por otra parte, por la definición de la tensión eficaz, la potencia media disipada por una
tensión continua sobre una resistencia unidad es
P = Ve2
por lo que igualando ambos términos tenemos
A2
P = Ve2 =
2
35
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
A2
A
=
2
2
Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico
excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la
propia definición de tensión eficaz,
VRMS = Ve = A
VRMS = Ve =
Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será
Mn

∀n > 0
M nRMS =
2

M
 nRMS = M n ∀n = 0
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los
valores esperados serán
M
M ndBVRMS = 20 log nRMS
1
Mn

∀n > 0
M ndBVRMS = 20 log
2

M ndBV = 20 log M n ∀n = 0
RMS

Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua
(offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que
sumarle la tensión de offset.
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno
de los apartados
Apartado 1)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
Amplitud=1
-∞
-3.01 dBV
Amplitud=2
-∞
3.01 dBV
Amplitud=5
-∞
10.97 dBV
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz.
0 Khz.
-∞
0.5 Khz.
-3.01 dBV
Frecuencia= 1 Khz.
0 Khz.
-∞
1 Khz.
-3.01 dBV
Frecuencia= 2 Khz.
0 Khz.
-∞
2 Khz.
-3.01 dBV
Apartado 3)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
Offset=-2
6.02 dBV
-3.01 dBV
Offset=-1
0 dBV
-3.01 dBV
Offset=0
-∞
-3.01 dBV
36
Offset=1
0 dBV
-3.01 dBV
Offset=2
6.02 dBV
-3.01 dBV
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PRÁCTICA LTC-02: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL CUADRADA
1.- Descripción de la práctica
Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el
osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide
con el teórico. Repetir el experimento para:
a.
b.
c.
d.
Amplitudes de 2V y 5V.
Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-08
37
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.
Figura 1. Señal cuadrada
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El
valor de la componente de continua es casi inapreciable.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
38
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala en dBV RMS)
39
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado a)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-40.4
-0.91
-1.0
-∞
-44.2
-10.45 -10.4
-∞
-44.2
-14.89 -14.4
-∞
-44.6
-17.81 -17.6
-∞
-44.2
-20.00 -19.6
-∞
-44.2
Amplitud=2
Teor.
Práct.
-∞
-24.4
5.11
5.2
-∞
-54.8
-4.33
-4.2
-∞
-54.2
-8.87
-8.6
-∞
-54.4
-11.79 -11.4
-∞
-55.8
-13.98 -13.6
-∞
-57.8
Amplitud=5
Teor.
Práct.
-∞
-26.2
13.07
13.2
-∞
-48.0
3.52
3.8
-∞
-51.0
-0.91
-0.6
-∞
-46.4
-3.83
-3.4
-∞
-49.8
-6.02
-5.4
-∞
-53.8
Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
0.5 Khz.
-0.91
1 Khz.
-∞
1.5 Khz.
-10.45
2 Khz.
-∞
2.5 Khz.
-14.89
3 Khz.
-∞
3.5 Khz.
-17.81
4 Khz.
-∞
4.5 Khz.
-20.00
5 Khz.
-∞
Práct.
-40.4
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
1 Khz.
-0.91
2 Khz.
-∞
3 Khz.
-10.45
4 Khz.
-∞
5 Khz.
-14.89
6 Khz.
-∞
7 Khz.
-17.81
8 Khz.
-∞
9 Khz.
-20.00
10 Khz.
-∞
Práct.
-40.4
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
2 Khz.
-0.91
4 Khz.
-∞
6 Khz.
-10.45
8 Khz.
-∞
10 Khz.
-14.89
12 Khz.
-∞
14 Khz.
-17.81
16 Khz.
-∞
18 Khz.
-20.00
20 Khz.
-∞
Práct.
-40.4
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
6.02
6.4
-0.91
-1.0
-∞
-44.2
-10.45 -10.4
-∞
-44.2
-14.89 -14.4
-∞
-44.6
-17.81 -17.6
-∞
-44.2
-20.00 -19.6
-∞
-44.2
Offset=-1
Teor.
0
-0.91
-∞
-10.45
-∞
-14.89
-∞
-17.81
-∞
-20.00
-∞
Práct.
-40.4
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Offset=0
Teor.
Práct.
-∞
-32.8
-0.91 -1.0
-∞
-44.2
-10.45 -10.4
-∞
-44.2
-14.89 -14.4
-∞
-44.6
-17.81 -17.6
-∞
-44.2
-20.00 -19.6
-∞
-44.2
Offset=1
Teor.
0
-0.91
-∞
-10.45
-∞
-14.89
-∞
-17.81
-∞
-20.00
-∞
Práct.
0
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Offset=2
Teor.
6.02
-0.91
-∞
-10.45
-∞
-14.89
-∞
-17.81
-∞
-20.00
-∞
Práct.
6.4
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
Apartado d)
Las figuras 4 y 5 reflejan, en distintas escalas, el espectro de amplitud para el caso de un
duty cycle del 1%.
40
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 4. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1% (bajas frecuencias)
Figura 5. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1%
41
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
La tabla que recoge los valores teóricos y experimentales de este apartado es la
siguiente:
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
dc=1%
Teor.
-0.18
-30.97
-30.97
-30.98
-30.99
-31.00
-31.02
-31.04
-31.06
-31.09
-31.11
Práct.
0
-25
-31
-31
-31
-31
-31
-31
-31
-31
-31
dc=12.5%
Teor.
-2.50
-9.26
-9.94
-11.14
-12.95
-15.58
-19.49
-26.16
-∞
-28.34
-23.92
Práct.
-1.2
-9.2
-10.0
-11.6
-12.8
-14.8
-18.4
-23.6
-36.4
-31.2
-24.8
dc=25%
Teor.
-6.02
-3.92
-6.93
-13.46
-∞
-17.90
-16.48
-20.82
-∞
-23.01
-20.91
Práct.
-4.8
-4.0
-6.8
-12.6
-31.0
-19.3
-16.4
-19.0
-30.8
-25.8
-21.0
dc=50%
Teor.
-∞
-0.91
-∞
-10.45
-∞
-14.89
-∞
-17.81
-∞
-20.00
-∞
Práct.
-32.8
-1.0
-44.2
-10.4
-44.2
-14.4
-44.6
-17.6
-44.2
-19.6
-44.2
dc=75%
Teor.
-6.02
-3.92
-6.93
-13.46
-∞
-17.90
-16.48
-20.82
-∞
-23.01
-20.91
Práct.
-6.6
-3.4
-6.8
-14.2
-30.4
-16.5
-16.4
-22.8
-30.4
-22.7
-23.5
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden
sensiblemente en todos los casos.
42
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-08
Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales
mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV
RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que
deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una
señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para:
1) Amplitudes de 2V y 5V.
2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz.
3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
4) Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
Solución PTC0004-08
Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función
periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
f (t ) =
1 ∞
c n e jωn t
∑
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
T /2
cn = ∫
−T / 2
f (t )e − jωnt dt
f(t)
d
A
t
T
En el caso de una onda cuadrada con duty-cycle tenemos que
T /2
cn = ∫
−T / 2
f (t )e − jωnt dt = ∫
−T / 2
cn =
cn =
−d / 2
A
jω n
[e ]
− Ae − jωnt dt + ∫
− jωn t − d / 2
−T / 2
d /2
T /2
Ae − jωnt dt + ∫
−d / 2
+
[
− A − jωnt
e
jω n
]
d /2
−d / 2
d/2
+
A
jω n
− Ae − jωnt dt
[e ]
− jωn t T / 2
d/2
d
T
d
d
T
d
jωn 
jω n 
− jω n 
A  jωn 2
− A  − jωn 2
A  − jωn 2
2
2
2
e
−
e
+
e
−
e
+
e
−
e






jω n 
 jω n 
 jω n 

43
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
cn =
A
jω n
e
jω n
d
2
−
A
jω n
e
jωn
T
2
−
A
jω n
e
Francisco Sivianes Castillo
− jω n
d
d
2
+
A
jω n
e
jωn
d
2
d
+
A
jω n
e
− jωn
T
T
2
−
A
jω n
T
2 A jωn 2 2 A − jωn 2
A jωn 2
A − jωn 2
cn =
e
−
e
−
e
+
e
jω n
jω n
jω n
jω n
d
d
T
T
− jωn 
− jωn 
2 A  jωn 2
A  jωn 2
2
cn =
−e
−e 2 
e
−
e
jω n 
j
ω
n 


d
− jωn 
 jωn d2
2
e
−
e


2A 
2j− A
cn =
jω n
2j
jω n
cn =
T
− jωn 
 jωn T2
2
e
−
e



2j
2j
 d  2A  T 
sen ω n  −
sen ω n 
ωn
 2  ωn
 2
4A
 d
 T
sen ω n 
sen ω n 
4A
 2  ω d − 2A
 2 ω T
cn =
n
n
T
ωn ω d
2 ωn
2
ω
n
n
2
2
 d
 T
cn = 2 AdSa ω n  − ATSa ω n 
 2
 2
 d
 2π n T 
cn = 2 AdSa  ωn  − ATSa 

 2
 T 2
 d
cn = 2 AdSa  ωn  − ATSa ( nπ )
 2
El segundo término es siempre cero para n>0 por lo que
 d
cn = 2 AdSa  ωn  ∀n > 0
 2
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
f (t ) =
1 ∞
∑ c n e jωn t
T n =−∞
es decir, que cada armónico vale
44
e
− jω n
d
2
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Mn =
cn
T
+
Francisco Sivianes Castillo
c −n
T
∀n > 0
Sustituyendo tenemos
d
 d

2 AdSa  ωn  2 AdSa  ω− n 
2
 2

Mn =
+
T
T
d
 d

2 AdSa  ωn  2 AdSa  −ωn 
2
 2

Mn =
+
T
T
∀n > 0
∀n > 0
Como la función Sample es simétrica
 d
 d
2 AdSa  ωn  2 AdSa  ωn 
 2
 2
Mn =
+
T
T
Mn =
2
 d
2 AdSa  ωn 
T
 2
∀n > 0
Mn =
4 Ad  2π n d 
Sa 

T
 T 2
∀n > 0
Mn =
4 Ad  d 
Sa  nπ 
T
 T
∀n > 0
∀n > 0
Si llamamos dc al duty-cyle tenemos
dc =
d
T
y sustituyendo
M n = 4 Ad c Sa(nπd c )
∀n > 0
Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos.
La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que
disipa la misma potencia media que la señal. En definitiva para un armónico de
amplitud A tenemos
A
VRMS = Ve =
2
45
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico
excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la
propia definición de tensión eficaz,
VRMS = Ve = A
Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será
4 Ad c Sa(nπd c )
M
M
M ndBVRMS = 20 log nRMS = 20 log n = 20 log
1
2
2
∀n > 0
Para la componente de continua tenemos
M0 =
c0
T
 d
 T
 d
 T
2 AdSa ω n  − ATSa ω n  2 AdSa 0  − ATSa 0 
 2
 2
 2
 2
M0 =
=
T
T
M0 =
M 0 dBVRMS = 20 log
2 Ad − AT
T
= 2 Ad c − A
M 0 RMS
= 20 log M 0 = 20 log 2 Ad c − A
1
Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua
(offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que
sumarle la tensión de offset.
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno
de los subapartados.
Apartado 1)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
-∞ dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
Amplitud=2
-∞ dBV
5.11 dBV
-∞ dBV
-4.33 dBV
-∞ dBV
-8.87 dBV
-∞ dBV
-11.79 dBV
-∞ dBV
-13.98 dBV
-∞ dBV
46
Amplitud=5
-∞ dBV
13.07 dBV
-∞ dBV
3.52 dBV
-∞ dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-3.83 dBV
-∞ dBV
-6.02 dBV
-∞ dBV
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
0.5 Khz.
-0.91 dBV
1 Khz.
-∞ dBV
1.5 Khz.
-10.45 dBV
2 Khz.
-∞ dBV
2.5 Khz.
-14.89 dBV
3 Khz.
-∞ dBV
3.5 Khz.
-17.81 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
4.5 Khz.
-20.00 dBV
5 Khz.
-∞ dBV
Frecuencia= 1 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
1 Khz.
-0.91 dBV
2 Khz.
-∞ dBV
3 Khz.
-10.45 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
5 Khz.
-14.89 dBV
6 Khz.
-∞ dBV
7 Khz.
-17.81 dBV
8 Khz.
-∞ dBV
9 Khz.
-20.00 dBV
10 Khz.
-∞ dBV
Frecuencia= 2 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
2 Khz.
-0.91 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
6 Khz.
-10.45 dBV
8 Khz.
-∞ dBV
10 Khz. -14.89 dBV
12 Khz.
-∞ dBV
14 Khz. -17.81 dBV
16 Khz.
-∞ dBV
18 Khz. -20.00 dBV
20 Khz.
-∞ dBV
Apartado 3)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
6.02 dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
Offset=-1
0 dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
Offset=0
-∞ dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
Offset=1
0 dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
Offset=2
6.02 dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
dc=1%
-0.18 dBV
-30.97 dBV
-30.97 dBV
-30.98 dBV
-30.99 dBV
-31.00 dBV
-31.02 dBV
-31.04 dBV
-31.06 dBV
-31.09 dBV
-31.11 dBV
dc=12.5%
-2.50 dBV
-9.26 dBV
-9.94 dBV
-11.14 dBV
-12.95 dBV
-15.58 dBV
-19.49 dBV
-26.16 dBV
-∞ dBV
-28.34 dBV
-23.92 dBV
dc=25%
-6.02 dBV
-3.92 dBV
-6.93 dBV
-13.46 dBV
-∞ dBV
-17.90 dBV
-16.48 dBV
-20.82 dBV
-∞ dBV
-23.01 dBV
-20.91 dBV
dc=50%
-∞ dBV
-0.91 dBV
-∞ dBV
-10.45 dBV
-∞ dBV
-14.89 dBV
-∞ dBV
-17.81 dBV
-∞ dBV
-20.00 dBV
-∞ dBV
dc=75%
-6.02 dBV
-3.92 dBV
-6.93 dBV
-13.46 dBV
-∞ dBV
-17.90 dBV
-16.48 dBV
-20.82 dBV
-∞ dBV
-23.01 dBV
-20.91 dBV
Apartado 4)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
47
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-03: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL TRIANGULAR
1.- Descripción de la práctica
Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el
osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide
con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V.
b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz.
c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-09
48
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa una señal triangular de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de
continua.
Figura 1. Señal triangular
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El
valor de la componente de continua es casi inapreciable.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
49
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala en dBV RMS)
50
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado a)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-41.4
-4.83
-4.6
-∞
-57.0
-23.92 -23.8
-∞
-54.6
-32.79 -32.4
-∞
-60.6
-38.64 -38.8
-∞
-63.0
-43.00 -43.0
-∞
-64.0
Amplitud=2
Teor.
Práct.
-∞
-32.2
1.19
1.4
-∞
-51.0
-17.90 -17.8
-∞
-47.0
-26.77 -26.4
-∞
-55.8
-32.62 -33.2
-∞
-54.8
-36.98 -36.6
-∞
-55.8
Amplitud=5
Teor.
Práct.
-∞
-30.8
9.14
9.4
-∞
-47.0
-9.94
-10.0
-∞
-40.6
-18.81 -18.6
-∞
-49.8
-24.66 -24.4
-∞
-50.6
-29.02 -28.4
-∞
-51.8
Apartado b)
Armónicos (en dBV)
Frecuencia= 0.5 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
0.5 Khz.
-4.83
1 Khz.
-∞
1.5 Khz.
-23.92
2 Khz.
-∞
2.5 Khz.
-32.79
3 Khz.
-∞
3.5 Khz.
-38.64
4 Khz.
-∞
4.5 Khz.
-43.00
5 Khz.
-∞
Práct.
-41.4
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Frecuencia= 1 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
1 Khz.
-4.83
2 Khz.
-∞
3 Khz.
-23.92
4 Khz.
-∞
5 Khz.
-32.79
6 Khz.
-∞
7 Khz.
-38.64
8 Khz.
-∞
9 Khz.
-43.00
10 Khz.
-∞
Práct.
-41.4
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Frecuencia= 2 Khz.
Teor.
0 Khz.
-∞
2 Khz.
-4.83
4 Khz.
-∞
6 Khz.
-23.92
8 Khz.
-∞
10 Khz.
-32.79
12 Khz.
-∞
14 Khz.
-38.64
16 Khz.
-∞
18 Khz.
-43.00
20 Khz.
-∞
Práct.
-41.4
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Apartado c)
Armónicos
(en dBV)
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
Teor.
Práct.
6.02
6.4
-4.83
-4.6
-∞
-57.0
-23.92 -23.8
-∞
-54.6
-32.79 -32.4
-∞
-60.6
-38.64 -38.8
-∞
-63.0
-43.00 -43.0
-∞
-64.0
Offset=-1
Teor.
0
-4.83
-∞
-23.92
-∞
-32.79
-∞
-38.64
-∞
-43.00
-∞
Práct.
0.2
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Offset=0
Teor.
Práct.
-∞
-41.4
-4.83 -4.6
-∞
-57.0
-23.92 -23.8
-∞
-54.6
-32.79 -32.4
-∞
-60.6
-38.64 -38.8
-∞
-63.0
-43.00 -43.0
-∞
-64.0
Offset=1
Teor.
0
-4.83
-∞
-23.92
-∞
-32.79
-∞
-38.64
-∞
-43.00
-∞
Práct.
-0.2
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Offset=2
Teor.
6.02
-4.83
-∞
-23.92
-∞
-32.79
-∞
-38.64
-∞
-43.00
-∞
Práct.
6.0
-4.6
-57.0
-23.8
-54.6
-32.4
-60.6
-38.8
-63.0
-43.0
-64.0
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden
sensiblemente en todos los casos.
51
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-09
Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales
mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV
RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que
deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una
señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para:
1) Amplitudes de 2V y 5V.
2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz.
3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
Solución PTC0004-09
Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función
periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1 ∞
f (t ) = ∑ cn e jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
T /2
cn = ∫
−T / 2
f (t )e − jωnt dt
f(t)
A
t
T
En el caso de la onda triangular la señal f(t) puede considerarse compuesta por dos
rectas independientes que se corresponderían con las funciones f1(t) y f2(t). Por lo tanto,
0
cn =
∫
f1 (t ) e − jωnt dt +
−T / 2
T /2
∫f
2
(t ) e − jωnt dt
0
Las rectas f1(t) y f2(t) pueden calcularse fácilmente pues se conocen los puntos por los
que pasan. Recordando que la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x2 − x1
o, lo que es lo mismo,
y − y1
y = y1 + 2
(x − x1 )
x2 − x1
Para la primera de las rectas, que pasa por los puntos [-T/2,-A] y [0,A], tenemos
52
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
f1 (t ) = − A +
Francisco Sivianes Castillo
A − (− A)  T 
4A  T 
4A 4A T
4A
t+
= −A +
t + 2A
t +  = −A +
t +  = −A +
T  2
T
T 2
T
 T  2 
0−− 
 2
4A
t
T
Para la segunda recta, que pasa por los puntos [0,A] y [T/2,-A], podemos escribir
(− A) − A
4A
f 2 (t ) = A +
(
t − 0) = A −
t
T
T
−0
2
Con estos resultados podemos escribir de nuevo el coeficiente como
0
T /2
4 A  − jωn t
4 A  − jωnt


cn = ∫  A +
t e
dt + ∫  A −
t e
dt
T 
T 
−T / 2 
0 
f1 (t ) = A +
0
cn =
− jω t
∫ Ae n dt +
−T / 2
0
4 A − jωn t
te
dt +
∫
T
−T / 2
T /2
T /2
0
0
− jω t
∫ Ae n dt −
∫
4 A − jωnt
te
dt
T
Agrupando términos
T /2
0
T /2
4A
4A
cn = A ∫ e
dt +
t e − jωnt dt −
t e − jωnt dt
∫
∫
T
T
−T / 2
−T / 2
0
Para simplicidad de la resolución denominemos cn1, cn2 y cn3 respectivamente a cada una
de las integrales anteriores. De esta forma
cn = cn1 + cn 2 + cn 3
Resolvamos ahora cada una de ellas. Para la primera tenemos
T /2
T /2
A
A
cn1 = A ∫ e − jωnt dt =
e − jωnt −T / 2 =
e − jωnT / 2 − e + jωnT / 2
− jω n
− jω n
−T / 2
− jωn t
[
cn1 =
A
]
(e
j ωn T / 2
(
− e − j ωn T / 2
)
)
jω n
En el caso de la segunda integral podemos escribir
0
4A
cn 2 =
t e − j ωn t dt
T −T∫/ 2
Esa integral no es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los
siguientes cambios de variables
u = t ⇒ du = dt
dv = e
− j ωn t
e − j ωn t
⇒ v=
− jω n
dt
Recordando que en la integración por partes
∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du
podemos sustituir
0
0
4 A  e − j ωn t 
4A
e − j ωn t
−
cn 2 =
t
dt


T  − jω n  −T / 2 T −T∫/ 2 − jω n
53
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
[
]
4 A  T e j ωn T / 2 
4A
e − j ωn t −T / 2
cn 2 =
0
+
−


T 
2 − jω n  T ( − j ω n ) − jω n
cn 2 =
0
(
− 2 A j ωn T / 2 4 A − j ωn 0
e
+
e
− e j ωn T / 2
jω n
T ω n2
cn 2 =
(
− 2 A j ωn T / 2 4 A
e
+
1 − e j ωn T / 2
jω n
T ω n2
)
)
Para la última de las integrales tenemos
T /2
4A
t e − j ωn t dt
∫
T 0
Esa integral tampoco es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los
mismos cambios de variables que en el caso anterior
u = t ⇒ du = dt
cn 3 = −
dv = e − j ωn t dt
⇒ v=
e − j ωn t
− jω n
Recordando que en la integración por partes
∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du
podemos sustituir
T /2
4 A  e − j ωn t 
cn 3 = −
t

T  − jω n  0
cn 3 = −
4A
T
+
T /2
∫
0
e − j ωn t
dt
− jω n
[
]

4A
e − j ωn t 0
4 A  T e − j ωn T / 2
−
0
+


T  2 − jω n
 T ( − jω n ) − jω n
cn 3 =
T /2
(
2 A − j ωn T / 2 4 A − j ωn T / 2
e
−
e
− e j ωn 0
2
jω n
T ωn
cn 3 =
(
)
)
2 A − j ωn T / 2 4 A − j ωn T / 2
e
−
e
−1
jω n
T ω n2
Con estos tres resultados estamos ya en condiciones de reanudar el cálculo de los
coeficientes cn del desarrollo en serie de Fourier. En efecto,
cn = cn1 + cn 2 + cn 3
cn =
A
jω n
(e
j ωn T / 2
)
− e − j ωn T / 2 +
(
)
(
)
− 2 A j ωn T / 2 4 A
2 A − j ωn T / 2 4 A − j ωn T / 2
e
+
1 − e j ωn T / 2 +
e
−
e
−1
2
jω n
T ωn
jω n
T ω n2
 A
2A
4 A  − j ωn T / 2  A
2A
4A   4A
4A 
+e
 −
+

cn = e j ωn T / 2 
−
−
+
−
+
2 
2  
2
2 
 jω n jω n T ω n 
 j ω n jω n T ω n   T ω n T ω n 
54
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 − A 4 A  − j ωn T / 2  A
4A  8A
+e

+
cn = e j ωn T / 2 
−
−
2 
2 
2
 jω n T ω n 
 jω n T ω n  T ω n
cn =
(
)
(
)
− A j ωn T / 2
4 A j ωn T / 2
8A
e
− e − j ωn T / 2 −
e
+ e − j ωn T / 2 +
2
jω n
T ωn
T ω n2
cn =
− 2A
ωn
 T  8A
 T  8A
sen ω n  −
cos ω n  +
2
2
 2  T ωn
 2  T ωn
Recordando la expresión del coseno del ángulo doble tenemos
cos(2 x) = cos 2 x − sen 2 x = 1 − sen 2 x − sen 2 x = 1 − 2sen 2 x
(
cn =
cn =
− 2A
ωn
− 2A
ωn
)
 T  8A
sen ω n  −
2
 2  T ωn

T  8 A
2
1 − 2sen  ω n 4  + T ω 2



n
 T  8 A 16 A
 T  8A
sen ω n  −
+
sen 2  ω n  +
2
2
2
 2  T ωn T ωn
 4  T ωn
cn =
cn =
− 2A
ωn
− 2A
ωn
 T  16 A
 T
sen ω n  +
sen 2  ω n 
2
 2  T ωn
 4
 T  16 A
 T
sen ω n  +
sen 2  ω n 
2
 2  T ωn
 4
2
 T
T
ω 
ωn
− 2A
16 A
T  n 4 
 T
2
2
cn =
sen ω n 
+
sen  ω n 
2
2
ωn
 2  ω T T ωn
 4  T 
n
ωn 
2
 4
 T
 T
cn = − ATSa ω n  + AT Sa 2  ω n 
 2
 4
 2πn T 
2  2πn T 
cn = − ATSa
 + AT Sa 

 T 2
 T 4
 π
cn = AT Sa 2  n  − ATSa (nπ )
 2
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
1 ∞
f (t ) = ∑ cn e jωnt
T n =−∞
es decir, que cada armónico vale
55
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Mn =
cn
T
+
Francisco Sivianes Castillo
c−n
T
∀n > 0
 π
 π
AT Sa 2  n  − ATSa (nπ ) AT Sa 2  − n  − ATSa (− nπ )
2
 2

Mn =
+
T
T
 π
 π
M n = ASa 2  n  − ASa(nπ ) + ASa 2  − n  − ASa(− nπ )
2
 2

Como la función Sample es simétrica
 π
 π
M n = ASa 2  n  − ASa(nπ ) + ASa 2  n  − ASa(nπ )
 2
 2
 π
M n = 2 ASa 2  n  − ASa(nπ )
 2
∀n > 0
∀n > 0
∀n > 0
∀n > 0
Pero el segundo término es siempre cero para n>0, por lo que
 π
M n = 2 ASa 2  n  ∀n > 0
 2
Por otro lado la componente de continua vale
M0 =
c0
T
 π
AT Sa 2  0  − ATSa (0π )
AT − AT
 2
M0 =
=
T
T
M0 = 0
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los
valores esperados serán
 π
2 ASa 2  n 
M
M
 2
M ndBVRMS = 20 log nRMS = 20 log n = 20 log
∀n > 0
1
2
2
Para la componente de continua tenemos
M
M 0 dBVRMS = 20 log 0 RMS = 20 log 0 = −∞dBVRMS
1
Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua
(offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que
sumarle la tensión de offset.
56
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno
de los subapartados.
Apartado 1)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Amplitud=1
-∞ dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
Amplitud=2
-∞ dBV
1.19 dBV
-∞ dBV
-17.90 dBV
-∞ dBV
-26.77 dBV
-∞ dBV
-32.62 dBV
-∞ dBV
-36.98 dBV
-∞ dBV
Amplitud=5
-∞ dBV
9.14 dBV
-∞ dBV
-9.94 dBV
-∞ dBV
-18.81 dBV
-∞ dBV
-24.66 dBV
-∞ dBV
-29.02 dBV
-∞ dBV
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
0.5 Khz.
-4.83 dBV
1 Khz.
-∞ dBV
1.5 Khz.
-23.92 dBV
2 Khz.
-∞ dBV
2.5 Khz.
-32.79 dBV
3 Khz.
-∞ dBV
3.5 Khz.
-38.64 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
4.5 Khz.
-43.00 dBV
5 Khz.
-∞ dBV
Frecuencia= 1 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
1 Khz.
-4.83 dBV
2 Khz.
-∞ dBV
3 Khz.
-23.92 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
5 Khz.
-32.79 dBV
6 Khz.
-∞ dBV
7 Khz.
-38.64 dBV
8 Khz.
-∞ dBV
9 Khz.
-43.00 dBV
10 Khz.
-∞ dBV
Frecuencia= 2 Khz.
0 Khz.
-∞ dBV
2 Khz.
-4.83 dBV
4 Khz.
-∞ dBV
6 Khz.
-23.92 dBV
8 Khz.
-∞ dBV
10 Khz. -32.79 dBV
12 Khz.
-∞ dBV
14 Khz. -38.64 dBV
16 Khz.
-∞ dBV
18 Khz. -43.00 dBV
20 Khz.
-∞ dBV
Apartado 3)
Armónicos
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
Offset=-2
6.02 dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
Offset=-1
0 dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
Offset=0
-∞ dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
57
Offset=1
0 dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
Offset=2
6.02 dBV
-4.83 dBV
-∞ dBV
-23.92 dBV
-∞ dBV
-32.79 dBV
-∞ dBV
-38.64 dBV
-∞ dBV
-43.00 dBV
-∞ dBV
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-04: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN TREN DE PULSOS
SAMPLE
1.- Descripción de la práctica
Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample
de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su
espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-10
58
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa un tren de pulsos Sample de 10V de amplitud y 1 Khz.
Figura 1. Tren de pulsos Sample
La figura 2 presenta un detalle de la figura anterior en la que se observa con más
claridad la forma del pulso Sample.
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 3.
Igualmente, en la figura 4 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Por último la figura 5 representa el espectro en escala logarítmica pero en un mayor
rango de frecuencias.
59
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Tren de pulsos Sample
Figura 3. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala lineal)
60
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 4. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala en dBV RMS)
Figura 5. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (rango amplio de frecuencias)
61
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Los valores medidos (en dBV RMS) y su comparación con los teóricos se recogen en
las siguientes tablas.
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
0
-18.06
-18.11
-23.1
1
-15.05
-15.01
-15.0
2
-15.05
-15.10
-15.2
3
-15.05
-15.01
-15.1
4
-15.05
-15.10
-15.2
5
-15.05
-15.01
-15.1
6
-15.05
-15.10
-15.2
7
-15.05
-15.01
-15.0
8
-15.05
-15.10
-15.1
9
-15.05
-15.01
-15.0
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
10
-15.05
-15.10
-15.1
11
-15.05
-15.00
-15.0
12
-15.05
-15.10
-15.1
13
-15.05
-15.00
-15.0
14
-15.05
-15.10
-15.1
15
-15.05
-15.00
-15.0
16
-15.05
-15.10
-15.1
17
-15.05
-15.00
-15.0
18
-15.05
-15.11
-15.1
19
-15.05
-15.00
-15.0
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
20
-15.05
-15.11
-15.1
21
-15.05
-15.00
-15.0
22
-15.05
-15.11
-15.2
23
-15.05
-14.99
-14.9
24
-15.05
-15.12
-15.1
25
-15.05
-14.98
-15.1
26
-15.05
-15.12
-15.2
27
-15.05
-14.97
-14.9
28
-15.05
-15.14
-15.1
29
-15.05
-14.96
-15.0
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
30
-15.05
-15.15
-15.2
31
-15.05
-14.94
-14.9
32
-15.05
-15.17
-15.1
33
-15.05
-14.92
-14.9
34
-15.05
-15.21
-15.2
35
-15.05
-14.87
-14.8
36
-15.05
-15.28
-15.3
37
-15.05
-14.76
-14.8
38
-15.05
-15.50
-15.5
39
-15.05
-14.30
-14.4
48
-∞
-53.86
-54.1
49
-∞
-54.97
-55.1
Khz
Aprox.
Exacto
Exper.
40
-21.07
-21.09
-21.0
41
-∞
-36.14
-37.8
42
-∞
-41.54
-41.4
43
-∞
-44.98
-44.8
44
-∞
-47.51
-50.0
45
-∞
-49.52
-52.0
46
-∞
-51.18
-50.2
47
-∞
-52.61
-54.1
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden
sensiblemente en todos los casos.
62
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-10
Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales
mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV
RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que
deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una
señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de
amplitud y 40Khz de frecuencia.
Solución PTC0004-10
f(t)
A
t
T
La figura representa el tren de pulsos del enunciado. Cada uno de los ciclos puede verse
en detalle en la figura siguiente
f(t)
A
t
Ts
Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función
periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1 ∞
f (t ) = ∑ cn e jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
T /2
cn = ∫
−T / 2
f (t )e − jωnt dt
En el caso que nos ocupa tenemos que
63
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 2π
f (t ) = A Sa(ω s t ) = A Sa
 Ts

 T T
t  ∀t ∈ − , 
 2 2

por lo que
T /2
cn = ∫
−T / 2
T /2
A Sa (ω s t )e − jωnt dt = A∫
−T / 2
sen(ω s t ) − jωnt
e
dt
ωst
Desafortunadamente la expresión anterior no puede resolverse analíticamente. Caben
dos soluciones: a) una integración numérica con el cálculo de cada uno de los valores
necesarios; o b) una solución analítica aproximada. Intentemos primero este segundo
camino.
Consideremos para ello una señal Sample igual a la anterior, pero que no se repite
periódicamente, es decir, un único pulso de tipo Sample. Para este caso,
g (t ) = A Sa(ω s t )
y, al no ser periódica, su representación espectral se consigue mediante la transformada
de Fourier que vale
∞
∞
−∞
−∞
G (ω ) = ∫ g (t )e − jωnt dt = ∫ A Sa (ωs t )e− jωnt dt = ℑ [ A Sa(ωs t ) ]
Esta integral tampoco puede resolverse directamente, pero sí podemos acudir a las
propiedades de la transformada de Fourier para resolverla. Recordamos que si una
función m(t) se transforma en
M (ω ) = ℑ [ m(t )]
entonces la función
n(t ) = M (t )
se transforma en
N (ω ) = ℑ [ n(t )] = ℑ [ M (t )] = 2πm(−ω )
Apliquemos esta propiedad a una función pulso de amplitud B y ancho d

 d d
m(t ) = B ∀t ∈ − 2 , 2 




m(t ) = 0 ∀t ∉ − d , d 
 2 2 

Sabemos, y es fácil demostrar, que su transformada vale
 d
M (ω ) = ℑ [ m(t )] = BdSa  ω 
 2
Tengamos ahora otra función constituida por un pulso tipo Sample
 d
n(t ) = M (t ) = BdSa t 
 2
La transformada de esta función, aplicando la propiedad anteriormente enunciada será
N (ω ) = ℑ [ n(t )] = ℑ [ M (t )] = 2πm(−ω )
lo que dada la simetría de la función Sample nos lleva a
64
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
N (ω ) = 2π m(ω )

 d d
 N (ω ) = 2πB ∀ω ∈ − 2 , 2 




 d d
 N (ω ) = 0
∀ω ∉ − , 

 2 2
Comparando n(t) con g(t) tenemos
 g (t ) = A Sa(ω s t )


 d
n(t ) = BdSa t 2 
 

y, por lo tanto, ambas funciones son iguales si
d
ω s = ; A = Bd
2
o lo que es lo mismo
A
A
d = 2ω s ; B = =
d 2ω s
por lo que la transformada es
ATs
ATs
A

= 2π
=
∀ω ∈ [− ω s , ω s ]
G (ω ) = 2π
2ω s
2 ⋅ 2π
2

G (ω ) = 0
∀ω ∉ [− ω s , ω s ]

es decir, un pulso cuadrado en el plano de la frecuencia, tal como puede observarse en la
gráfica
G(ω)
ATs
2
ω
2ωs
Con esos resultados, y volviendo a la señal original, podemos escribir
∞
−T / 2
−∞
−∞
cn = ∫ A Sa(ω s t )e − jωnt dt − ∫
A Sa(ω s t )e − jωnt dt − ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
Comparando con las expresiones anteriores vemos que
cn = G (ω ) − ∫
−T / 2
−∞
A Sa (ω s t )e − jωnt dt − ∫
∞
T /2
65
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Si T>>Ts la función Sample toma un valor muy pequeño, lo mismo que ocurre con las
dos integrales de la expresión anterior. Por tanto, de una forma aproximada (ver Anexo),
podemos escribir
cn ≈ G (ω )
ATs

∀ω n ∈ [− ω s , ω s ]
cn ≈
2

cn ≈ 0
∀ω n ∉ [− ω s , ω s ]

ATs
2πn  2π 2π 
, 
∀
∈ −
cn ≈
2
T

 Ts Ts 

2πn  2π 2π 
c ≈ 0
∀
∉ −
, 
n

T
T
Ts 
s



 T T
ATs
∀n∈ − , 
cn ≈
2

 Ts Ts 

 T T
c ≈ 0
∀
n
∉
n
− , 

 Ts Ts 

El valor de G(ω) presenta una singularidad en ω= ωs, cambiando bruscamente de valor.
Esto hace que debamos estudiar especialmente el valor de cn para ωn= ωs. En este caso
tenemos
T /2
cn = ∫
−T / 2
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt = ∫
−T / 2
T /2
cn = ∫
−T / 2
T /2
cn = ∫
−T / 2
A Sa(ω s t )e − jωst dt
A Sa(ω s t )[cos(ω s t ) − jsen(ω s t )]dt
T /2
A Sa(ω s t ) cos(ω s t ) dt − ∫
−T / 2
A jSa (ω s t ) sen(ω s t )dt
La segunda integral, como la de cualquier función simétrica es cero. En efecto,
∫
T /2
−T / 2
Aj Sa (ω s t )sen(ω s t ) dt = ∫
0
−T / 2
T /2
A jSa (ω s t )sen(ω s t ) dt + ∫
0
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt
Haciendo en la primera integral el cambio de variable
t = − x; dt = − dx; t = −T / 2 → x = T / 2; t = 0 → x = 0
tenemos
∫
T /2
−T / 2
∫
T /2
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt = ∫
0
T /2
T /2
A jSa ( −ω s x)sen( −ω s x)(−dx ) + ∫
0
T /2
−T / 2
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt
T /2
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt = − ∫
A jSa (−ω s x)sen(−ω s x)(− dx) + ∫
0
0
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt
Como la función Sample es simétrica y la función seno no lo es, podemos escribir
∫
T /2
−T / 2
T /2
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt = − ∫
0
T /2
A jSa (ω s x)sen(ω s x)dx + ∫
0
66
A jSa (ω s t )sen(ω s t )dt
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
de donde, como queríamos demostrar,
∫
T /2
−T / 2
A jSa (ω s t )sen(ω s t ) dt = 0
Sustituyendo en el cálculo del valor de cn tenemos
T /2
cn = ∫
−T / 2
T /2
A Sa (ω s t ) cos(ω s t ) dt − ∫
−T / 2
T /2
cn = ∫
−T / 2
A
T /2
A jSa (ω s t ) sen(ω s t ) dt = ∫
−T / 2
A Sa (ω s t ) cos(ω s t )dt
T /2
T /2
sen(ω s t )
A sen(2ω s t )
cos(ω s t ) dt = ∫
dt = ∫
ASa (2ω s t )dt
−T / 2 ω t
−T / 2
ωst
2
s
cn ≈ ∫
∞
−∞
ASa(2ω s t )dt = ∫
∞
−∞
ASa(2ω s t )e j 0t dt
Es decir el valor será aproximadamente igual al término de continua (para ω=0) de la
transformada de una función Sample de frecuencia doble a la original. Por tanto, para
ω= ωs, tenemos
A(Ts / 2) ATs
cn ≈
=
2
4
Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale
c
c
M n = n + −n ∀n > 0
T
T

ATs ATs
+
M n ≈
2T
2T



M n ≈ 0


ATs ATs
+
M n ≈
4T
4T

 T
∀n∈ 0, 
 Ts 
 T
∀n ∉ 0, 
 Ts 
T
∀n =
Ts

 T
ATs
∀n∈ 0, 
M n ≈
T
 Ts 


 T

∀n ∉ 0, 
M n ≈ 0
 Ts 


ATs
T
∀n =
M n ≈
2T
Ts

Por otro lado la componente de continua vale
M0 =
67
c0
T
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
M0 ≈
ATs
2T
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los
valores esperados serán
M
M
M ndBVRMS = 20 log nRMS = 20 log n
1
2
Para la componente de continua tenemos
M 0 RMS
= 20 log M 0
1
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos exactos
(por cálculo numérico) y aproximados de cada armónico, expresados todos ellos en
dBV RMS.
M 0 dBVRMS = 20 log
Khz
Aprox.
Exacto
0
-18.06
-18.11
1
-15.05
-15.01
2
-15.05
-15.10
3
-15.05
-15.01
4
-15.05
-15.10
5
-15.05
-15.01
6
-15.05
-15.10
7
-15.05
-15.01
8
-15.05
-15.10
9
-15.05
-15.01
Khz
Aprox.
Exacto
10
-15.05
-15.10
11
-15.05
-15.00
12
-15.05
-15.10
13
-15.05
-15.00
14
-15.05
-15.10
15
-15.05
-15.00
16
-15.05
-15.10
17
-15.05
-15.00
18
-15.05
-15.11
19
-15.05
-15.00
Khz
Aprox.
Exacto
20
-15.05
-15.11
21
-15.05
-15.00
22
-15.05
-15.11
23
-15.05
-14.99
24
-15.05
-15.12
25
-15.05
-14.98
26
-15.05
-15.12
27
-15.05
-14.97
28
-15.05
-15.14
29
-15.05
-14.96
Khz
Aprox.
Exacto
30
-15.05
-15.15
31
-15.05
-14.94
32
-15.05
-15.17
33
-15.05
-14.92
34
-15.05
-15.21
35
-15.05
-14.87
36
-15.05
-15.28
37
-15.05
-14.76
38
-15.05
-15.50
39
-15.05
-14.30
48
-∞
-53.86
49
-∞
-54.97
Khz
Aprox.
Exacto
40
-21.07
-21.09
41
-∞
-36.14
42
-∞
-41.54
43
-∞
-44.98
44
-∞
-47.51
68
45
-∞
-49.52
46
-∞
-51.18
47
-∞
-52.61
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Anexo. Cálculo del error de aproximación
Hemos visto que
cn = G (ω ) − ∫
−T / 2
−∞
A Sa (ω s t )e − jωnt dt − ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
lo que nos permite, si T>>Ts, aproximarlo mediante
cn ≈ G (ω )
El error cometido en esta aproximación es
εn = ∫
−T / 2
−∞
A Sa(ω s t )e − jωnt dt + ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
Este error podemos rescribirlo haciendo, en la primera integral, el cambio de variable
t = − x; dt = −dx; t = −∞ → x = ∞; t = −T / 2 → x = T / 2
por lo que tenemos
T /2
εn = ∫
∞
A Sa(−ω s x)e jωn x (−dx) + ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
Recordando que la función Sample es simétrica
εn = ∫
∞
T /2
A Sa(ω s x)e jωn x dx + ∫
∞
T /2
A Sa (ω s t )e − jωnt dt
y cambiando de nuevo de variable x=t
εn = ∫
∞
T /2
εn = ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e jωnt dt + ∫
∞
T /2
(
)
A Sa (ω s t ) e jωnt + e − jωnt dt = ∫
∞
T /2
A Sa(ω s t )e − jωnt dt
2 A Sa(ω s t )
∞
∞
T /2
T /2
ε n = ∫ 2 A Sa(ω s t ) cos(ω n t )dt = ∫ 2 A
(e
jω nt
)
+ e − jω nt
dt
2
sen(ω s t )
cos(ω n t )dt
ωst
Recordando las expresiones trigonométricas de la suma y resta de ángulos tenemos
sen(a + b) = sena ⋅ cosb + cos a ⋅ senb

sen(a − b) = sen a ⋅ cosb − cos a ⋅ senb
Sumando ambas ecuaciones
sen(a + b) + sen(a − b) = 2 sen a ⋅ cosb
sen a ⋅ cosb =
sen(a + b) + sen(a − b)
2
Aplicando esta expresión a la integral tenemos
∞ 2 A sen (ω t + ω t ) + sen(ω t − ω t )
s
n
s
n
dt
εn = ∫
T /2ω t
2
s
69
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
εn = ∫
∞
T /2
A
Francisco Sivianes Castillo
∞
sen[(ω s + ω n )t ]
sen[(ω s − ω n )t ]
dt + ∫ A
dt
T
/
2
ωst
ωst
Distinguiremos tres casos.
a) El primero será el que ocurre cuando ωn< ωs. En este caso en la primera integral
hacemos el cambio de variable
T (ω s + ω n )
dx
(ω s + ω n )t = x; dt =
; t = ∞ → x = ∞; t = T / 2 → x =
ωs + ωn
2
y en la segunda integral hacemos el cambio
T (ω s − ω n )
dx
(ω s − ω n )t = x; dt =
; t = ∞ → x = ∞; t = T / 2 → x =
ωs − ωn
2
por lo que el error resulta ser
∞
ε n = ∫T (ω +ω ) A
s
n
2
∞
dx
sen x
+ ∫T (ωs −ωn ) A


x  ωs + ωn
x
2

ω s 
ω s 
 ωs + ωn 
 ωs − ωn
sen x
εn =
A
ωs
∫
∞
T (ω n +ω s )
2
sen x
A
dx +
ωs
x
∫
∞
T (ω s −ω n )
2
dx
 ωs − ωn


∀ω n < ω s
sen x
dx ∀ω n < ω s
x
b) El segundo caso será el que ocurre cuando ωn> ωs. En este caso en la primera
integral hacemos el mismo cambio de variable y en la segunda integral hacemos el
cambio
T (ω n − ω s )
dx
(ω n − ω s )t = x; dt =
; t = ∞ → x = ∞; t = T / 2 → x =
ωn − ωs
2
por lo que el error resulta ser
∞
ε n = ∫T (ω +ω ) A
n
2
s
∞
dx
sen( − x)
+ ∫T (ωn −ω s ) A


x  ωs + ωn
x
2

ω s 
ω s 
 ωs + ωn 
 ωn − ωs
εn =
sen x
A
ωs
∫
∞
T ( ω n +ω s )
2
sen x
A
dx −
ωs
x
∫
∞
T (ωn −ω s )
2
dx
 ωn − ωs


∀ω n > ω s
sen x
dx ∀ω n > ω s
x
c) El tercer y último caso será el que ocurre cuando ωn= ωs. En este caso sustituimos
estos valores en ambas integrales teniendo
∞
∞
sen(2ω s t )
sen(0t )
εn = ∫ A
dt + ∫ A
dt ∀ω n = ω s
T /2
T
/
2
ωst
ωst
εn = ∫
∞
T /2
A
sen(2ω s t )
dt
ωst
∀ω n = ω s
Haciendo el cambio de variable
2ω s t = x; dt =
dx
; t = ∞ → x = ∞; t = T / 2 → x = Tω s
2ω s
70
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
tenemos
∞
εn = ∫ A
T ωs
εn =
A
ωs
senx dx
x 2ω s
2
∞
∫ω
T
s
∀ω n = ω s
senx
dx ∀ω n = ω s
x
Resumiendo los tres casos, el error de aproximación resulta ser

A
ε n =
ωs


A
ε n =
ωs


A
ε n =
ωs

∫
∞
T (ω n +ω s )
2
∫
∞
T (ω n +ω s )
2
∞
∫ω
T
s
sen x
A
dx +
x
ωs
∫
sen x
A
dx −
x
ωs
∫
∞
T (ω s −ωn )
2
∞
T (ω n −ω s )
2
sen x
dx ∀ω n < ω s
x
sen x
dx ∀ω n > ω s
x
senx
dx
x
∀ω n = ω s
y en términos absolutos

A
ε n ≤
ωs


A

ε n ≤
ωs


ε n ≤ A

ωs
∫
∞
T (ω n +ω s )
2
∫
∞
T (ω n +ω s )
2
∞
∫ω
T
s
sen x
A
dx +
x
ωs
∫
sen x
A
dx +
ωs
x
∫
∞
T (ω s −ωn )
2
∞
T (ω n −ω s )
2
senx
dx
x
sen x
dx
x
∀ω n < ω s
sen x
dx
x
∀ω n > ω s
∀ω n = ω s
En definitiva, el error resulta ser dependiente de integrales del tipo
I (a) = ∫
∞
a
sen x
dx
x
en las que el límite inferior de la integral es un número positivo que crece, cuando T
crece.

A  T (ω n + ω s )  A  T (ω s − ω n ) 
I
I
+
 ∀ω n < ω s
ε n ≤
2
2
ω
ω




s
s


A  T (ω n + ω s )  A  T (ω n − ω s ) 

I
I
+
 ∀ω n > ω s
ε n ≤
2
2
ω
ω




s
s


 ε n ≤ A I (T ω s )
∀ω n = ω s

ωs
Mostraremos que las integrales I(a) y, por tanto el error de aproximación, son muy
pequeños cuando T es muy grande. Para ello veamos que el integrando está formado por
dos funciones: una senoide de período 2π y una hipérbola. La integral es el área debajo
de la curva formada por el integrando y el eje de abscisas, lo que podemos obtener
también sumando las áreas de cada período o ciclo.
71
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Ciclo i
Ciclo i-1
Ciclo i+1
Numeramos los ciclos empezando por i=0 (de x=0 a x=2π), i=1 (de x=2π a x=4π), i=2
(de x=4π a x=6π), y así sucesivamente hasta i=∞. Supondremos también que el límite
inferior de la integral a está en el ciclo m-ésimo (por simplicidad y sin pérdida de
generalidad supondremos que coincide con el inicio del ciclo). Es decir,
a = 2π m
Según esto, la integral vale
I (a) = ∫
∞
a
∞
sen x
dx = ∑ Ai
x
i=m
siendo Ai el área del ciclo i-ésimo. Este ciclo va desde x=2πi a x=2π(i+1) y está
formado por dos semiciclos, uno positivo de área Aip desde x=2πi a x=2πi+π y otro
negativo de área Ain desde x=2πi+π a x=2π(i+1), siendo
Ai = Aip + Ain = ∫
2π i + π
2π i
1
2π i
2π ( i +1) sen x
sen x
dx + ∫
dx
2π i + π
x
x
1
2π i + π
1
2π (i + 1)
2πi+ π
Ciclo i
Ciclo i-1
2πi
Ciclo i+1
2π(i+1)
En el semiciclo positivo, la senoide está multiplicada por un valor variable 1/x
comprendido en el intervalo
72
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
1
1
1
≥ ≥
2πi x 2πi + π
Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al máximo valor del factor en
el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo. En efecto,
Aip = ∫
2π i +π
2π i
2π i +π sen x
sen x
dx ≤ ∫
dx
2π i
x
2π i
Igualmente, en el semiciclo negativo la senoide está multiplicada por un valor variable
1/x comprendido en el intervalo
1
1
1
≥ ≥
2πi + π x 2π (i + 1)
Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al mínimo valor del factor en
el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo (recordemos que el
área en este semiciclo es negativa). En efecto,
Ain = ∫
2π ( i +1)
2π ( i +1)
sen x
sen x
dx ≤ ∫
dx
π
π
2
i
+
2π (i + 1)
x
2π i + π
Sustituyendo las cotas superiores de las áreas de los semiciclos positivo y negativo
obtenemos una cota superior del área total del ciclo
Ai = Aip + Ain ≤ ∫
2π i +π
2π ( i +1)
sen x
sen x
dx + ∫
dx
π
π
2
i
+
2π i
2π (i + 1)
2π i
Integrando tenemos
Ai ≤
Ai ≤
[− cos x]22ππ ii+π [− cos x]22ππ i(+i +π1)
+
2π i
2π (i + 1)
cos[2π i ] − cos[2π i + π ] cos[2π i + π ] − cos[2π (i + 1)]
+
2π i
2π (i + 1)
Ai ≤
1 − (−1) (−1) − 1
2
2
+
=
−
2π i
2π (i + 1) 2π i 2π (i + 1)
Ai ≤
1 1 1 
 −

π  i i +1
Sustituyendo este resultado en el cálculo de la integral de la función Sample tenemos
I (a) = ∫
∞
a
I (a) ≤
∞
sen x
1 ∞ 1 1 
dx = ∑ Ai ≤ ∑  −

x
π i =m  i i + 1 
i =m

1  1
1   1
1   1
1 
−
−
 −
+
+
 + L

π  m m + 1   m + 1 m + 2   m + 2 m + 3 

I (a) ≤
11
1
 =
π  m  mπ
73
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Recordando que
Francisco Sivianes Castillo
a = 2π m
y sustituyendo el valor de m en función de a tenemos
1 2π 2
I (a) ≤
=
π a a
Sustituyendo esta cota de la integral en la expresión del error de aproximación tenemos


2
2
A
A
+
ε n ≤
ω s T (ω n + ω s ) ω s T (ωs − ωn )


2
2


A
2
A
2

+
ε n ≤
ω s T (ω n + ω s ) ω s T (ω n − ω s )


2
2

ε ≤ A 2
 n ω s Tω s



∀ω n < ω s
∀ω n > ω s
∀ω n = ω s
Como en esa expresión todos los valores son positivos tenemos

A
4
A
4
+
∀ω n < ω s
ε n ≤
+
−
T
(
)
T
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
s
n
s
s
s
n


A
4
A
4
+
∀ω n > ω s
ε n ≤
T
(
+
)
T
(
−
)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
s
n
s
s
n
s


A 2
∀ω n = ω s
ε n ≤
ω s Tω s

y simplificando

4A  1
1 

 ∀ω n < ω s
+
ε n ≤
ω
ω
ω
ω
ω
T
+
−
s
n
s
s
n




4A  1
1 


 ∀ω n > ω s
+
ε n ≤
T ω s  ω n + ω s ω n − ω s 


2A 1
∀ω n = ω s
ε n ≤
Tωs ωs


4Af 

ε n ≤
2π f s  2π f n


4Af 


ε n ≤
2π f s  2π f n


2Af 1
ε n ≤
π f s 2π f s
2


1
1
 ∀2π f n < 2π f s
+
+ 2π f s 2π f s − 2π f n 

1
1
 ∀2π f n > 2π f s
+
+ 2π f s 2π f n − 2π f s 
∀2π f n = 2π f s
74
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones

A 

ε n ≤
2 
π
m
 fn


A 


ε n ≤
2 
π
m
 fn


A
ε n ≤
2mπ 2 f s

Francisco Sivianes Castillo

 ∀f n < f s

1
1 
 ∀f n > f s
+
+ f s f n − f s 
1
1
+
+ f s f s − fn
∀f n = f s
Vemos que, como queríamos demostrar, cuando T crece disminuye la integral y por
tanto, disminuye el error. Podemos hacer el error tan pequeño como queramos sin más
que aumentar m (T/Ts), o lo que es lo mismo, la relación entre el período del tren de
pulsos Sample (T) y el período de la propia función Sample (Ts). El valor de m en
nuestro enunciado es 40.
La gráfica siguiente muestra la evolución del error de la aproximación en función de m
para tres armónicos (0 Khz, 10 Khz y 30 Khz). Este error se ha calculado por métodos
numéricos y está expresado en porcentaje sobre el valor máximo teórico del espectro
que, como vimos anteriormente, vale
ATs
G (ω ) = 2π B =
2
Error H%L
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
m HTêTs L
80
100
Vemos como, efectivamente, el error va disminuyendo al hacer que el período del tren
de pulsos Sample (T) sea sensiblemente mayor que el período de la propia función
Sample (Ts), es decir, al hacer que m crezca.
En la gráfica siguiente se muestra la evolución del error de la aproximación para los
distintos armónicos (m=40, valor del enunciado). Se observa una singularidad del error
a la frecuencia de 40 Khz (pasa del 9.08% al 0.13%). Esta frecuencia es la misma a la
que se produce la singularidad del espectro. En cualquier caso, se observa que, para los
datos del enunciado, el error no supera el 10% en ninguno de los armónicos.
75
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Error H%L
8
6
4
2
0
0
20
40
60
Armó nico HKhz L
80
100
Estos valores se encuentran por debajo de las cotas calculadas tal como puede verse en
la gráfica siguiente que muestra la evolución del error de la aproximación y su cota en
función de m para el armónico de 30 Khz.
50
Error H%L
40
30
20
10
0
20
40
60
m HTêTs L
80
100
De igual forma, en la gráfica inferior se muestra la evolución del error de la
aproximación y su cota para los distintos armónicos (m=40, valor del enunciado).
20
Error H%L
15
10
5
0
0
20
40
60
Armó nico HKhz L
76
80
100
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS
77
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS
1.- Descripción de la práctica
1.1.- Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal
de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la
tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase
y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de
amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
R
vi(t)
vo(t)
C
1.2.- Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal
de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la
tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase
y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro
de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
C
vi(t)
vo(t)
R
78
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
1.3.- Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión
sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores.
Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el
desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro
de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.
R
L
vi(t)
C
vo(t)
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Resistencias de 100Ω y 1 KΩ
• Bobina de 10mH
• Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de
laboratorios siguientes:
Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-05
Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-06
Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-08
79
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
4.1. Circuito RC paso de baja
Frecuencia
(en Khz)
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
Ganancia
Calc.
Teor.
Desfase
(Grados)
Calc.
Teor.
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
Desfase
(Grados)
Calc.
Teor.
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
0,01
0,1
0,25
0,5
1
1,59
2
3
4
5
7
10
20
50
100
500
1.000
4.2. Circuito RC paso de alta
Frecuencia
(en Khz)
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
Ganancia
Calc.
0,01
0,1
0,25
0,5
1
1,59
2
3
4
5
7
10
20
50
100
500
1.000
80
Teor.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.3. Circuito RLC paso de baja
Frecuencia
(en Khz)
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
Ganancia
Calc.
0,01
0,1
0,5
1
2
3
4
4,5
4,7
5
5,5
6
7
10
20
50
100
500
1000
81
Teor.
Desfase
(Grados)
Calc.
Teor.
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-05: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE
BAJA
1.- Descripción de la práctica
Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5
voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión
de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el
retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de
amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
R
vi(t)
C
vo(t)
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Resistencia de 1KΩ
• Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-11
82
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4
representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 1 Khz. y
la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura 4. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y
un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y
midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página
siguiente.
El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la
medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que
una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud.
Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a
eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las
impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas.
En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas
obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como
“Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas
experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores
teóricos que deberían obtenerse.
83
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz)
0,01
0,1
0,25
0,5
1
1,59
2
3
4
5
7
10
20
50
100
500
1.000
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
10,10 10,16
10,12 10,17
10,09 10,03
10,02
9,61
9,94
8,40
9,79
6,92
9,69
6,04
9,57
4,49
9,53
3,53
9,50
2,91
9,49
2,14
9,44
1,55
9,46
0,76
9,47
0,32
9,48
0,17
9,68
0,04
9,65
0,03
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
0,00 -100,00
-104,00
-99,87
-104,00
-99,19
-102,00
-96,89
-94,00
-89,28
-80,00
-78,54
-73,60
-71,51
-58,40
-57,46
-48,80
-47,43
-41,40
-40,19
-31,40
-30,63
-22,60
-22,49
-11,80
-11,87
-4,88
-4,90
-2,46
-2,47
-0,48
-0,50
-0,25
-0,25
Francisco Sivianes Castillo
Ganancia
Calc.
1,006
1,005
0,994
0,959
0,845
0,707
0,623
0,469
0,370
0,306
0,225
0,164
0,080
0,034
0,018
0,004
0,003
Teor.
1,000
0,998
0,988
0,954
0,847
0,707
0,623
0,469
0,370
0,303
0,222
0,157
0,079
0,032
0,016
0,003
0,002
Desfase
(Grados)
Calc.
0,0
-3,7
-9,4
-18,4
-33,8
-45,8
-53,0
-63,1
-70,3
-74,5
-79,1
-81,4
-85,0
-87,8
-88,6
-86,4
-89,3
Teor.
-0,4
-3,6
-8,9
-17,4
-32,1
-45,0
-51,5
-62,1
-68,3
-72,3
-77,2
-81,0
-85,5
-88,2
-89,1
-89,8
-89,9
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
-115,56 -100,00
-115,56
-99,61
-104,00
-97,59
-100,00
-91,02
-86,00
-71,70
-56,33
-50,00
-48,66
-38,77
-28,00
-21,96
-20,00
-13,67
-11,80
-9,20
-6,40
-4,92
-2,07
-2,47
-1,00
-0,63
-0,27
-0,10
-0,04
-0,03
0,02
0,00
-0,02
0,00
Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la
ganancia
V
G= o
Vi
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f
2π 360
ϕº = R
= 360 ⋅ R ⋅ f
T 2π
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
 2π 
d ϕ º

dϕ
1 dϕ º
1 ∆ϕ
360  2π 1 dϕ º

Rg =
=
=
=
≈
dω
d ( 2π f )
360 2π df
360 df
360 ∆f
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal
y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
10
1
1
0,8
0,6
0,1
0,4
0,01
0,2
0,001
0,01
0
0
2
4
6
8
10
0,1
1
10
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
84
100
1000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en
escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
0
-10
-20
0
-10
-20
-30
-40
-30
-40
-50
-60
-50
-60
-70
-80
-70
-80
-90
0,01
-90
0
2
4
6
8
10
0,1
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
0
0
-20
-20
-40
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-100
-120
0
2
4
6
8
-120
0,01
10
0,1
Frecuencia (Khz)
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
0
0
-20
-20
-40
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-100
-120
0
2
4
6
8
-120
0,01
10
Frecuencia (Khz)
0,1
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación.
Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a
85
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases
muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias.
Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de
ganancia a altas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la
tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen
afectados por las imprecisiones experimentales).
Apartado e)
Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico
esperado es de 177 mV hasta 40 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación
obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de
salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo
únicamente en un valor constante.
En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro
de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el
valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya
en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.
86
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 3.
87
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-11
Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. La frecuencia de 3dB.
5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB.
6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Demostrar que el
espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de
amplitud del sistema.
Datos: R= 1KΩ, C=100nF
R
vi(t)
C
vo(t)
Solución PTC0004-11
Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para
ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La
intensidad por el condensador será
dv (t )
iC (t ) = C o
dt
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
vR (t ) = iR (t ) R
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad
que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el
condensador son iguales
i (t ) = iC (t ) = iR (t )
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
vi (t ) = vR (t ) + vo (t )
y sustituyendo
vi (t ) = i (t ) R + vo (t )
vi (t ) = RC
dvo (t )
+ vo (t )
dt
88
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular
la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
P ( jω )
H (ω ) = A
PB ( jω )
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que
modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
PA ( D ) x(t ) = PB ( D ) y (t )
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
vi (t ) = ( RCD + 1) vo (t )
por lo que los polinomios son
 PA ( D ) = 1

 PB ( D ) = RCD + 1
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
1
P ( jω )
H (ω ) = A
=
PB ( jω ) RC ( jω ) + 1
H (ω ) =
1
1 + jω RC
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
1
1 + j 2π fRC
Apartado a)
»HHfL»
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f HKhz L
2
4
6
8
10
Figura 5.Espectro de amplitud (escala lineal)
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del
sistema que no es más que
1
H (ω ) =
1 + jω RC
89
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
1
1 + j 2π fRC
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura
2 lo representa en escala logarítmica.
»HHfL»
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
f
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Figura 2.Espectro de amplitud (escala logaritmica)
Apartado b)
Arg @HHfLD
f H
2
4
6
8
10
-20
-40
-60
-80
Figura 8. Espectro de fase (escala lineal)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = arg [1] − arg [1 + jω RC ] = 0 − arctg 

 1 
arg [ H (ω ) ] = − arctg (ω RC )
o, en términos de frecuencia
arg [ H ( f )] = − arctg ( 2π f RC )
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo
representa en escala logarítmica.
90
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Arg @HHfLD
0
-20
-40
-60
-80
f HKhz L
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Figura 4. Espectro de fase (escala logarítmica)
Apartado c)
RHfL HµsL
f H
2
4
6
8
10
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 10. Retardo (escala lineal)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil
calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en
cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula
como
arg [ H (ω )]
T
1
R (ω ) = arg [ H (ω ) ]
= arg [ H (ω )]
=
ω
2π
 2π 


 T 
Recordando que
arg [ H (ω ) ] = − arctg (ω RC )
tenemos que
R (ω ) =
− arctg (ω RC )
ω
En términos de frecuencia podemos escribir
−arctg ( 2π f RC )
R( f ) =
2π f
91
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6
lo representa en escala logarítmica.
RHfL HµsL
f HKhz L
0.01
0.1
1
10
100
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 11. Retardo (escala logarítmica)
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
d arg [ H (ω ) ]
Rg (ω ) ≡
dω
Por tanto
Rg (ω ) =
d  − arctg (ω RC ) 
dω
En términos de frecuencia podemos escribir
Rg ( f ) =
=
− RC
1 + (ω RC )
2
− RC
1 + ( 2π f RC )
2
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la
figura 8 lo representa en escala logarítmica.
Rg HfL HµsL
f HKhz L
2
4
6
8
10
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 12. Retardo de grupo (escala lineal)
92
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Rg H fL HµsL
f H Khz L
0.01
0.1
1
10
100
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 13. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Las figuras 9 y 10 comparan el retardo y el retardo de grupo en escalas lineal y
logarítmica respectívamente.
RHfL HµsL
f
2
4
6
8
10
-20
-40
-60
-80
-100
Figura
14. Retardo
(línea inferior)
de
Figura
15. Retardo
(línea inferior)
y retardo yderetardo
grupo (escala
lineal)
Se observa cómo, al no ser el espectro de fase lineal, los dos retardos no coinciden. En
términos absolutos, vemos que el retardo es mayor que el retardo de grupo.
RHfL HµsL
f
0.01
0.1
1
10
100
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 16. Retardo (línea inferior) y retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado d)
El ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la
que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
93
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
20 log
Francisco Sivianes Castillo
1
= −3
1 + j 2π f 3dB RC
1
1
3
−
 −103  2  1  2
1
1
20
= 10 = 10  =   =
1 + j 2π f 3dB RC
2
2


1
12 + ( 2π f 3dB RC )
2
=
1
2
1 + ( 2π f 3dB RC ) = 2
2
2π f 3dB RC = 1
f 3dB =
1
2π RC
En nuestro caso tenemos
f 3dB =
1
1
=
= 1'59 Khz
3
2π RC 2π (1 ⋅10 )(100 ⋅10−9 )
Apartado e)
Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer
lugar, la ganancia del sistema es, por definición,
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
o lo que es lo mismo
H ( f 3dB ) =
1
= 0 '707
2
El desfase es
1


arg [ H ( f 3dB ) ] = − arctg ( 2π f3 dB RC ) = − arctg  2π
RC  = − arctg (1) = −45º
2π RC


El retardo del sistema se calcula como
R ( f 3dB ) =
− arctg ( 2π f 3dB RC )
2π f 3dB
1


− arctg  2π
RC 
2π RC

 = − arctg 1 RC = − π RC
=
()
1
4
2π
2π RC
R ( f 3dB ) = −78'54µ s
Y, por último, el retardo de grupo es
94
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Rg ( f 3dB ) =
− RC
1 + ( 2π f3 dB RC )
2
=
Francisco Sivianes Castillo
− RC
1


1 +  2π
RC 
2π RC


2
=
− RC −103 ⋅100 ⋅10−9
=
2
2
Rg ( f 3dB ) = −50 µ s
Apartado f)
Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente
plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
Mn ≈
ATs
=
T
1
40 Khz = 250mV
1
1Khz
10 ⋅
o, en valores RMS,
M nRMS =
M n 250mV
≈
= 177mV
2
2
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la
representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida,
tenemos que
G (ω )
H (ω ) =
F (ω )
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
H (ω ) ≈ k ⋅ G (ω )
es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la
función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS,
toma el valor
1
1
k=
=
M nRMS 177 mV
95
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-06: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE
ALTA
1.- Descripción de la práctica
Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5
voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión
de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el
retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro
de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
C
vi(t)
vo(t)
R
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Resistencia de 1KΩ
• Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-12
96
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 1
representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 1 Khz. y
la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura 1. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y
un retraso (adelanto en este caso). Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de
la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos
la tabla de la página siguiente.
El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la
medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que
una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud.
Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a
eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las
impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas.
En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas
obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como
“Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas
experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores
teóricos que deberían obtenerse.
97
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz)
0,01
0,1
0,25
0,5
1
1,59
2
3
4
5
7
10
20
50
100
500
1.000
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
10,11
0,07
10,15
0,66
10,15
1,61
10,05
3,13
9,98
5,43
9,88
7,10
9,80
7,73
9,70
8,59
9,66
8,98
9,61
9,17
9,58
9,34
9,57
9,45
9,54
9,52
9,57
9,57
9,58
9,54
9,69
9,67
9,68
9,65
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
24.000
25.100
2.400
2.400
900
900,81
400
403,11
160
160,72
76
78,54
52
53,49
24,8
25,88
14,4
15,07
10,0
9,81
4,8
5,08
2,5
2,51
0,61
0,63
0,10
0,10
0,03
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
Francisco Sivianes Castillo
Ganancia
Calc.
0,007
0,065
0,158
0,312
0,545
0,719
0,789
0,886
0,929
0,954
0,975
0,988
0,998
1,000
0,996
0,997
0,998
Teor.
0,006
0,063
0,155
0,300
0,532
0,707
0,782
0,883
0,929
0,953
0,975
0,988
0,997
0,999
1,000
1,000
1,000
Desfase
(Grados)
Calc.
90.4
86,4
81,0
72,0
57,6
43,5
37,4
26,8
20,7
18,0
12,1
9,0
4,4
1,8
0,9
0,0
0,0
Teor.
89,6
86,4
81,1
72,6
57,9
45,0
38,5
27,9
21,7
17,7
12,8
9,0
4,5
1,8
0,9
0,2
0,1
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
-122.22 -100,00
-122.22
-99,61
-100,00
-97,59
-100,00
-91,02
-80,00
-71,70
-66,00
-50,00
-41,52
-38,77
-29,60
-21,96
-16,80
-13,67
-7,60
-9,20
-8,20
-4,92
-2,87
-2,47
-1,28
-0,63
-0,24
-0,10
-0,05
-0,03
-0,01
0,00
0,00
0,00
Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la
ganancia
V
G= o
Vi
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f
2π 360
ϕº = R
= 360 ⋅ R ⋅ f
T 2π
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
 2π 
d ϕ º

dϕ
1 dϕ º
1 ∆ϕ
360  2π 1 dϕ º

Rg =
=
=
=
≈
dω
d ( 2π f )
360 2π df
360 df
360 ∆f
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal
y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
10
1
1
0,8
0,6
0,1
0,4
0,01
0,2
0
0
2
4
6
8
0,001
0,01
10
0,1
1
10
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
98
100
1000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en
escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
90
80
70
90
60
50
60
40
30
40
20
10
20
80
70
50
30
10
0
0,01
0
0
2
4
6
8
10
0,1
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0,01
10
0,1
Frecuencia (Khz)
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
0
0
-20
-20
-40
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-100
-120
0
2
4
6
8
-120
0,01
10
Frecuencia (Khz)
0,1
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación.
Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a
99
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases
muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias.
Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de
ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la
tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen
afectados por las imprecisiones experimentales).
Apartado e)
Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico
esperado es de 177 mV hasta 8 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación
obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de
salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo
únicamente en un valor constante.
En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro
de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el
valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya
en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.
100
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 3.
101
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-12
Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. La frecuencia de 3dB.
5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB.
6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Demostrar que el
espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de
amplitud del sistema.
Datos: R= 1KΩ, C=100nF
C
vi(t)
vo(t)
R
Solución PTC0004-12
Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para
ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La
intensidad por el condensador será
dv (t )
iC (t ) = C c
dt
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
vR (t ) = v0 (t ) = iR (t ) R
o lo que es lo mismo,
iR (t ) =
v0 (t )
R
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad
que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el
condensador son iguales
i (t ) = iC (t ) = iR (t )
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
vi (t ) = vc (t ) + vo (t )
o lo que es lo mismo
vc (t ) = vi (t ) − vo (t )
102
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
y sustituyendo

d [ vi (t ) − vo (t ) ]
dvc (t )
 dv (t ) dv (t ) 
=C
=C i − o 
i (t ) = iC (t ) = C

dt
dt
dt 
 dt

i (t ) = i (t ) = v0 (t )
R

R
Igualando tenemos
 dv (t ) dv (t )  v (t )
C i − o  = 0
dt 
R
 dt
dvi (t ) dvo (t ) v0 (t )
−
=
dt
dt
RC
y, finalmente
dvi (t ) dvo (t ) 1
=
+
v0 (t )
dt
dt
RC
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular
la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
P ( jω )
H (ω ) = A
PB ( jω )
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que
modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
PA ( D) x(t ) = PB ( D) y (t )
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
1 

Dvi (t ) =  D +
 vo (t )
RC 

por lo que los polinomios son
 PA ( D) = D


1
 PB ( D) = D + RC
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
P ( jω )
jω
H (ω ) = A
=
PB ( jω ) jω + 1
RC
H (ω ) =
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
jω RC
1 + jω RC
j 2π fRC
1 + j 2π fRC
103
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado a)
»HHfL»
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f HKhz L
2
4
6
8
10
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del
sistema que no es más que
jω RC
H (ω ) =
1 + jω RC
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
j 2π fRC
1 + j 2π fRC
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura
2 lo representa en escala logarítmica.
»HHfL»
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
f
0.1
1
10
100
Figura 18. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
104
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado b)
Arg @HHfLD
80
60
40
20
f H
2
4
6
8
10
Figura 20. Espectro de fase (escala lineal)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
arg [ H (ω ) ] = arg [ jω RC ] − arg [1 + jω RC ] =
arg [ H (ω ) ] =
o, en términos de frecuencia
arg [ H ( f ) ] =
π
π
2
2
π
 ω RC 
− arctg 

2
 1 
− arctg (ω RC )
− arctg ( 2π f RC )
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo
representa en escala logarítmica.
Arg @HHfLD
80
60
40
20
f HKhz L
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Figura 21. Espectro de fase (escala logarítmica)
105
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado c)
RHfL HµsL
200
175
150
125
100
75
50
25
f H
2
4
6
8
10
Figura 23. Retardo (escala lineal)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil
calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en
cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula
como
arg [ H (ω )]
T
1
R (ω ) = arg [ H (ω ) ]
= arg [ H (ω )]
=
2π
ω
 2π 


 T 
Recordando que
arg [ H (ω ) ] =
tenemos que
π
R (ω ) = 2
π
2
− arctg (ω RC )
− arctg (ω RC )
ω
En términos de frecuencia podemos escribir
π
R( f ) = 2
− arctg ( 2π f RC )
2π f
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6
lo representa en escala logarítmica.
RHfL HµsL
200
175
150
125
100
75
50
25
f HKhz L
0.5 1
5 10
Figura 24. Retardo (escala logarítmica)
106
50 100
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
d arg [ H (ω ) ]
Rg (ω ) ≡
dω
Por tanto
π

d  − arctg (ω RC ) 
− RC
2
 = d  − arctg (ω RC )  =
Rg (ω ) = 
2
dω
dω
1 + (ω RC )
En términos de frecuencia podemos escribir
Rg ( f ) =
− RC
1 + ( 2π f RC )
2
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la
figura 8 lo representa en escala logarítmica.
Rg HfL HµsL
f HKhz L
2
4
6
8
10
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 26. Retardo de grupo (escala lineal)
Figura 26. Retardo de grupo (escala lineal)
Rg HfL HµsL
f HKhz L
0.01
0.1
1
10
100
-20
-40
-60
-80
-100
Figura 27. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado d)
La frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se
divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
107
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
20 log
Francisco Sivianes Castillo
j 2π f 3dB RC
= −3
1 + j 2π f 3dB RC
1
1
3
−
 − 3 2  1 2
j 2π f 3dB RC
1
= 10 20 = 10 10  =   =
1 + j 2π f 3dB RC
2
2


2π f 3dB RC
12 + ( 2π f 3dB RC )
2
=
1
2

  2π f 3dB RC 
1

 +

 2π f 3dB RC   2π f 3 dB RC 
2
=
1
2


1

 +1
 2π f 3dB RC 
=
1
2
2


1
1+ 
 =2
 2π f3 dB RC 
1
2π f 3dB RC
f 3dB =
=1
1
2π RC
En nuestro caso tenemos
f 3dB =
1
1
=
= 1'59 Khz
3
2π RC 2π (1 ⋅10 )(100 ⋅10−9 )
Apartado e)
Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer
lugar, la ganancia del sistema es, por definición,
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
o lo que es lo mismo
H ( f 3dB ) =
El desfase es
arg [ H ( f 3dB ) ] =
π
2
− arctg ( 2π f 3dB RC ) =
1
= 0 '707
2
π
1

 π
− arctg  2π
RC  = − arctg (1) = 45º
2
2π RC

 2
El retardo del sistema se calcula como
π
R( f 3dB ) = 2
− arctg ( 2π f 3dB RC )
2π f 3 dB
π
1


− arctg  2π
RC 
2
 2π RC
 =  π − arctg 1  RC = π RC
=
( )

1
4
2

2π
2π RC
108
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
R( f 3dB ) = 78'54 µ s
Y, por último, el retardo de grupo es
− RC
− RC
− RC −103 ⋅100 ⋅10−9
Rg ( f 3dB ) =
=
=
=
2
2
2
2
1 + ( 2π f3 dB RC )
1


1 +  2π
RC 
2π RC


Rg ( f 3dB ) = −50 µ s
Apartado f)
Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente
plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
ATs
Mn ≈
=
T
1
8Khz = 250mV
1
0 '2 Khz
10 ⋅
o, en valores RMS,
M nRMS =
M n 250mV
≈
= 177mV
2
2
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la
representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida,
tenemos que
G (ω )
H (ω ) =
F (ω )
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
H (ω ) ≈ k ⋅ G (ω )
es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la
función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS,
toma el valor
1
1
k=
=
M nRMS 177 mV
109
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-08: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RLC PASO
DE BAJA
1.- Descripción de la práctica
Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de
5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión
de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el
retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro
de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el
espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio
en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.
R
L
vi(t)
C
vo(t)
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Resistencia de 100Ω
• Bobina de 10mH
• Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-14
110
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 1
representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 2 Khz. y
la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura1. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación
(ganancia en este caso) y un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias
de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida
obtenemos la tabla de la página siguiente.
El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la
medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que
una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud.
Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a
eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las
impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas.
Experimentalmente obtenemos que la ganancia máxima es de 2’541, por lo que dando
por buenos los valores de L y C, podemos calcular el valor de la resistencia total del
circuito como
R=
2L 
1
1 − 1 −
2
C 
H (ωm )

111




Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Para nuestro caso tenemos
2 (10 ⋅10 −3 ) 
1
1− 1−
R=
−9 

100 ⋅10 
2 '5412

 = 127 '03Ω

es decir, que además de la resistencia de 100 ohmios del circuito, existen otras
resistencias debidas a las no idealidades del resto de componentes y, sobre todo, de la
fuente. Será éste el valor que utilicemos como valor teórico del circuito en los estudios
siguientes.
En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas
obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como
“Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas
experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores
teóricos que deberían obtenerse.
Frecuencia
(en Khz)
0,01
0,1
0,5
1
2
3
4
4,5
4,7
5
5,5
6
7
10
20
50
100
500
1000
Tensión
(voltios)
Entr. Sal.
10,40 10,40
10,30 10,30
10,30 10,40
10,40 10,80
10,20 11,90
9,72 14,30
8,52 18,10
7,68 18,90
7,32 18,60
7,28 17,80
7,84 15,30
8,44 12,50
9,28
8,50
10,00
3,26
10,30
0,68
10,40
0,10
10,40
0,03
10,40
0,01
10,40
0,01
Retardo
(Microsegundos)
Exp.
Teor.
1.040,0 -12,7
0,0 -12,7
-12,0 -12,8
-13,2 -13,2
-14,8 -14,9
-18,8 -18,9
-30,4 -28,4
-40,4 -37,5
-45,2 -42,1
-52,0 -49,0
-59,6 -57,5
-62,4 -60,8
-59,2 -59,2
-45,6 -45,8
-24,0 -24,1
-9,9
-9,9
-5,0
-5,0
-1,0
-0,5
Ganancia
Calc.
1,00
1,00
1,01
1,04
1,17
1,47
2,12
2,46
2,54
2,45
1,95
1,48
0,92
0,33
0,07
0,01
0,00
0,00
0,00
Teor.
1,00
1,00
1,01
1,04
1,17
1,45
2,05
2,43
2,52
2,50
2,08
1,57
0,92
0,33
0,07
0,01
0,00
0,00
0,00
Desfase
(Grados)
Calc.
3,7
0,0
-2,2
-4,8
-10,7
-20,3
-43,8
-65,4
-76,5
-93,6
-118,0
-134,8
-149,2
-164,2
-172,8
-178,6
-178,6
0,0
0,0
Teor.
0,0
-0,5
-2,3
-4,8
-10,7
-20,4
-40,9
-60,8
-71,2
-88,1
-113,9
-131,3
-149,1
-164,8
-173,8
-177,7
-178,8
-179,8
-179,9
Retardo de grupo
(Microsegundos)
Calc.
Teor.
-115,56
-12,70
-115,56
-12,72
-15,00
-13,06
-14,40
-14,21
-16,40
-20,02
-26,80
-36,40
-65,20
-87,23
-120,40 -135,07
-153,20 -151,39
-158,53 -158,31
-135,60 -120,96
-93,20
-75,61
-40,00
-31,45
-13,87
-6,74
-2,40
-0,96
-0,53
-0,13
0,00
-0,03
1,24
0,00
0,00
0,00
Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la
ganancia
V
G= o
Vi
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f
2π 360
ϕº = R
= 360 ⋅ R ⋅ f
T 2π
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
112
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 2π 
d ϕ º

dϕ
1 dϕ º
1 ∆ϕ
360  2π 1 dϕ º
Rg =
= 
=
=
≈
360 2π df
360 df
360 ∆f
dω
d ( 2π f )
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal
y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
3
10
2,5
1
2
0,1
1,5
0,01
1
0,001
0,5
0
0
2
4
6
8
0,0001
0,01
10
0,1
Frecuencia (Khz)
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en
escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
0
0
-20
-20
-40
-40
-60
-80
-60
-80
-100
-100
-120
-120
-140
-140
-160
-160
-180
0
2
4
6
8
-180
0,01
10
0,1
Frecuencia (Khz)
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
0,00
0,00
-10,00
-10,00
-20,00
-20,00
-30,00
-30,00
-40,00
-40,00
-50,00
-50,00
-60,00
-60,00
-70,00
0
2
4
6
8
-70,00
0,01
10
Frecuencia (Khz)
0,1
1
10
Frecuencia (Khz)
113
100
1000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en
microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con
el teórico.
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
-200
-200
-250
0
2
4
6
8
-250
0,01
10
0,1
1
10
100
1000
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación.
Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a
muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases
muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias.
Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de
ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la
tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen
afectados por las imprecisiones experimentales).
114
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado e)
Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico
esperado es de 177 mV hasta 10 Khz. En la primera gráfica siguiente muestra la
representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor
teórico. En ella observamos que, aunque debería ser aproximadamente plano, aparece
una bajada en las proximidades de la frecuencia de resonancia.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de
salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo
únicamente en un valor constante. No obstante la bajada del espectro de entrada a la
frecuencia de resonancia hace que a dichas frecuencias, el espectro de salida no alcance
los valores máximos esperados, aunque sí aproxima la forma del espectro.
En la segunda de las gráficas siguientes observamos el valor obtenido en el osciloscopio
para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos
superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que
hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones
coinciden sensiblemente.
115
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 3.
116
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-14
Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB.
5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de
máxima ganancia.
6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una
ganancia máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la
frecuencia de máxima ganancia.
7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el
espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de
amplitud del sistema.
Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF
R
L
vi(t)
C
vo(t)
Solución PTC0004-14
Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para
ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La
intensidad por el condensador será
dv (t )
iC (t ) = C o
dt
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
vR (t ) = iR (t ) R
y la tensión en la bobina es
vL (t ) = L
diL (t )
dt
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad
que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el
condensador son iguales
117
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
i (t ) = iC (t ) = iR (t ) = iL (t )
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
vi (t ) = vR (t ) + vL (t ) + vo (t )
y sustituyendo
vi (t ) = i (t ) R + L
vi (t ) = RC
di (t )
+ vo (t )
dt
dvo (t )
d  dv (t ) 
+ L  C o  + vo (t )
dt
dt 
dt 
vi (t ) = RC
dvo (t )
d 2 vo (t )
+ LC
+ vo (t )
dt
dt 2
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular
la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
P ( jω )
H (ω ) = A
PB ( jω )
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que
modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
PA ( D ) x(t ) = PB ( D ) y (t )
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
vi (t ) = ( LCD 2 + RCD + 1)vo (t )
por lo que los polinomios son
 PA ( D ) = 1

2
 PB ( D ) = LCD + RCD + 1
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
P ( jω )
1
=
H (ω ) = A
2
PB ( jω ) LC ( jω ) + RC ( jω ) + 1
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
(1 − 4π
1
2
LCf 2 ) + j 2π f RC
118
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado a)
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del
sistema que no es más que
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
(1 − 4π
1
2
LCf
2
) + j 2π f RC
»HHfL»
5
4
3
2
1
f HKhz L
2
4
6
8
10
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura
2 lo representa en escala logarítmica.
»HHfL»
10
5
1
0.5
0.1
0.05
f
0.1
0.5 1
5 10
50 100
Figura 2. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
Apartado b)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = arg [1] − arg (1 − LCω 2 ) + jω RC  = 0 − arctg 
2 
 1 − LCω 
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = − arctg 
2 
 1 − LCω 
119
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
o, en términos de frecuencia
 2π f RC 
arg [ H ( f )] = − arctg 
2
2 
 1 − 4π LCf 
Arg @HHfLD
f H
2
4
6
8
10
-25
-50
-75
-100
-125
-150
-175
Figura 29. Espectro de fase (escala lineal)
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo
representa en escala logarítmica.
Arg @HHfLD
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-25
-50
-75
-100
-125
-150
-175
Figura 30. Espectro de fase (escala logarítmica)
Apartado c)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil
calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en
cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula
como
arg [ H (ω )]
T
1
= arg [ H (ω )]
=
R (ω ) = arg [ H (ω ) ]
ω
2π
 2π 


 T 
Recordando que
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = − arctg 
2 
 1 − LCω 
120
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
tenemos que
 ω RC 
− arctg 

1 − LCω 2 

R (ω ) =
ω
En términos de frecuencia podemos escribir
 2π f RC 
− arctg 
2
2 
 1 − 4π LCf 
R( f ) =
2π f
RHfL HµsL
f H
2
4
6
8
10
-10
-20
-30
-40
-50
Figura 5. Retardo (escala lineal)
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6
lo representa en escala logarítmica.
RHfL HµsL
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-10
-20
-30
-40
Figura 31. Retardo (escala logarítmica)
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
d arg [ H (ω ) ]
Rg (ω ) ≡
dω
Por tanto
121
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo

 ω RC  
d  − arctg 
2 
 1 − LCω  

=
Rg (ω ) =
dω
 ω RC 
d
2 
−1
 1 − LCω 
2
dω
 ω RC 
1+ 
2 
 1 − LCω 
(1 − LCω ) RC − (ω RC )( −2ω LC )
R (ω ) =
(1 − LCω ) + (ω RC )
(1 − LCω )
(1 − LCω )
2
−1
g
2 2
2 2
2
2 2
Rg (ω ) =
Rg (ω ) =
− (1 − LCω 2 )
2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
RC − RLC 2ω 2 + 2 RLC 2ω 2
(1 − LCω )
2 2
2
− RC + RLC 2ω 2 − 2 RLC 2ω 2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
Rg (ω ) =
2
=
− RC − RLC 2ω 2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
− RC (1 + LCω 2 )
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
En términos de frecuencia podemos escribir
− RC (1 + LC 4π 2 f 2 )
Rg ( f ) =
2
(1 − LC 4π 2 f 2 ) + ( 2π f RC )2
Rg HfL HµsL
f HKhz L
2
4
6
8
10
-50
-100
-150
-200
Figura 32. Retardo de grupo (escala lineal)
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la
figura 8 lo representa en escala logarítmica.
122
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Rg HfL HµsL
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-50
-100
-150
-200
Figura 33. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado d)
La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
1
=
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si
llamamos
f (ω ) = (1 − LCω 2 ) + (ω RC )
2
2
la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e
igualemos a cero
(1 − LCω 2 )2 + (ω RC )2 
d
d [ f (ω )]


= 
dω
dω
d [ f (ω )]
dω
d [ f (ω )]
dω
=
=
d  L2C 2ω 4 − 2 LCω 2 + 1 + R 2C 2ω 2 
dω
d  L2C 2ω 4 + ( R 2C 2 − 2 LC ) ω 2 + 1
d [ f (ω )]
dω
dω
= 4 L2C 2ω 3 + 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ω
A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que
d [ f (ω )]
= 4 L2C 2ωm3 + 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ωm = 0
d ω ω =ω
m
2ωm  2 L2C 2ωm2 + ( R 2C 2 − 2 LC )  = 0
lo que nos da dos soluciones
123
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
ωm = 0
 2 2 2
2 2
2 L C ωm + ( R C − 2 LC ) = 0
La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede
verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima
ganancia se corresponde con la segunda solución que es
ωm =
2 LC − R 2C 2
=
2 L2C 2
1
R2
− 2
LC 2 L
o en términos de frecuencia
fm =
1
R2
− 2
LC 2 L
1
2π
que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro
caso tenemos
fm =
1
2π
1
(100)2
1
108
9
10
−
=
−
= 4 '91Khz
(10 ⋅10−3 )(100 ⋅10−9 ) 2(10 ⋅10−3 ) 2 2π
2
Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la
raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un
circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que
1
R2
− 2 ≥0
LC 2 L
R2
1
≤
2
2L
LC
R2 ≤
2L
C
R≤
2L
C
En nuestro caso, esta condición se cumple cuando
R≤
2L
2(10 ⋅10−3 )
=
= 2 ⋅105
−9
C
(100 ⋅10 )
R ≤ 447 ' 21Ω
Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de
la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9
124
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
fmHKhz L
5
4
3
2
1
R HΩL
100
200
300
400
500
600
Figura 34. Frecuencia de máxima ganancia
Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la
frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia),
hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de
ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple.
Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como
aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella
que cumple
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
20 log H ( f 3dB ) = −3
1
H ( f 3dB ) = 10
(1 − 4π
−
3
20
1
 − 3 2  1 2
1
=  10 10  =   =
2
2


1
2
LCf
2
3 dB
) + j 2π f
3 dB
RC
=
1
Elevando al cuadrado
1
2
=
1
2
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f 3dB RC )
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f 3dB RC ) = 2
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f3 dB RC ) = 2
2
2
2
2
2
2
1 + 16π 4 L2C 2 f 34dB − 8π 2 LCf 32dB + 4π 2 R 2C 2 f 32dB = 2
16π 4 L2C 2 f 34dB + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) f 32dB − 1 = 0
125
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos
f 32dB =
f
2
3 dB
=
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ±
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2
2
32π 4 L2C 2
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ± 16π 4 R 4C 4 + 64π 4 L2C 2 − 64π 4 R 2C 3 L + 64π 4 L2C 2
32π 4 L2C 2
f
2
3 dB
−4π 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ± 4π 2 R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
=
f
32π 4 L2C 2
2
3 dB
=
− ( R 2C 2 − 2 LC ) ± R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
8π 2 L2C 2
En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya
que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada,
obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥
2
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC )
2
o, lo que es lo mismo
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
2
Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥
2
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
Si el término entre paréntesis es positivo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ 0
2
y si es negativo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ 2 ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ≥ 0
2
Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) −
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
Si el término entre paréntesis es positivo
126
2
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
Francisco Sivianes Castillo
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤ 0
2
y si es negativo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤ 2 ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ≤ 0
2
En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que
f 32dB =
− ( R 2C 2 − 2 LC ) + R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
8π 2 L2C 2
y, finalmente
f 3dB
1
=
2π
− ( R 2C 2 − 2 LC ) + R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
2 L2C 2
En nuestro caso tenemos, sustituyendo
f 3dB = 7 '68 Khz
» HH fL»
5
4
3
2
1
f H Khz L
2
4
6
8
10
Figura 35 Espectro de amplitud (escala lineal)
La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la
frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.
» H H f L»
10
5
1
0.5
0.1
0.05
f
0.1
0.5
1
5
10
50 100
Figura 36. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
127
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado e)
Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm).
En primer lugar, la ganancia del sistema es
1
H (ωm ) =
2
(1 − LCωm2 ) + (ωm RC )2
H (ωm ) =
1
2

 1
R2   1
R2  2 2
−
LC
−
+
−
RC
1



2 
2 
LC
2
L
LC
2
L






1
H (ωm ) =
2

R 2C   R 2C R 4C 2 
1
−
1
+
−

 +

2
L
L
2 L2 

 
1
H (ωm ) =
R 4C 2  R 2 C R 4 C 2 
+
−

4 L2  L
2 L2 
1
H (ωm ) =
R 4C 2  1 1  R 2C
 − +
L2  4 2 
L
1
H (ωm ) =
2
R C R 4C 2
−
L
4 L2
En nuestro caso tenemos
H (ωm ) =
1
100 (100 ⋅10
2
(10 ⋅10
−3
) − 100 (100 ⋅10 )
)
4 (10 ⋅10 )
−9
4
−9 2
−3 2
=
1
10−2
10−1 −
4
= 3' 20
El desfase es
 ω RC 
arg [ H (ωm ) ] = − arctg  m
2 
 1 − LCωm 


1
R2 
1
R2
 RC
− 2 
− 2
 RC
LC 2 L  = − arctg 
LC 2 L
arg [ H (ωm ) ] = − arctg 
2



R 2C
 1
R 
− 2  
 1 − LC 
 1 − 1 + 2L

 LC 2 L  

128






Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
 L
arg [ H (ωm ) ] = − arctg  2
 R

Francisco Sivianes Castillo
1
R2
− 2
LC 2 L


L2  1
R2  
− 2 
 = − arctg  2 2 

 R  LC 2 L  




1
L
arg [ H (ωm ) ] = −arctg  2 2 − 
 R C 2
En nuestro caso tenemos


10 ⋅10−3 )

(
1
1

arg [ H (ωm ) ] = − arctg 2
−
= − arctg  2 10 − 
2
−
9
 100 (100 ⋅10 ) 2 
2



arg [ H (ωm )] = −80 '79º
El retardo del sistema se calcula como
 ω RC 
− arctg  m

1 − LCωm2 

R (ωm ) =
ωm
Sustituyendo tenemos

L
1
− arctg  2 2 − 
 R C 2
R (ωm ) =
1
R2
− 2
LC 2 L
En nuestro caso
R (ωm ) =


10 ⋅10 −3 )
(
1


1
−arctg 2
−
− arctg  2 10 − 
 1002 (100 ⋅10 −9 ) 2 
2

 =

1
(100) 2
108
9
−
10
−
(10 ⋅10 −3 )(100 ⋅10 −9 ) 2(10 ⋅10 −3 ) 2
2
R(ωm ) = −45'7 µ s
El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como
− RC (1 + LCωm2 )
Rg (ωm ) =
2
(1 − LCωm2 ) + (ωm RC )2
Sustituyendo tenemos
129
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Rg (ωm ) =
Francisco Sivianes Castillo

 1
R 2 
− RC 1 + LC 
− 2 
 LC 2 L  

2

 1
R2 
2 1
R2 
− 2   + ( RC ) 
− 2
1 − LC 
 LC 2 L  
 LC 2 L 


R 2C 
− RC 1 + 1 −
2 L 

Rg (ωm ) =
2

R 2C   R 2C R 4C 2 
1 − 1 + 2 L  +  L − 2 L2 

 




R 2C 
R 2C 
R 2C 
− RC  2 −
−
RC
2
−
−
RC
2
−





2L 
2L 
2L 



Rg (ωm ) = 4 2
=
= 2
RC
R 2C R 4C 2
R 2C R 4C 2
R C  R 2C 
+
−
−
1 −

4 L2
L
2 L2
L
4 L2
L 
4L 

R 2C 
−L  2 −

2L 

Rg (ωm ) =
 R 2C 
R 1 −

4L 

En nuestro caso
 1002 (100 ⋅10−9 ) 
10 −3 
−2 

− (10 ⋅10 −3 )  2 −
−
−
10
2



2 (10 ⋅10−3 ) 
2 ⋅ 10−2 


Rg (ωm ) =
=
 1002 (100 ⋅10−9 ) 
10−3 
2
10
1
−


100 1 −
−2 
−3


 4 ⋅ 10 
4
10
⋅
10
(
)


Rg (ωm ) = −200 µ s
Apartado f)
Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima
ganancia y que vale
1
H (ωm ) =
R 2C R 4C 2
−
L
4 L2
Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la
produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la
siguiente forma
R 2C R 4 C 2
1
−
=
2
L
4L
H (ωm )
130
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
R 2C R 4 C 2
1
−
=
2
2
L
4L
H (ωm )
Ordenando la ecuación tenemos
C2 4 C 2
1
R − R +
=0
2
2
4L
L
H (ωr )
que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos
2
R2 =
1
C
C2
C 
±   −4 2
L
4 L H (ωm ) 2
L
C2
2 2
4L
R2 =
=2
C
C 
±  
L
L
2L 
1
1 ± 1 −
2
C 
H (ωm )

2


1
1 −

2


(
ω
)
H
m


C2
L2




En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es
válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que
1
H (ωm ) ≥ 1
por lo que
0≤
1
H (ωm )
2
≤1


1
 ≤1
0 ≤ 1 −
2

H (ωm ) 

0 ≤ 1−
1
H (ωm )
2
≤1
Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de
ganancia, se tiene que cumplir que
2L
R2 ≤
C
por lo que la expresión
R2 =
2L 
1
1 ± 1 −
2
C 
H
(
ω
)
m

131




Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso
contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única
solución válida es

2L 
1
1 − 1 −

R2 =
2

C 
H
(
ω
)
m


y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos
R=
2L 
1
1 − 1 −
2
C 
H (ωm )





Para nuestro caso tenemos
2 (10 ⋅10 −3 ) 
1 
R=
1
−
1
−
= 2 ⋅105 1 − 1 − 10−2 = 31'6Ω

−9 
2 

100 ⋅10 
10 
(
)
Apartado g)
Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente
plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
Mn ≈
ATs
=
T
1
40 Khz = 250mV
1
1Khz
10 ⋅
o, en valores RMS,
M nRMS =
M n 250mV
≈
= 177mV
2
2
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la
representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida,
tenemos que
G (ω )
H (ω ) =
F (ω )
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
H (ω ) ≈ k ⋅ G (ω )
es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la
función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS,
toma el valor
1
1
k=
=
M nRMS 177 mV
132
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES
133
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES
1.- Descripción de la práctica
1.1.- Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a
10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del
cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de
resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de
entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores
determinar:
a. El retardo del pulso reflejado.
b. La velocidad de propagación de las señales por el cable.
c. La impedancia característica del cable.
d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
1.2.- Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de
entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua.
1.3.- Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y
distintos valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con
estos valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia
característica.
b. El ancho de banda de 3dB
c. La frecuencia pelicular
1.4.- Repetir los apartados anteriores para un cable coaxial de 50 metros de longitud
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Polímetro
• Potenciómetro de 500 Ω
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de
laboratorios LTC-12 (cable de pares) y LTC-14 (cable coaxial)
134
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
4.1. Cable de pares con excitación de un pulso
Retardo del pulso a la salida
Retardo del pulso reflejado
Resistencia de carga sin reflexiones
Resistencia de entrada en cortocircuito
4.2. Cable de pares con excitación sinusoidal
Frecuencia
(en Khz)
Tensión
Ganancia
(voltios)
Entrada Salida Calculada Teórica
0,001
0,01
0,1
1
10
50
100
200
500
1.000
2.000
5.000
10.000
4.3. Cable coaxial con excitación de un pulso
Retardo del pulso a la salida
Retardo del pulso reflejado
Resistencia de carga sin reflexiones
Resistencia de entrada en cortocircuito
135
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.4. Cable coaxial con excitación sinusoidal
Frecuencia
(en Khz)
Tensión
Ganancia
(voltios)
Entrada Salida Calculada Teórica
0,001
0,01
0,1
1
10
50
100
200
500
1.000
2.000
5.000
10.000
16.000
136
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-12: REFLEXIONES EN UN PAR TRENZADO
1.- Descripción de la práctica
1. Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10
voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del
cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de
resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de
entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos
valores determinar:
a. El retardo del pulso reflejado.
b. La velocidad de propagación de las señales por el cable.
c. La impedancia característica del cable.
d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de
entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua.
3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos
valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia
característica.
b. El ancho de banda de 3dB
c. La frecuencia pelicular
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Cable de par trenzado de 50 metros
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-21
137
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Apartado a)
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100
Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul)
cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.
Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto
La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse
fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida.
Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada
correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en
circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el
cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero.
Puede observarse también un segundo pulso atenuado e invertido en la señal de salida
correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la
entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente
cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.
138
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 237. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)
Figura 338. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito
139
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está
cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito)
y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la
reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito
el coeficiente de reflexión es -1.
Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del
cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable.
Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta
conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de
reflexión es 0.
Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica
La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 97
ohmios
Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a
la entrada y a la salida es de 348 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada
aparece un pulso reflejado con un retraso de 682 ns. (Aproximadamente el doble del
valor anterior).
Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula
inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que
140
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
velocidad =
v=
longitud
retardo
50m
Km
= 143.678'16
348ns
s
o en términos de la velocidad de la luz
Km
s = 0 ' 479c
v=
Km
300.000
s
143.678 '16
Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con
la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta
impedancia es de
Z 0 = 97Ω
Apartado 1.c) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia
característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión
faradios
1
1
C=
=
= 7 '175 ⋅10 −11
v ⋅ Z 0 143.678'16 Km ⋅ 97Ω
metro
s
De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión
Z
97Ω
henrios
L= 0 =
= 6 '751 ⋅10−7
v 143.678'16 Km
metro
s
Apartado 2)
Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de
entrada de continua obtenemos un valor de 8’9 Ω. Con este valor podemos determinar la
resistencia del cable de continua mediante la expresión
Z
8 '9Ω
Ω
R = in =
= 0 '178
ze
50m
m
Apartado 3)
Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de
salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los
resultados se muestran en la tabla siguiente.
141
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Tensión
Ganancia
(voltios)
Entrada Salida Calculada Teórica
6,52
5,72
0,877
0,916
6,36
5,56
0,874
0,916
6,48
5,64
0,870
0,916
6,52
5,64
0,865
0,916
6,52
5,52
0,847
0,906
6,56
5,48
0,835
0,857
6,40
5,44
0,850
0,814
6,40
5,36
0,838
0,763
6,32
5,24
0,829
0,717
6,24
4,92
0,788
0,715
6,00
4,32
0,720
0,587
5,60
2,80
0,500
0,441
4,44
1,40
0,315
0,315
Frecuencia
(en Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
50
100
200
500
1.000
2.000
5.000
10.000
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas
lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
10
1
0,8
1
0,6
0,4
0,1
0,2
0
0
2.000
4.000
6.000
8.000
0,01
0,01
10.000
0,1
1
Frecuencia (Khz)
10
100
1000
10000
Frecuencia (Khz)
Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple
H (ω3dB ) dB = −3dB
H (ω3dB ) dB = 20 log H (ω3dB ) = −3dB
−3
H (ω3dB ) = 10 20 =
1
= 0.707
2
Observando las gráficas anteriores vemos que esto se produce aproximadamente a 2’5Mhz
por lo que
B3 dB = 2 '5Mhz
142
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la
resistencia a la frecuencia de 10 Mhz
2
2
Ω
R ≈ − Z 0 Ln H (ω ) = −
⋅ 97Ω ⋅ Ln ( 0 '315 ) = 4 '482
ze
50m
m
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja
frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa
mediante
R
f
R= 0
2 fs
de donde
Ω 

2
0 '178

R 
m  107 Hz = 3'943Khz
fs = f  0  = 

 2 R   2 ⋅ 4 ' 482 Ω 
m

2
143
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-21
En un cable con pérdidas se inyecta un pulso de alta frecuencia. Observando las
características de entrada y de salida, calcular:
a) Velocidad de propagación de la señal en el cable
b) Capacitancia del cable
c) Inductancia del cable
d) Resistencia del cable a baja frecuencia
e) Frecuencia pelicular del cable
Datos
•
•
•
•
•
Longitud: 50 metros.
Impedancia característica: 58 Ω.
Retardo de propagación de un pulso de alta frecuencia: 254 ns.
Resistencia de entrada (a frecuencia cero) con la salida en cortocircuito: 2.7 Ω.
Ganancia a 10 Mhz con el cable cargado con la impedancia característica: 0’847.
Nota: Considerar que no existen pérdidas en el dieléctrico
Solución PTC0004-21
Apartado a)
Podemos calcular fácilmente la velocidad de propagación a partir de los datos del cable,
sin más que recordar que
longitud
velocidad =
retardo
v=
Apartado b)
Llamando
50m
Km
= 196.850 '39
254ns
s
Z = R + jω L; Y = G + jωC
sabemos que la impedancia característica del cable es
Z
Z0 =
Y
A alta frecuencia las partes reactivas de Z e Y son mucho más importantes que las
resistivas por lo que podemos escribir
Z
R + jω L
L
Z0 =
=
≈
Y
G + jωC
C
También sabemos que la velocidad de propagación es
1
v=
L ⋅C
144
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del
cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria sabiendo que
1
L 1
v ⋅ Z0 ≈
=
L ⋅C C C
C≈
1
1
faradios
=
= 8 '759 ⋅10−11
v ⋅ Z 0 196.850 '39 Km ⋅ 58Ω
metro
s
Apartado c)
De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse sabiendo que
L
Z0
C = L ⋅C L = L
≈
1
v
C
L ⋅C
L≈
Z0
58Ω
henrios
=
= 2 '946 ⋅10 −7
Km
v 196.850 '39
metro
s
Apartado d)
A frecuencia cero tenemos que
Z = R + jω L = R
Y = G + jωC = G
Como no existen pérdidas en el dieléctrico G=0. Si colocamos el cable en cortocircuito
y no influyen G (por ser nula), L ni C (por estar a frecuencia cero) el único efecto es el
resistivo por lo que la resistencia de entrada del cable será
Z in = R ⋅ ze
De ahí deducimos
R=
Z in 2 '7Ω
Ω
=
= 0 '054
ze
50m
m
Apartado e)
Para calcular la frecuencia pelicular debemos partir de la ganancia (o atenuación) a alta
frecuencia. Sabemos que la función de transferencia de un cable con pérdidas es (ver
TTC-004)
1+ ρ
H (ω ) = γ ze
e + ρ e− γ ze
siendo
145
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Z L − Z0
Z L + Z0
ρ=
γ = Z ⋅Y
Cuando el cable se carga con una impedancia igual a la impedancia característica
entonces
Z − Z0
ρ= 0
=0
Z0 + Z0
y la función de transferencia es
H (ω ) =
1
eγ ze
H (ω ) =
1
eγ ze
siendo el espectro de amplitud
Cuando la frecuencia es grande se puede demostrar (ver PTC0004-19) que
1
H (ω ) ≈ RC +GL
ze
e 2 LC
Conociendo la ganancia G, L, y C podemos calcular R desarrollando la expresión anterior
RC + GL
ze
1
e 2 LC ≈
H (ω )
RC + GL
1
ze ≈ Ln
= − Ln H (ω )
H (ω )
2 LC
RC + GL
1
ze ≈ Ln
= − Ln H (ω )
H (ω )
2 LC
RC + GL ≈ −
R≈−
R≈−
2 LC Ln H (ω )
ze
2 LC Ln H (ω )
C ⋅ ze
2
ze
−
GL
C
L
GL
Ln H (ω ) −
C
C
Para el caso de ausencia de pérdidas en el dieléctrico (G=0) tenemos
146
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
R≈−
2
ze
R≈−
Francisco Sivianes Castillo
L
Ln H (ω )
C
2
Z 0 Ln H (ω )
ze
A la frecuencia de 10 Mhz la resistencia vale
2
2
Ω
R ≈ − Z 0 Ln H (ω ) = −
⋅ 58Ω ⋅ Ln ( 0 '847 ) = 0 '385
ze
50m
m
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja
frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia se expresa
mediante
R
f
R= 0
2 fs
de donde
f  2R 
=

f s  R0 
2
R 
fs = f  0 
 2R 
2
Sustituyendo los valores de la resistencia a 10 Mhz podemos calcular la frecuencia
pelicular
2
Ω 

 0.054 m  7
fs = 
 10 Hz = 49 '182 Khz
Ω
 2 ⋅ 0 '385 
m

147
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-14: REFLEXIONES EN UN CABLE COAXIAL
1.- Descripción de la práctica
1. Excitar un cable coaxial de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10
voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del
cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de
resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de
entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos
valores determinar:
a. El retardo del pulso reflejado.
b. La velocidad de propagación de las señales por el cable.
c. La impedancia característica del cable.
d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de
entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua.
3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos
valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia
característica.
b. El ancho de banda de 3dB
c. La frecuencia pelicular
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Cable coaxial de 50 metros
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-14
148
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Apartado a)
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100
Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul)
cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.
Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto
La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse
fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida.
Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada
correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en
circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el
cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero.
Puede observarse también un segundo pulso atenuado en la señal de salida
correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la
entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente
cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.
149
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)
Figura 3. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito
150
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está
cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito)
y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la
reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito
el coeficiente de reflexión es -1.
Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del
cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable.
Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta
conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de
reflexión es 0.
Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica
La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 58
ohmios
Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a
la entrada y a la salida es de 254 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada
aparece un pulso reflejado con un retraso de 500 ns. (Aproximadamente el doble del
valor anterior).
Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula
inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que
151
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
velocidad =
v=
longitud
retardo
50m
Km
= 196.850 '39
254ns
s
o en términos de la velocidad de la luz
Km
s = 0 '656c
v=
Km
300.000
s
196.850 '39
Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con
la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta
impedancia es de
Z 0 = 58Ω
Apartado 1.d) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia
característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión
1
1
faradios
C=
=
= 8 '759 ⋅10−11
v ⋅ Z 0 196.850 '39 Km ⋅ 58Ω
metro
s
De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión
Z
58Ω
henrios
L= 0 =
= 2 '946 ⋅10 −7
v 196.850 '39 Km
metro
s
Apartado 2)
Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de
entrada de continua obtenemos un valor de 2’55 Ω. Con este valor podemos determinar
la resistencia del cable de continua mediante la expresión
Z
2 '55Ω
Ω
R = in =
= 0 '051
ze
50m
m
Apartado 3)
Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de
salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los
resultados se muestran en la tabla siguiente.
152
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Tensión
Ganancia
(voltios)
Entrada Salida Calculada Teórica
5,28
5,22
0,989
0,958
5,28
5,22
0,989
0,958
5,26
5,18
0,985
0,958
5,30
5,14
0,970
0,958
5,28
5,06
0,958
0,958
5,30
5,06
0,955
0,957
5,31
5,06
0,953
0,953
5,34
5,06
0,948
0,945
5,32
5,00
0,940
0,940
4,84
4,98
1,029
0,947
5,12
4,64
0,906
0,926
4,28
4,12
0,963
0,888
3,00
2,54
0,847
0,842
2,06
1,66
0,806
0,805
Frecuencia
(en Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
50
100
200
500
1.000
2.000
5.000
10.000
16.000
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas
lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
10
1
0,8
1
0,6
0,1
0,4
0,2
0,01
0,01
0
0
5.000
10.000
1
100
10000
15.000
Frecuencia (Khz)
Frecuencia (Khz)
Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple
H (ω3dB ) dB = −3dB
H (ω3dB ) dB = 20 log H (ω3dB ) = −3dB
−3
H (ω3dB ) = 10 20 =
1
= 0.707
2
Observando las gráficas anteriores vemos que esta condición no se produce a ninguna
frecuencia dentro del rango experimental, por lo que podemos deducir que el ancho de
banda es
B3dB > 16Mhz
153
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la
resistencia a la frecuencia de 16 Mhz
2
2
Ω
R ≈ − Z 0 Ln H (ω ) = −
⋅ 58Ω ⋅ Ln ( 0 '806 ) = 0 '500
ze
50m
m
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja
frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa
mediante
R
f
R= 0
2 fs
de donde
Ω 

0 '051
 R0  
m  16 ⋅106 Hz = 41'616 Khz
fs = f 

 =
 2 R   2 ⋅ 0 '500 Ω 
m

2
2
154
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-14
Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica).
4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB.
5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de máxima
ganancia.
6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una ganancia
máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la frecuencia de
máxima ganancia.
7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia del
tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el espectro
de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del
sistema.
Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF
R
L
vi(t)
C
vo(t)
Solución PTC0004-14
Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para
ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La
intensidad por el condensador será
dv (t )
iC (t ) = C o
dt
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
vR (t ) = iR (t ) R
y la tensión en la bobina es
vL (t ) = L
diL (t )
dt
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad
que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el
condensador son iguales
i (t ) = iC (t ) = iR (t ) = iL (t )
155
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
vi (t ) = vR (t ) + vL (t ) + vo (t )
y sustituyendo
vi (t ) = i (t ) R + L
vi (t ) = RC
di (t )
+ vo (t )
dt
dvo (t )
d  dv (t ) 
+ L  C o  + vo (t )
dt
dt 
dt 
vi (t ) = RC
dvo (t )
d 2 vo (t )
+ LC
+ vo (t )
dt
dt 2
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular
la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
P ( jω )
H (ω ) = A
PB ( jω )
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que
modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
PA ( D) x(t ) = PB ( D) y (t )
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
vi (t ) = ( LCD 2 + RCD + 1)vo (t )
por lo que los polinomios son
 PA ( D) = 1

2
 PB ( D) = LCD + RCD + 1
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
P ( jω )
1
H (ω ) = A
=
2
PB ( jω ) LC ( jω ) + RC ( jω ) + 1
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
(1 − 4π
1
2
LCf 2 ) + j 2π f RC
Apartado 1)
156
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del
sistema que no es más que
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
o, en términos de frecuencia
H( f ) =
(1 − 4π
1
2
LCf
2
) + j 2π f RC
ÈH
LÈ
H f
5
4
3
2
1
f
2
4
6
8
10
HL
Khz
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura
2 lo representa en escala logarítmica.
ÈH
LÈ
H f
10
5
1
0.5
0.1
0.05
f
0.1
0.5 1
5 10
50 100
HL
Khz
Figura 2. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
Apartado 3)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = arg [1] − arg (1 − LCω 2 ) + jω RC  = 0 − arctg 
2 
 1 − LCω 
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = − arctg 
2 
 1 − LCω 
o, en términos de frecuencia
157
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 2π f RC 
arg [ H ( f )] = − arctg 
2
2 
 1 − 4π LCf 
Arg @ H H f LD
f H
2
4
6
8
10
-25
-50
-75
-100
-125
-150
-175
Figura 3. Espectro de fase (escala lineal)
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo
representa en escala logarítmica.
Arg @HHfLD
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-25
-50
-75
-100
-125
-150
-175
Figura 4. Espectro de fase (escala logarítmica)
Apartado 3)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil
calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en
cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula
como
arg [ H (ω )]
T
1
R (ω ) = arg [ H (ω ) ]
= arg [ H (ω )]
=
ω
2π
 2π 


 T 
Recordando que
 ω RC 
arg [ H (ω ) ] = − arctg 
2 
 1 − LCω 
tenemos que
158
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 ω RC 
− arctg 
2 
 1 − LCω 
R(ω ) =
ω
En términos de frecuencia podemos escribir
 2π f RC 
− arctg 
1 − 4π 2 LCf 2 

R( f ) =
2π f
RH f L H µ sL
f H
2
4
6
8
10
-10
-20
-30
-40
-50
Figura 5. Retardo (escala lineal)
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6
lo representa en escala logarítmica.
RHfL HµsL
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-10
-20
-30
-40
Figura 39. Retardo (escala logarítmica)
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
d arg [ H (ω ) ]
Rg (ω ) ≡
dω
Por tanto
159
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo

 ω RC  
d  − arctg 
2 
 1 − LCω  

Rg (ω ) =
=
dω
 ω RC 
d
2 
−1
 1 − LCω 
2
dω
 ω RC 
1+ 
2 
 1 − LCω 
(1 − LCω ) RC − (ω RC )( −2ω LC )
R (ω ) =
(1 − LCω ) + (ω RC )
(1 − LCω )
(1 − LCω )
2
−1
g
2 2
2 2
2
2 2
Rg (ω ) =
Rg (ω ) =
− (1 − LCω 2 )
2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
RC − RLC 2ω 2 + 2 RLC 2ω 2
(1 − LCω )
2 2
2
− RC + RLC 2ω 2 − 2 RLC 2ω 2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
Rg (ω ) =
2
=
− RC − RLC 2ω 2
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
− RC (1 + LCω 2 )
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
En términos de frecuencia podemos escribir
− RC (1 + LC 4π 2 f 2 )
Rg ( f ) =
2
(1 − LC 4π 2 f 2 ) + ( 2π f RC )2
Rg HfL HµsL
f HKhz L
2
4
6
8
10
-50
-100
-150
-200
Figura 40. Retardo de grupo (escala lineal)
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la
figura 8 lo representa en escala logarítmica.
160
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Rg HfL HµsL
f HKhz L
0.5 1
5 10
50 100
-50
-100
-150
-200
Figura 8. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado 4)
La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo
H (ω ) =
1
(1 − LCω ) + jω RC
2
1
=
(1 − LCω ) + (ω RC )
2 2
2
o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si
llamamos
f (ω ) = (1 − LCω 2 ) + (ω RC )
2
2
la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e
igualemos a cero
(1 − LCω 2 )2 + (ω RC )2 
d
d [ f (ω )]


= 
dω
dω
d [ f (ω )]
dω
d [ f (ω )]
dω
=
=
d  L2C 2ω 4 − 2 LCω 2 + 1 + R 2C 2ω 2 
dω
d  L2C 2ω 4 + ( R 2C 2 − 2 LC ) ω 2 + 1
d [ f (ω )]
dω
dω
= 4 L2C 2ω 3 + 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ω
A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que
d [ f (ω )]
= 4 L2C 2ωm3 + 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ωm = 0
d ω ω =ω
m
2ωm  2 L2C 2ωm2 + ( R 2C 2 − 2 LC )  = 0
lo que nos da dos soluciones
161
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
ωm = 0
 2 2 2
2 2
2 L C ωm + ( R C − 2 LC ) = 0
La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede
verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima
ganancia se corresponde con la segunda solución que es
ωm =
2 LC − R 2C 2
=
2 L2C 2
1
R2
− 2
LC 2 L
o en términos de frecuencia
fm =
1
R2
− 2
LC 2 L
1
2π
que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro
caso tenemos
fm =
1
2π
1
(100)2
1
108
9
−
=
10
−
= 4 '91Khz
(10 ⋅10−3 )(100 ⋅10−9 ) 2(10 ⋅10−3 ) 2 2π
2
Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la
raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un
circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que
1
R2
− 2 ≥0
LC 2 L
R2
1
≤
2
2 L LC
R2 ≤
2L
C
R≤
2L
C
En nuestro caso, esta condición se cumple cuando
R≤
2L
2(10 ⋅10−3 )
=
= 2 ⋅105
−9
C
(100 ⋅10 )
R ≤ 447 ' 21Ω
Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de
la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9
162
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
fmH Khz L
5
4
3
2
1
R HΩL
100
200
300
400
500
600
Figura 41. Frecuencia de máxima ganancia
Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la
frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia),
hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de
ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple.
Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como
aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella
que cumple
H ( f 3 dB ) dB = −3dB
20 log H ( f 3dB ) = −3
1
H ( f 3dB ) = 10
(1 − 4π
−
3
20
1
 − 3 2  1 2
1
=  10 10  =   =
2

 2
1
2
LCf
2
3 dB
) + j 2π f
3 dB
RC
=
1
Elevando al cuadrado
1
2
=
1
2
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f 3dB RC )
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f 3dB RC ) = 2
(1 − 4π
2
LCf 32dB ) + ( 2π f3 dB RC ) = 2
2
2
2
2
2
2
1 + 16π 4 L2C 2 f 34dB − 8π 2 LCf 32dB + 4π 2 R 2C 2 f 32dB = 2
16π 4 L2C 2 f 34dB + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) f 32dB − 1 = 0
163
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos
f 32dB =
f
2
3 dB
=
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ±
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2
2
32π 4 L2C 2
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ± 16π 4 R 4C 4 + 64π 4 L2C 2 − 64π 4 R 2C 3 L + 64π 4 L2C 2
32π 4 L2C 2
f
2
3 dB
−4π 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) ± 4π 2 R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
=
f
32π 4 L2C 2
2
3 dB
=
− ( R 2C 2 − 2 LC ) ± R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
8π 2 L2C 2
En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya
que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada,
obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥
2
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC )
2
o, lo que es lo mismo
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
2
Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥
2
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
Si el término entre paréntesis es positivo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ 0
2
y si es negativo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≥ 2 ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ≥ 0
2
Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) −
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) + ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC )
Si el término entre paréntesis es positivo
164
2
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
Francisco Sivianes Castillo
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤ 0
2
y si es negativo
− ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) +
( 4π
2
R 2C 2 − 8π 2 LC ) + 64π 4 L2C 2 ≤ 2 ( 4π 2 R 2C 2 − 8π 2 LC ) ≤ 0
2
En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que
f 32dB =
− ( R 2C 2 − 2 LC ) + R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
8π 2 L2C 2
y, finalmente
f 3dB
1
=
2π
− ( R 2C 2 − 2 LC ) + R 4C 4 + 8 L2C 2 − 4 R 2C 3 L
2 L2C 2
En nuestro caso tenemos, sustituyendo
f 3dB = 7 '68 Khz
» H H f L»
5
4
3
2
1
f H Khz L
2
4
6
8
10
Figura 42 Espectro de amplitud (escala lineal)
La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la
frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.
» HH fL »
10
5
1
0.5
0.1
0.05
f
0.1
0.5
1
5
10
50 100
Figura 43. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
165
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado 5)
Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm).
En primer lugar, la ganancia del sistema es
1
H (ωm ) =
2
(1 − LCωm2 ) + (ωm RC )2
H (ωm ) =
1
2

 1
R2   1
R2  2 2
−
LC
−
+
−
RC
1



2 
2 
LC
2
L
LC
2
L






1
H (ωm ) =
2

R 2C   R 2C R 4C 2 
1
−
1
+
−

 +

2
L
L
2 L2 

 
1
H (ωm ) =
R 4C 2  R 2 C R 4 C 2 
+
−

4 L2  L
2 L2 
1
H (ωm ) =
R 4C 2  1 1  R 2C
 − +
L2  4 2 
L
1
H (ωm ) =
2
R C R 4C 2
−
L
4 L2
En nuestro caso tenemos
H (ωm ) =
1
100 (100 ⋅10
2
(10 ⋅10
−3
) − 100 (100 ⋅10 )
)
4 (10 ⋅10 )
−9
4
−9 2
−3 2
=
1
10−2
10−1 −
4
= 3' 20
El desfase es
 ω RC 
arg [ H (ωm ) ] = − arctg  m
2 
 1 − LCωm 


1
R2 
1
R2
 RC
− 2 
− 2
 RC
LC 2 L  = − arctg 
LC 2 L
arg [ H (ωm ) ] = − arctg 
2



R 2C
 1
R 
− 2  
 1 − LC 
 1 − 1 + 2L

 LC 2 L  

166






Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
 L
arg [ H (ωm ) ] = − arctg  2
 R

Francisco Sivianes Castillo
1
R2
− 2
LC 2 L


L2  1
R2  
− 2 
 = − arctg  2 2 

 R  LC 2 L  




1
L
arg [ H (ωm ) ] = −arctg  2 2 − 
 R C 2
En nuestro caso tenemos


10 ⋅10−3 )

(
1
1

arg [ H (ωm ) ] = − arctg 2
−
= − arctg  2 10 − 
2
−
9
 100 (100 ⋅10 ) 2 
2



arg [ H (ωm )] = −80 '79º
El retardo del sistema se calcula como
 ω RC 
− arctg  m

1 − LCωm2 

R(ωm ) =
ωm
Sustituyendo tenemos

L
1
− arctg  2 2 − 
 R C 2
R(ωm ) =
1
R2
− 2
LC 2 L
En nuestro caso
R(ωm ) =


10 ⋅10 −3 )
(
1


1
−arctg 2
−
− arctg  2 10 − 
 1002 (100 ⋅10 −9 ) 2 
2

 =

1
(100) 2
108
9
−
10
−
(10 ⋅10 −3 )(100 ⋅10 −9 ) 2(10 ⋅10 −3 ) 2
2
R(ωm ) = −45'7 µ s
El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como
− RC (1 + LCωm2 )
Rg (ωm ) =
2
(1 − LCωm2 ) + (ωm RC )2
Sustituyendo tenemos
167
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Rg (ωm ) =
Francisco Sivianes Castillo

 1
R 2 
− RC 1 + LC 
− 2 
 LC 2 L  

2

 1
R2 
2 1
R2 
− 2   + ( RC ) 
− 2
1 − LC 
 LC 2 L  
 LC 2 L 


R 2C 
− RC 1 + 1 −
2 L 

Rg (ωm ) =
2

R 2C   R 2C R 4C 2 
1 − 1 + 2 L  +  L − 2 L2 

 




R 2C 
R 2C 
R 2C 
− RC  2 −
−
RC
2
−
−
RC
2
−





2L 
2L 
2L 



Rg (ωm ) = 4 2
=
= 2
RC
R 2C R 4C 2
R 2C R 4C 2
R C  R 2C 
+
−
−
1 −

4 L2
L
2 L2
L
4 L2
L 
4L 

R 2C 
−L  2 −

2L 

Rg (ωm ) =
 R 2C 
R 1 −

4L 

En nuestro caso
 1002 (100 ⋅10−9 ) 
10 −3 
−2 

− (10 ⋅10 −3 )  2 −
−
−
10
2



2 (10 ⋅10−3 ) 
2 ⋅ 10−2 


Rg (ωm ) =
=
 1002 (100 ⋅10−9 ) 
10−3 
2
10
1
−


100 1 −
−2 
−3


 4 ⋅ 10 
4
10
⋅
10
(
)


Rg (ωm ) = −200 µ s
Apartado 6)
Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima
ganancia y que vale
1
H (ωm ) =
R 2C R 4C 2
−
L
4 L2
Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la
produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la
siguiente forma
R 2C R 4 C 2
1
−
=
2
L
4L
H (ωm )
168
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
R 2C R 4 C 2
1
−
=
2
2
4L
L
H (ωm )
Ordenando la ecuación tenemos
C2 4 C 2
1
R − R +
=0
2
2
4L
L
H (ωr )
que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos
2
R2 =
C
C2
1
C 
±   −4 2
L
4 L H (ωm ) 2
L
C2
2 2
4L
R2 =
=2
C
C 
±  
L
L
2L 
1
1 ± 1 −
2
C 
H (ωm )

2


1
1 −

2


(
ω
)
H
m


C2
L2




En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es
válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que
1
H (ωm ) ≥ 1
por lo que
0≤
1
H (ωm )
2
≤1


1
 ≤1
0 ≤ 1 −
2

H (ωm ) 

0 ≤ 1−
1
H (ωm )
2
≤1
Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de
ganancia, se tiene que cumplir que
2L
R2 ≤
C
por lo que la expresión
R2 =
2L 
1
1 ± 1 −
2
C 
H
(
ω
)
m

169




Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso
contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única
solución válida es

2L 
1
1 − 1 −

R2 =
2

C 
H
(
ω
)
m


y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos
R=
2L 
1
1 − 1 −
2
C 
H (ωm )





Para nuestro caso tenemos
2 (10 ⋅10 −3 ) 
1 
R=
1
−
1
−
= 2 ⋅105 1 − 1 − 10−2 = 31'6Ω

−9 
2 

100 ⋅10 
10 
(
)
Apartado 7)
Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente
plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
Mn ≈
ATs
=
T
1
40 Khz = 250mV
1
1Khz
10 ⋅
o, en valores RMS,
M nRMS =
M n 250mV
≈
= 177mV
2
2
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la
representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida,
tenemos que
G (ω )
H (ω ) =
F (ω )
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
H (ω ) ≈ k ⋅ G (ω )
es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la
función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS,
toma el valor
1
1
k=
=
M nRMS 177 mV
170
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
171
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello
se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par
se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el
otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
+
Vn
R1
Tx
R2
Gnd
Rx
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de
forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de
recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de
caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma:
1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que
comiencen a producirse errores.
2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable.
3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR.
Datos:
Velocidad: 600 bps
Longitud del carácter (número de bits de datos): 8
Paridad: Ninguna
Número bits de parada: 1
R1= R2=10KΩ
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles
• Cable de par trenzado de 50 metros
• Resistencia de 10KΩ
• Potenciómetro de 10KΩ
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de
laboratorio LTC-26
172
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
Amplitud señal en recepción sin ruido
Ruido en
generador
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
Ruido en
recepción
SNR
(Calculado)
173
Tasa
errores
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PRÁCTICA LTC-26: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
1.- Descripción de la práctica
Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello
se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par
se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el
otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
+
Vn
R1
Tx
R2
Gnd
Rx
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de
forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de
recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de
caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma:
1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que
comiencen a producirse errores.
2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable.
3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR.
Datos:
Velocidad: 600 bps
Longitud del carácter (número de bits de datos): 8
Paridad: Ninguna
Número bits de parada: 1
R1= R2=10KΩ
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie
• Generador de señales
• Osciloscopio
• Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles
• Cable de par trenzado de 50 metros
• Resistencia de 10KΩ
• Potenciómetro de 10KΩ
174
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en los problemas PTC0004-35 (desarrollo del
programa) y PTC0004-36 (análisis del ruido).
4.- Resultados
Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-35 el resultado obtenido en el
osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente
en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -12 y +12 voltios
aproximadamente.
Si conectamos el PC al cable tal como se especifica en la figura del enunciado, podemos
regular la tensión a la entrada del cable hasta un valor comprendido entre -2 y +2 voltios
aproximadamente. Comprobamos mediante el programa que no se producen errores en
esta configuración. El resultado obtenido es el siguiente
175
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Mediante el generador de señales inyectamos en el otro par del cable (ver figura del
enunciado) un ruido uniforme cuya amplitud seleccionamos en el propio generador. La
figura siguiente recoge el caso para un ruido de 5 voltios.
176
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Para poder observar bien los valores máximo y mínimo del ruido utilizamos el
osciloscopio con un modo de adquisición de envolvente. El resultado es el siguiente
Conectamos la salida del primer par con la recepción de la UART, observándose en ese
punto, en ausencia de ruido, lo recogido en la gráfica siguiente
177
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Si añadimos un ruido de 5 voltios, la señal de recepción es la siguiente
Cambiando los valores de la amplitud del ruido en el generador se obtienen distintos
valores del ruido en el receptor. La gráfica siguiente refleja el ruido en el receptor para
una tensión en el generador de 5 voltios (con un modo de adquisición de envolvente).
178
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Si observamos la señal recibida en presencia de un ruido (para una tensión en el
generador de 5 voltios y con un modo de adquisición de envolvente) obtenemos lo
siguiente
Con todo ello, y midiendo la señal en el receptor en ausencia de ruido (que vale A=2.10
voltios) estamos en condiciones de construir la tabla siguiente
Tensión
generador
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
Señal+
ruido
(mín.: m)
-3.20
-3.32
-3.48
-3.60
-3.70
-3.88
-4.00
-4.12
-4.28
-4.44
-4.56
-4.68
-4.80
Señal+
ruido
(máx.: M)
3.26
3.42
3.68
3.76
3.80
4.00
4.08
4.20
4.36
4.52
4.64
4.76
4.92
Señal+
ruido
(media: µ)
0.03
0.05
0.10
0.08
0.05
0.06
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.06
Ruido
(rango: b)
A=2.1 V
1.04
1.18
1.39
1.49
1.56
1.75
1.85
1.97
2.13
2.29
2.41
2.53
2.67
Para el cálculo del rango se ha utilizado la siguiente expresión
179
SNR
A=2.1 V
12.28
9.53
6.86
5.97
5.44
4.32
3.87
3.41
2.91
2.52
2.28
2.06
1.85
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
b=
Francisco Sivianes Castillo
(M − m) − A
2
Igualmente para la SNR hemos utilizado la fórmula
3A2
SNR = 2
b
Observando ahora con el programa la tasa de caracteres erróneos recibidos para cada
tensión de ruido del generador obtenemos la tabla siguiente
Tensión
generador
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
Tasa
errores
0.00E+00
5.86E-03
1.08E-02
1.64E-02
1.97E-02
6.10E-02
9.43E-02
1.42E-01
2.48E-01
2.90E-01
3.16E-01
5.30E-01
6.31E-01
SNR
12.28
9.53
6.86
5.97
5.44
4.32
3.87
3.41
2.91
2.52
2.28
2.06
1.85
En realidad, dado el carácter aleatorio del experimento, la tasa de errores para cada
tensión de ruido del generador se ha obtenido como la media de 10 medidas
experimentales. En la figura siguiente se reflejan los puntos experimentales obtenidos
(probabilidad de error del carácter frente a SNR) y se comparan con los valores del
análisis teórico para umbrales de 0 (rojo), 0.5 (azul) y 1 voltio (verde) respectivamente.
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
2
4
6
8
180
10
12
14
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-35
Un transmisor codifica los bits en NRZ polar (+A voltios para el 1 y –A voltios para el
cero). Dicha transmisión se ve afectada por un ruido aleatorio con función de densidad
uniforme entre –b y +b voltios. El receptor codifica las tensiones inferiores a –c como
un 1 y las superiores a +c como un cero. En la zona indeterminada del receptor la
probabilidad de interpretación de un uno es lineal
a) Determinar analítica y gráficamente la probabilidad de que se produzca un error
en un bit en función de la relación señal-ruido en el canal.
b) Repetir el cálculo anterior para el caso de la probabilidad de error de un carácter
en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada y sin bit de
paridad.
Solución PTC0004-35
Apartado a)
Sea n(t) la función temporal correspondiente al ruido aleatorio. Denominemos f(n) a la
función de densidad de probabilidad de dicho ruido. Su representación gráfica es la
siguiente
f(n)
k
-b
b
n
En toda función de densidad de probabilidad se verifica que
∞
∫ f (n)dn = 1
−∞
por lo que, en nuestro caso,
∞
b
∫ f (n)dn = ∫ kdn = k [n]
b
−b
−∞
= k [b − ( −b) ] = 2 kb = 1
−b
Esto nos conduce a que
k=
1
2b
Por otra parte, la probabilidad de que el detector interprete un uno (d=1), en función del
valor de la tensión a su entrada, lo denotamos como
Pd 1 (v ) ≡ P[ d = 1| vr = v ]
siendo su representación gráfica la siguiente.
181
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Pd1(v)
1
-c
c
v
Podemos ver fácilmente que el valor de dicha probabilidad vale
 Pd 1 (v ) = 0 ∀v ≤ −c

v 1

+
∀v ∈ [ − c, c ]
 Pd 1 (v ) =
2c 2

 Pd 1 (v ) = 1 ∀v ≥ c
Como el enunciado no afirma nada, supondremos que el ruido es aditivo. En ese caso, la
función f1(v) de densidad de probabilidad de la tensión en el receptor cuando se
transmite un 1 será como la de la figura
f1(v)
k
-A-b
-A
-A+b
v
Esta función de densidad de probabilidad se corresponde, como sabemos, con la
probabilidad de que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v cuando se
transmite un uno, o más concretamente
P [v ≤ vr ≤ v + dv ]
f1 (v ) ≡ 1
dv
La probabilidad de que el receptor cometa un error en la decisión cuando, habiendo
transmitido un uno, la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, la denotamos
como
Pe1[v ≤ vr ≤ v + dv ]
Este valor se calcula como la probabilidad de que se produzcan simultáneamente dos
sucesos:
- que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, y;
- que teniendo ese valor la tensión del receptor, se produzca un error de
decisión.
Esta conjunción de sucesos (que suponemos independientes) se obtiene multiplicando la
probabilidad de ambos sucesos por separado, es decir que
182
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Pe1[v ≤ vr ≤ v + dv ] = P1[v ≤ vr ≤ v + dv ] ⋅ P[ d = 1| vr = v ]
Pe1[v ≤ vr ≤ v + dv ] = [ f1 (v ) dv ] ⋅ Pd 1 ( v )
Pe1[v ≤ vr ≤ v + dv ] = f1 (v ) ⋅ Pd 1 (v ) ⋅ dv
La probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un uno será pues
∞
∞
−∞
−∞
Pe1 = ∫ Pe1[v ≤ vr ≤ v + dv ] = ∫
f1 (v ) ⋅ Pd 1 (v ) ⋅ dv
lo que superponiendo las dos gráficas anteriores no da finalmente el área rayada
f1(v)
k
-c
-A-b
-A
c
-A+b
v
Esta probabilidad vale
Pe1 = ∫
∞
−∞
f1 (v ) ⋅ Pd 1 ( v ) ⋅ dv = ∫
−c
− A+ b
 v2 v 
Pe1 = k  + 
 4c 2  − c
Pe1 =
− A+ b
f1 (v ) ⋅ Pd 1 (v ) ⋅ dv = ∫
− A+b
−c
 v 1
k  +  dv
 2c 2 
 ( − A + b )2 ( − A + b ) ( − c )2 −c 
=k
+
−
− 
4c
2
4c
2 


1  A2 + b 2 − 2 Ab b − A c c  1  A2 + b 2 − 2 Ab b − A c 
+
− + =
+
+ 


2b 
4c
2
4 2  2b 
4c
2
4
Pe1 =
1
A2 + b 2 − 2 Ab + 2bc − 2 Ac + c 2 )
(
8bc
Pe1 =
1 
2
A − b ) + c ( c + 2b − 2 A ) 
(

8bc 
El estudio análogo para la probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un
cero nos da
∞
∞
−∞
−∞
Pe 0 = ∫ Pe 0 [v ≤ vr ≤ v + dv ] = ∫
f 0 ( v ) ⋅ Pd 0 (v ) ⋅ dv
lo que se representa mediante el área rayada de la figura siguiente
183
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
f0(v)
k
-c
c
A-b
A
A+b
v
lo que por simetría con el caso anterior nos da
1 
2
Pe 0 = Pe1 =
( A − b ) + c ( c + 2b − 2 A )

8bc
Si denominamos P0 a la probabilidad de que se transmita un cero y P1 a la de que se
transmita un uno, la probabilidad de error será
Pe = P0 Pe 0 + P1 Pe1
Si en promedio se transmiten el mismo número de ceros que de unos tenemos que
1
P0 = P1 =
2
por lo que queda
1
1
1
1
Pe = Pe 0 + Pe1 = ( Pe 0 + Pe1 ) = ( Pe1 + Pe1 ) = Pe1
2
2
2
2
Pe =
1 
2
( A − b ) + c ( c + 2b − 2 A )

8bc
Todo esto ocurre si –c<-A+b<c (o lo que es lo mismo, A-c<b<A+c). Si consideramos
A y c valores fijos y estudiamos cómo varía la probabilidad de error a medida que
aumenta el ruido, tenemos las situaciones reflejadas en las figuras siguientes.
f1(v)
f1(v)
k
k
-c
c
-A-c
-c
-A-b
-A
v
-A-b
c
-A -A+b
f1(v)
f1(v)
k
k
c
-A+b
v
-c
v
-A-b
-A
c -A+b
v
En estas figuras observamos tres casos:
a) El primero, en el que b<A-c (primera figura) y por tanto vemos gráficamente
que
184
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Pe = 0
b) El segundo, en el que A-c<b<A+c (segunda y tercera figuras), que se
corresponde con el desarrollo anterior y en el que hemos demostrado que
1 
2
Pe =
( A − b ) + c ( c + 2b − 2 A )

8bc
c) El tercero, en el que b>A+c (cuarta figura), que no ha sido todavía estudiado
y que debe ser desarrollado independientemente.
Analizando, por tanto, el tercero de los casos tenemos
Pe = Pe1 = ∫
∞
−∞
c
− A+ b
−c
c
f1 ( v ) ⋅ Pd 1 (v ) ⋅ dv = ∫ f1 (v ) ⋅ Pd 1 (v ) ⋅ dv + ∫
f1 (v ) ⋅ Pd 1 ( v ) ⋅ dv
c
− A+ b
 v2 v 
− A+b
 v 1
Pe = ∫ k  +  dv + ∫
k ⋅1 ⋅ dv = k  +  + k [ v ]c
−c
c
 2c 2 
 4c 2  − c
c
 c2 c c2 c 
Pe = k  + −
+  + k ( − A + b − c ) = kc + k ( − A + b − c )
 4c 2 4c 2 
Pe = k ( c − A + b − c ) = k ( b − A )
Pe =
1
(b − A)
2b
Por otra parte para expresar ahora la probabilidad de error en función de la relación
señal ruido (SNR) debemos transformar las expresiones anteriores. Supondremos que
tanto A como c son valores prefijados por el sistema de comunicaciones que utilizamos.
Por ello lo que puede alterar la probabilidad de error es la cantidad de ruido que se
añade al sistema, es decir, el valor de b. En este sentido, sabemos que
S
SNR =
N
Por una parte, la potencia de la señal S es fácil de calcular puesto que se trata de una
señal digital de sólo dos valores (+A y –A) y en ambos casos la potencia es la misma
S = A2
Por otro lado, también sabemos que la potencia del ruido N es igual a la varianza
(recordemos que el ruido es aleatorio), y que vale
N = σ ( n) =
2
∞
∫ [n − µ (n)]
2
f ( n ) dn
−∞
Teniendo en cuenta que la media del ruido vale
∞
b
 n2 
 b 2 ( −b ) 2 
µ ( n ) = ∫ nf ( n) dn = k ∫ ndn = k   = k  −
=0
2 
 2  −b
2
−∞
−b
b
185
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
podemos sustituir y obtener
∞
b
 n3 
 b 3 ( −b ) 3  2 3
N = σ ( n ) = ∫ n f ( n) dn = k ∫ n dn = k   = k  −
= kb
3  3
 3  −b
3
−∞
−b
2
b
2
2
Recordando el valor de k podemos escribir finalmente
2 1 3 b2
2
N = σ (n) =
b =
3 2b
3
Sustituyendo los valores de S y N tenemos
S
A2 3 A2
SNR =
=
= 2
N b2
b
3
b2
3
=
2
A
SNR
b= A
3
SNR
Estamos ahora en condiciones de expresar la probabilidad de error en función de la
SNR. En efecto, y resumiendo los tres casos analizados anteriormente tenemos:
a) Para b<A-c
b < A − c;
3
A
< A − c;
SNR
3
 A−c 
<

SNR  A 
 A 
SNR > 3 

 A−c 
2
2
En este caso
Pe = 0
b) Para A-c<b<A+c
A − c < b < A + c;
A−c < A
3
< A+c
SNR
3
SNR  A 
 A−c
 A+c 
 A 
<
>

 <
 ; 
 >

SNR  A 
3
 A 
 A−c 
 A+c 
2
2
2
2
 A 
 A 
3
 > SNR > 3 

 A−c 
 A+c 
2
En este caso
Pe =
1 
2
( A − b ) + c ( c + 2b − 2 A )

8bc
186
2
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
1
Pe =
8cA
3
SNR
Francisco Sivianes Castillo
2



3 
3
 A − A
+
c
c
+
2
A
−
2
A


 

SNR 
SNR






c) Para b>A+c
b > A + c;
A
3
> A + c;
SNR
3
 A>c
>

SNR  A 
 A 
SNR < 3 

 A+c 
2
2
En este caso
1
Pe =
2A
3
SNR

 1
3
− A  =
 A
SNR

 2
Pe =
SNR
3


3
− 1 

 SNR

1
SNR 
 1 −

2
3 
Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma
Pe
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
SNR
1
2
3
4
5
Apartado b)
En el caso un carácter en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada
y sin bit de paridad debemos darnos cuentas que el carácter está formado por n=10 bits
(1 de comienzo, 8 de datos y 1 de parada). La probabilidad de que se produzca un error
en un carácter es la complementaria de que llegue un carácter correcto.
Pec = 1 − Pec
187
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
La probabilidad de que llegue un carácter correcto es igual a la probabilidad de que
lleguen correctos todos y cada uno de los n bits del carácter.
Pec = Pe ⋅ Pe ⋅ Pe ⋅⋅⋅ Pe = Pe
n
siendo la probabilidad de que llegue correcto un bit la complementaria de que llegue
erróneo dicho bit
Pe = 1 − Pe
Por tanto, sustituyendo,
Pec = 1 − (1 − Pe )
n
Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma
Pe
1
0.8
0.6
0.4
0.2
SNR
1
2
3
188
4
5
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-36
Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello
se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par
se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el
otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
+
Vn
R1
Tx
R2
Gnd
Rx
Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita de forma
continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, sea capaz de recibir
caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de
caracteres erróneos recibidos.
Datos:
Velocidad: 600 bps
Longitud del carácter (número de bits de datos): 8
Paridad: Ninguna
Número bits de parada: 1
R1= R2=10KΩ
Solución PTC0004-36
El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National
Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el
16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en
cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet).
Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en
cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.
189
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
/*********************************************************************
Programa para calcular tasa de errores en el canal
*********************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/
#define THR (PUERTO+0)
#define RBR (PUERTO+0)
/*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/
/*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/
#define DLL (PUERTO+0)
lectura/escritura)*/
#define DLM (PUERTO+1)
lectura/escritura)*/
/*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1;
/*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1;
#define IER (PUERTO+1)
/* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */
#define ERBFI 0x01
/*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/
#define ETBI 0x02
/*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/
#define ELSI 0x03
/*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/
#define EDSSI 0x04
/*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/
#define LCR (PUERTO+3)
#define longitud_5
0
#define longitud_6
1
#define longitud_7
2
#define longitud_8
3
/* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */
/*Longitud 5 bits*/
/*Longitud 6 bits*/
/*Longitud 7 bits*/
/*Longitud 8 bits*/
#define bitsparada_1
#define bitsparada_2
0
4
/*Bits de parada: 1 bits*/
/*Bits de parada: 2 bits*/
#define paridad_no
#define paridad_si
0
8
/*Paridad: no*/
/*Paridad: si*/
#define paridad_impar
#define paridad_par
0
16
/*Paridad impar*/
/*Paridad par*/
#define SPE 0x20
/* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0;
con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/
#define BC 0x40
/* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */
#define DLAB 0x80
/* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */
#define LSR (PUERTO+5)
/*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/
#define DR 0x01
/*Bit 0 (DR): Data Ready*/
#define OE 0x02
/*Bit 1 (OE): Overrun Error*/
#define PE 0x04
/*Bit 2 (PE): Parity Error*/
#define FE 0x08
/*Bit 3 (FE): Framing Error*/
#define BI 0x10
/*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/
#define THRE 0x20
/*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/
#define TEMT 0x40
/*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */
#define RFE 0x80
/*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/
#define ESCAPE 27
/* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son
aproximaciones a los nominales)*/
#define velocidad_50
2304
/*Velocidad 50 bps*/
#define velocidad_75
1536
/*Velocidad 75 bps*/
#define velocidad_150
768
/*Velocidad 150 bps*/
190
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
velocidad_300
velocidad_600
velocidad_1200
velocidad_2400
velocidad_4800
velocidad_9600
velocidad_19200
velocidad_56000
velocidad_128000
384
192
96
48
24
12
6
2
1
Francisco Sivianes Castillo
/*Velocidad 300 bps*/
/*Velocidad 600 bps*/
/*Velocidad 1.200 bps*/
/*Velocidad 2.400 bps*/
/*Velocidad 4.800 bps*/
/*Velocidad 9.600 bps*/
/*Velocidad 19.200 bps*/
/*Velocidad 56.000 bps*/
/*Velocidad 128.000 bps*/
void main(void)
{
unsigned char lcr,lsr,rbr,configuracion,cenv,inicio;
unsigned int velocidad,terminar=0;
unsigned int numcar,numerrores,numerrorUART;
unsigned int haydato,hayerror,mascaraerror;
float tasaerrores;
/* Configurar velocidad */
lcr=inportb(LCR);
lcr=lcr|DLAB; /* Pone DLAB=1 */
outportb(LCR,lcr);
velocidad=velocidad_600;
outportb(DLL,velocidad&0xFF);
outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF);
/* Configurar paridad, longitud y stop */
lcr=lcr&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/
outportb(LCR,lcr);
configuracion=longitud_8|bitsparada_1|paridad_no;
outportb(LCR,configuracion);
/* Deshabilita interrupciones */
outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/
/* Transmitir de forma continua un carácter seguido de pausa */
printf("\n\nInicio de la UART\n");
inicio=1;
randomize();
cenv=random(256);
numcar=0;
numerrores=0;
numerrorUART=0;
outportb(lsr,0x0);
while(1 && !terminar)
{
lsr=inportb(LSR);
if(lsr&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/
{
outportb(THR,cenv); /* Envía el carácter*/
delay(10); /* Espera en milisegundos*/
}
haydato=lsr&DR;
mascaraerror=PE|FE|BI;
hayerror=lsr&mascaraerror;
if(hayerror) /* Comprueba si se ha recibido algún error*/
{
191
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
numerrores++;
numerrorUART++;
delay(100); /* Espera en milisegundos*/
} /* De "hayerrores" */
/*
/*
if(haydato) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/
{
rbr=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/
printf("%x; ",rbr);*/
if(inicio==1)
{
if(rbr==cenv)
{
inicio=0;
numcar=0;
printf("\nFin del Inicio\n; ");*/
}
} /* De inicio */
else
{
numcar++;
if(rbr!=cenv&&!hayerror)
{
/*printf("Error; ");*/
numerrores++;
}
} /* De else inicio */
} /* De "haydato" */
if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/
if(getch()==ESCAPE) terminar=1;
tasaerrores=numerrores;
if(numcar!=0)tasaerrores=tasaerrores/numcar;
printf("\rCaracteres: %d; Errores totales: %d; Tasa: %e",
numcar,numerrores,tasaerrores);
} /* De "While (terminar)" */
printf("\nN£mero de errores: %d\n",numerrores);
printf("N£mero de car ct‚res transmitidos: %d\n",numcar);
tasaerrores=numerrores;
tasaerrores=tasaerrores/numcar;
printf("Tasa de errores: %e\n",tasaerrores);
}
192
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)
193
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)
1.- Descripción de la práctica
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2
caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto
es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar.
1. Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la
norma V.24
2. Determinar la información transmitida
3. Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,
observando las consecuencias en la tensión de salida.
4. Medir el Slew-Rate máximo.
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie
• Conector RS-323 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de
laboratorio LTC-16
194
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
Apartado a)
Tensión del “cero”
Tensión del “uno”
Duración del bit
Velocidad de transmisión (calculado)
Apartado b)
Información transmitida (primer carácter)
Información transmitida (segundo carácter)
Apartado d)
Tiempo de subida (pendiente aprox. constante)
Tensión subida (pendiente aprox. constante)
Slew Rate (calculado)
195
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-16: INTERFAZ RS-232 (V.24)
1.- Descripción de la práctica
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2
caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto
es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar.
a) Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la
norma V.24
b) Determinar la información transmitida
c) Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,
observando las consecuencias en la tensión de salida.
d) Medir el Slew-Rate máximo.
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie
• Conector RS-232 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles
• Osciloscopio
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-22.
196
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Apartado a)
Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-22 el resultado obtenido en el
osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente
en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -10’6 voltios y los
10’2 voltios. Estos valores están claramente dentro del rango de la RS-232 (entre -15 y 5 para el “1” lógico; entre +5 y +15 para el “0” lógico).
Como vemos la RS-232 utiliza lógica negativa, por lo que es más fácil identificar los
bits si invertimos en el osciloscopio la señal. En ese caso se obtiene la imagen
representada en la gráfica siguiente. En ella observamos cómo la línea se encuentra en
“1” (“marca”) cuando está en reposo y va oscilando entre “0” y “1” cuando está
transmitiendo. El número total de bits transmitidos por cada carácter es: 1 bit de
comienzo + 7 bits de datos + 1 bit de paridad + 2 bits de parada; en total 11 bits por
cada carácter. Como se transmiten 2 caracteres el número total de bits es de 22 bits. El
tiempo de duración de cada bit será
1
= 1'67ms
tb =
600bps
197
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Ampliando esta gráfica e identificando los valores de cada bit en cada intervalo (1’67
ms) tenemos
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
S
T
A
R
T
Datos
P
A
R
I
T
Y
S
T
O
P
S
T
O
P
S
T
A
R
T
Datos
198
P
A
R
I
T
Y
S
T
O
P
S
T
O
P
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado b)
Para determinar la información transmitida tenemos que tener en cuenta que los datos
aparecen en la línea (y por tanto en el osciloscopio) empezando por el menos
significativo. Los datos transmitidos son:
L
M
S
S
B
B
Primer carácter:
0100101
Segundo carácter: 1010010
Poniéndolos en el orden que habitualmente se hace (empezando por el más
significativo) tenemos que los datos transmitidos son:
M
L
S
S
B
B
Primer carácter:
1010010 (52 en hexadecimal)
Segundo carácter: 0100101 (25 en hexadecimal)
Apartado c)
Si alteramos la configuración del puerto serie obtenemos imágenes similares a la
anterior. Para 8 bits de datos, sin paridad y un bit de parada se obtiene la siguiente
gráfica
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
S
T
A
R
T
Datos
S
T
O
P
S
T
A
R
T
Datos
199
S
T
O
P
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado e)
Para medir el Slew-Rate conectamos la línea de transmisión a la de recepción, para
provocar que la carga del transmisor sea la adecuada. En estas circunstancias,
ampliando fuertemente la escala horizontal del osciloscopio, podemos observar la
pendiente de subida de la tensión de acuerdo con la siguiente figura
Midiendo el primer tramo de subida, en la que la pendiente es prácticamente constante y
de valor máximo, observamos que transcurren 56 ns para que la tensión se incremente
en 2 voltios, es decir que el Slew-Rate máximo es
dV ∆V
2V
2V
V
SRmax =
≈
=
=
= 35'71
dt
∆t 56ns 0 '056µ s
µs
Este valor es ligeramente superior al permitido por la norma (30 V/µs)
200
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-22
Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita 2 caracteres
cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe.
Datos:
Velocidad: 600 bps
Longitud del carácter (número de bits de datos): 7
Paridad: Impar
Número bits de parada: 2
Primer carácter: 52 (hexadecimal)
Segundo carácter: 25 (hexadecimal)
Solución PTC0004-22
El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National
Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el
16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en
cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet).
Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en
cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.
201
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
/*********************************************************************
Programa para manejo del puerto serie
*********************************************************************/
#include <stdio.h>
#define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/
#define THR (PUERTO+0)
#define RBR (PUERTO+0)
/*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/
/*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/
#define DLL (PUERTO+0)
lectura/escritura)*/
#define DLM (PUERTO+1)
lectura/escritura)*/
/*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1;
/*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1;
#define IER (PUERTO+1)
/* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */
#define ERBFI 0x01
/*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/
#define ETBI 0x02
/*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/
#define ELSI 0x03
/*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/
#define EDSSI 0x04
/*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/
#define LCR (PUERTO+3)
#define longitud_5
0
#define longitud_6
1
#define longitud_7
2
#define longitud_8
3
/* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */
/*Longitud 5 bits*/
/*Longitud 6 bits*/
/*Longitud 7 bits*/
/*Longitud 8 bits*/
#define bitsparada_1
#define bitsparada_2
0
4
/*Bits de parada: 1 bits*/
/*Bits de parada: 2 bits*/
#define paridad_no
#define paridad_si
0
8
/*Paridad: no*/
/*Paridad: si*/
#define paridad_impar
#define paridad_par
0
16
/*Paridad impar*/
/*Paridad par*/
#define SPE 0x20
/* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0;
con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/
/* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */
/* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */
#define BC 0x40
#define DLAB 0x80
#define LSR (PUERTO+5)
/*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/
#define DR 0x01
/*Bit 0 (DR): Data Ready*/
#define OE 0x02
/*Bit 1 (OE): Overrun Error*/
#define PE 0x03
/*Bit 2 (PE): Parity Error*/
#define FE 0x04
/*Bit 3 (FE): Framing Error*/
#define BI 0x10
/*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/
#define THRE 0x20
/*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/
#define TEMT 0x40
/*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */
#define RFE 0x80
/*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/
#define ESCAPE 27
/* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son
aproximaciones a los nominales)*/
#define velocidad_50
2304
/*Velocidad 50 bps*/
#define velocidad_75
1536
/*Velocidad 75 bps*/
#define velocidad_150
768
/*Velocidad 150 bps*/
#define velocidad_300
384
/*Velocidad 300 bps*/
202
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
velocidad_600
velocidad_1200
velocidad_2400
velocidad_4800
velocidad_9600
velocidad_19200
velocidad_56000
velocidad_128000
192
96
48
24
12
6
2
1
Francisco Sivianes Castillo
/*Velocidad 600 bps*/
/*Velocidad 1.200 bps*/
/*Velocidad 2.400 bps*/
/*Velocidad 4.800 bps*/
/*Velocidad 9.600 bps*/
/*Velocidad 19.200 bps*/
/*Velocidad 56.000 bps*/
/*Velocidad 128.000 bps*/
void main(void)
{
unsigned char a,c,configuracion,caracter=1;
unsigned int velocidad,terminar=0;
/* Configurar velocidad */
a=inportb(LCR);
a=a|DLAB; /* Pone DLAB=1 */
outportb(LCR,a);
velocidad=velocidad_600;
outportb(DLL,velocidad&0xFF);
outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF);
/* Configurar paridad, longitud y stop */
a=a&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/
configuracion=longitud_7|bitsparada_2|paridad_si|paridad_impar;
outportb(LCR,configuracion);
/* Deshabilita interrupciones */
outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/
/* Transmitir de forma continua dos caracteres seguido de pausa */
while(1 && !terminar)
{
a=inportb(LSR);
if(a&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/
{
if(caracter==1)
{
outportb(THR,0x52); /* Envía el primer carácter*/
caracter=2;
}
else
{
outportb(THR,0x25); /* Envía el segundo carácter*/
caracter=1;
delay(1000); /* Espera en milisegundos*/
}
}
if(a&DR) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/
{
c=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/
printf("%x; ",c);
}
if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/
if(getch()==ESCAPE) terminar=1;
}
}
203
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
204
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
1.- Descripción de la práctica
Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de
la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40
Khz. de frecuencia. Determinar:
a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro.
b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del
25%, 12% y 1%.
c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%.
d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro.
e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro.
f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
4066
+
+
R2
-
Vin
C2
R1
C1
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales (2 señales independientes)
• Osciloscopio
• Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios
• Interruptor analógico 4066
• Amplificador operacional 741
• 2 resistencias de 10KΩ
• 2 condensadores de 1 nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en el ejercicio de
laboratorio LTC-11.
205
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
Apartados a) y b)
Arm.
Khz.
2
42
82
122
162
202
242
282
322
362
402
dc=50%
Teór.
Exp.
dc=25%
Teór.
Exp.
dc=12.5%
Teór.
Exp.
dc=1%
Teór.
Exp.
Apartado c)
Arm.
Khz.
2
42
82
122
162
202
242
282
322
362
402
dc=1%
Teór.
Exp.
Apartado d)
Armónicos
Original
Teórico
Original/2 y
filtrado
2 Khz.
206
Recuperado
Experimental
Recuperado
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado e)
Teórico
Original
filtrado
Armónicos
Original
Recuperado
Experimental
Recuperado
2 Khz.
Apartado f)
Arm.
Orig.
(dBV)
Filt.
(dBV)
Recup.
(10Khz)
Teor.
Exp.
Recup.
(20Khz)
Teor.
Exp.
Recup.
(30Khz)
Teor.
Exp.
2 Khz.
Arm.
Orig.
(dBV)
Filt.
(dBV)
Recup.
(40Khz)
Teor.
Exp.
Recup.
(50Khz)
Teor.
Exp.
2 Khz.
207
Recup.
(60Khz)
Teor.
Exp.
Recup.
(70Khz)
Teor.
Exp.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-11: DIGITALIZACIÓN DE UNA SEÑAL SENOIDAL
1.- Descripción de la práctica
Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de
la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40
Khz. de frecuencia. Determinar:
a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro.
b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del
25%, 12% y 1%.
c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%.
d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro.
e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro.
f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
4066
+
+
R2
-
Vin
C2
R1
C1
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales (2 señales independientes)
• Osciloscopio
• Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios
• Interruptor analógico 4066
• Amplificador operacional 741
• 2 resistencias de 10KΩ
• 2 condensadores de 1 nF
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-24
208
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Apartado a)
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4
representa (en amarillo) la seña original (la triangular), la señal de muestreo (en violeta)
y la señal muestreada (en azul).
Figura 1. Muestreo de señales
En las gráficas siguientes se refleja un detalle de la señal muestreada (figura 2), así
como los correspondientes espectros de la seña original (figura 3) y de la señal
muestreada (figura 4 y figura 5).
Podemos observar cómo el espectro de la señal original es el típico de una señal
senoidal, mientras que para la señal muestreada aparece el espectro repetido y duplicado
para cada múltiplo de la frecuencia de la señal de muestreo (40 Khz, 80 Khz, etc.)
Observamos también cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene
una amplitud diferente de acuerdo con lo esperado teóricamente.
209
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Señal muestreada (detalle)
Figura 3. Espectro de la señal original
210
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 4. Espectro de la señal muestreada
Figura 5. Espectro de la señal muestreada (detalle)
211
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado b)
En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y sus espectros para
distintos valores del duty-cycle (dc)
Figura 6. Señal muestreada (dc=50%)
Figura 7. Espectro señal muestreada
(dc=50%)
Figura 8. Señal muestreada (dc=25%)
Figura 9. Espectro señal muestreada
(dc=25%)
Figura 10. Señal muestreada (dc=12%)
Figura 11. Espectro señal muestreada
(dc=12%)
212
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 12. Señal muestreada (dc=1%)
Figura 13. Espectro señal muestreada
(dc=1%)
Observamos cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene una
amplitud diferente según el valor del duty-cycle, de acuerdo con lo esperado
teóricamente. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo,
expresados en dBV, son los siguientes
Arm.
Khz.
2
dc=50%
Teór.
Exp.
4.95
4.8
dc=25%
Teór.
Exp.
-1.07
-1.2
dc=12.5%
Teór.
Exp.
-7.09
-7.2
dc=1%
Teór.
Exp.
-29.03
-28.8
Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los
siguientes
Arm.
Khz.
2
42
82
122
162
202
242
282
322
362
402
dc=50%
Teór.
Exp.
4.95
4.8
1.03
0.8
-∞
-36
-8.52
-9.2
-∞
-37.6
-12.95
-14.0
-∞
-37.6
-15.88
-18.0
-∞
-36.0
-18.06
-21.2
-∞
-31.6
dc=25%
Teór.
Exp.
-1.07
-1.2
-1.98
-2.0
-4.99
-5.2
-11.53
-12.4
-∞
-30.8
-15.96
-15.6
-14.54
-15.2
-18.89
-20.4
-∞
-28.0
-21.07
-21.2
-18.97
-20.4
dc=12.5%
Teór.
Exp.
-7.09
-7.2
-7.32
-7.6
-8.00
-8.4
-9.20
-9.6
-11.02
-11.2
-13.64
-13.6
-17.55
-17.2
-24.22
-23.2
-∞
-36.0
-26.40
-27.2
-21.98
-22.0
dc=1%
Teór.
Exp.
-29.03
-28.8
-29.03
-29.6
-29.04
-30.0
-29.04
-30.4
-29.05
-30.8
-29.07
-31.2
-29.08
-32.0
-29.10
-33.6
-29.12
-34.8
-29.15
-37.2
-29.17
-39.2
Apartado c)
Cuando se realiza el muestreo plano la señal original y muestreada toman la forma de la
figura 14. El espectro de la señal muestreada aparece en la figura 15
213
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 14. Señal original y muestreada (muestreo plano)
Figura 15. Espectro de la señal muestreada (muestreo plano)
214
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo, expresados
en dBV, son los siguientes
Arm.
Khz.
2
dc=1%
Teór.
Exp.
10.93
10.8
Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los
siguientes
Arm.
Khz.
2
42
82
122
162
202
242
282
322
362
402
dc=1%
Teór.
Exp.
10.93
10.8
-15.51
-15.6
-21.33
-21.6
-24.79
-24.8
-27.26
-27.2
-29.19
-28.8
-30.77
-30.4
-32.12
-31.6
-33.29
-32.4
-34.34
-33.2
-35.27
-33.6
Apartado d)
Si filtramos la señal muestreada (muestreo natural) mediante un simple circuito RC
paso de baja de frecuencia de corte adecuada, podemos recuperar (aproximadamente) la
señal original. La frecuencia de corte en nuestro caso es
1
1
f 3dB =
=
= 15 '9 Khz
2π RC 2π ⋅104 ⋅10−9
En la figura 16 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal
recuperada aparece en la figura 17. Los valores teóricos y experimentales de los
armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:
Armónicos
Original
2 Khz.
10.97
Teórico
Original/2 y
filtrado
4.88
215
Recuperado
Experimental
Recuperado
4.88
4.4
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 16. Señal original y recuperada (muestreo natural)
Figura 17. Espectro de la señal original (dividido por 2) y de la recuperada (muestreo natural)
216
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Apartado e)
Si filtramos la señal muestreada (muestreo plano) mediante el mismo circuito
recuperador (un simple circuito RC paso de baja de frecuencia de corte 15’9 Khz),
podemos recuperar (aproximadamente) la señal original.
En la figura 18 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal
recuperada aparece en la figura 19. Los valores teóricos y experimentales de los
armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:
Armónicos
Original
2 Khz.
10.97
Teórico
Original
filtrado
10.90
Recuperado
Experimental
Recuperado
10.87
10.8
Figura 18. Señal original y recuperada (muestreo plano)
217
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 19. Espectro de la señal original y recuperada (muestreo plano)
Apartado f)
En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y recuperadas, así
como el espectro de la señal recuperada para distintos valores de la frecuencia de
muestreo (fs)
Figura 20. Señal original y recuperada
(fs=10Khz)
Figura 21. Espectro señal original y
recuperada (fs=10Khz)
218
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 22. Señal original y recuperada
(fs=20Khz)
Figura 23. Espectro señal original y
recuperada (fs=20Khz)
Figura 24. Señal original y recuperada
(fs=30Khz)
Figura 25. Espectro señal original y
recuperada (fs=30Khz)
Figura 26. Señal original y recuperada
(fs=40Khz)
Figura 27. Espectro señal original y
recuperada (fs=40Khz)
219
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 28. Señal original y recuperada
(fs=50Khz)
Figura 29. Espectro señal original y
recuperada (fs=50Khz)
Figura 30. Señal original y recuperada
(fs=60Khz)
Figura 31. Espectro señal original y
recuperada (fs=60Khz)
Figura 32. Señal original y recuperada
(fs=70Khz)
Figura 33. Espectro señal original y
recuperada (fs=70Khz)
220
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
En las tablas siguientes se estudia el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.
Arm.
Orig.
(dBV)
Filt.
(dBV)
2 Khz.
10.97
10.90
Arm.
Orig.
(dBV)
Filt.
(dBV)
2 Khz.
10.97
10.90
Recup.
(10Khz)
Teor.
Exp.
10.32
10.0
Recup.
(40Khz)
Teor.
Exp.
10.87
10.8
Recup.
(20Khz)
Teor.
Exp.
10.76
10.4
Recup.
(50Khz)
Teor.
Exp.
10.88
10.8
221
Recup.
(30Khz)
Teor.
Exp.
10.84
10.8
Recup.
(60Khz)
Teor.
Exp.
10.89
10.8
Recup.
(70Khz)
Teor.
Exp.
10.89
10.8
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-24
Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de
la figura. Como señal de muestreo se utiliza una señal cuadrada de 0 a 5 voltios y 40
Khz. de frecuencia. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal muestreada (muestreo natural) cuando la señal de
muestreo tiene un duty-cycle del 50%, 25%, 12’5% y 1%.
c) El espectro de la señal muestreada (muestreo plano) para un duty-cycle del 1%.
d) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo natural.
e) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo plano.
f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: Obtener los valores de cada una de las componentes espectrales en dBV RMS
(sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square).
R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
4066
+
+
R2
-
Vin
C2
R1
C1
Solución PTC0004-24
Apartado a)
Sabemos que la señal original que pretendemos muestrear puede representarse
genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de
Fourier de acuerdo con la expresión
f (t ) =
1 ∞
∑ c fne jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
c fn = ∫
T /2
−T / 2
f (t )e − jωn t dt
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un
único componente armónico) de valor
222
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
c fn =
Francisco Sivianes Castillo
AT
2
∀n = ±1
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
M fn =
c fn
T
+
c− fn
T
∀n > 0
y sustituyendo
M fn = A ∀n = 1
El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente
2.5
2
1.5
1
0.5
5
10
15
20
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores
esperados serán
M
M fndBVRMS = 20 log fn ∀n > 0
2
Los resultados son los siguientes
Frecuencia
2 Khz.
Armónico
10.97 dBV
Apartado b)
Llamando g(t) a la señal muestreada (muestreo natural) sabemos que su espectro vale
G (ω ) =
∞
∑d
i =−∞
c
⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ F (ω − iωs )
siendo dc el duty-cycle de la señal de muestreo. Análogamente
cgn =
∞
∑d
i =−∞
c
⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ c fn ,i
donde cfn,i corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original,
desplazados en frecuencia en la magnitud i·fs. Análogamente, para los armónicos
podemos escribir
223
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
∞
M gn = ∑ d c ⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ M fn ,i
i =0
El espectro de amplitud de la señal muestreada se representa para frecuencias positivas
en la figura siguiente para un duty-cycle del 50 y del 25% respectivamente.
1.2
0.6
1
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
20
40
60
80
100
120
140
20
40
60
80
100
120
140
Igualmente las figuras siguientes muestran el espectro de la señal muestreada para un
duty-cycle del 12’5 y del 1% respectivamente.
0.3
0.025
0.25
0.02
0.2
0.015
0.15
0.01
0.1
0.005
0.05
20
40
60
80
100
120
20
140
40
60
80
100
120
Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes
Lóbulo
1
Armónicos
2 Khz.
dc=50%
4.95 dBV
dc=25%
-1.07 dBV
dc=12.5%
-7.09 dBV
dc=1%
-29.03 dBV
Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
224
140
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Lóbulo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Armónicos
2 Khz.
42 Khz.
82 Khz.
122 Khz.
162 Khz.
202 Khz.
242 Khz.
282 Khz.
322 Khz.
362 Khz.
402 Khz.
Francisco Sivianes Castillo
dc=50%
4.95 dBV
1.03 dBV
-∞ dBV
-8.52 dBV
-∞ dBV
-12.95 dBV
-∞ dBV
-15.88 dBV
-∞ dBV
-18.06 dBV
-∞ dBV
dc=25%
-1.07 dBV
-1.98 dBV
-4.99 dBV
-11.53 dBV
-∞ dBV
-15.96 dBV
-14.54 dBV
-18.89 dBV
-∞ dBV
-21.07 dBV
-18.97 dBV
dc=12.5%
-7.09 dBV
-7.32 dBV
-8.00 dBV
-9.20 dBV
-11.02 dBV
-13.64 dBV
-17.55 dBV
-24.22 dBV
-∞ dBV
-26.40 dBV
-21.98 dBV
dc=1%
-29.03 dBV
-29.03 dBV
-29.04 dBV
-29.04 dBV
-29.05 dBV
-29.07 dBV
-29.08 dBV
-29.10 dBV
-29.12 dBV
-29.15 dBV
-29.17 dBV
Apartado c)
Llamando gh(t) a la señal muestreada (muestreo plano) sabemos que, cuando el ancho
del pulso de muestreo es muy pequeño, su espectro vale
1
 T 
Gh (ω ) = Sa  ω s  ⋅ G (ω )
dc  2 
Gh (ω ) =
1
 T
Sa  ω s
dc  2
Gh (ω ) =
 ∞
 ⋅ ∑ d c ⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ F (ω − iωs )
 i =−∞
∞
 T 
∑ Sa  ω 2  ⋅ Sa ( iπ d ) ⋅ F (ω − iω )
s
c
i =−∞
s
Análogamente
∞
 T
M ghn = ∑ Sa  ω s
 2
i=0

 ⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ M fn ,i

El espectro de amplitud de la señal muestreada (muestreo plano) se representa para
frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.
2.5
2
1.5
1
0.5
20
40
60
80
100
120
140
En la gráfica anterior aparecen reflejadas dos líneas discontinuas. La primera de ellas (la
superior en la gráfica) corresponde al factor
225
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Sa ( iπ d c )
para un duty-cycle del 1%, mientras que la segunda (la inferior en la gráfica)
corresponde al factor
 T 
Sa  ω s 
 2
Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes
Lóbulo
1
Armónicos
2 Khz.
dc=1%
10.93 dBV
Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
Lóbulo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Armónicos
2 Khz.
42 Khz.
82 Khz.
122 Khz.
162 Khz.
202 Khz.
242 Khz.
282 Khz.
322 Khz.
362 Khz.
402 Khz.
dc=1%
10.93 dBV
-15.51 dBV
-21.33 dBV
-24.79 dBV
-27.26 dBV
-29.19 dBV
-30.77 dBV
-32.12 dBV
-33.29 dBV
-34.34 dBV
-35.27 dBV
Apartado d)
En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya
función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale
1
H (ω ) =
1 + jω RC
con una frecuencia de corte de 3dB de valor
1
1
f 3dB =
=
= 15'9 Khz
2π RC 2π 10410−9
Llamando r(t) a la señal recuperada (después del muestreo natural) tenemos que
R(ω ) = G (ω ) ⋅ H (ω )
R(ω ) =
∞
∑d
i =−∞
c
⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ F (ω − iωs ) ⋅ H (ω )
y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la
recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos
escribir
R(ω ) ≈ d c ⋅ Sa ( 0π dc ) ⋅ F (ω − 0ωs ) ⋅ H (ω )
226
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
R(ω ) ≈ dc ⋅1⋅ F (ω ) ⋅ H (ω )
R(ω ) ≈ d c ⋅ F (ω )
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
∞
M rn = ∑ d c ⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ M fn ,i ⋅ H (ω )
i =0
El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo natural) se representa para
frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 50%.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son los siguientes
Armónicos
Original
2 Khz.
10.97 dBV
Original/2 y
filtrado
4.88 dBV
Recuperado
4.88 dBV
Apartado e)
En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya
función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale
1
H (ω ) =
1 + jω RC
Llamando rh(t) a la señal recuperada (después del muestreo plano) tenemos que
Rh (ω ) = Gh (ω ) ⋅ H (ω )
Rh (ω ) =
∞
 T 
∑ Sa  ω 2  ⋅ Sa ( iπ d ) ⋅ F (ω − iω ) ⋅ H (ω )
s
c
i =−∞
s
y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la
recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos
escribir
 T 
Rh (ω ) ≈ Sa  ω s  ⋅ Sa ( 0π d c ) ⋅ F (ω − 0ωs ) ⋅ H (ω )
 2
227
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
 T
Rh (ω ) ≈ Sa  ω s
 2

 ⋅1 ⋅ F (ω ) ⋅ H (ω )

 T 
Rh (ω ) ≈ Sa  ω s  ⋅ F (ω )
 2
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
∞
 T 
M rhn = ∑ Sa  ω s  ⋅ Sa ( iπ d c ) ⋅ M fn ,i ⋅ H (ω )
 2
i =0
El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo plano) se representa para
frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.
5
4
3
2
1
5
10
15
20
En la gráfica anterior aparecen reflejadas mediante línea discontinua el valor para una
recuperación ideal. Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son
los siguientes
Armónicos
Original
2 Khz.
10.97 dBV
Original
Filtrado
10.90 dBV
Recuperado
10.87 dBV
Apartado f)
Si en el caso del muestreo plano utilizamos otras frecuencias de muestreo, los datos de
la recuperación son distintos. En la tabla siguiente, obtenida numéricamente, se estudia
el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.
Arm.
2 Khz.
Orig.
(dBV)
10.97
Filt.
(dBV)
10.90
Recup.
(10Khz)
10.32
Recup.
(20Khz)
10.76
Recup.
(30Khz)
10.84
228
Recup.
(40Khz)
10.87
Recup.
(50Khz)
10.88
Recup.
(60Khz)
10.89
Recup.
(70Khz)
10.89
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN
229
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN
1.- Descripción de la práctica
1.1.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una
portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1.
Determinar l espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas amplitudes
de la señal modulante.
1.2.- Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una
portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1.
Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas
amplitudes de la señal modulante.
1.3.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una
portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es
de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas
desviaciones de frecuencia.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
NOTA 1: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente
expresión
1
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t )] cos (ω p t )
2
{
}
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida
para la portadora).
NOTA 2: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes
parámetros
• FM FUNC: SINE
• FM FREQ: 1 Khz
• FM DEVIA: 1 Khz
3.- Estudio teórico
El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de
laboratorios siguientes:
Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-20
Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-21
Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-23
230
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Hojas de resultados experimentales
4.1. Señal senoidal modulada en amplitud
Frecuencia
(en Khz.)
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.5
Teor.
Práct.
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.1
Teor.
Práct.
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.5
Teor.
Práct.
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.1
Teor.
Práct.
9 Khz.
10 Khz.
11 Khz.
4.2. Señal cuadrada modulada en frecuencia
Frecuencia
(en Khz.)
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
231
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.3. Señal senoidal modulada en frecuencia
Frecuencia
(en Khz)
∆f=0.1
Teor. Práct.
Armónicos (en dBV)
∆f=0.5
∆f=1
∆f=2
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
232
∆f=5
Teor. Práct.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-20: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL SENOIDAL
1.- Descripción de la práctica
Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora
senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal modulada.
c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente
expresión
1
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t )] cos (ω p t )
2
{
}
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida
para la portadora).
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-28
233
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa una señal modulante senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal
modulada en amplitud correspondiente.
Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)
Apartado a)
El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja
la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña
componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y
del osciloscopio.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más
importante por el efecto que introduce la escala logarítmica.
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
234
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)
235
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz.)
0 Khz.
1 Khz.
Francisco Sivianes Castillo
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-30.0
-3.01
-3.0
Apartado b)
El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia
que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz.
correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el
espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor
teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden
sensiblemente.
Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
Figura 4. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
236
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 5. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
Frecuencia
(en Khz.)
9 Khz.
10 Khz.
11 Khz.
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
4.95
5.6
10.97
11.0
4.95
5.6
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.5
Teor.
Práct.
-1.07
-0.6
10.97
11.0
-1.07
-0.6
Apartado c)
237
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.1
Teor.
Práct.
-15.05
-14.6
10.97
11.0
-15.05
-14.6
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 6. Señales (A=0.5V)
Figura 7. Espectro señal modulada (A=0.5V)
Figura 8. Señales (A=0.1V)
Figura 9. Espectro señal modulada (A=0.1V)
238
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-28
Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora
senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal modulada.
c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
Solución PTC0004-28
Apartado a)
Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una
función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la
expresión
f (t ) =
1 ∞
∑ c fne jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
c fn = ∫
T /2
−T / 2
f (t )e − jωn t dt
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un
único componente armónico) de valor
AT
2
c fn =
∀n = ±1
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
M fn =
c fn
T
+
c− fn
T
∀n > 0
y sustituyendo
M fn = A ∀n = 1
El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
239
8
10
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores
esperados serán
M
M fndBVRMS = 20 log fn ∀n > 0
2
Los resultados son los siguientes
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
1 Khz.
-3.01 dBV
Apartado b)
Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t ) ] cos (ω p t )
siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente
10
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-5
-10
Para calcular su espectro escribimos
g (t ) = Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t )
G (ω ) = F [ g (t ) ] = F  Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
G (ω ) = F  Ap cos (ω p t )  + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será
P(ω ) = F  Ap cos (ω p t ) 
de donde
G (ω ) = P(ω ) + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
Por otra parte, el segundo sumando vale
G2 (ω ) = F  Ap m f (t ) cos (ω p t )  =
240
∞
∫ A m f (t ) cos (ω t ) e
p
−∞
p
− jωt
dt
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
G2 (ω ) =
Francisco Sivianes Castillo
∞
∫ A m f (t )
e
jω p t
p
−∞
G2 (ω ) =
Ap m
2
∞
∫
f (t )e
(
)
− j ω −ω p t
+e
2
dt +
−∞
G2 (ω ) =
Ap m
G2 (ω ) =
2
F (ω − ω p ) +
− jω p t
∞
Ap m
2
Ap m
2
e − jωt dt
∫
f (t )e
(
)
− j ω +ω p t
dt
−∞
F (ω + ω p )
Ap m
 F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2 
Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale
Am
G (ω ) = P(ω ) + p  F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2
Análogamente
cgn = c pn +
Ap m
2
c fn ,ω p +
Ap m
2
c fn ,−ω p
donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original,
desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los
coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la
magnitud -fp. Análogamente, para los armónicos podemos escribir
Am
Am
M gn = M pn + p M fn ,ω p + p M fn ,−ω p
2
2
expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al
espectro de la modulante centrado en ωp.
El espectro de amplitud de la señal modulada para frecuencias positivas se refleja en la
figura siguiente
2.5
2
1.5
1
0.5
5
10
15
Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes
241
20
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
9 Khz.
10 Khz.
11 Khz.
4.95 dBV
10.97 dBV
4.95 dBV
Apartado c)
En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de
la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.
2.5
6
2
4
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-6
5
10
15
20
5
10
15
20
2.5
4
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
Los valores numéricos de los armónicos son
Frecuencia
(en Khz.)
9 Khz.
10 Khz.
11 Khz.
Armónico (en dBV)
A=1V
A=0.5V
A=0.1V
4.95 dBV
-1.07 dBV -15.05 dBV
10.97 dBV 10.97 dBV 10.97 dBV
4.95 dBV
-1.07 dBV -15.05 dBV
242
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-21: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL CUADRADA
1.- Descripción de la práctica
Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora
senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal modulada.
c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente
expresión
1
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t )] cos (ω p t )
2
{
}
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida
para la portadora).
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-29
243
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa una señal modulante cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal
modulada en amplitud correspondiente.
Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)
Apartado a)
El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja
la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña
componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y
del osciloscopio.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más
importante por el efecto que introduce la escala logarítmica.
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
244
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)
245
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz.)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Francisco Sivianes Castillo
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-40.4
-0.91
-1.0
-∞
-44.2
-10.45 -10.4
-∞
-44.2
-14.89 -14.4
-∞
-44.6
-17.81 -17.6
-∞
-44.2
-20.00 -19.6
-∞
-44.2
Apartado b)
El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia
que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz.
correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el
espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor
teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden
sensiblemente.
Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
246
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 4. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
Figura 5. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
247
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz.)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Francisco Sivianes Castillo
Armónicos(dBV)
Amplitud=1
Teor.
Práct.
-∞
-14.4
-6.85
-6.0
-∞
-41.8
-6.11
-5.2
-∞
-43.0
-4.43
-3.6
-∞
-46.0
-1.08
-0.4
-∞
-46.0
7.49
8.2
10.97
10.8
7.45
7.2
-∞
-46.0
-1.43
-3.4
-∞
-43.0
-5.35
-8.8
-∞
-46.0
-7.85
-12.8
-∞
-41.8
-9.69
-16.0
-∞
-44.0
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.5
Teor.
Práct.
-∞
-16.8
-12.87
-12.8
-∞
-32.8
-12.13
-12.2
-∞
-32.0
-10.45
-10.2
-∞
-30.6
-7.10
-6.6
-∞
-33.0
1.47
2.0
10.97
10.8
1.43
1.4
-∞
-34.8
-7.45
-8.8
-∞
-32.8
-11.37
-13.6
-∞
-41.8
-13.87
-16.8
-∞
-36.0
-15.71
-19.2
-∞
-29.4
Armónicos(dBV)
Amplitud=0.1
Teor.
Práct.
-∞
-23.0
-26.85
-27.6
-∞
-50.0
-26.11
-26.8
-∞
-38.4
-24.43
-23.2
-∞
-44.0
-21.08
-21.0
-∞
-47.0
-12.51
-11.8
10.97
10.8
-12.55
-12.4
-∞
-50.0
-21.43
-21.6
-∞
-53.0
-25.35
-27.4
-∞
-43.0
-27.85
-29.8
-∞
-53.0
-29.69
-31.8
-∞
-36.8
Apartado c)
Figura 6. Señales (A=0.5V)
Figura 7. Espectro señal modulada (A=0.5V)
248
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 9. Espectro señal modulada (A=0.1V)
Figura 8. Señales (A=0.1V)
249
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-29
Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora
senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal modulada.
c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
Solución PTC0004-29
Apartado a)
Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una
función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la
expresión
f (t ) =
1 ∞
∑ c fne jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
c fn = ∫
T /2
−T / 2
f (t )e − jωn t dt
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-08)
 d
c fn = 2 AdSa  ωn  ∀n > 0
 2
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
M fn =
c fn
T
+
c− fn
T
∀n > 0
y sustituyendo
 nπ 
M fn = 2 ASa 

 2 
∀n > 0
El espectro de amplitud se refleja en la figura siguiente
250
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-10
-5
5
10
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores
esperados serán
M
M fndBVRMS = 20 log fn ∀n > 0
2
Los resultados son los siguientes
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-∞
-0.91
-∞
-10.45
-∞
-14.89
-∞
-17.81
-∞
-20.00
-∞
Apartado b)
Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t ) ] cos (ω p t )
siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente
10
5
0.5
1
1.5
-5
-10
251
2
2.5
3
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Para calcular su espectro escribimos
g (t ) = Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t )
G (ω ) = F [ g (t ) ] = F  Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
G (ω ) = F  Ap cos (ω p t )  + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será
P(ω ) = F  Ap cos (ω p t ) 
de donde
G (ω ) = P(ω ) + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
Por otra parte, el segundo sumando vale
G2 (ω ) = F  Ap m f (t ) cos (ω p t )  =
G2 (ω ) =
∞
∫ A m f (t )
e
∞
∫ A m f (t ) cos (ω t ) e
p
Ap m
jω p t
p
2
∞
∫
f (t )e
(
)
− j ω −ω p t
+e
2
dt +
−∞
G2 (ω ) =
Ap m
G2 (ω ) =
2
dt
−∞
−∞
G2 (ω ) =
− jωt
p
F (ω − ω p ) +
− jω p t
∞
Ap m
2
Ap m
2
e − jωt dt
∫
f (t )e
(
)
− j ω +ω p t
dt
−∞
F (ω + ω p )
Ap m
 F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2 
Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale
Am
G (ω ) = P(ω ) + p  F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2
Análogamente
cgn = c pn +
Ap m
2
c fn ,ω p +
Ap m
2
c fn ,−ω p
donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original,
desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los
coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la
magnitud -fp.
252
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
En las figuras siguientes se reflejan respectivamente cada uno de los dos sumandos del
espectro de amplitud de la señal modulada, cfn,-ωp y cfn,ωp.
-20
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-10
10
20
-20
-10
10
20
El espectro de amplitud completo de la señal modulada, cgn, se refleja en la figura
siguiente
2.5
2
1.5
1
0.5
-20
-10
10
20
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
Am
Am
M gn = M pn + p M fn ,ω p + p M fn ,−ω p
2
2
expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al
espectro de la modulante centrado en ωp.
Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes
253
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-∞
-6.85
-∞
-6.11
-∞
-4.43
-∞
-1.08
-∞
7.49
10.97
7.45
-∞
-1.43
-∞
-5.35
-∞
-7.85
-∞
-9.69
-∞
Apartado c)
En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de
la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.
2.5
6
2
4
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
-4
0.5
-6
-20
254
-10
10
20
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
2.5
4
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-20
-10
Los valores numéricos de los armónicos son
Armónico (en dBV)
Frecuencia
(en Khz.)
A=1V
A=0.5V
0
-∞
-∞
1
-6.85
-12.87
2
-∞
-∞
3
-6.11
-12.13
4
-∞
-∞
5
-4.43
-10.45
6
-∞
-∞
7
-1.08
-7.10
8
-∞
-∞
9
7.49
1.47
10
10.97
10.97
11
7.45
1.43
12
-∞
-∞
13
-1.43
-7.45
14
-∞
-∞
15
-5.35
-11.37
16
-∞
-∞
17
-7.85
-13.87
18
-∞
-∞
19
-9.69
-15.71
20
-∞
-∞
255
10
A=0.1V
-∞
-26.85
-∞
-26.11
-∞
-24.43
-∞
-21.08
-∞
-12.51
10.97
-12.55
-∞
-21.43
-∞
-25.35
-∞
-27.85
-∞
-29.69
-∞
20
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
PRÁCTICA LTC-23: MODULACIÓN EN FRECUENCIA: SEÑAL SENOIDAL
1.- Descripción de la práctica
Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora
senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz.
Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas
desviaciones de frecuencia.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales
• Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes
parámetros
• FM FUNC: SINE
• FM FREQ: 1 Khz
• FM DEVIA: 1 Khz
3.- Estudio teórico
El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-31
256
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
4.- Resultados
Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1
representa la señal modulada en frecuencia.
Figura 1. Señal modulada (FM)
El espectro de amplitud de la señal modulada (FM) en escala lineal tiene la apariencia
que refleja la figura 2 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz.
correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el
espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor
teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden
sensiblemente.
Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala
logarítmica (dBV RMS).
Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la
práctica se recogen en las siguientes tablas.
257
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
258
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Frecuencia
(en Khz)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
∆f=0.1
Teor. Práct.
-374 -25.4
-328 -53.0
-283 -53.0
-239 -49.0
-196 -53.0
-155 -59.0
-115 -47.0
-76.7 -56.0
-41.1 -42.0
-9.04 -9.60
17.0
17.2
-9.04 -10.2
-41.1 -42.2
-76.6 -52.0
-115 -59.0
-155 -59.0
-196 -59.0
-239 -59.0
-283 -56.0
-328 -56.0
-374 -56.0
Francisco Sivianes Castillo
Armónicos (en dBV)
∆f=0.5
∆f=1
∆f=2
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
-235 -26.8 -175 -26.4 -115 -25.2
-203 -49.0 -149 -52.0 -95.1 -52.0
-172 -47.8 -124 -47.0 -76.1 -56.0
-141 -49.0 -99.5 -41.2 -58.2 -41.0
-112 -49.4 -76.6 -52.0 -41.4 -40.6
-84.9 -59.0 -55.5 -53.0 -26.1 -26.8
-58.9 -59.0 -35.1 -34.4 -12.4 -12.6
-34.8 -35.0 -17.2 -18.4 -0.80 -2.40
-13.3 -15.8 -1.80 -4.40 7.94
5.40
4.68
4.40
9.86
9.20
12.2
11.8
16.4
16.6
14.6
14.6
3.99
4.00
4.68
3.40
9.86
8.80
12.2
11.0
-13.3 -16.2 -1.80 -4.80 7.94
4.60
-34.8 -34.2 -17.2 -17.6 -0.80 -1.20
-58.9 -52.0 -35.1 -35.2 -12.4 -12.4
-84.9 -50.0 -55.1 -47.0 -26.1 -27.2
-112 -56.0 -76.6 -59.0 -41.4 -41.8
-141 -52.0 -99.5 -52.0 -58.2 -52.0
-172 -53.0 -124 -52.0 -76.1 -50.0
-203 -53.0 -149 -56.0 -95.1 -56.0
-235 -52.0 -175 -49.0 -115 -59.0
∆f=5
Teor. Práct.
-39.7 -27.0
-28.2 -28.6
-17.7 -18.0
-8.46 -10.6
-0.66 -3.00
5.33
4.80
8.84
8.80
8.23
6.60
-9.65 -12.8
7.30
7.00
1.98
2.00
7.30
6.20
-9.65 -13.6
8.23
7.60
8.84
9.00
5.33
4.40
-0.66 -4.20
-8.46 -9.40
-17.7 -17.4
-28.2 -28.4
-39.7 -42.4
En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando
la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.
Figura 4. Espectro señal modulada (∆f=0.1)
Figura 5. Espectro señal modulada (∆f=0.5)
259
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Figura 7. Espectro señal modulada (∆f=2)
Figura 6. Espectro señal modulada (∆f=1)
260
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Problema PTC0004-31
Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora
senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz.
Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas
desviaciones de frecuencia.
Solución PTC0004-31
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) la señal modulante es una función
periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
f (t ) = A cos(ω f t ) =
1 ∞
cn e jωnt
∑
T n =−∞
en la que los coeficientes son nulos excepto para
c fn =
AT f
2
∀n = ±1
por lo que el espectro de amplitud de la señal modulante para frecuencias positivas es el
siguiente
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale
c
c
M fn = n + − n ∀n > 0
Tf
Tf
En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale
c
c
1 AT f
1 AT f
M f 1 = 1 + −1 =
+
=A
Tf
Tf
Tf 2
Tf 2
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los
valores esperados serán
M
M fndBVRMS = 20 log fnRMS
1
261
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
M fn

∀n > 0
 M fndBVRMS = 20 log
2

M
 fndBVRMS = 20 log M fn ∀n = 0
Lo que se traduce en nuestro caso en la tabla siguiente
Frecuencia
1 Khz.
Armónico
-3.01 dBV
Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
g (t ) = Ap cos θ ( t ) 
El ángulo de la expresión anterior está ligado con la frecuencia instantánea mediante
dθ ( t )
ωi = 2π fi ≡
dt
o, inversamente,
θ ( t ) = ∫ ωi dt = ∫ 2π f i dt
expresión en el que la frecuencia instantánea vale
f i = f p + k ⋅ f (t ) = f p + k ⋅ A cos ( 2π f f t )
La máxima desviación de la pulsación angular (y de frecuencia) se produce cuando el
coseno en la expresión anterior vale 1 (o -1), por lo que podemos calcular la constante
mediante
k ⋅ A = ∆f
k=
Sustituyendo tenemos
fi = f p +
El ángulo vale pues
∆f
A
∆f
⋅ A cos ( 2π f f t ) = f p + ∆f cos ( 2π f f t )
A
θ ( t ) = ∫ 2π fi dt = ∫ 2π  f p + ∆f cos ( 2π f f t )  dt
θ ( t ) = ∫ 2π f p dt + ∫ 2π∆f cos ( 2π f f t ) dt
θ ( t ) = 2π f pt +
2π∆f
sen ( 2π f f t )
2π f f
θ ( t ) = 2π f pt +
∆f
sen ( 2π f f t )
ff
262
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
Por lo tanto la señal modulada en frecuencia vale


∆f
g (t ) = Ap cos θ ( t )  = Ap cos  2π f p t +
sen ( 2π f f t ) 
ff


Su representación gráfica para una desviación de frecuencia de 5 Khz es la siguiente
10
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-5
-10
Por otra parte sabemos que la señal modulada en frecuencia admite un desarrollo en
serie del tipo
{
+ A J ( β ) {cos (ω
− A J ( β ) {cos (ω
}
g (t ) = Ap J 0 ( β ) cos ω p t  − Ap J1 ( β ) cos (ω p − ω f ) t  − cos (ω p + ω f ) t 
p
2
p
p
3
p
}
− 3ω ) t  − cos (ω + 3ω ) t }
− 2ω f ) t  − cos (ω p + 2ω f ) t 
f
p
f
+L
Cada uno de esos sumandos supone un armónico de valor
M gn = Ap J n ( β )
con un espectro que es simétrico y está centrado en la frecuencia portadora. En esta
expresión se denomina
∆ω ∆f
β=
=
ff
ωf
al índice de modulación, y Jn(β) a la función de Bessel de primera clase. En nuestro
caso, se afirma en el enunciado que la desviación de frecuencia es de 5 kHz por lo que
∆f = 5 Khz
y, por tanto,
β=
∆f 5 Khz
=
=5
f m 1 Khz
Las funciones de Bessel de primera clase para este índice de modulación, dependen
exclusivamente de n, lo que se recoge en la tabla y gráfica siguientes:
263
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Francisco Sivianes Castillo
Jn(β); β=1
-0,178
-0,328
0,047
0,365
0,391
0,261
0,131
0,053
0,018
0,006
0,001
-
Jn H β L
0.4
0.2
n
2
4
6
8
10
-0.2
lo que, multiplicado por la amplitud de la portadora, nos da que el espectro de amplitud
de la señal modulada para frecuencias positivas que es el siguiente
2
1.5
1
0.5
5
10
15
20
En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando
la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.
264
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5
10
15
5
20
10
15
20
2.5
3
2
1.5
2
1
1
0.5
5
10
15
5
20
10
15
Los valores numéricos de los armónicos son
Frecuencia
0 Khz.
1 Khz.
2 Khz.
3 Khz.
4 Khz.
5 Khz.
6 Khz.
7 Khz.
8 Khz.
9 Khz.
10 Khz.
11 Khz.
12 Khz.
13 Khz.
14 Khz.
15 Khz.
16 Khz.
17 Khz.
18 Khz.
19 Khz.
20 Khz.
∆f=0.1Khz
-374,41
-328,39
-283,29
-239,21
-196,28
-154,70
-114,70
-76,64
-41,08
-9,04
16,97
-9,04
-41,08
-76,64
-114,70
-154,70
-196,28
-239,21
-283,29
-328,39
-374,41
Armónicos (en dBV)
∆f=0.5Khz
∆f=1Khz
∆f=2Khz
-234,67
-174,61
-115,00
-202,63
-148,61
-95,08
-171,51
-123,53
-76,09
-141,42
-99,48
-58,15
-112,48
-76,59
-41,41
-84,89
-55,06
-26,06
-58,89
-35,13
-12,38
-34,83
-17,18
-0,80
-13,29
-1,80
7,94
4,68
9,86
12,21
16,44
14,67
3,99
4,68
9,86
12,21
-13,29
-1,80
7,94
-34,83
-17,18
-0,80
-58,89
-35,13
-12,38
-84,89
-55,06
-26,06
-112,48
-76,59
-41,41
-141,42
-99,48
-58,15
-171,51
-123,53
-76,09
-202,63
-148,61
-95,08
-234,67
-174,61
-115,00
265
∆f=5Khz
-39,68
-28,17
-17,71
-8,46
-0,66
5,33
8,84
8,23
-9,65
7,30
1,98
7,30
-9,65
8,23
8,84
5,33
-0,66
-8,46
-17,71
-28,17
-39,68
20
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
5. CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES
5.1.-CONCLUSIONES
Dentro de las competencias generales que se deben desarrollar para conseguir un
proyecto docente coherente para la formación de un futuro ingeniero, están la capacidad
para aplicar los conocimientos prácticos y la habilidad para realizar buenas medidas
experimentales; así como la capacidad para trabajar en equipo.
Dichas capacidades exigen la realización presencial de una buenas prácticas de
laboratorio dentro del proceso enseñanza – aprendizaje. En este sentido se hace
necesaria la elaboración de un conjunto de actividades de laboratorio, exigentes; pero a
la vez lo más autocontenidas posible que permitan al alumno, poder trabajar de forma
autónoma, pudiendo realizar de forma independiente las experiencias prácticas en
laboratorio, más allá de los horarios formales de las asignaturas; permitiendo una
flexibilidad de las necesarias horas presénciales en un laboratorio.
Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño
expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,
tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida
profesional.
Las Prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:
la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y
escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.
Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está
conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo
real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante
el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están
orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera
mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la
resolución de un problema particular.
266
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
5.2.-FUTURAS AMPLIACIONES
En este sentido las posibles ampliaciones del proyecto irían dirigidas en esta línea:
Elaboración de nuevas actividades prácticas que complementen y/o amplíen el catalogo
de actividades de laboratorio expuesto. Y aprovechando las nuevas tecnologías para el
apoyo de la docencia a través de Internet de la Universidad de Sevilla, elaborar con la
plataforma web disponible, un conjunto de herramientas útiles para la enseñanza a
través de Internet y que permitan por un lado complementar la docencia presencial y
favorecer la enseñanza a distancia y por otro facilitar el contacto entre el conjunto de
alumnos de la asignatura y entre estos y el profesorado.
267
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones
Francisco Sivianes Castillo
6. REFERENCIAS
[FREN03]
FRENZEL.
“Electrónica
Aplicada
a
los
Sistemas
de
las
Comunicaciones”. Alfaomega. 3ª Edición 2003.
[LAU03]
“Proyecto de Ley Andaluza de Universidades”. Parlamento de
Andalucía. 2003.
[LOU01]
“Ley Orgánica 6/2001, de 21 de diciembre, de Universidades”.
Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. B.O.E. de 24 de diciembre
de 2001.
[LRU83]
“Ley Orgánica, 11/1983, de 25 de agosto, de Reforma Universitaria”.
Ministerio de Educación y Cultura. B.O.E. de 11 de septiembre de 1983.
[MAND80]
Mandado, E.: "La enseñanza de la electrónica aplicada y su
metodología". Mundo Electrónico, no. 100, pp. 231-240, 1980.
[OPPE98]
ALAN V. OPPENHEIM, ALAN V. WILLSKY, S. HAMID NAWAD: “
Señales y Sistemas”. Pearson Educación. 2ª Edición 1998.
268