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VII
“Nada es real”
John Lennon
1940 - 1980
FACULTAD
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EDUCACION
M ATEM ATICA,
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VII
Sumario
Introducción a la Física Cuántica
Biografía Max Karl Ernst Ludwig Planck
Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
La Potencia total de la radiación emitida aumenta con la temperatura
ley de desplazamiento de Wien
Biografía Wilhelm Wien
Ley de Rayleigh – Jeans
Biografía John William Strutt, Lord Rayleigh
Biografía Hopwood Jeans, James
Hipótesis de Planck
Solución Sección 49-1 . Radiacion Térmica
Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. Pag. 495.CECSA.1996
Solución Sección 49-2 . RLey de la radiación de Planck
Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. Pag. 496.CECSA.1996
Solución Sección 40,1. Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
Serway Beichner . Vol. 2. 5º Edición. Pag. 1315.Mc Graw Hill.2001
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1. Introducción a la Física Cuántica
Durante más de 200 años desde los días de Newton, hasta el final del siglo XIX, los físicos
habían construido una visión básicamente mecánica.
Cada causa física, generaba algún efecto predecible, cada efecto observado podía ser rastreado
a una única y precisa causa. La tarea de los físicos era justamente rastrear esas articulaciones
entre causa y efecto, de manera de poder hacer que el pasado fuera entendible y el futuro
predecible, la acumulación del conocimiento teórico-experimental se tomaba sin discusión
para brindar una visión coherente del universo.
A pesar de todo, había algunas nubes oscuras que aun no podían explicarse desde la visión
clásica, y sobre todo cuando se quiso extrapolar los conceptos clásicos al interior
del átomo, allí la debacle fue total. Dentro de la física clásica, estamos acostumbrados a
pensar acerca de las propiedades físicas de las cosas como algo intrínseco de ellas y con valores
definidos, a los cuales tratamos de medir. Pero en esta nueva rama de la física, nos
encontramos con que es el proceso de medición utilizado el que dará un valor determinado
para una cantidad física.
Notemos otra diferencia crucial entre ambas físicas, el principio de incertidumbre, que
solo existe en la cuántica. Este principio que dice que no podemos conocer simultáneamente
dos variables complementarias como la velocidad y la posición de una partícula. Para los
clásicos si medimos una propiedad intrínseca de una partícula, una vez realizada dicha
medición, sabremos con exactitud el estado de dicha partícula y podríamos predecir el
resultado de cualquier medición futura. Para los cuánticos, el acto de medición es un evento
donde interactúan el que mide/observador y lo que es medido/observado para conjuntamente
producir un resultado. El proceso de medición no significa determinar el valor de una
propiedad física pre-existente. El principio de incertidumbre esta íntimamente ligado a la
naturaleza probabilística de las mediciones cuánticas, esto significa que la mecánica cuántica
predice acerca de la probabilidad de obtener tal o cual resultado, pero nunca puede con certeza
decir en un caso individual que es lo que va a ocurrir.
En física cuántica el concepto probabilístico es diferente. La probabilidad no cubre falta
de información sino que es una característica intrínseca de la naturaleza. Un fotón
dentro de un haz de luz, tiene cierta probabilidad de pasar el vidrio o de reflejarse en el, sin
ninguna explicación racional de porque algunos pasan y otros se reflejan, cuando todos
provienen de la misma fuente y forman parte del mismo haz en las mismas condiciones. Bien
esto que Einstein nunca acepto, parecería ser como la naturaleza se comporta a nivel micro sin
importar si podemos entenderlo o no.
La primera explicación de un fenómeno con base en la teoría cuántica fue presentada por Max
Planck, pero la mayor parte de los desarrollos subsecuentes e interpretaciones matemáticas fue
realizada por otros físicos distinguidos , incluyendo a Einstein, Bohr, De Broglie, Schrodinger,
Heisenberg, Born y DIrac. A pesar del gran éxito de la teoria cuantica,Einstein fue a menudo
muy critico , en especial con respecto a la manera en que ere interpretada.
¿Por qué cuántica?
Einstein dio una buena explicación y analogía con la vida real acerca del significado de la
palabra cuántica y cuantos. En su libro “La física, aventura del pensamiento” dice que por
ejemplo en una mina de carbón la producción puede variar en un modo continuo, si aceptamos
cualquier unidad de medida por mas pequeña que sea. Es decir podríamos decir que se produjo
1 granito más de carbón que ayer. Lo que no podemos hacer es expresar la variación de
personal en forma continua, no tiene sentido hablar de que se aumento el personal en 1,80
personas, es decir la medida de la cantidad de personal es discreta y no continua.
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Otro ejemplo, una suma de dinero solo puede variar de a saltos, discontinuamente. La unidad
mínima para el dinero es el centavo. Decimos entonces que ciertas magnitudes cambian de una
manera continua y otras de una manera discontinua o discreta, o sea por cantidades
elementales o pasos que no pueden reducirse indefinidamente. A estos pasos mínimos e
indivisibles, se los llama cuantos elementales de la magnitud en cuestión. Es evidente que al
aumentar la precisión de cómo se realizan las medidas de cualquier tipo de magnitud, unidades
que se consideraban indivisibles dejen de serlo y adoptan un valor aun menor. O sea ciertas
magnitudes que se consideran continuas pueden tener una naturaleza discreta.
En física, ciertas magnitudes consideradas por muchos años como continuas, en realidad están
compuestas de cuantos elementales. La energía es una de estas magnitudes que al estudiar los
fenómenos del mundo de los átomos, se detecto que su naturaleza no era continua sino discreta
y que existe una unidad mínima o cuanto elemental de energía. Este fue el descubrimiento de
Max Planck con el que se inicia la teoría cuántica.
Cuanto o quantum utilizado como un sustantivo se refiere a la cantidad más pequeña de algo
que es posible tener. En el mundo de la física clásica existe el concepto de que todos los
parámetros físicos como por ejemplo la energía, la velocidad, la distancia recorrida por un
objeto, son continuos. Para entender que es esto de continuos, pensemos en el termómetro que
mide la temperatura, cuando vemos que la misma aumenta en un grado en realidad aumento
primero en una décima de grado y así siguiendo antes en una millonésima de grado etc., etc. Es
decir el proceso de aumento de temperatura que medimos con el termómetro decimos que es
continuo. Bien en el mundo de la física cuántica esto no es así, en concreto cuando Max Planck
estudió como se producía la radiación desde un cuerpo incandescente, su explicación fue que
los átomos que componen el cuerpo incandescente, cuando liberaban energía en forma de
radiación, lo hacían no en forma continua, sino en pequeños bloques a los que él denominó
cuantos de energía. Lo extraño de todo este proceso o de la explicación de Planck es que no
existen posiciones intermedias, es decir no existen medios cuantos o un cuarto de cuanto. Es
como si en el caso del termómetro no existiera la fracción de grado, simplemente la
temperatura que está en 20º pasa de golpe a 21º. Decimos extraño porque lo que el sentido
común indica es que la temperatura de un objeto aumenta cuando este recibe calor/energía; si
el cuerpo está en 20º y le doy calor en una pequeña cantidad, no será suficiente para que
aumente en un grado a 21º pero si para que algo aumente. En el mundo cuántico es como si
esas pequeñas cantidades se van almacenando en algún lugar sin manifestarse de ninguna
forma (sin aumento de temperatura del cuerpo), para que de repente cuando la cantidad de
calor transmitida alcanzó un valor tal que el termómetro muestra ahora sí un aumento de 1º,
marcando 21º. ¿qué pasó en el medio?. Bueno esto que si bien no ocurre en el caso de la
temperatura sino que es solo una analogía para entender, es lo que efectivamente ocurre en el
mundo cuántico. Todas las partículas que componen el universo físico se deben mover en
saltos cuánticos. Un cuerpo no puede absorber o emitir energía luminosa en cualquier cantidad
arbitraria sino solo como múltiplos enteros de una cantidad básica o cuanto. Volviendo a la
extrañeza de estos fenómenos, imaginemos por un momento otra analogía: estamos arrojando
piedras en un estanque de agua tranquilo. El sentido común dado por la experiencia que
acumulamos en el tiempo nos dice que al hacer esto se producirán ondas en el estanque que
son producto de la energía que la piedra transmitió al caer al agua. Un estanque cuántico, se
comportaría de diferente forma, al arrojar una o varias piedras nada ocurrirá, y de repente sin
que medie ninguna conexión entre la causa (arrojar piedras) y el efecto (se generan ondas en la
superficie), el estanque comenzará a vibrar con ondas, hasta que de repente se tranquilizará
nuevamente por mas que en ese momento estemos lanzando piedras. Si todas las piedras son
del mismo tamaño, y arrojadas desde la misma altura, entregarán al caer la misma cantidad de
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energía al agua. Si dicha cantidad de energía resulta ser inferior al cuanto de energía, entonces
debemos arrojar mas de una piedra para iniciar el movimiento.
Quiero recalcar la extrañeza de este fenómeno, llamando la atención sobre el hecho de que el
cuanto no es una cantidad que pueda subdividirse, es decir, el concepto de continuidad pierde
significación, entre 0 y el cuanto no existe nada. Son estados que la naturaleza no permite. Esta
es la característica esencial del descubrimiento de Planck al estudiar los fenómenos llamado
radiación del cuerpo negro (tema que se desarrollara mas adelante): existe un límite inferior al
cambio de energía (absorción o emisión de energía en forma de luz) que un átomo puede
experimentar.
Max Karl Ernst Ludwig Planck
Max Karl Ernst Ludwig Planck,físico alemán, premiado con el Nobel,
considerado el creador de la teoría cuántica, de quién Albert Einstein
dijo: "Era un hombre a quien le fue dado aportar al mundo
una gran idea creadora". De esa idea creadora nació la física
moderna, que intenta saber si "Dios juega o no a los dados", si el azar
existe o no.
Las primeras inclinaciones intelectuales de Planck no estuvieron
orientadas hacia la ciencia, sino que a la filología y la música, pero su
profesor Hermann Müller, del Gimnasio Maximiliano, en Munich, le
hizo desistir de sus aficiones.
Cuando ingresó en 1874 a la Universidad de Munich, y estudió un año
en la Universidad de Berlín, dejó su pasión por los románticos
alemanes como Brahms, Schubert y Schumann, para internarse en el
laberinto que le abrieron sus profesores Hermann von Helmholtz y Gustav Robert Kirchhoff,
quienes realizaron investigaciones que utilizó Planck, en 1900, para proponer su teoría de los
cuantos (partículas comparables a un grano de luz), que dividió la física en dos etapas: la
clásica, desarrollada en los siglos XVII, XVIII y XIX, y la moderna.
Así, Planck concluía unas investigaciones que comenzó en 1879, cuando hizo su tesis doctoral
sobre el segundo principio de la termodinámica (rama de la física que se ocupa de la energía)
del físico Sadi Carnot; ideas con las que el alemán Rudolf Clausius planteó su teoría de la
entropía (cantidad de energía que se podía convertir en trabajo).
En el año 1880, ocupa su primer cargo académico en la Universidad de Kiel y, cinco años más
tarde, es nombrado profesor titular de una de las cátedras de física, y desde 1889 hasta 1928
ocupó el mismo cargo en la Universidad de Berlín. En 1900 Planck formuló que la energía se
radia en unidades pequeñas separadas denominadas cuantos. Avanzando en el desarrollo de
esta teoría, descubrió una constante de naturaleza universal que se conoce como la constante
de Planck.
El propio Planck nunca avanzó una interpretación significativa de sus quantums, y aquí quedó
el asunto hasta 1905, cuando Einstein, basándose en el trabajo de Planck, publicó su teoría
sobre el fenómeno conocido como efecto fotoeléctrico (arriba). Dados los cálculos de Planck,
Einstein demostró que las partículas cargadas –que por aquel entonces se suponía que eran
electrones– absorbían y emitían energías en cuantos finitos que eran proporcionales a la
frecuencia de la luz o radiación.
En 1930, los principios cuánticos formarían los fundamentos de la nueva física.
Aunque Planck sostuvo que la explicación era un modelo distinto al verdadero mecanismo de
la radiación, Albert Einstein dijo que la cuantización de la energía era un avance en la teoría de
la radiación. No obstante, Planck reconoció en 1905 la importancia de las ideas sobre la
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cuantificación de la radiación electromagnética expuestas por Albert Einstein, con quien
colaboró a lo largo de su carrera.
En su carrera científica, Planck recibió muchos premios, especialmente, el Premio Nobel de
Física, en 1918. En 1930 Planck fue elegido presidente de la Sociedad Káiser Guillermo para el
Progreso de la Ciencia, la principal asociación de científicos alemanes, que después se llamó
Sociedad Max Planck. Sus críticas abiertas al régimen nazi que había llegado al poder en
Alemania en 1933 le forzaron a abandonar la Sociedad, de la que volvió a ser su presidente al
acabar la II Guerra Mundial.
La oposición de Max Planck al régimen nazi, lo enfrentó con Hitler. En varias ocasiones
intercedió por sus colegas judíos ante el régimen nazi.
Planck sufrió muchas tragedias personales después de la edad de 50 años. En 1909, su primera
esposa Marie Merck murió después de 22 años de unión matrimonial, dejándolo con dos hijos
hombres y unas hijas gemelas. Su hijo mayor Karl murió en el frente de combate en la Primera
Guerra Mundial en 1916; su hija Margarete murió de parto en 1917, y su otra hija, Emma
también murió de parto en 1919. Durante la Segunda Guerra Mundial, su casa en Berlín fue
destruida totalmente por las bombas en 1944 y su hijo más joven, Erwin, fue implicado en la
tentativa contra la vida de Hitler que se efectuó el 20 de julio de 1944. Por consiguiente, Erwin
murió de forma horrible en las manos del Gestapo en 1945. Todo este cúmulo de adversidades,
aseguraba su discípulo Max von Laue, las soportó sin una queja. Al finalizar la guerra, Planck,
su segunda esposa y el hijo de ésta, se trasladaron a Göttingen donde él murió a los 90 años, el
4 de octubre de 1947. Entre sus obras más importantes se encuentran Introducción a la física
teórica (5 volúmenes, 1932-1933) y Filosofía de la física (1936).
2. Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
La superficie de un objeto, a cualquier temperatura, emite radiación térmica.
La radiación térmica que se emite esta constituida por una distribución de longitudes de onda
continuas que provienen de todos los puntos del espectro electromagnético. Si el objeto se
encuentra a temperatura ambiente, la radiación térmica tendrá longitudes de onda en la region
infrarroja, y por tanto no podrá ser detectada a simple vista. A temperaturas altas, el objeto se
vera rojo visible y luego de color blanco.
Desde un punto de vista clásico: la radiación térmica tiene su origen en las partículas cargadas
y aceleradas de los átomos que están cerca de la superficie del objeto; estas partículas cargadas
emiten radiación de forma muy similar a la radiación que expulsan pequeñas antenas. Las
partículas en aceleración, agitadas térmicamente, pueden tener
una distribución de energía que explica el espectro de radiación
continuo emitido por el objeto.
Sin embargo a finales del siglo XIX; el problema básico era
poder comprender la distribución observada en las longitudes
de onda de la radiación emitida por un cuerpo negro.Un
cuerpo negro es un sistema ideal, que absorbe toda radiación
incidente. La radiación electromagnética emitida por un cuerpo
oscuro se conoce como radiación de cuerpo negro.No existe
en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo
refleja el 1% de la energía incidente.
Toda la radiación que incide sobre el orificio desde el exterior de la cavidad penetra en la
apertura y es absorbida o reflejada varias veces por las paredes internas; por tanto, el orificio
funciona como un absorbente perfecto.
La naturaleza de la radiación que abandona la cavidad a través del orificio depende solo de la
temperatura de las paredes internas y no del material del que están fabricadas.
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Los espacios entre carbones ardientes, emiten una luz que es muy similar a la radiación de un
cuerpo negro.
La Potencia total de la radiación emitida aumenta con la temperatura
Se relaciona en la ley de Stefan:
4
P  AeT
Donde :
P= Potencia en watts radiada por la superficie de un objeto
 = Constante Stefan – Boltzmann = 5,670x10-8 W/m2.K4
A = Area de la superficie del objeto en m2
e = emisividad de la superficie
T =Temperatura( Kelvin)
En el caso de un cuerpo negro, el valor de e = 1.
Tambien : I = P/A. Por lo tanto , podemos escribir la ley de Stefan : I = T4
El pico de la distribución de la longitud de onda se desplaza hacia longitudes
de onda mas cortas conforme aumenta la temperatura
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3 m
(3000 nm)
0.3 m
(300 nm)
Radiación solar (onda corta)
UV C
100
UV B
280
UV A
315
Visible
400
IR A
760
Onda larga
IR B
1400
IR C
3000
106
 (nm)
3·106
7.5·105
105
300
f (GHz)
ley de desplazamiento de Wien:
Se encontró que este comportamiento se puede describir mediante la relación siguiente,
conocido como la ley de desplazamiento de Wien:
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
Donde :

máx= longitud de onda en la cual llega a un pico
T = Temperatura absoluta del objeto que emite la radiación.
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Wilhelm Wien
Fotografía de 1911 para cuando recibió el Premio Nobel
Wilhelm Wien (n. Fischhausen, actual Polonia, 13 de enero de 1864 - †
Munich, Alemania, 30 de agosto de 1928). Físico alemán.
Hijo de Carl Wien, terrateniente prusiano, en 1866 su familia se trasladó
a Drachstein, en Rastenburg, Prusia Oriental. En 1879 fue a la escuela de
Rastenburg y desde 1880 a 1882 estudió en la de Heidelberg
A partir de 1882 estudió en la Universidad de Gotinga, la Universidad de Heidelberg y la
Universidad de Berlín. Entre 1883 y 1885 fue ayudante de Hermann Ludwig von Helmholtz en
el Instituto Imperial de Física y Tecnología de Charlottenburg. En 1886 recibió el doctorado
con una tesis sobre la difracción de la luz sobre los metales y la influencia de varios metales
sobre el color de la luz refractada. A lo largo de su vida fue así mismo profesor de física en la
Universidad de Giessen, la Universidad de Wurzburgo y la Universidad de Munich.
Sus trabajos de investigación se ocuparon de diversos campos de la física, como la
hidrodinámica, las descargas eléctricas a través de gases enrarecidos, el estudio de los rayos
catódicos y la acción de campos eléctricos y magnéticos sobre los mismos. En 1893 logró
combinar la formulación de Maxwell con las leyes de la termodinámica para tratar de explicar
la emisividad del llamado cuerpo negro, investigación que cristalizó en el enunciado de una de
las leyes de la radiación y que lleva su nombre en su honor.
Investigó también en el campo de las radiaciones, sentando las bases de la teoría cuántica, así
como en campos como la óptica y los rayos X.
Fue galordonado con el Premio Nobel de Física en el año 1911 por su descubrimiento sobre las
leyes de la radiación del calor.Se le dio su nombre a un cráter de Marte en su honor.
Ley de Rayleigh – Jeans
Una teoría adecuada para la radiación de cuerpo negro debe poder predecir la forma de la
curva de color rojo.Los primeros intentos que utilizaron ideas clásicas para explicar las formas
de estas curvas , fallaron.
A continuación veremos uno de estos primeros intentos: Ley de Rayleigh – Jeans
Para describir la distribución de la energía de un cuerpo negro, se define : I(,T)d como la
intensidad, es decir, la potencia por unidad de superficie emitida en el intervalo de longitud de
onda d.El resultado del calculo basado en la teoría clásica de la radiación de un cuerpo negro
es conocido como ley de Rayleigh – Jeans:
I(, T) 
2 ck B T
4
Donde :
KB= constante de Boltzmann=1,38x10-23J/K
La falta de coincidencia entre teoría y experimentación, resultaba tan desconcertante que los
científicos le dieron el nombre de la catástrofe del ultravioleta.(Esta “catástrofe” – energía
infinita – se presenta conforme la longitud de onda se aproxima a cero; se le añadió la palabra
“ultravioleta” porque las ondas ultravioleta son cortas).
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John William Strutt, Lord Rayleigh (1842 - 1919).
Físico británico.n 12 de noviembre de 1842, Longford/IEssex. m 30 de junio de 1919,
Wtiham/Essex
Sus descubrimientos fundamentales fueron
en los campos de la acústica y de la óptica,
que fueron básicos para la teoría de la
propagación de las ondas en fluidos. Recibió
el Premio Nobel de Física en 1904 por el
aislamiento del argon.
Strutt padeció de muy mala salud durante
toda su niñez y su infancia. En 1857 comenzó
cuatro años de estudios privados con un
tutor. En 1861 entró en el Trinity College de
Cambridge, donde se graduó en 1865. Desde
muy pronto desarrolló mucho interés por la
física, tanto desde el punto de vista
matemático como experimental. En 1868
compró un equipo de aparatos científicos para investigar independientemente por su cuenta.
En 1871, debido a un ataque de fiebres reumáticas, su vida se vio amenazada. Se le sugirió un
viaje de recuperación por Egipto, donde se tomó unas largas vacaciones de invierno en una
travesía por el Nilo. Durante esta excursión, comenzó a trabajar en su gran libro, La Teoría del
Sonido, en el que examinó cuestiones sobre las vibraciones y la resonancia de sólidos elásticos
y gases.
A la muerte de su padre, en 1873, poco después de volver a Inglaterra, heredo el título de Barón
Rayleigh. Entonces fijó su residencia en Terling Place, donde construyó un laboratorio junto a
la casa. Sus primeras publicaciones trataron de temas como el electromagnetismo, el color, la
acústica, y las rendijas de refracción. Quizá dentro de sus primeros trabajos, el más importante
fue su teoría en la que explicaba el color azul del cielo, como resultado de la dispersión de la luz
del sol por pequeñas partículas de la atmósfera: La Ley de la Dispersión de Rayleigh, la cual se
ha convertido desde entonces en un clásico en el estudio de todo tipo de propagación de ondas.
Entre 1879 y 1884, accedió a trabajar como el segundo profesor titular de la cátedra Cavendish
de física experimental en Cambridge, sucediendo a James Clerk Maxwell. Allí, Rayleigh llevó a
cabo un intenso programa de investigación sobre el cálculo preciso de estándares eléctricos.
Después de ocupar este puesto durante cinco años, volvió a su laboratorio de Terling Place,
donde llevó a cabo prácticamente todas sus investigaciones científicas.
Unos pocos meses después de salir de Cambridge, Rayleigh se convirtió en secretario de la
Royal Society, un puesto administrativo que, durante los siguientes 11 años, le permitieron una
gran libertad para investigar.
La contribución mayor que Rayleigh aportó a la ciencia y por la que es muy reconocido, fue por
el descubrimiento y aislamiento del argon , después de un largo y arduo programa
experimental, finalmente consiguió aislar el gas en 1895, el cual fue llamado argon, de la
palabra griega que significa “inactivo”. Rayleigh compartió la prioridad del descubrimiento con
el químico William Ramsay, quien también aisló el nuevo gas, aunque empezó su trabajo
después de la publicación de Rayleigh.
En 1904 Rayleigh fue galardonado con el Premio Nobel de Física y Ramsay recibió el Premio de
Química por su trabajo sobre el argon y otros elementos inertes. Al año siguiente Rayleigh fue
elegido presidente de la Royal Society.
En sus últimos años, cuando era el líder indiscutible de la Física Británica, sirvió como asesor
en educación y gobierno. En 1908 aceptó el puesto de canciller de la Universidad de
Cambridge, permaneciendo en este puesto hasta su muerte. También estuvo asociado con el
Laboratorio de Física Nacional y comités gubernamentales de aviación y hacienda. Trabajó en
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publicaciones científicas hasta cinco días antes de su muerte. Murió en 1919 en Terling Place,
Witham, Essex.
Hopwood Jeans, James
(1877-1946)
Matemático, físico y astrónomo británico
"Todas las imágenes que la ciencia dibuja hoy de la Naturaleza, y que por sí solas
parecen concordar con los hechos observados, son imágenes matemáticas".
Nació el 11 de septiembre 1877 en Londres y cursó estudios en la
Universidad de Cambridge. Trabajó como profesor de matemáticas
aplicadas en la Universidad de Princeton de 1910 a 1912, y también
fue adjunto de investigación en el observatorio Monte Wilson en
1923. Nombrado sir en 1928. Es conocido por su exitosa aplicación
de las matemáticas a los problemas de la física y de la astronomía, y
por sus investigaciones sobre la cinética y la radiación de los gases.
Entre sus obras destacan Radiación y teoría cuántica (1914) y
Problemas de cosmología y dinámica estelar (1919). Además
escribió obras divulgativas como El Universo que nos rodea (1929),
A través del espacio y el tiempo (1934) y Ciencia y música (1937).
Frases celebres:
 Cuando vibra un electrón, el universo se estremece
 Después de la mecánica ondulatoria, el mundo se parece más a un pensamiento que a
una máquina.
 El material del universo es material mental.
 El Universo es como un pensamiento en la mente de un matemático.
 Hay más estrellas en el espacio que granos de arenas en todas las playas del mundo.
 Hay una serie de relevantes consecuencias de la teoría cuántica: (1) desaparece la
uniformidad de la naturaleza; (2) se hace imposible el conocimiento exacto del mundo
exterior; (3) no se pueden representar adecuadamente los procesos de la naturaleza en
el marco del espacio y el tiempo; y (4) deja de ser posible la división clara entre sujeto y
objeto. Y si ello es así en Física, ¿cómo es posible que haya científicos que aún persiguen
un conocimiento exacto, universal y definitivo en ciencias sociales y humanas, en
concreto en psicología y en psicología social? (1942).
 No existe nada de lo que veamos, todo está sucediendo en nuestra mente
Hipótesis de Planck
En 1900, Max Planck desarrollo una teoría para la radiación de un cuerpo negro que conduce a
una ecuación para I(,T) que esta en total acuerdo con los resultados experimentales a todas
las longitudes de onda. Planck propuso que la radiación de la cavidad de osciladores atómicos
en las paredes de la cavidad.Planck formulo dos atrevidas y controvertidas hipótesis con
respecto a la naturaleza de los osciladores en las paredes de la cavidad
1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se
comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f .
2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad
proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su
energía aumenta o disminuye en una cantidad hf .
La segunda hipótesis de Planck, establece que la energía de los osciladores está cuantizada. La
energía de un oscilador de frecuencia f sólo puede tener ciertos valores que son 0, hf , 2hf ,3hf
....nhf .
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En=nhf
Donde h= es un parámetro introducido por Planck y que hoy se conoce como la constante de
Planck
La distribución espectral de radiación es continua y tiene un máximo dependiente de la
temperatura. La distribución espectral se puede expresar en términos de la longitud de onda o
de la frecuencia de la radiación.
El punto clave en la teoría de Planck es la hipótesis radical de los estados cuantizados de la
energía. Este desarrollo represento una clara separación de la física clásica y marco el
nacimiento de la teoría cuantica.
Planck pudo llegar a una expresión teórica para la distribución de las longitudes de onda que
concordaba notablemente con las curvas experimentales:
2 hc 2
I(, T)  5 hc / k B T
 e
1


Donde :
h = Es independiente del material con el cual esta hecho el cuerpo negro y es independiente de
la temperatura, esto es; se trata de una constante fundamental de la naturaleza.
h = 6,626 x 10-34 J.s
En longitud de ondas largas , esta ecuación se reduce a la expresión de Rayleigh – Jeans.
Ejemplos:
1. Determine la longitud de onda maxima de la radiación de un cuerpo negro
emitida por cada uno de los siguientes:
a) EL cuerpo humano cuando la temperatura de la piel es de 35ºC
b) El filamento de tungsteno de una bombilla , que funciona a 2000 K
c) EL Sol , que tiene una temperatura superficial de alrededor de 5 800
K
Solución
(a) Wien :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
máx.(308 K) = 2,898 x 10-3 m.K
máx = 9 400 nm (INFRARROJA)
(b) Wien :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
máx.(2 000 K) = 2,898 x 10-3 m.K
máx = 1400 nm (INFRARROJA)
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(c) Wien :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
máx.(5 800 K) = 2,898 x 10-3 m.K
máx = 500 nm (VISIBLE)
2.
Sean las longitudes de onda a las cuales tienen sus valores máximos las
radiancias espectrales de tres estrellas:
Estrella
Apariencia
máx
Sirio
240 nm
Azul
–
blanca
Sol
500 nm
Amarilla
Betelgeuse
850 nm
Roja
(a)Cuales son las longitudes de las superficies de estas estrellas?
(b)Cuales son las intensidades radiantes de estas tres estrellas?
(c) El radio r del Sol es de 7,0 x 108 m y el de Betelgeuse es mas de 500 veces
mayor, 0 sea 4 x 1011 m.¿Cual es la potencia total irradiada(esto es, la
luminosidad L) que procede de esas estrellas?
Solución
(a) Wien :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
SIRIO : nm.T = 2,898 x 10-3 m.K
SIRIO = 12 000 K
SOL : 50nm.T = 2,898 x 10-3 m.K
SOL = 5 800 K
BETELGEUSE : 850nm.T = 2,898 x 10-3 m.K
SIRIO = 3 400 K
(b) SIRIO : I = T4
I = (5,67 x 10-8 W/m2.K4)(12 000K)4
I = 1,2 x 109 W/m2
SOL :
I = T4
I = (5,67 x 10-8 W/m2.K4)(5 800K)4
I = 6,4 x 107 W/m2
BETELGEUSE : I = T4
I = (5,67 x 10-8 W/m2.K4)(3 400K)4
I = 7,7 x 102 W/m2
(c ) Hallamos la luminosidad de una estrella si multiplicamos su intensidad radiante por el
area de su superficie:
SOL :
FACULTAD
L = I (4r2)
L = (6,4 x 107 W/m2)(47,0 x 108 m)
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VII
L = 3,9 x 1026 W
BETELGEUSE : L = I (4r2)
L = (6,4 x 107 W/m2)(44 x 1011 m)
L = 1,5 x 1031 W
La luminosidad de Betelgeuse resulta ser alrededor de 38 000 veces mayor.
 La ley de la radiación de Planck se aproxima a la ley clásica de Rayleigh –
Jeans para longitudes de ondas largas.¿A que expresión se reduce la ley de
Planck cuando    
Solución
Por conveniencia algebraica , podemos escribir la ecuación de Planck:
2 c 2 h
1
I() 
. x
5

e 1
hc
Donde x 
kT
Cuando   vemos que x  0 
Recordando :
x2 x3
x
e 1x

 ......
2! 3!
Podemos hacer la aproximación : e x  1  x
Asi, tenemos :
2 c 2 h 1 2 c 2 h  kT  2 ckT
l.q2.d
I() 
. 
.

x
5
5  hc 
4
4. Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck
expresada en términos de la longitud de onda, obtener la ley de
desplazamiento de Wien
Solución
Obtenemos la ecuación trascendente :
Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la
densidad de energía dE /d por unidad de longitud de onda a distintas temperaturas T1, T2, T3,
.., se produce a las longitudes de onda 1, 2, 3...tales que
l.q2.d
Solución Sección 49-1 . Radiacion Térmica
Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. Pag. 495.CECSA.1996
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1. En 1983 el satélite astronómico infrarrojo (IRAS) detecto una nube de
partículas sólidas en torno a la estrella Vega, irradiando al máximo con una
longitud de onda de 32 m.¿Cuál es la temperatura de esta nube de partículas?.
Supóngase una emisividad de la unidad
Solución
Sabemos :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
Reemplazando : 32  10 6 m.T  2,898  10 3 m.K
Hallando
T = 90,6 K
3. Calcule la longitud de onda de la radiancia espectral máxima e identifique
la region del espectro electromagnética a la que pertenece en cada uno de
los incisos siguientes : (a)La radiancia cósmica de fondo de 2,7 K, un
remanente de la bola de fuego primordial (b)Su cuerpo, suponiendo una
temperatura de la piel de 34ºC. (c)El filamento de tungsteno de una
lámpara luminosa a 1800 K . (d) El Sol, suponiendo una temperatura
superficial de 5800 K . (e) Un dispositivo termonuclear en explosión,
suponiendo una temperatura de la bola de fuego de 107 K. (f)EL universo
inmediatamente después del Big Bang, suponiendo una temperatura de
1038 K. Supóngase las condiciones de la radiación de cavidad en todos los
casos
Solución
Sabemos :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
(a) Reemplazamos :  máax  2,7 K  2,898  10 3 m.K
 máax  1073333  10 9 m  1073333 nm
(b) Tenemos : 34ºC = 307 K
Luego :  máax  307 K  2,898  10 3 m.K
 máax  9439  10 9 m  9439 nm (INFRARROJO)
(INFRARROJO)
(c) Tenemos :  máax  1800 K  2,898  10 3 m.K
 máax  1610  10 9 m  1610 nm (INFRARROJO)
(d) Tenemos :  máax  5800 K  2,898  10 3 m.K
(VISIBLE)
 máax  499  10 9 m  499 nm
7
(e) Tenemos :  máax  10 K  2,898  10 3 m.K
(ULTRAVIOLETA)
 máax  0,29  10 9 m  0,29 nm
(f) Tenemos :  máax  10 38 K  2,898  10 3 m.K
 máax  2,9  10 9 m  2,9 nm
(ULTRAVIOLETA)
5. Una cavidad cuyas paredes se mantienen a 1900 K tiene un pequeño orificio de
1 mm de diámetro, perforado en su pared.¿A que frecuencia escapa la energía
a través de este orificio de la cavidad interior?
Solución
Sabemos : I = T4
Donde :  = Constante Stefan – Boltzmann = 5,670x10-8 W/m2.K4
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Tambien : Intensidad 
Entonces :
energia
area
E
 .T 4
2
r
Reemplazamos :
Obtenemos :
E
1

 .10 3 
2

2
 .(1900 K)4
E= 580 mW
7. (a) Demuestre que un cuerpo humano de 1,80 m2 de área, una emisividad e = 1 ,
y una temperatura de 34ºC emite radiación a razón de 910 W. (b) ¿Por qué ,
entonces , no es luminiscente una persona en la oscuridad?
Solución
4
(a)Sabemos :
P  AeT
Reemplazamos P  (1,80 )(1)(307 )  908 ,359 W
11. Un horno con una temperatura de T0=215ºC en su interior esta en una sala con
una temperatura de T =26,2ºC.Existe una pequeña abertura de area A=5,20
cm2 en un costado del horno.¿Cuanta potencia neta se transfiere del horno a
la sala?(Sugerencia : Considerese tanto al horno como a la sala como
cavidades con e = 1)
Solución
4
Tenemos :
4
P  AeT
Pobjeto=.A.e.Tobjeto
Palrededor=.A.e.Talrededor
4
4
 Talrededor
)
Pneto=.A.e.( Tobjeto


Reemplazamos datos : Pneto = (5,67  10 8 )(5,20  10 4 )(1) (488 )4  (299 ,2)4 = 1,44 W
Solución Sección 49-2 . Ley de la radiación de Planck
Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. Pag. 496.CECSA.1996
16. Demuestre que la longitud de onda  máx , a la que tiene su máximo la ley
2 c 2 h
1
. hc / kT
de la radiación espectral de Planck : R() 
,esta dada
5

e
1
por la ecuación:  máx .T  2,898 x10 3 m.K
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dR
 0 ; se encontrara una ecuación cuya
d
solución numérica es 4,965)
Solución
Si : e hc / kT >>1 , entonces : e hc / kT -1  e hc / kT
2 c 2 h
1
Luego la ecuación de Planck quedara asi : R() 
 hc / kT
5

e
Sugerencia : Haga que

Derivando :
Simplificamos :


|
5
1
1
hc / kT 1



e
0
6 e hc / kT 5
2
|
5
1
  hc / kT  (1) e hc / kT
 e hc / kT  0
 e


1
5


2





 e



 (1).  hc.k.T   0
Derivamos :
5
1
  hc / kT  (1) e hc / kT
 e
Derivamos :

5
1
 hc / kT  (1) e hc / kT
 e
1
hc / kT

|
 hc 
 kT   0
2
5
hc 

  1  (1). 2
0

 .k.T 

5
hc
0
Simplificamos :   2
  .k.T
Cancelando : e hc / kT : 
hc
= 5 , de donde
 .k.T
hc (6,626  10 34 J .s)(3  10 8 m / s)
.T =

 2,878  10 3 m.K
 23
k
(1,381  10 J / K)  5
Cancelando : 
17. (a) Al integrar la ley de la radiación de Planck , para todas las longitudes de
onda, demuestre que la potencia irradiada por metro cuadrado de una
superficie de cavidad esta dada por :
 25 k 4  4
.T  .T 4
I(T)  
3
2 
15
h
.
c


hc
Sugerencia : Haga un cambio en las variables , haciendo que x =
.Se
kT

encontrara la integral definida :
La cual tiene el valor
5,67 x 10-8 W/m2.K4
Solución
FACULTAD
DE
x 3 dx
0 e x  1
4
. (b) Verifique que el valor numérico de la constante  es
15
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Como x =
Luego :
h5c5
hc
entonces : 5  5 5 5
kT
x .k .T
d
hc
hc
, entonces : d    2
 2
.dx
dx
x .k.T
x .k.T


Reemplazamos en la integral :  R().d   
0
0
2 c 2 h 1
.
.d 
5 e x  1

1
1
. x
.d 
5
h c
e 1
0
x5 k5 T5
 5 5 5
x k T
1  hc 
Reemplazo d 2 c 2 h. 5 5 . x
.  2 .dx
h
c
e

1
 x kT 
0
Reemplazamos 5
:
2 c 2 h.
5

Simplificando :
2 c 2 h.
2 c 2 h.
Luego :
Simplificamos :
k5 T5
h5c5
k 5 T 5  hc 
x5
1
.

.
. 2 .dx


5 5
x

h c  kT  0 e  1 x

3
 hc  x
. 
.dx 
 x
 kT  0 e  1
2 c 2 h.
k 5 T 5  hc   4 
. 
 
h 5 c 5  kT  15 
2 5 k 4
.T 4
2
3
15 c .h
Reemplazamos valores : 5,6 x 10-8.T4 = .T 4
Reducimos : 
l.q2.d
Solución Sección 40,1. Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
Serway Beichner . Vol. 2. 5º Edición. Pag. 1315.Mc Graw Hill.2001
1. El ojo humano es mas sensible a la luz de 560 nm.¿Cual es la temperatura de
un cuerpo negro que radiaría mas intensamente a esta longitud de onda?
Solución
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
Sabemos :
Reemplazamos : 560  10 9 .T  2,898  10 3 m.K
T  5,18  10 3 K
4. a) Suponiendo que el filamento de tungsteno de un foco eléctrico es un cuerpo
negro, determine su longitud de onda pico si su temperatura es de 2 900 K. b)
¿Por qué su respuesta al inciso a) sugiere que mas energía de un foco se
convierte en radiación infrarroja que en luz visible?
Solución
a) Sabemos :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
Reemplazamos :  máax  2900 K  2,898  10 3 m.K
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 máax  999  10 9 m  999 nm
b) La region infrarroja del espectro es mucho más ancha que la region visible, y la función de
distribución espectral es mas alta en el infrarrojo.
5.
Considere un cuerpo negro de 20 cm2 de área y 5000 K de temperatura.
a)¿Cuánta potencia radia?. b) ¿A que longitud de onda radia con mas
intensidad?.Encuentre la potencia espectral por longitud de onda en c) esta
longitud de onda y en longitudes de onda de d) 1 nm (un rayo X o ) , e) 5 nm
(luz ultravioleta o un rayo X), f) 400 nm ( en la frontera entre UV y la luz
visible). G) 700 nm (en la frontera entre la luz visible y la infrarroja), h) 1 nm
(luz infrarroja o una microonda ) e i) 10 cm (una microonda u onda de radio).
J) ¿Cerca de cuanta potencia radia el objeto como luz visible?
Solución
4
1. Sabemos :
P  AeT
Reemplazamos : P  (5,67  10
8
)(20  10 4 )(1)(5000 )4
P = 70,9 kW
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
b) Sabemos :
Reemplazamos :  máax  5000 K  2,898  10 3 m.K
 máax  579  10 9 m  579 nm
6. El radio del Sol es 6,96 x 108 m , y su salida de potencia total corresponde a 3,77
x 1026 W. a) Suponiendo que la superficie solar emite como un cuerpo negro
calcule su temperatura superficial . b) Empleando el resultado del inciso a)
encuentre máx del Sol?
Solución
4
a)
Sabemos :
P  AeT
Reemplazamos : 3,77  10
Simplificamos : 3,77  10
Luego :
26
 (5,67  10 8 )(4    r 2 )(1)(T)4


 (5,67  10 8 ) 4    (6,96  10 8 )2 (1)(T)4
26
T = 5,75 x 103 K
b) Aplicamos :
 máx .T  2,898 x10 3 m.K
Reemplazamos :  máx .(5,75  10 )  2,898 x10
3
3
m.K
 máx  504 nm.
7. Calcule la energía , en electronvolts , de un foton cuya frecuencia es a) 620 THz
, b) 3,10 GHz , c) 46 MHz, d) Determine las longitudes de onda
correspondiente a esos fotones y establezca la clasificación de cada uno sobre
el espectro electromagnético
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VII
Solución
a) Sea : E = h.f
Luego : E = (6,626x10-34J.s)(620x1012Hz)=4,10812x10-19J =2,57 eV
b) Sea : E = h.f
Luego : E = (6,626x10-34J.s)(3,10x109Hz)=2,05406x10-24J =12,8 eV
c) Sea : E = h.f
Luego : E = (6,626x10-34J.s)(46x106Hz)=3,04796x10-26J =190 neV
3  10 8
Reemplazamos :  
 483 nm
620  10 12
3  10 8
3  10 8
Reemplazamos :  
Reemplazamos
:


 6,52 m

96
,
8
mm
46  10 6
3,10  10 9
9. Un transmisor de radio de FM tiene una salida de potencia de 150 kW y
funciona a una frecuencia de 99,7 MHz ¿Cuántos fotones por segundo emite el
transmisor?
Solución
Sabemos : E = n.h. f
Reemplazamos : 150x103 =n.(6,626x10-34)(99,7x106)
c
d) Sabemos :  
f
Simplificamos :
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n = 2,27 x 1030 fotones /s
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