7. Serie compleja de Fourier Teniendo en cuenta que la potencia, tensión y corriente senoidales, se pueden representar en forma exponencial o compleja, parece conveniente desarrollar un método que permita desarrollar una función periódica en serie exponencial o compleja de Fourier. e jω t + e − j ω t 2 e jω t − e − jω t j2 Al ser: cos ωt = La serie trigonométrica de Fourier: f (t ) = a0 + ∑ (an cos nω 1t + bn sen nω 1t ) = a0 + ∑ an cos nω 1t + ∑ bn sen nω 1t sen ωt = n=∞ n=∞ n =1 n =1 n=∞ f (t ) = a0 + ∑ an se puede escribir en la forma: e jnω 1t n =1 f (t ) = a 0 + de donde: n=∞ +e 2 − jnω 1t n=∞ + ∑ bn n =1 e jnω 1t n =1 −e j2 − jnω 1t n =∞ n =∞ 1 (a n − jbn )e jnω1t + 1 ∑ (a n + jbn )e − jnω1t ∑ 2 n =1 2 n =1 Como los coeficientes an y bn vienen dados por las ecuaciones: T 2 f (t ) cos nω 1tdt ∫ T0 T 2 bn = ∫ f (t ) sen nω 1tdt T0 an = a n ± jbn = como: cos nω 1t ± j sen nω 1t = e ± jnω 1t se tiene: a n ± jbn = Sustituyendo en la ecuación de f(t), se obtiene: 2T ± jnω t ∫ f (t )e 1 dt T0 n =∞ n =∞ 12 T 12 T f (t ) = a 0 + ∑ ∫ f (t )e − jnω 1t dt e jnω 1t + ∑ ∫ f (t )e jnω 1t dt e − jnω 1t 2 2 T T 0 0 n =1 n =1 f (t ) = f (t ) = Esta ecuación también se puede expresar como: 2T ∫ f (t )[cos nω 1t ± j sen nω 1t ]dt T0 f (t ) = n=∞ 1 T ∑ T ∫ f (t )e n=0 n=∞ − jnω 1t 0 1 T ∑ T ∫ f (t )e n = −∞ − jnω 1t 0 n=∞ ∑C e n = −∞ 1 T dt e jnω 1t + ∑ ∫ f (t )e − jnω 1t dt e jnω 1t n = −1 T 0 dt e jnω 1t jnω 1t n n = −∞ 1T − jnω t ∫ f (t )e 1 dt T0 Cn = 1 2 T 1 − jnω t ∫ f (t )e 1 dt = (a n − jbn ) 2 T 0 2 Observese que a0 se obtiene a partir de la ecuación anterior cuando n=0: C0 = 1T 1T 0 ∫ f (t )e dt = ∫ f (t )dt = a 0 T0 T0 donde: Cn = Si se conoce el valor de las amplitudes an y bn, resulta que la amplitud de cada armónico es: Cn = 1 2 a + b n2 2 n Si la función periodica ha sido desarrollada en serie exponencial o compleja de Fourier, el espectro de amplitudes existe solamente para valores de ω=0, ±ω1, ±2ω1, ±3ω1, ±4ω1,... Como Cn es un número complejo: Cn = es necesario representar el espectro de la fase de Fourier: (Hacer el ejercicio 13.4 y 13.5) ϕ n = arctg 1 (a − jbn ) 2 n − bn an