probabilidad, posibilidad, intuicionismo borroso

PROBABILIDAD, POSIBILIDAD, INTUICIONISMO BORROSO
ANÁLISIS CONCEPTUAL
Emilio A. M. Machado - María Angélica Carrizo
Facultad de Ciencias Económicas – Universidad de Buenos Aires
Resumen
Trataremos aquí la relación entre los espacios borrosos finitos en vista a sus
aplicaciones a la gestión y economía , y su relación con la teoría de probabilidades.
No nos explayamos en el análisis teórico de los conjuntos borrosos y su formulación
matemática remitiendo para ello a trabajos de Scarparo 1. Nuestras observaciones se
centran en las ideas básicas de Zadeh y sus aplicaciones en el discreto, en particular
en gestión y economía, como así también en lo desarrollado por Atanassov en sus
trabajos referentes a conjuntos fuzzy intuicionistas e intervalos fuzzy intuicionistas.
No analizamos la estructura matemática teórica segundo paso de todo conocimiento
( cfr. Apéndice : Santaló ( Precursor))
Palabras claves: Posibilidad, probabilidad, pertenencia, medida, conjuntos fuzzy
intuicionistas, intervalos fuzzy intuicionistas,subjetividad.
1. INTRODUCCIÓN
Desde hace tiempo un análisis de las ideas de Zadeh en su definición de posibilidad
[8] , nos han preocupado en su relación con la teoría de probabilidad.
Es bien sabido que Zadeh al definir conjunto borroso trata de medir el grado de
creencia racional en cuanto a que un elemento pertenezca a un conjunto A y no más
que esto. Ello, es probabilísticamente equivalente teniendo en cuenta la condición de
pertenencia al conjunto cerrado [ 0 , 1 ], a una variable aleatoria del tipo:
{ (1,p) ; (0,q) };
p+q=1
Esto vale para todos y cada uno de los elementos de un conjunto borroso
independientemente, y no corresponde por lo tanto asociación alguna entre estas
posibilidades o variables aleatorias de orden 2 que son independientes en probabilidad
en la definición de Zadeh. Esto hace que situaciones condicionadas no tenga una
influencia como ocurre con la prob ( a / b ) .
1
R Scarparo (Cuadernos CIMBAGE N.2 ) define: CONJUNTOS FUZZY,así: DEFINICION 1.1 Dado un
conjunto (ordinario) X no vacío , llamaremos conjunto fuzzy en X , o también , más propiamente ,
subconjunto fuzzy en X, a toda aplicación , A : X → [0,1].
. Para cada x ∈ A el valor A (x) se llama grado de pertenencia de x en el conjunto fuzzy A, y el conjunto
{x ∈ A / A(x) > 0 }, se llama el soporte de A y se anota
sop A.
. Los conjuntos fuzzy que toman únicamente los valores 0 ó 1 se llaman conjuntos fuzzy característicos o
conjuntos fuzzy crestas, en especial el conjunto fuzzy característico que para todo x ∈ X toma el valor 1
se lo anota 1X , y el conjunto fuzzy característico que para todo x ∈ X toma el valor 0 se lo anota 1∅. No
obstante la vigencia de esta notación es frecuente encontrar en otros textos que el conjunto fuzzy 1X se
anota con X ó con 1 y que el conjunto 1∅ se anota con ∅ ó con 0.
1
Un ejemplo clásico es el caso de “ persona anciana” cuya estructura es la del gráfico
siguiente
1
µ ( n)
v
k
donde a partir de cierta edad v es Pos ( k > v ) = 1
Esto es muy común en los problemas que nos ocupan.
Es evidente que la suma de las P ( a i ) , (posibilidades de las pertenencias) pueden
dar cualquier valor.
Se habla por otra parte, dados dos conjuntos A y B , de las posibilidades
P (A ∩ B )
y P (A ∪ B )
con definiciones concretas.
Estas son :
P A ∪ B ( x ) = max { P A (x) ; P B (x) } , ∀ x
P A ∩ B ( x ) = min { P A(x) ; P B (x) } , ∀ x
Esto presupone la pertenencia posible de puntos x simultánea para los conjuntos
borrosos A y B, lo que es claro cuando se analiza punto a punto, es decir cuando
para cada x se analizan las dos variables aleatorias.
Esto se ha querido aplicar al caso de un conjunto borroso A y su complementario A c
que no cumplen con lo presupuesto y que como variables aleatorias hay
complementaridad de las probabilidades.
Por definición cada elemento pertenece al conjunto A ó a su complementario A c ,
no a ambos: A ∩ A c = φ ; la borrosidad significa incertidumbre en la pertenencia a A
ó A c pero que pertenece a uno u otro es cierto. Es decir, la posibilidad marca la duda
en cuanto a la pertenencia pero no niega la veracidad en cuanto a que pertenece a
uno ú a otro, pero nó a ambos.
Esto ha llevado a interpretaciones conceptualmente falsas al analizar el significado de
P (A ∩ A c ) .
2. ANÁLISIS Y VINCULACIONES EN NUESTRO TRATAMIENTO
2
Hechas estas observaciones sobre la equivalencia entre la noción de posibilidad de
pertenencia de un punto a un conjunto y la de variable aleatoria de orden 2; vamos a
pasar a definir la noción de probabilidad asociada a un proceso borroso que
reduciremos a aquellos convexos y normales.
Por simplicidad consideremos un proceso discreto como el del gráfico y el número
borroso dibujado
1
1
a
b
c
Llamaremos en ambos casos
µ (x) la posibilidad del valor x ; dividiendo éstos valores por ;
∑
µ (x)
o por
c
∫a
µ ( x ) dx
Tenemos definida por la normalización efectuada una probabilidad subjetiva asociada
en el caso discreto y una densidad de probabilidad subjetiva asociada en el segundo,
lo que genera en ambos casos una variable aleatoria como consecuencia de un simple
cambio de escala vertical. No creemos necesario explicar aquí el instrumental
probabilístico de esos procesos. Como observación al margen tengamos en cuenta
que en el caso triangular la
c
∫a µ
(x) dx =
c− a
2
mitad de la longitud de la base.
Por otra parte podemos decir recordando la definición de probabilidad objetiva y
subjetiva ( Anexo 1 ) y la de Zadeh, que lo fundamental en la tesis de Zadeh es
mostrar el tratamiento de hechos no considerados, como es la generalización de la
3
noción de pertenencia; concepto no matemático si se quiere; que en nuestros
procesos en gestión y economía podemos tratar probabilísticamente - ya que de ello
se trata - sin ninguna restricción, teniendo cuidado de no perder de vista el concepto
básico, ya que nos podría llevar a errores importantes.
Con respecto a la relación conceptual entre Posibilidad y Probabilidad asociada es
conveniente analizar la consecuencia de la normalización.
En primer lugar el valor modal en particular si es uno en posibilidad que indica la
pertenencia cierta al conjunto nos lleva en la probabilidad asociada a un valor menor
no certeza de pertenencia al conjunto. Lo que se asegura en la probabilidad asociada
es que al menos uno de ellos pertenece al conjunto; concepto totalmente distinto.
Además de esto tiene sentido el cálculo de la probabilidad de la ocurrencia de alguno
al menos de un conjunto por suma de las correspondientes probabilidades lo que no
puede efectuarse en el cálculo de posibilidades; en este caso puede una suma dar
cualquier valor sin significado conceptual.
Esta diferencia marca claramente la diferente interpretación conceptual de estos dos
procesos; probabilístico y posibilístico.
Esto no impide la extrapolación de los resultados probabilísticos al dominio
posibilístico; en especial parámetros básicos del cálculo de probabilidades como son la
media, moda y mediana.
Esto es importante, por ejemplo, en el proceso de ordenamiento de números
borrosos.
Aceptada la correspondencia entre posibilidad en el sentido de Zadeh y probabilidad
subjetiva asociada, podemos definir y analizar la noción de Posibilidad condicionada
para situaciones ciertas o borrosas como ocurre en muchos problemas de gestión y
economía.
No vemos ningún inconveniente en mantener la calificación de Posibilidad de nivel α,
a la probabilidad subjetiva igual a α . La subjetividad es propia de los procesos que
nos preocupan. Es importante recordar que en el análisis elemental de la pertenencia
de n puntos a un conjunto en la definición de Zadeh se trata de n variables
aleatorias independientes y por lo tanto no se puede considerar las pertenencias
como integrantes de una variable aleatoria de orden ( n + 1 ) . Esto no impide que en
una definición ó tratamiento probabilístico podamos como dijimos tratar este problema
con relaciones de dependencias.
Este es el caso de muchos problemas en gestión y economía en que existe el "
contagio ", rigurosamente tratables mediante la probabilidad asociada.
La noción de posibilidad no considera la influencia de la pertenencia o posibilidad de
ello de un elemento sobre la posibilidad de otro, al menos en su primera definición;
esto es, no existe una Pos ( x ∈A ⁄ y ∈ A ) lo que corresponde a la p ( x ⁄ y ) con lo
que podemos encarar una generalización a traves de la probabilidad asociada.
Es importante ver como el uso de una probabilidad asociada a un proceso borroso
como es el ordenamiento de números borrosos permite encarar con recursos propios
del cálculo de probabilidades problemas que han conducido a situaciones discutibles.
También esta correspondencia pone a disposición de la teoría borrosa métodos
matemáticos rigurosamente desarrollados.
Una crítica en el sentido de que esto hay que demostrarlo es evidente frente al cambio
conceptual, pero se abre un camino que intuímos fructífero.
4
2.1 Conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov
Un párrafo aparte merecen los conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov.
Un conjunto de este tipo se define para un espacio E por:
A* =
{ x;µ
Donde µ
A
(x ); ν
A
( x)
| x∈ E }
A ( x) es el grado de pertenenci a al conjunto A
y ν A ( x ) idem a E − A con la condición de que
µA( x ) + ν A( x ) ≤ 1
Una primera observación es el problema de la valoración de la suma
µ (x)
+ ν (x)
para ello, el valor :
1− ( µ (x)
+ ν (x) )
es una medida de la " inseguridad " ó " dificultad implícita de la estimación subjetiva
o intuitiva ", resultado ésta, de información subconsciente [2] ; a dicha medida la
llamaremos entropía intuicionista, por ser una medida del “riesgo” en el sentido de
Shannon.
Esta idea de definir al valor 1 − ( µ ( x ) + ν ( x ) ) con el nombre de “entropía” ha
sido criticada al no ajustarse a las expresiones clásicas y corrientes de las nociones de
entropía. Pero si se piensa en el concepto básico de entropía; “ruido” ó si se quiere
borrosidad en la estimación subjetiva de los valores, la consideramos correcta.
Por otra parte, es también claro que en las utilizaciones concretas que se operan con
valor de pertenencia µ A ( x ), no tienen igual peso valores de distintos x en cuanto a
su inclusión en el universo [4], cuando ellos tienen entropías distintas. Será necesario
por lo tanto fijar niveles de aceptación a través de valores de la entropía.
Creemos conveniente tomar como posibilidad en las aplicaciones el valor normalizado:
µ
A
µ A (x)
(x) + ν A (x)
con lo cual volcamos los procesos intuicionistas a la teoría clásica
Corresponderá es claro fijar niveles de aceptación en las aplicaciones concretas. Para
ello podría adoptarse un criterio que mida la entropía para cada x ∈ A y para el
promedio, y lo compare con un nivel porcentual o por uno para la aceptación en las
aplicaciones
5
En concreto podemos fijar niveles ó porcentuales 0 % ( fuzzy Zadehianos ) , 1 %, 2 %
y 5 % de aceptación ó por uno: 0 ; 0,01; 0,02; 0,05 para
[ 1− ( µ (x)
+ ν (x) ) ]
para el tratamiento de los valores normalizados
µ
µ
A
(x)
A
(x) + ν
A
(x)
3. INTERVALOS BORROSOS INTUICIONISTAS, (IBI).
Pasamos ahora a analizar los intervalos borrosos intuicionistas de Atanassov [1]. Un
intervalo borroso intuicionista IBI, en un espacio E se define por:
A = ⎧
⎨
x,M
⎩
donde M
A
A
(x) ⊂
∀ x ∈ E : sup M
(x) , N
[ 0 ,1 ]
A
A
x ∈E
(x )
y N
}
( x ) ⊂ [ 0 ,1 ]
A
( x ) + sup N
A
son intervalos y
( x ) ≤ 1.
Obviamente , cuando cada uno de los intervalos
M
A
(x ) y N
A
( x ) contienen un elemento cada uno de ellos,
es decir, cuando ∀ x ∈ E :
µ A ( x ) = inf M A ( x ) = sup M A ( x ) ,
γ A ( x ) = inf N A ( x ) = sup N A ( x ) ,
el intervalo intuicionista se transforma en
un conjunto fuzzy intuicionista.
La condición:
sup M
A
( x ) + sup N
A
(x) ≤ 1
convierte de hecho el IBI en un conjunto borroso intuicionista y significa
simplemente que cuando para x existe una incertidumbre acotada, para la posibilidad
tomamos como tal su supremo sujeto a la condición de suma menor o igual que 1 .
La transformación del intervalo borroso intuicionista (IBI) en conjunto borroso
intuicionista permite trabajarlo como tal y marca para nosotros una
aparente
generalización conceptualmente obvia.
Creemos que los espacios de Atanassov y los procesos borrosos intuicionistas
merecen ser considerados al menos como una realidad conceptual en las aplicaciones
en las Ciencias Económicas.
3 CONCLUSIONES.
6
Al efectuar este análisis de la relación entre posibilidad en el sentido de Zadeh,
intuicionismo de Atanassov y probabilidad, hemos querido mostrar la íntima
vinculación entre estos conceptos lo que permite un mayor aprovechamiento de
procesos basados en la teoría de probabilidad en la gestión y economía que es lo que
fundamentalmente nos preocupa , sin limitarlo a éstas por el carácter de las
consideraciones hechas.
Han escapado quizás a nosotros detalles y otros hechos básicos que permitirían
corregir o mejorar lo aquí analizado.
ANEXO 1
-
ACERCA DE LA PROBABILIDAD
En todas las consideraciones que damos en este anexo, hemos seguido las ideas
expuestas en Landro [3], adonde remitimos para cualquier ampliación que se desée.
Nos interesa en forma breve destacar a nuestro juicio las diferencias notables acerca
de la probabilidad objetiva - según se considere la interpretación clásica, la
frecuencista, como teoría de la medida - y la probabilidad subjetiva.
_ Probabilidad objetiva
En el caso de la interpretación clásica se tiene que para un evento de un fenómeno
particular definido, esta interpretación está relacionada con el grado de creencia que
es razonable asignar como resultado definiendo la probabilidad como el cociente entre
el número de casos favorables y el número de casos posibles; se supone que todos
los resultados son excluyentes entre sí e igualmente probables.
Es importante entonces destacar que se supone para ellos equiprobabilidad.
Para considerar la Interpretación frecuencista se supone para ello que los fenómenos
considerados son repetibles, la probabilidad de ocurrencia de un resultado se define
como el límite de una razón entre el número de veces que se registró ese resultado y
el número total de observaciones repetidas.
Este planteo que constituye una teoría matemática presenta la dificultad del cálculo del
límite ya que se trata de una serie empírica.
Para una medida de probabilidad, en el caso de la probabilidad objetiva, recordemos la
definición axiomática que fue enunciada por Kolmogorov en 1933.
Se tiene a
X como un conjunto de sucesos . Llamamos eventos a ciertos
subconjuntos de sucesos.
Una familia o colección E, de subconjuntos de sucesos , si es no vacía y cumple:
1) ∀ A∈ E ∧ ∀ B ∈ E : A∪ B ∈ E
2) ∀ A ∈ E : Ac ∈ E
será llamada un álgebra de subconjuntos.
Una medida de la probabilidad de un evento A ∈ E es un número real que debe
satisfacer las siguientes propiedades:
I) p(A) ≥ 0
II ) p ( X ) = 1
( X = A∪Ac)
III) A ∩ B = ∅ ⇒ p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B )
Una función p : E → ℜ que satisface las propiedades I ) II ) y III ) se llama una
medida de probabilidad.
7
La terna ( X , E, p ) es un espacio de probabilidad aditivo ( finito ) si X es un
conjunto no-vacío, E es un álgebra de subconjuntos y p es una medida de
probabilidad en E.
Lo importante a recalcar acerca de la probabilidad objetiva es que, en principio, es
universal y suceptible de ser reproducida.
_Probabilidad subjetiva.
En este caso nos referimos a un evento en el cual no tiene sentido estimar la
probabilidad como una interpretación de frecuencia. Se trabaja pidiendo a expertos
la estimación de probabilidad de ocurrencia.. En ciertos fenómenos la probabilidad
representa el grado de certeza o grado de convicción que el experto tiene acerca de
la ocurrencia del evento.
Observación: debemos hacer notar que en muchas ocasiones un individuo
frecuentemente hace estimaciones subjetivas de probabilidad de ciertos eventos aún
en situaciones donde las repeticiones tienen sentido y puede ser calculada la
probabilidad objetiva.
Se pueden describir formas de acceder a una medida de probabilidad subjetiva.
Una estimación directa dada por un experto consultado, el cual asigna a un evento
un número que representa su estimación subjetiva de la probabilidad de ese evento.
Aquí se pueden presentar como variantes, las estimaciones de diferencias por
comparación, o también la de considerar intervalos de confianza de probabilidades.
Si se pide a un individuo que, a su juicio, dé la probabilidad subjetiva de dos
eventos por comparación, en este caso se trabaja con una relación binaria ® en el
conjunto de los eventos E , indicando con A ® B el hecho de que A es
juzgado más probable que B. La relación binaria ® es llamada relación de
probabilidad comparativa o relación de probabilidad cualitativa.
Usualmente se supone que el conjunto de eventos E
es un álgebra de
subconjuntos de algun conjunto X y se asignan números p ( A ) a cada evento A de
tal manera que : ∀ A∈ E , ∀ B ∈ E se tiene :
A®B ⇔ p(A) > p(B).
Si p cumple la condición anterior y ( X , E , p ) es un espacio de probabilidad
aditivo
(finito) entonces la función p es llamada una medida de probabilidad subjetiva o
una
medida de probabilidad cualitativa.
8
APÉNDICE
Luis A. Santaló ( Gerona 1918 , Buenos Aires 2001 ) PRECURSOR.
En su labor como investigador de alto nivel y como profesor de innegable calidad
didáctica y científica, Santaló demostró un criterio realista y una visión notable en
cuanto al desarrollo de los temas que abordó.
El Cálculo de probabilidades le preocupó y de él queremos transcribir aquí algunas
páginas de la monografía " Probabilidad e Inferencia Estadística" para la O.E.A.
publicada en 1970 que nos muestra la claridad de conceptos y su visión de futuro.
A continuación transcribimos alguna partes de dicha publicación:
" LA DEFINICIÓN CÁSICA DE PROBABILIDAD Y
PRIMEROS EJEMPLOS "
" 1. DEFINICIÓN CLÁSICA
Las teorías matemáticas, sobre todo las que tienen relación con los fenómenos
naturales, a los que tratan primero de entender para luego predecir, se construyen
siempre a partir de conceptos intuitivos, suficientemente claros para que puedan ser
aplicados en las primeras etapas de la teoría, pero no suficientemente rigurosos para
que queden a salvo de objeciones cuando la misma alcanza cierto grado de desarrollo.
Se hace necesario, entonces, revisar los fundamentos, precisando las definiciones y
dándoles, si ello es posible, una construcción axiomática. De esta manera, si alguna
vez aparecen resultados contradictorios o paradójicos, se sabrá bien que lo único que
deberá ser revisado son los axiomas y a ellos habrá que acudir también siempre que
se desee una extensión o una limitación de la teoría.
Sin embargo, para empezar a estudiar una teoría, no siempre es el camino axiomático
el más recomendable. Los axiomas son elaborados por quienes conocen muy bien la
teoría, y su verdadero sentido y necesidad se comprenden con claridad tan sólo
cuando se está ya familiarizado con los elementos y relaciones básicas que ellos
tratan de afirmar de manera abstracta y precisa. Es mejor empezar por definiciones tal
vez no muy exactas y con ejemplos simples, pero substanciales, para poder
comprender luego el verdadero sentido de los axiomas, y para que los mismos
aparezcan de manera natural como expresión sintética y firme de conocimientos ya
adquiridos..............".
"4. PROBABILIDAD Y FRECUENCIA
En los casos de lanzamiento de dados o extracción de bolillas, bajo ciertas
condiciones hasta ahora no muy precisas de " igual posibilidad ", la probabilidad se
puede calcular a priori. En realidad, como hemos visto, se trata de problemas de
análisis combinatorio, disfrazados con lenguaje probabilístico.
Hay otro tipo de problemas en que la probabilidad aparece como resultado de muchos
ensayos o pruebas, sin que se pueda pensar en calcularla de antemano, ya sea por
desconocer la manera de actuar de las causas que originan el fenómeno, ya sea por
ser éstas demasiado numerosas o complicadas.
.......................................................................................................................................
9
......Esta probabilidad se llama probabilidad experimental, probabilidad estadística o
frecuencia...........
........................................................................................................................................
La importancia práctica fundamental del cálculo de probabilidades estriba en que la
probabilidad experimental y la probabilidad teórica, cuando ésta se puede calcular y
bajo condiciones muy amplias, tienden a coincidir cuando el número de experimentos
es grande............
........................................................................................................................................
5. LA PROBABILIDAD SUBJETIVA O GRADO DE CREENCIA
Tantos las probabilidades que pueden ser calculadas de antemano, como las que
resultan como frecuencia de cierto proceso experimental, son probabilidades objetivas,
que pueden expresarse en números y ser sometidas al cálculo matemático. Son las
únicas de que trata el cálculo de probabilidades.
Hay otros casos, sin embargo, en que la palabra "probabilidad" se usa en un sentido
menos preciso, casos en que, si bien es posible una evaluación más o menos grosera
de la misma, no se pueden dar reglas para su determinación precisa, y por tanto
escapa al tratamiento matemático. Se trata, más bien, de un "grado de creencia"
acerca de que tenga o no lugar un determinado hecho............................
...................................................................................................................................
.........Preguntas del mismo tipo son: ¿ Cuál es la probabilidad de que haya vida en
Marte ?, ¿ cuál la de que Napoleón muriera envenenado?,¿cuál la de que el equipo x
gane el campeonato ?
Todos estos problemas quedan fuera de la teoría de las probabilidades en el sentido
usual, que es el que vamos a seguir en los capítulos siguientes, si bien se han hecho y
se siguen haciendo interesantes tentativas para que ellos puedan tratarse también por
métodos matemáticos."
........................................................................................................................................
Finalmente recordemos que:
Bruno de Finetti : en el período 1970 - 1972
probabilidad subjetiva.
concretó la formulación de la
Lofti Zadeh: en 1965 define los conjuntos borrosos o fuzzy y el cálculo de
posibilidades.
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Referencias
[1] Atanassov, K.T. (1994) " Operators over interval valued intuitionistic fuzzy sets "
Fuzzy Sets and Systems 64 , 159-174 North-Holland.
[2] García, P.S. - Machado, E. A. - Slemenson, P. (2001) " Lógica de la intuición.
Una aplicación de la metodología borrosa al análisis del pensar ". CIMBAGE. Facultad
de Ciencias Económicas. U.B.A.
[3] Landro, A.H. (1999). “ Acerca de la Probabilidad ”. Editorial ECONOMIZARTE.
Ediciones C.E.C.E.
[4] Machado, E. A. y Carrizo, M. A. (2000)" Posibilidad y Probabilidad en Gestión y
Economía. Análisis Crítico ". Proceedings VII Congress of SIGEF. Pp 151-158,
Chania, Grecia.
[5] Santaló, L. A. (1970) "PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA"
O.E.A. Washington, D.C.
[6] Scarparo, R.C. (1999) "Elementos de espacios topológicos borrosos". CIMBAGE .
Nº 2 . Facultad de Ciencias Económicas. U.B.A:
[7] Zadeh, L.A. ( 1965 ): "Fuzzy sets".Information and Control, 8, 338-353; also in Fuzzy
Sets and Aplication : Selected Papers by L.A. Zadeh.
John Wiley& Sons, New York, pp 28-44
[8] Zadeh, L.A. ( 1968 ): " Probability Measures of Fuzzy Events". J. Math. Anal. Appl.
Vol 23, pp.421-427.
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