Mecánica Cuántica de Muchos Cuerpos Los siguientes resultados

Mecánica Cuántica de Muchos Cuerpos
Los siguientes resultados pueden ser de utilidad. La función de Bose se define
como
1 Z ∞ xn−1 dx
gn (α) =
si Re(n) > 0 y α ≤ 0.
Γ(n) 0 ex−α − 1
Entre otras, tiene las siguientes propiedades,
d
gn (α)
dα
gn (α)
gn (0)
gn (α)
= gn−1 (α)
→ eα si α → −∞ ∀n
= constante finita si n > 1
→ ∞ si α → 0− para n ≤ 1.
Gas de Bose en una trampa armónica
En los experimentos recientes de gases de átomos alcalinos bosónicos
( Na, 87 Rb, por ejemplo), tales sistemas no están contenidos en recipientes
de paredes rı́gidas sino confinados por campos magnéticos inhomogéneos, es
decir por “trampas”. Uno de los casos más comunes es la trampa armónica.
Suponiendo que el gas es ideal, el Hamiltoniano del sistema es en este caso,
23
H=
N
X
i=1
"
1
p~2i
+ mω 2~ri2 ,
2m 2
#
(1)
es decir, N átomos confinados por un campo externo armónico en 3 dimensiones.
a) Considere primero que el gas es clásico. Suponga que se tienen N
átomos en la trampa y que la temperatura es T . Encuentre la energı́a libre
de Helmholtz F = F (N, T, ω). Muestre que F es extensiva no sólo cuando
N → ∞ sino que también es necesario requerir que ω → 0 tal que N ω 3 =
constante. Note que esto implica que ω −3 es una variable termodinámica
extensiva.
b) Suponga ahora que el gas es cuántico. Los estados de una partı́cula son,
pues, los de un oscilador armónico tridimensional {|m
~ >= |mx , my , mz >}
1
con mi = 0, 1, 2, ... y con energı́as m
~ = h̄ω(mx + my + mz ). Note que hemos
escogido el origen de la energı́a tal que la energı́a del estado base es cero,
0 = 0.
Usemos el ensemble gran canónico. Muestre que el gran potencial es
Ω(T, V, µ) = kT
X
ln 1 − eα−βm~
(2)
m
~
con α = µ/kT y β = 1/kT ; supusimos, por sencillez, que los átomos tienen
spin s = 0. La termodinámica puede ser obtenida de Ω siguiendo los procedimientos usuales. Ası́, podemos obtener el número promedio de átomos en la
trampa. Muestre que es,
N=
1
X
m
~
e−α+βm~
−1
.
(3)
c) Muestre que la densidad de estados en este problema es ρ() = 2 /2(h̄ω)3 ,
tal que podemos reemplazar en la fórmulas termodinámicas
X
m
~
→
Z ∞
ρ()d =
Z ∞
0
0
2
d.
2(h̄ω)3
(4)
Sugerencia: Calcule Γ(), el número de estados con energı́a menor o igual a
y recuerde que
dΓ()
ρ() =
.
(5)
d
Para calcular Γ() note que = h̄ω(mx + my + mz ) define un plano en el
espacio (mx , my , mz ). Entonces, Γ() es el volumen contenido bajo tal plano.
b) Muestre que el número de partı́culas en la trampa, para α < 0, puede
expresarse como
!3
kT
N=
g3 (α),
(6)
h̄ω
donde g3 (α) es la función de Bose n = 3. Analice esta expresión. Muestre que
en el lı́mite clásico se recupera el valor correspondiente al inciso a). Discuta
cómo se obtiene el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein. Calcule
la temperatura de transición para valores dados del número de partı́culas y
de la frecuencia ω de la trampa.
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