repaso gas de electrones libres: transparencias

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3.1 Modelo del gas de electrones
homogeneo (jellium)
El gas de electrones sin interacción en
3D, 2D y 1D
El gas de electrones libres en 3D, 2D (y 1D)
Teoría cuántica (modelo de Sommerfeld)
Se desprecia la interacción electrón-electrón
Se desprecia la inhomogeneidad espacial de la red de iones
sustituyéndola por un fondo uniforme de carga positiva
(neutralidad de carga)
Sistema espacialmente homogéneo
Único parámetro: densidad electrónica
n = /V , / S, / L
ecuación de Schrödinger
− h2 2
∇ ψ = εψ
2m
3D
rr
r
1
ik r
ψ kr (r ) =
e
V
plane waves
2 2
2
− h2  ∂2
∂2
∂2  r
h
k
h
r
r
 2 + 2 + 2 ψ k = ε kψ k ε kr =
=
(k x2 + k y2 + k z2 )
2 m 2m
∂y
∂z 
2m  ∂x
2D
− h2  ∂2
∂2  r
 2 + 2 ψ k = ε krψ kr
2m  ∂x
∂y 
1D
− h2  ∂2 
 2 ψ k = ε kψ k
2m  ∂x 
2 2
2
h
k
h
ε kr =
=
(k x2 + k y2 )
2m 2m
2 2
h
k
ε kr =
2m
3D
− h2  ∂2
∂2
∂2  r
 2 + 2 + 2 ψ k = ε krψ kr
∂y
2m  ∂x
∂z 
rr
r
1
ik r
ψ kr (r ) =
e
V
2 2
2
h
k
h
=
ε kr =
(k x2 + k y2 + k z2 )
2 m 2m
condiciones de contorno periódicas
(Born-von Karman)
ψ kr ( x + L, y, z ) = ψ kr ( x, y, z )
ψ kr ( x, y + L, z ) = ψ kr ( x, y, z )
ψ kr ( x, y, z + L) = ψ kr ( x, y, z )
L
V = L3
2π
nx , nx = 0,±1,±2,....
L
2π
ky =
n y , n y = 0,±1,±2,....
L
2π
kz =
nz , nz = 0,±1,±2,....
L
kx =
ky
h2
( k x2 + k y2 + k z2 ) = ε F
2m
.............
.............
. . . . . . . .k.F . . . .
.............
.............
.............
.............
.............
.............
kz
kF
ky
kx
kx
2π
L
density in k-space
ρk =
4
= 2 × π k F3 × ρ kr
3
V
1
=
( 2π / L ) 3 ( 2π ) 3
3.63 −1
kF = (3π n) =
A
rs
2
1/ 3
Densidad de estados por unidad de energía
ky
ε
ε + dε
.............
.............
. . . . . . . .k . . . . .
.............
.............
.............
.............
.............
.............
kx
2π
L
V
(ε )dε = 2 ×Vshell × ρ = 2 × 4πk dk ×
(2π )3
r
k
2
m3/ 2
(ε ) = 2 3 2ε , ε > 0 (por unidad de volumen)
πh
2D
− h2  ∂2
∂2  r
 2 + 2 ψ k = ε krψ kr
2m  ∂x
∂y 
rr
r
1
ik r
ψ kr (r ) =
e
S
2 2
2
h
k
h
=
ε kr =
(k x2 + k y2 )
2m 2m
condiciones de contorno periódicas
(Born-von Karman)
ψ kr ( x + L, y ) = ψ kr ( x, y )
ψ kr ( x, y + L) = ψ kr ( x, y )
L
S = L2
2π
nx , nx = 0,±1,±2,....
L
2π
ky =
n y , n y = 0,±1,±2,....
L
kx =
ky
h2 2
( k x + k y2 ) = ε F
2m
.............
.............
. . . . . . . .k.F . . . .
.............
.............
.............
.............
.............
.............
kx
2π
L
density in k-space
ρk =
1
S
=
( 2π / L ) 2 ( 2π ) 2
kF =
= 2 × π k F2 × ρ kr
2πn
kF = (3π 2n)1/ 3
2D
3D
Densidad de estados por unidad de energía
ky
ε
2D
ε + dε
.............
.............
. . . . . . . .k . . . . .
.............
.............
.............
.............
.............
.............
kx
2π
L
S
(ε )dε = 2 ×Vshell × ρ = 2 × 2πkdk×
(2π )2
r
k
(ε ) =
m
, ε >0
2
πh
(por unidad de superficie)
Densidad de estados por unidad de energía
(ε ) =
m
πh 2
2D
ε >0
(ε )
m
πh 2
ε
1D
− h2 ∂2
ψ k = ε kψ k
2
2m ∂x
1 ikx
ψ k ( x) =
e
L
h 2k 2
εk =
2m
condiciones de contorno periódicas
(Born-von Karman)
ψ k ( x + L) = ψ k ( x)
k=
L
L
ρk =
2π
(ε ) ?
2π
n, n = 0,±1,±2,....
L
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