Tarea III de Cálculo Diferencial e Integral I Semestre 2016

Tarea III de Cálculo Diferencial e Integral I
Semestre 2016-I
Sucesiones
Profesor: Javier Páez Cárdenas
Ayudantes: Alejandro Rojas Sánchez, Laura Rosales Ortı́z, Miguel Garrido Reyes.
1. La sucesión {xn } se define por las fórmulas siguientes para el n-ésimo término. Escribir los cinco
primeros términos en cada caso:
(−1)n
1
1
a) xn = 1 + (−1)n
b) xn =
c) xn =
d) xn = 2
n
n(n + 1)
n +2
2. A continuación se dan los primeros términos de una sucesión {xn }. Suponiendo que el “patrón
natural” indicado por estos términos se mantiene, dar una fórmula para el n-ésimo término xn .
a) 5, 7, 9, 11, . . .
1
b) 21 , − 14 , 18 , − 16
, ...
c) 12 , 23 , 34 , 45 , . . .
d) 1, 4, 9, 16, . . .
3. Enumerar los cinco primero términos de las sucesiones siguientes definidas recursivamente.
a) w1 = 1,
b) x1 = 1,
wn+1 = 3wn + 1
(
)
xn+1 = 21 xn + x2n
c) y1 = 1,
y2 = 2,
yn+2 =
d) z1 = 3,
z2 = 5,
zn+2
yn+1 + yn
yn+1 − yn
= zn+1 + zn
4. Demostrar que para cualquier b ∈ R, limn→∞
b
n
= 0.
5. Usar la definición de lı́mite de una sucesión para demostrar los siguientes lı́mites.
1
2n
a) limn→∞ 2
=0
b) limn→∞
=2
n +1
n+1
c) limn→∞
3
3n + 1
=
2n + 5
2
d) limn→∞
n2 − 1
1
=
2n2 + 3
2
b) limn→∞
2n
=2
n+2
d) limn→∞
(−1)n n
=0
n2 + 1
6. Demostrar que
1
a) limn→∞ √
=0
n+7
√
n
c) limn→∞
=0
n+1
7. Demostrar que limn→∞ xn = 0 si y sólo si limn→∞ |xn | = 0. Dar un ejemplo para demostrar que
la convergencia de {|xn |} no implica la convergencia de {xn }.
√
8. Demostrar que si xn ≥ 0 para toda n ∈ N y limn→∞ xn = 0, entonces limn→∞ xn = 0.
9. Demostrar que si limn→∞ xn = x con x > 0, entonces existe un número natural N tal que xn ≥ 0
para toda n ≥ N .
10. Demostrar que limn→∞
1
= 0.
3n
11. Sea b ∈ R tal que satisface 0 < b < 1. Demostrar que limn→∞ nbn = 0 [Sugerencia: usar el
teorema del binomio].
1
12. Demostrar que limn→∞
n2
= 0.
n!
13. Demostrar que limn→∞
( )n−2
2n
2n
= 0 [Sugerencia: si n ≥ 3, entonces 0 <
≤ 2 23
].
n!
n!
1
14. Sea b ∈ R tal que b > 0. Demostrar que limn→∞ b n = 1.
1
15. Demostrar que limn→∞ n n = 1.
16. La sucesión {xn } se define por las fórmulas siguientes para el n-ésimo término. Determinar (y
demostrar) en cada caso si la sucesión es o no es convergente:
a) xn =
n
n+1
b) xn =
(−1)n n
n+1
c) xn =
n2
n+1
d) xn =
2n2 + 3
n2 + 1
17. Dar un ejemplo de dos sucesiones no convergentes {xn }, {yn } tales que su suma {xn + yn }
converja.
18. Dar un ejemplo de dos sucesiones no convergentes {xn }, {yn } tales que su producto {xn yn }
converja.
19. Demostrar que si {xn } y {yn } son sucesiones tales que {xn } y {xn +yn } son convergentes entonces
{yn } es convergente.
20. Demostrar que si {xn } y {yn } son sucesiones tales que {xn } converge a x ̸= 0 y {xn yn } converge,
entonces {yn } converge.
21. Demostrar que la sucesión {2n } no es convergente.
22. Demostrar que la sucesión {(−1)n n2 } no es convergente.
23. Encontrar los lı́mites de las siguientes sucesiones:
√
)
(
(−1)n
n+1
n−1
1 2
b) xn =
c) xn = √
d) xn = √
a) xn = 2 + n
n+2
n+1
n n
√
√
√
24. Sea yn = n + 1− n para todo n ∈ N. Demostrar que las sucesiones {yn } y { nyn } convergen.
1
25. Demostrar que si zn = (an + bn ) n , donde a, b ∈ R y 0 < a < b, entonces limn→∞ zn = b.
26. (Criterio del cociente) Sea {xn } una sucesión de números reales positivos tal que existe L =
xn+1
limn→∞
. Si L < 1, entonces {xn } converge y además limn→∞ xn = 0.
xn
27. Aplicar el criterio de convergencia del cociente a las siguientes sucesiones, donde a y b satisfacen
que 0 < a < 1 y b > 1.
{ n}
{ 3n }
{n}
b
2
a) {an }
b)
c)
d)
2n
bn
32n
xn+1
= 1 no
xn
nos dice nada respecto a la convergencia de {xn } (no se puede usar como criterio) completar los
siguientes incisos.
28. Para demostrar que el hecho de que una sucesión cumpla la propiedad limn→∞
a) Dar un ejemplo de una sucesión convergente {xn } de números positivos tal que cumpla la
propiedad.
b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente {xn } de números positivos tal que cumpla la
propiedad.
2
xn+1
= L > 1. Demostrar
xn
que {xn } no es una sucesión acotada y, por tanto, no es convergente.
29. Sea {xn } una sucesión de números reales positivos tal que limn→∞
30. Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen que 0 < a < 1 y b > 1.
{ n}
{ n}
{ }
{ 2 n}
b
b
n!
b)
c)
d)
a) n a
2
n
n!
nn
1
31. Sea {xn } una sucesión de números reales positivos tal que limn→∞ (xn ) n = L < 1. Demostrar
que existe un número r con 0 < r < 1 tal que 0 < xn < rn para toda n ∈ N lo suficientemente
grande. Usar este resultado para demostrar que limn→∞ xn = 0.
1
32. Para demostrar que el hecho de que una sucesión cumpla la propiedad limn→∞ (xn ) n = 1 no
nos dice nada respecto a la convergencia de {xn } (no se puede usar como criterio) completar los
siguientes incisos.
a) Dar un ejemplo de una sucesión convergente {xn } de números positivos tal que cumpla la
propiedad.
b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente {xn } de números positivos tal que cumpla la
propiedad.
33. Suponer que {xn } es una sucesión convergente y que {yn } es tal que para cualquier ϵ > 0 existe
M ∈ N tal que para toda n ≥ M se cumple que |xn − yn | < ϵ. ¿De lo anterior se infiere que {yn }
es convergente?
34. Sea S1 := {x ∈ R |x ≥ 0}. Demostrar en detalle que el conjunto S1 tiene cotas inferiores, pero
no cotas superiores. Demostrar que inf S1 = 0.
35. Sea S2 := {x ∈ R |x > 0}. ¿El conjunto S2 tiene cotas inferiores? ¿El conjunto S2 tiene cotas
superiores? ¿Existe sup S2 ? Demostrar las respuestas.
{
}
36. Sea S3 := n1 | n ∈ N . Demostrar que sup S3 = 1 y que inf S3 ≥ 0. (En la pregunta 46 se
muestra que inf S3 = 0.)
{
}
n
37. Sea S4 := 1 − (−1)
| n ∈ N . Encontrar inf S4 y sup S4 .
n
38. Sea S un subconjunto no vacı́o de R que está acotado inferiormente. Demostrar que el conjunto
{−s | s ∈ S} está acotado superiormente y que
inf S = − sup {−s | s ∈ S}
39. Demostrar que si un conjunto S ⊆ R contiene una de sus cotas superiores entonces ésta cota es
el supremo de S.
40. Sea S ⊆ R un conjunto no vacı́o. Demostrar que u ∈ R es una cota superior de S si y sólo si las
condiciones t ∈ R y t > u implican que t ∈
/ S.
41. Sea S ⊆ R un conjunto no vacı́o y acotado superiormente. Demostrar que si u = sup S entonces
para todo número n ∈ N el número u − n1 no es cota superior de S, pero el número u + n1 si es
cota superior de S.
42. Demostrar que si A y B son subconjuntos acotados de R, entonces A ∪ B es acotado y además
sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}.
43. Sean S y S0 subconjuntos no vacı́os de R tales que S0 ⊆ S ⊆ R. Demostrar que
inf S ≤ inf S0 ≤ sup S0 ≤ sup S
3
44. Sea S ⊆ R no vacı́o y supóngase que s = sup S pertenece a S. Si u ∈
/ S, demostrar que
sup (S ∪ {u}) = sup{s, u}
45. Demostrar que un conjunto finito no vacı́o S ⊆ R contiene a su supremo. (Sugerencia: Aplicar
inducción y el ejercicio anterior.)
{
}
46. Usar la propiedad arquimedeana para demostrar que inf n1 | n ∈ N = 0.
{
}
1
47. Si S = n1 − m
| n, m ∈ N , encontrar inf S y sup S.
48. Sea S ⊆ R un conjunto no vacı́o y acotado. Demostrar que si un número u ∈ R tiene la propiedad
de que para todo número n ∈ N el número u − n1 no es cota superior de S, pero para todo número
n ∈ N el número u + n1 si es cota superior de S, entonces u = sup S. (Este ejercicio es el recı́rpoco
de 41)
49. Sea S ⊆ R un conjunto no vacı́o y acotado. Si a ∈ R definimos
a + S := {a + s | s ∈ S} y aS := {as | s ∈ S}
Pruebe que:
a) a + S y aS son no vacı́os y acotados.
b)
sup(a + S) = a + sup S e
inf(a + S) = a + inf S
c) si a > 0 entonces
inf(aS) = a inf S y
sup(aS) = a sup S
inf(aS) = a sup S y
sup(aS) = a inf S
d) si a < 0 entonces
50. Determine cuáles son todas las subsucesiones convergentes de la sucesión {(−1)n }.
51. De un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión convergente.
52. Muestre que si {xn } es una subsucesión no acotada entonces existe una subsucesión {xnk } de
{xn } tal que {1/xnk } converge a 0.
Nota: Las preguntas están basadas en los ejercicios del BARTLE, SHERBERT, Introducción al
Análisis Matemático de una Variable, Limusa Wiley, 2a Ed.
4