análisis del módulo de reacción lateral en suelos limosos

ANÁLISIS DEL MÓDULO DE REACCIÓN LATERAL EN
SUELOS LIMOSOS
Pedro A. Arrúa(1); Franco M. Francisca(2)(3); Roberto E. Terzariol (1)(3) y Emilio R. Redolfi (1)(3)
1
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba. Departamento de Ingeniería
Civil. Maestro M. López esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria - CP 5016. Email:
parrua@cbasicas.frc.utn.edu.ar
2
CONICET - Universidad Nacional de Córdoba. Vélez Sarsfield 1611, CP 5016. Email:
ffrancis@gtwing.efn.uncor.edu
3
Universidad Nacional de Córdoba, FCEFyN, Área Geotecnia.
RESUMEN
Para el cálculo y análisis de pilotes sometido a esfuerzos laterales utilizando curvas presióndeflexión (p-y) se requiere de la variación del módulo de reacción lateral del suelo para diferentes
niveles de deflexión y profundidad ya que se trata de un problema con no linealidades importantes.
Diferentes autores proponen la utilización de coeficientes que permiten estimar la presión
desarrollada en el suelo en relación a la deflexión del pilote, considerando constante o lineal la
variación del módulo del suelo en profundidad para arcillas y arenas respectivamente. Para el caso
de suelos limosos, la obtención de curvas p-y requiere de análisis particulares con variaciones
intermedias a la lineal y constante del módulo de reacción del suelo. En este trabajo se presenta un
análisis inverso utilizando simulaciones numéricas para la determinación de las propiedades del
suelo e interacción suelo-pilote para diferentes niveles de carga y deformación. Los resultados
obtenidos muestran que es posible establecer un coeficiente (mh) como función de la deflexión para
calcular la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal para diferentes
deformaciones. Las modelaciones indican que no existen diferencias importantes en la estimación
de las deflexiones producto de las condiciones de vínculo adoptadas para la punta del pilote.
PALABRAS CLAVES: módulo de reacción lateral - curvas p-y - elementos finitos planos
ABSTRACT
Piles under lateral loads are usually analyzed by using p-y curves. This procedure requires the
lateral reaction soil modulus at different strain levels and depth since the soil-pile interaction is
highly nonlinear. In general, soil reaction modulus is considered depth independent for clays. On
the other hand, in case of sandy soils the modulus increase almost lineally with dept. In this work an
inverse analysis is performed to compute the reaction modulus and p-y curves for piles bored in
silty soils. Results show that pile deflection are related to the subgrade reaction modulus, which in
turns increase almost linearly with depth with similar behavior than for sandy soils. Numerical
results show that the boundary conditions at the pile tip have little relevance for the simulated pile
response.
KEY WORDS: lateral reaction modulus - curve p-y - plane finite element
INTRODUCCIÓN
El diseño de pilotes sometidos a esfuerzos horizontales generalmente se realiza en base a dos
criterios, que conducen a metodologías de cálculo diferentes. Estas alternativas consisten en
determinar la resistencia lateral última (Rowe 1956, Brinch Hansen 1961, Broms 1964a, Broms
1964b, Slack y Walker 1970, Shen y The 2004, entre otros) y el cálculo de la carga de servicio para
una deformación aceptable (Matlock y Reese 1960, Matlock 1970, Poulos 1971, Reese et al. 1974,
Reese y Welch 1975, Duncan et al. 1994, Hsiung y Chen 1997, Hsiung 2003). Gran parte de estos
métodos se basan en la formulación desarrollada por Timoshenko (1930), quien en base al modelo
de Winkler (1867) establece la solución al problema de la viga sobre fundación elástica que resulta
ser la base de las formulaciones en pilotes sometidos a esfuerzos laterales.
Se considera al pilote como un elemento de viga y se asume que las secciones se mantienen planas
y normales al eje longitudinal durante las deformaciones por flexión. A partir de la ecuación de la
elástica se define el momento (M), el esfuerzo de corte (Q) y la carga de reacción lateral del suelo
sobre el pilote (q) como:
d2y
dx 2
d3y
Q = EI 3
dx
d4y
q = EI 4
dx
M = − EI
(1)
Donde y = deflexión del pilote y x = profundidad.
Considerando una viga prismática apoyada sobre un medio elástico durante las deformaciones, la
reacción del suelo es una función de la deflexión la cual a su vez depende del módulo de reacción
del suelo (k). Para bajas deformaciones donde el comportamiento del suelo puede asumirse lineal
elástico, resulta:
q=k⋅y
(2)
Reemplazando la ecuación (1) en (2) y operando se obtiene la ecuación que gobierna el
comportamiento del pilote sometido a carga lateral (3), cuya solución exacta se presenta en la
ecuación (4):
EI
d4y
− ky = 0
dx 4
y = e βx ( A cos ( βx ) + Bsen ( βx ) ) + e − βx ( C cos ( βx ) + Dsen ( βx ) )
(3)
(4)
Donde β = 4 k / EI y los coeficientes A, B, C y D, se determinan en base a las condiciones de
contorno del problema. En el caso de la viga semi-infinita sobre fundación elástica se espera que en
el extremo, la deformada y el giro sean nulos. La solución de la ecuación diferencial (3), posee
coeficiente A = B = 0 con lo cual los coeficientes C y D de la ecuación se determinan para las
condiciones del problema particular (ecuaciones (5)). Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones
se obtiene las expresiones (6) que reemplazadas en (4) permiten obtener la deflexión, momento
flector y el esfuerzo de corte como:
⎛ d2y ⎞
EI ⎜ 2 ⎟ = − M 0
⎝ dx ⎠ x = 0
C=
y=
P − βM 0
2 EIβ 3
⎛ d3y ⎞
∧ EI ⎜ 3 ⎟ = P
⎝ dx ⎠ x = 0
∧ D=
(5)
M0
2 EIβ 2
(6)
e − βx
P cos ( βx ) − M 0 β ⎡⎣ cos ( βx ) − sen ( βx ) ⎤⎦
2 EIβ 3
{
}
{
}
Q = e − βx 2 βM 0 sen ( βx ) − P ⎡⎣cos ( βx ) − sen ( βx ) ⎤⎦
(7)
⎧
⎫
P
M = e − βx ⎨ M 0 ⎡⎣ sen ( βx ) + cos ( βx ) ⎤⎦ − sen ( βx ) ⎬
β
⎩
⎭
Para la aplicación de las expresiones mostradas en la ecuación (7) es necesario establecer
parámetros altamente dependientes de las características y variabilidad de las propiedades del suelo.
Las hipótesis utilizadas por diferentes investigadores limitan la universalidad de las mismas, que
consideran el módulo de reacción lateral del suelo constante en profundidad. Consideración que no
es aceptable para suelos granulares.
VARIACIÓN DEL MÓDULO DE REACCIÓN LATERAL EN PROFUNDIDAD
Para el cómputo de deflexiones en pilotes sometido a cargas laterales, se requiere de la definición
de la rigidez flexural, obtenida por el producto entre el módulo de elasticidad y el momento de
inercia (EI) y el módulo de elasticidad del suelo (Es) o el módulo transversal de corte (Gs) o el
módulo de reacción lateral del suelo (kh).
En el rango elástico (pequeñas deformaciones) es suficiente conocer Es y Gs, para los cuales,
generalmente no se considera su variación en profundidad. Cuando se pretende analizar el rango no
lineal, estos parámetros son insuficientes y en consecuencia se recurre al módulo de reacción lateral
(kh) definido como el cociente entre la presión desarrollada por el suelo (p) ante la aplicación de la
carga y la deflexión producida (y):
kh =
p
y
(8)
La Fig. 1. presenta una representación esquemática de la variación del módulo del suelo. La cual
varía conceptualmente del módulo de Young. En el primer caso (módulo de reacción lateral) se
establece como la relación entre la carga distribuida aplicada al pilote por la reacción en el suelo y
las deflexiones provocadas por la solicitación aplicada a la cabeza del pilote. En el segundo caso
(módulo de Young), se establece a partir de la relación entre tensión y deformación específica.
Se asume que la reacción del suelo es independiente de la continuidad entre partículas y se
considera que el medio, puede ser reemplazado por resortes elásticos independientes entre sí,
colocados a una distancia tan pequeña como se quiera.
Por otro lado, cuando se realizan análisis de capacidad, se acepta que los módulos dependen de la
relación entre la capacidad y la demanda. Para relaciones entre 1/3 a 1/2 de la capacidad última del
suelo se recomienda la utilización del módulo tangente, y para valores superiores el módulo secante
(ver Fig. 1). Cuando los niveles de deformación son superiores es necesario establecer degradación
del módulo.
Reacción del suelo p (kN/m)
p(y)
Módulo tangente inicial
Módulo secante
Deformación lateral y (m)
Figura 1: Reacción lateral del suelo en función de la deflexión
Terzaghi (1955) propone que el módulo de reacción lateral de las arcillas (kh) es constante en
profundidad, mientras que para las arenas el mismo varía en forma lineal con la profundidad de
tapada (kh = nh x). Trabajos más recientes muestran que la variación en profundidad depende del
tipo de suelo analizado. La Fig. 2 presenta la variación del módulo de reacción lateral en
profundidad probable comparado con el idealizado (Davissson 1963).
kh
kh
kh
kh
k = constante
(a)
(b)
Profundidad
k = nh x
Profundidad
Siuación mas
probable
Profundidad
Profundidad
Siuación mas
probable
(c)
(d)
Figura 2: variación del módulo de reacción lateral en profundidad. (a) suelo cohesivo. (b) suelo
granular. (c) arcilla normalmente consolidada y disecada. (d) estrato superficial blando (Davisson
1963 en Prakash y Sharma 1990)
En suelos limosos la determinación de la ley de variación de “kh” está ligada a los parámetros
resistentes, índices de Atterberg y condiciones generales del suelo. Terzariol et al. (2006a,b)
obtuvieron para suelos limosos expresiones empíricas que relacionan el módulo de reacción lateral
con la profundidad para suelos con humedad natural (kh(HN)) y próximo a la saturación (kh(SAT)):
( D )( z L )
kh = 9146. ( L )( z )
D
L
kh = 9365. L
0,95
0,94
(9)
Las ecuaciones (9) asumen pequeñas deflexiones y nula degradación del módulo con el nivel de
deformación.
Los métodos basados en curvas p-y tradicionalmente aceptados no permiten considerar los pilotes
instalados en suelos diferentes de arcillas y arenas. Se ha propuesto una modificación a estos
procedimientos que permite extender los métodos de cálculo existentes para el caso de suelos
limosos. Se han efectuado calibraciones considerando curvas p-y desarrolladas para arcillas y
arenas, encontrando que para suelos loéssicos el comportamiento de pilotes a largo plazo se
aproxima al observado en suelos granulares. Similares observaciones fueron realizadas por
Terzariol et al. (2006a,b).
Las curvas p-y empleadas para efectuar la aproximación a los resultados experimentales se
componen de tres tramos: a) inicial con comportamiento lineal, b) intermedio con comportamiento
exponencial y c) final con comportamiento lineal. Cada uno de los tramos es obtenido a partir de los
parámetros resistentes medios del modelo de Mohr-Coulomb. Se consideran los parámetros del
suelo a través de un análisis probabilístico y se proponen que la variación en profundidad del
módulo de reacción horizontal presenta una función intermedia a la de suelos arenosos o arcillosos.
Se adoptan para la variación en profundidad del módulo de reacción lateral kh una expresión
modificada de la propuesta por Palmer y Thompson (1948) que responde a la ecuación:
⎛ x⎞
kh = mh ⎜ ⎟
⎝ D⎠
n
(10)
Donde n es un coeficiente que establece las características de variación en profundidad que para
valor unitario, la expresión resultante indica un comportamiento del módulo de reacción lateral de
variación lineal en profundidad caracterizado por la pendiente mh. Si n es nulo el módulo de
reacción lateral permanece constante en profundidad. Finalmente establecen que el valor de n que
calibra la respuesta del pilote a nivel de terreno corresponde a n = 0.8 (Arrúa 2006).
La Fig. 3 muestra la relación que existe en las variantes enunciadas para suelos arcillosos, limosos y
arenosos. La Tabla 1 presenta una recopilación de valores frecuentemente recomendados de
coeficiente de reacción lateral del suelo y módulo de reacción del suelo útiles en la estimación de
deflexiones laterales.
La utilización de estos módulos y coeficientes, requiere de especial cuidado, por cuanto su rango de
variación es elevado. En este trabajo, la tridimensionalidad del problema no se tiene en cuenta si
bien numerosos autores consideran que la variabilidad de las condiciones del suelo tiene mayor
influencia en la estimación del comportamiento que los errores producidos por el modelo (Harr
1987).
REDUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO BIDIMENSIONAL
La ecuación diferencial que gobierna el problema de pilotes en estado plano de tensiones asumiendo
que se comporta como una viga lineal elástica puede escribirse como:
d2 ⎛ d2y ⎞ d ⎛
dy ⎞
EI 2 ⎟ + ⎜ P( z ) ⎟ − p( z , y ) = 0
2 ⎜
dz ⎝
dz ⎠ dz ⎝
dz ⎠
(11)
El primer término representa el comportamiento en flexión, el segundo tiene en cuenta la carga
axial sobre el pilote y su efecto ante el desplazamiento horizontal y el tercero la reacción del suelo.
Un esquema del problema se presenta en la Fig. 4.
0
20000
40000
60000
80000
100000
Módulo
de reacción
lateral
(kN/m2120000
)
0
140000
np
Va
ria
c ió
sta
ue
rop
3
Variación para arcilla
2
c ió
r ia
Va
Profundidad (m)
1
Va
r ia
c ió
np
rA
po
ro
pu
es
ta
a
rr ú
)
06
(20
al.
et
4
np
a ra
ar e
na
po
rT
er
za
r io
5
le
ta
l. (
20
05
)
Figura 3: Variación del módulo de reacción lateral en profundidad
Tabla 1: Valores recomendados de kh y nh del suelo
Módulo de reacción lateral [kN/m2]
Tipo de suelo
kh
Arcilla con gravas
5180
Arcilla Limosa
2590
Limo y turba
1260
Limo arcillo orgánico
2100
Arcilla rígida
3500
Comentario
Los valores de módulo de reacción lateral (kh) presentados
corresponden niveles de carga de 30 kN aplicada a nivel de
superficie con movimientos horizontales entre 0.0264m a
0.00787m. Robinson (1979)
Coeficiente de reacción lateral [kN/m3]
Densidad Relativa
Suelta
Media
Densa
Terzagui (1955). Valores
recomendados para arenas sumergidas
720 – 2130
2130 – 7190
7190 – 14098
Reese et al. (1974)
5530
16585
34553
Das (2001). Arena saturada
1000 – 1400
3500 – 4500
9000 – 12000
Das (2001). Arenas secas o húmedas
1800 – 2200
5500 – 7000
15000 – 18000
Davisson (1970)
Entorno: 420 – 55290
En general: 2770 – 27640
Carga
Vertical “N”
y
Carga
Lateral “Q”
x
Longitud del pilote por
debajo del nivel de terreno
“L”
Momento
aplicado “M”
Pilote deformado
Diámetro del pilote “D”
Figura 4: Pilote sometido a carga vertical, lateral y momento con cabezal libre
En general se acepta que el término de reacción del suelo es de comportamiento no lineal y variable
en profundidad. Esta ecuación no posee solución cerrada por lo cual, a los fines de simplificar el
problema, se considera aceptable discretizar el pilote con el propósito de obtener la respuesta del
comportamiento del suelo para cada profundidad. Debido a que el desplazamiento debe ser
conocido antes de poder evaluar la presión de suelo se requiere de un proceso iterativo en el cual, es
necesario para definir paso a paso el módulo de elasticidad tangente del suelo. El análisis resulta
viable si son conocidas las curvas p-y y su relación con las propiedades físico-mecánicas del suelo.
Cuando estas no están disponibles se requiere de análisis inversos para su obtención y posterior
generalización.
Diferentes autores efectuaron ensayos sobre pilotes cargados lateralmente instalados en arena o
arcillas y proponen curvas p-y mediante funciones compuestas o relaciones parabólicas e
hiperbólicas (Murchison y O’Neill 1989, Matlock 1970, Reese et al. 1974, Reese y Welch 1975). El
problema reside en establecer un modelo que represente adecuadamente el comportamiento del
pilote y cuyas condiciones de contornos sean consistentes. De este modo es posible establecer
variaciones en profundidad y en deflexión del los módulos de reacción del suelo. Puede efectuarse a
tal fin un análisis inverso empleando resultados experimentales y herramientas computacionales las
cuales facilitan el cómputo y permiten obtener resultados de manipulación no muy complicados.
METODOLOGÍA DE ANÁLISIS
Se consideran pilotes sometidos a una carga horizontal referidos al sistema de coordenadas global
de 5 m de longitud y 0.40m de diámetro. Las alternativas de análisis planteadas se presentan en la
Fig. 5. Se asume que a la profundidad de implante, la sección posee rotaciones y deflexiones
pequeñas o nulas lo cual se condiciona mediante dos vínculos de segunda especie y resortes en
profundidad. En la segunda alternativa se asume que no existen desplazamientos importantes en el
pie del pilote pero que pueden existir rotaciones de la sección por efecto de la carga lateral aplicada
a nivel de superficie, situación que pretende ser contemplada mediante un apoyo fijo y resortes
tanto en la punta como en profundidad. Finalmente la tercera alternativa contempla la situación de
traslación en la punta del pilote y rotaciones de la sección inferior. Este comportamiento pretende
ser capturado por condiciones de vínculo elástico en la punta y a lo largo del fuste.
En las modelaciones no se contemplan eventuales variación del contenido de humedad, lo cual tiene
una influencia importante en el comportamiento del conjunto suelo pilote.
Se asume estado plano de tensiones mediante elementos planos (plane element) de nueve nudos
empleados para modelar sólidos de dos dimensiones con espesor uniforme y paralelo a los planos
principales globales. Esto permite establecer la trayectoria de tensiones en estado plano. Cada
elemento posee su propio sistema coordenado local que se alinea con el sistema global.
Q
Q
Q
(b)
(a)
(c)
Figura 5: Situaciones de análisis en el modelo. (a) Dos apoyos fijos y resortes laterales. (b) Un
apoyo fijo, resortes en la punta y laterales. (c) Resortes en la punta y en laterales
Los elementos discretos del pilote se asumen isotrópicos sin variación de su estado tensional por
variación de temperatura. Las tensiones en el sistema coordenado local del elemento se evalúan en
los puntos de la integración y se extrapolan a los nudos del elemento. La Fig. 6 muestra la
definición de caras y conectividad de nudos en el sistema coordenado local.
Cara 3
Cara 2
Cara 4
Cara 1
Tensión Plana: σ
33
(a)
=0
(b)
Figura 6: Elementos planos. (a) Conectividad de los nudos y definición de las caras. (b) Sistema
coordenado local y definición de espesor (Modificado de Sap2000 Análisis Reference)
CALIBRACIÓN A RESULTADOS EXPERIMENTALES
El análisis inverso se basa en los resultados experimentales obtenidos para un pilote de hormigón
armado de 40cm de diámetro y 5m de longitud instalado en la Ciudad Universitaria de la ciudad de
Córdoba. El perfil de suelo esta compuesto por un horizonte de limo arenoso marrón claro desde el
nivel de terreno hasta una profundidad de 2,50m. Entre los 2,50m hasta los 3,75m se desarrolla un
horizonte de limo con arena fina y desde los 3,75m y hasta el fin de la exploración (5,00m) se
encuentra un limo arenoso algo cementado. Los pesos unitarios secos del suelo en profundidad
variaron entre 12,3 kN/m3 a 13,3 kN/m3. La humedad promedio del perfil fue de 15% (Terzariol et
al. 2006a,b).
La Figura 7 presenta la deflexión del pilote respecto a la carga (Q-∆) para el primer modelo (a). El
ajuste se logra en un proceso iterativo calibrando el coeficiente mh de la ecuación (10) con n = 0.8
para lograr una minimización del error cuadrático entre el modelo numérico y el ensayo
experimental sin perder en el proceso la suavidad de la respuesta obtenida con SAP2000.
Cargas a nivel de superficie (kN)
120
Resultados Experimentales
Calibración para n = 0.8
100
Q
80
60
40
20
(a)
0
0
0,005
0,01
0,015
Deflexiones horizontales (m)
0,02
0,025
Figura 7: Curva de carga-deflexión a nivel de superficie para el modelo (a). (Los resultados
experimentales fueron obtenidos por Denapoli et al. 2005)
La Fig. 7 muestra un tramo lineal a bajas deflexiones con incremento de curvatura entre los
0.0025m y los 0.0075m, luego del cual puede aproximarse nuevamente a una recta. El ajuste a los
resultados experimentales es aceptable hasta los 0.025m de deflexión horizontal. Para capturar la no
linealidad en carga-deflexión en la cabeza del pilote es necesario establecer la degradación del
coeficiente mh con el incremento de deflexión lo cual provoca variaciones del módulo de reacción
lateral kh en profundidad. La Fig. 8 presenta esta degradación para diferentes niveles de
deformación transversal.
Se muestra que en el tramo lineal de la curva carga deflexión (Fig. 7) el entorno de valores mh son
aproximados al valor propuesto por Terzariol et al. (2006a,b).
La Fig. 8 presenta un valor de mh que permanece constante mientras el pilote se mantiene en rango
elástico del suelo, momento a partir del cual éste comienza a perder rigidez, caracterizado por la
curvatura cóncava. La función se hace asintótica horizontalmente a un valor aproximado de 2000
kN/m2, valor para el cual se ha logrado la fluencia del pilote y se considera la falla a solicitación
lateral (condición de deformabilidad admisible).
Por su parte el módulo de reacción horizontal resulta variable dependiente del nivel de deflexión y
la profundidad en el cual se considere la presión del suelo contra el pilote. La Fig. 9 presenta la
relación entre deflexiones a nivel de superficie, profundidad y módulo de reacción. Puede
apreciarse que posee un tramo constante inicial en coincidencia con el campo lineal de deflexiones.
Así, a partir del coeficiente mh es posible establecer la variación del módulo de reacción horizontal
en profundidad lo que posibilita establecer el valor, que se debe adjudicar, a cada resorte lineal en el
programa dependiendo de la separación entre ellos, para obtener la deflexión a la cabeza del pilote
bajo una condición de carga previamente establecida.
16000
2
Coeficiente m h(kN/m )
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexiones horizontales (m)
Figura 8: Degradación del coeficiente mh con el incremento de deflexión
La Fig. 10 muestra la variación de kh para diferentes los valores de mh en profundidad que permiten
ajustar los resultados numéricos a los experimentales. Se observa que el módulo posee una
variación intermedia entre la lineal adjudicada a suelos arenosos y la constante establecida para
suelos arcillosos. Esto favorece la calibración a los resultados experimentales y a la posterior
obtención de las curvas p-y.
Módulo de reacción horizontal kh (kN/m2)
120000
5,00 m
100000
Q
4,00 m
80000
3,00 m
2,00 m
60000
40000
1,00 m
(a)
0,50 m
20000
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Figura 9: Variación del módulo de reacción horizontal dependiente de la deflexión en profundidad
Conocida la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal para cada profundidad es
posible establecer las curvas p-y en el análisis inverso (Fig. 11) como el cociente entre el módulo de
reacción y la deflexión. Estas curvas p-y pueden ser parametrizadas, para permitir la estimación del
comportamiento de pilotes en suelos limosos, desarrollo que no se lleva a cabo en este trabajo.
Las curvas de presión-deflexión presentan un tramo lineal que varía en función de la profundidad
analizada. Algunos autores han propuesto calibrar curvas de este tipo mediante funciones
hiperbólicas o funciones racionales no enteras.
Módulo de reacción horizontal kh (kN/m2 )
0
30000
60000
90000
120000
0
Profundidad (m)
1
Incremento de deflexión
2
m
h =1
50
00
kN
/
3
70 kN/m
m h =27
4
m2
2
5
Figura 10: Variación del módulo de reacción horizontal con la profundidad y el coeficiente mh
600
Presión lateral del suelo (kN/m)
5,00 m
500
4,00 m
400
3,00 m
300
2,00 m
200
1,00 m
100
0,50 m
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Figura 11: Curvas p-y obtenidas del análisis inverso para el modelo (a)
COMPARACIÓN ENTRE MODELOS
Empleando el mismo procedimiento descrito en el apartado anterior para cada modelo de análisis es
posible establecer la influencia de las condiciones de contorno y su importancia relativa en la
estimación de deflexiones. La Fig. 12 muestra el coeficiente mh y su variación con los niveles de
deflexión para los modelos (a), (b) y (c) que se corresponden con la hipótesis de giro y
desplazamiento de la sección de la punta inferior del pilote nula, hipótesis de desplazamiento
horizontal nulo con giro permitido y desplazamiento con giro permitido respectivamente.
Para establecer una comparación entre las diferencias de coeficiente mh, se establece como patrón el
modelo (c) que corresponde a la hipótesis de giro y desplazamiento permitido, en general más
aceptado en la práctica ingenieríl. El rango de variación se presenta en la Fig. 13 y es posible
apreciar que la amplitud máxima de dispersión se localiza en el tramo de comportamiento lineal
donde las deflexiones son escasas y de poca relevancia. En esta zona la magnitud de variación
ronda los 400 kN/m2 valores que corresponden al 2% del módulo. Este porcentaje disminuye para
deflexiones que superan los 0,005m.
Variación del coeficiente mh (kN/m2 )
16000
14000
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (a)
Modelo (b)
12000
Modelo
(c)(c)
Modelo
10000
8000
Comportamiento no lineal
del pilote
6000
4000
2000
Comportamiento lineal
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexión a nivel de superficie (m)
Figura 12: Comparación del coeficiente mh para diferentes modelos en función de la deflexión
horizontal
Variación del coeficiente mh (kN/m2 )
300,00
200,00
Modelo (a)
100,00
Modelo (b)
0,00
Modelo (c)
-100,00
-200,00
-300,00
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexión a nivel de superficie (m)
Figura 13: Diferencia relativa al Modelo (c) del coeficiente mh función de la deflexión a nivel de
superficie
La Fig. 14 presenta las curvas p-y para los diferentes modelos. Se aprecia que no existen diferencias
importantes para diferentes profundidades, si bien en las proximidades de la punta del pilote, se
ponen en evidencian las mayores dispersiones, situación esperada por las diferentes condiciones de
vínculo.
Variación del coeficiente mh (kN/m2 )
600
5,00 m
500
3,00 m
400
Modelo (a)
300
Modelo (b)
Modelo (c)
200
1,00 m
100
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexión a nivel de superficie (m)
Figura 14: Curvas p-y para pilote en suelo limoso con diferente condiciones de vínculo en la punta.
Modelos (a), (b) y (c)
La distribución de tensiones en el cuerpo del pilote depende de las condiciones de contorno
impuestas y están muy relacionadas con las reacciones que se producen en el suelo ante solicitación
lateral.
La Fig. 15 presenta para cada modelo las tensiones principales mayores, la malla en estado
deformado y la presión desarrollada en el suelo por unidad de longitud para cada caso de análisis.
En el Modelo (a) se aprecian tensiones de compresión sobre la cara derecha de los elementos y
tensiones de tracción sobre las caras izquierda de los elementos para una carga de 50 kN aplicada a
la cabeza del pilote (nudo 21) con sentido positivo según el sistema de coordenadas global en la
dirección “y”. La deformación asociada al diagrama de distribución de presiones en profundidad
permite verificar las hipótesis adoptadas para cada caso en estudio.
La Fig. 15 muestra que la presión desarrollada a nivel de implante en el modelo con dos apoyos
fijos es nula, no existiendo rotación ni desplazamiento de la sección inferior, hipótesis propuesta por
algunos autores que recomiendan establecer una longitud equivalente a partir de la relación de
rigidez entre el suelo y pilote para la cual se asume empotramiento.
Los diagramas de presión lateral de suelo muestran que el máximo se presenta en las cercanías de la
superficie y aproximadamente entre 2 a 2,5 veces el diámetro del pilote. Esto remarca la
importancia de establecer en las cercanías del nivel de superficie una variación mas realista del
módulo de reacción horizontal. En profundidad no se aprecia tanta relevancia.
En el todos los casos se aprecia el desarrollo de niveles moderados de presión en las cercanías del
nivel de implante, producto del giro del pilote acompañado de desplazamientos horizontales. El
Modelo (c) generalmente aceptado en el ámbito ingenieríl posee reacción del suelo en ambas
direcciones, comportamiento mas realista. Muestra mayor desplazamiento a nivel de implante que
las alternativas anteriores. La influencia de estas diferencias en la deflexión horizontal a lo largo del
pilote se presentan en la Fig. 16. Se muestra que la diferencia entre las alternativas es despreciable.
Distribución de Deflexión
2
tensiones (kN/m ) lateral
Presión de
suelo kN/m
-25
0
25
Distribución de
Deflexión
2
tensiones (kN/m )
lateral
Presión de
suelo kN/m
-25
50
0
25
Distribución de Deflexión
2
tensiones (kN/m ) lateral
50
Presión de
suelo kN/m
-25
0
0
0
0
0,5
0,5
0,5
1
1
1
1,5
1,5
1,5
2
2
2
2,5
2,5
2,5
3
3
3
3,5
3,5
3,5
4
4
4
4,5
4,5
4,5
5
5
5
Modelo (a)
Modelo (b)
25
50
Modelo (c)
Figura 15: Tensiones σ22, deflexión horizontal y presión desarrollada en el suelo para los Modelos
(a), (b) y (c)
Deflexión lateral (cm)
Q
-0,1
0
0,35
Deflexión lateral (cm)
0,8
Q
-0,1
0
0,35
Deflexión lateral (cm)
0,8
Q
-0,1
0,5
0,5
0,5
1
1
1
1,5
1,5
1,5
2
2
2
2,5
2,5
2,5
3
3
3
3,5
3,5
3,5
4
4
4
4,5
4,5
4,5
5
5
5
Modelo (a)
Modelo (b)
0,35
0
Modelo (c)
Figura 16: Comparación de deflexiones para las situaciones analizadas
0,8
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
Con la utilización de los coeficientes mh para cada deflexión y la variación del módulo de reacción
horizontal en profundidad es posible estimar el comportamiento del pilote sometido a cargas
laterales. A través del proceso de calibración inversa se obtienen excelentes aproximaciones, útiles
para comprender el comportamiento del suelo en un problema de múltiples dimensiones como
resulta analizado en este trabajo. La Fig. 17 permite apreciar la calibración según el empleo de las
curvas p-y presentadas en la Fig. 11 y los resultados obtenidos por la aplicación del método de
Matlock y Reese (1970) modificado para ser aplicable a suelo sde comportamiento intermedio a las
arcillas y arenas, para un coeficiente n = 0.8 en la ecuación 10.
Cargas a nivel de superficie (kN)
120
100
80
60
Resultados Experimentales
Método de Matlock y Reese n = 0.8
Calibración con SAP
40
20
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Deflexiones horizontales (m)
Figura 17: Curva de carga-deflexión del pilote a nivel de superficie
Una motivación durante las últimas décadas de numerosos investigadores ha sido facilitar la
utilización de procesos de cálculo durante la etapa de diseño de pilotes a solicitaciones horizontales,
a pesar de lo cual, aún los métodos mas simples de estimación de deflexiones resultan laboriosos.
La calibración presentada en este trabajo, permite establecer la variación del módulo de reacción
lateral a través del coeficiente mh, que puede ser ajustado a las curvas presentadas en la Fig. 12,
modificando el eje de abscisas para mantener la adimensionalidad durante el proceso.
Cuando la condición de deformabilidad es establecida en base a criterios de funcionalidad
estructural, es posible computar los esfuerzos internos del pilote si es conocida la deflexión en
profundidad, para lo cual se requiere de la variación del módulo de reacción horizontal. La Fig. 18
muestra la aproximación lograda para mh, que ajusta a las condiciones establecidas en el ensayo de
campo. Su expresión se presenta en la ecuación (12), planteada como una función de dos tramos:
mh = 15000 ∀ m ≤ 0.005
mh = 173 ⋅ ( m + 1) ⋅ ( m + 0.0067 )
−1
∀ m > 0.005
(12)
Donde m = relación entre deflexión y diámetro del pilote (y/D).
La ecuación que permite estimar el módulo kh, resulta una función bi-variada dependiente de la
profundidad y la deflexión (Fig. 19).
kh = 173 ⋅ ( m + 1) ⋅ ( m + 0.0067 ) ⋅ 5 ( x / D )
−1
4
(13)
La estimación del comportamiento para pilotes sometidos a cargas laterales puede ser simplificado
considerablemente con el proceso presentado en este trabajo. El cual finalmente consiste en:
•
•
•
•
•
•
Establecer una deflexión compatible con la condición de uso y funcionalidad de la estructura
(y)
Obtener el coeficiente mh (ecuación(12))
Calcular el módulo de reacción en profundidad kh (ecuación (13))
Implementar un pilote discretizado en profundidad simulando el suelo como una serie de
resortes espaciados uniformemente con rigidez k obtenida como k = kh∆x donde ∆x
corresponde a la separación entre resortes
Obtener la variación en profundidad de la presión desarrollada en el suelo
Determinar los esfuerzos internos útiles para efectuar el dimensionado del pilote.
Conocer los niveles de solicitación a lo largo del pilote requiere establecer la presión desarrollada
en el suelo, lo cual es caracterizado por el módulo de reacción horizontal. Este responde a una
función bi-variada que se muestra en la Fig. 19 según un sistema ortogonal cuyas variables son, la
profundidad y la deflexión horizontal en la cabeza del pilote. Esta figura permite observar que a
bajas deflexiones el módulo permanece lineal en concordancia con la linealidad del comportamiento
del suelo. Para profundidad nula, el módulo solo es cero cuando no existen deflexiones y se
incrementa con el aumento de las mismas. Los valores máximos se presentan para altas deflexiones
y a mayores profundidades.
16000
Modelo
Modelo (b)
(a)
Modelo (a)
(b)
Modelo
12000
Modelo (c)
(c)
Modelo
Aproximación
Aproximación
Coeficiente mh (kN/m2 )
14000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Deflexión adimensional (y/D)
Figura 18: Aproximación para el coeficiente mh mediante función racional
Figura 19: Variación del módulo de reacción horizontal dependiente de la deflexión la profundidad
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha presentado un análisis inverso que permite establecer la variación del
coeficiente mh del suelo en función de la deflexión del pilote para capturar el comportamiento no
lineal de pilotes sometidos a cargas laterales y obtener las curvas presión-deflexión (p-y). Las
principales conclusiones de este trabajo son:
•
•
•
•
•
•
El coeficiente mh, útil para calcular la variación en profundidad del módulo de reacción
horizontal, puede considerarse constante para deflexiones inferiores a los 0.005m.
El módulo de reacción horizontal sufre importante degradación para niveles de deflexión
elevada.
Respecto de la modelación numérica se obtuvo que no existen diferencias importantes en la
estimación de las deflexiones para diferentes cargas producto de las condiciones de vínculo
adoptadas para la punta del pilote.
El módulo de reacción horizontal posee valores elevados en las proximidades de la base del
pilote, lo cual provoca que las condiciones de vínculo pierdan relevancia en esta zona.
El valor del modulo es relevante en la zona superior del pilote hasta una profundidad de 2.5
a 3 veces el diámetro del pilote.
Cuando el pilote es largo, su comportamiento a solicitaciones laterales está gobernado por la
distribución de presión en profundidad del suelo modelada como resortes no lineales.
AGRADECIMIENTOS
Esta investigación fue parcialmente financiada por SECyT-UTN y la SECyT-UNC. Este trabajo se
ha desarrollado en el marco del Departamento de Ingeniería Civil de la UTN-FRC, al cual los
autores agradecen e apoyo y facilidades brindadas. Pedro Arrúa agradece la Beca de Doctoral para
docentes recibida de la Universidad Tecnológica Nacional.
TRABAJOS CITADOS EN EL TEXTO
ARRÚA, P., 2006. Teoría de Probabilidad en el Análisis del Comportamiento de Fundaciones
Profundas. Tesis de Maestría (en ejecución). Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales
de la Universidad Nacional de Córdoba.
BRINCH HANSEN, J., 1961. The ultimate resistance in pile in cohesive soils. Danish Geotechnical
Imstitute (Geoteknisk Institut) Bull. Nº12, Copenhagen, pp.5-9
BROMS, B. B., 1964a. Lateral resistance of pile in cohesionless soil. Journal of the Soil Mechanics
and Foundations Division, Proc. Of the American Society of Civil Engineers. SM 3, pp. 123156
BROMS, B. B., 1964b. Lateral resistance of pile in cohesive soil. Journal of the Soil Mechanics and
Foundations Division, Proc. Of the American Society of Civil Engineers. Vol. 90, SM 2, pp.
27-63.
DAVISSON, M. T. 1963. Estimating buckling loads piles. Proceedings of the second pan American
Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. Vol. I, pp.351-369.
DUNCAN, J.; EVANS, L. Y OOI, P., 1994. Lateral load analysis of single piles and drilled shaft.
Journal of Geotechnical Engineering. ASCE. Vol. 120 Nº6 pp. 1018-1033.
HARR, M. 1987. Reliability-Based Design in Civil Engineering. Dover Publications, Inc., New
York.
HSIUNG, Y. Y CHEN, Y., 1997. Simplified Method for Analyzing Laterally Loaded Single Piles
in Clays. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 123, No. 11,
November 1997, pp. 1018-1029
HSIUNG, Y., 2003. Theoretical elastic-plastic solution for laterally loaded piles. Journal of
geotechnical an Geoenviromental Engineering. Technical Notes ASCE. pp. 475-480.
MATLOCK, H Y REESE, L. C., 1960. Generalized solutions for laterally loaded piles. Journal of
the Soil Mechanics and Foundations Division, Proc. Of the American Society of Civil
Engineers. SM 5, pp 63-91.
MATLOCK, H., 1970. “Correlations for design of laterally loaded piles in soft clay. Second Annual
Offfshore Technology Conference, Paper Nº 1204, Vol. 1, pp. 577-588.
MURCHISON, J. Y O’NEILL, M., 1984. Evaluation of p-y relationships in cohesionless soils.
Analysis and Design of pile Foundation, American Society of Civil Engineers, J. R. Meyer, ed.,
pp. 174-191.
PALMER, L. Y THOMPSON, J., 1948. The earth pressure and deflection along the embedded
lengths of pile subjected to laterl thrust. Proccedings Second International Conference on Soil
Mechanics and Foundation Engineering, Rotterdam, Holland, Vol. V, pp156-161.
POULOS, H. G., 1971. Behavior of laterally loaded piles: I single piles. Journal of the soil
Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 97, No. SM5.
PRAKASH, S. AND SHARMA, H., 1990. Pile Foundation in Engineering Practice. John Wiley &
Sons, Inc., New York.
REESE, L. Y WELCH, R., 1975. Lateral loading of deep foundation in stiff clay. Journal of
Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 101. Nº GT July, pp. 633-649.
REESE, L.; COX, W. Y KOOP, F., 1974. Analysis of laterally loaded piles in sand. Proceeding,
Fifth Annual Offshore Technology Conference, Paper Nº OTFC 2312, Houston, TX,pp.473483.
ROWE, P.W., 1956. The single pile subjected to horizontal force. Géotechnique, The International
Journal of Soil Mechanics, Vol. VI, Nº 2, pp. 70-85.
SHEN, W. Y. AND TEH, C. I., 2004. Analysis of laterally loaded piles in soil with stiffness
increasing with depth. Journal of Geotechnical an Geoenvironmental Engineering. Vol. 130, Nº
8, pp. 878-882.
SLACK, D Y WALKER, J., 1970. Deflection of Shallow pier Foundation. Journal of the Soil
Mechanics and Foundations Division, Proc. Of the American Society of Civil Engineers. SM 4,
pp. 1143-1157.
TERZAGHI, K., 1955. Evaluation of Coefficients of Subgrade Reaction. Geotechnique, Vol. 5, No.
4, pp. 297-326.
TERZARIOL, R., RAVENNA, N. y RIVAS, M. 2006. Determinación del coeficiente de reacción
horizontal para el diseño de pilotes en suelos colapsables. XVI Congreso Argentino de
Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica (XVI CAMSIG), Setiembre, San Juan,
Argentina.
TERZARIOL, R.; RAVENNA N. y RIVAS, M. 2006. Pilotes sometidos a solicitaciones laterales
en suelos loéssicos de la Republica Argentina. XII COBRAMSEG 2006, Agosto, Curitiva,
Brasil.
TIMOSHENKO, S., 1930. Strength of materials. Part II, D. Van Nostrand Co., Inc., New York.
WINKLER, E., 1867. Die Lehre Von Elastizitat and Festigkeit, pp. 182, Prague.