Estado el arte sobre control de caos en un sistema de orden superior Efrain Garcia Quiroga Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá, Colombia efragarqui@gmail.com Resumen – La mayoría de los sistemas reales, no poseen una dinámica lineal, si no en cambio todos los sistemas poseen una dinámica dependiente de parámetros cambiantes, que alteran en algunos casos su respuesta infinitesimalmente o en casos específicos su respuesta en gran proporción, estos sistemas cuyos pequeños cambios en su entrada generan grandes cambios a la salida, se consideran sensibles a sus condiciones iniciales, y en dados casos donde esta salida posee un comportamiento aperiódico y una variación impredecible de su amplitud entre unos rangos, se considera un sistema caótico. ende más eficientes y efectivos, dejando como resultados sistemas muy estables capaces de prever cualquier inconveniente ajeno a la máquina que pudiesen alterar su normal funcionamiento. Entonces el control de sistemas caóticos viene a representar un área específica en el campo de control muy importante. II. DESARROLLO El desarrollo del artículo estará dividido en: A. Definición de un sistema caótico. B. Sistemas caóticos existentes, parámetros características. C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos. D. Metodologías de control de sistemas caóticos. El estudio de los sistemas caóticos es un área de gran importancia, ya que nos permite analizar de forma precisa ciertos sistemas tales como el clima, el crecimiento poblacional, el comportamiento del cerebro etc…,para poder comprenderlos y a su vez poder controlarlos. y A. Definición de un sistema caótico. En este documento se realizara un análisis donde se mostraran, algunos sistemas caóticos existentes, sus características, sus parámetros de oscilación caótica y su comportamiento, al igual que diversos métodos de análisis y control utilizados en este campo. Un sistema caótico es aquel sistema dinámico que es sensible a sus condiciones iniciales, es transitivo y su comportamiento debe formar un conjunto denso de orbitas periódicas en una región compacta del espacio básico llamado atractor caótico, además de que su comportamiento sea posible conocerlo, modelarlo pero no predecirlo.[1][2] Palabras clave: sistema caótico, control caótico. Gran parte de estos sistemas son estudiados como sistemas dinámicos no caóticos, pero sus aproximaciones o estudios solo son válidos para cortos periodos de tiempo, entre los sistemas caóticos más comunes se encuentran el sistema planetario, el clima, el comportamiento de las partículas subatómicas, el comportamiento del cerebro, entre otros. I. INTRODUCCIÓN Para trabajo en control y telecomunicaciones es muy familiar la palabra caos, y control de caos determinista, sin dar paso a explicaciones muy densas, puesto que la teoría del caos y predicción de sistemas reúne un trabajo desde cuando el hombre trataba de entender los cambios climáticos o las oscilaciones planetarias cuando apenas se aventuraba a descubrir el mundo que lo rodea, hoy en día en los últimos años se ha querido llevar las palabras control y caos a el modelado y representación de sistemas de diversa naturaleza como por ejemplo movimientos oscilatorios mecánicos, inducción de ruidos a señales de telecomunicaciones, compatibilidad electromagnética de sistemas de precisión, comunicación segura y encriptación. B. Sistemas caóticos características. existentes, parámetros y A continuación se mostraran los sistemas más utilizados y representativos estudiados en el campo: a) Se encuentran sistemas ligados a maquinas eléctricas o electrónicas en las que se inducen ruido o perturbaciones que alteran el funcionamiento de estos, o por el contrario en donde una inducción caótica controlada a un sistema, permite mejorar y desarrollar técnicas para sistemas de control mucho más avanzados, de mayor seguridad y por Sistema caótico de Duffing. Posee un comportamiento dado por la ecuación diferencial de segundo orden (1) cuyos parámetros de oscilación están dados por p1 = 2.75 y p2 = 0.2 la ecuación modela el movimiento de un oscilador amortiguado más complicado que en un movimiento armónico simples.[3][4][5][6] Este sistema de considera no autónomo 1 ya que es dependiente de una excitación externa para su oscilación. 𝑋̈ + 𝑝1 𝑋̇ + 𝑝2 𝑋 + 𝑋 3 = 𝑞 ∗ cos(𝑤𝑡) (1) El atractor generado por la función en su régimen caótico se muestra en la Figura 1. Figura 3.Atractor de Chua. d) Sistema caótico de Rossler. Sistema desarrollado por Otto Rossler el cual posee una dinámica dada por la ecuación diferencial (4) cuyos parámetros son a = 0.2 b= 0.3 c= 5.7. El sistema es autónomo ya que no posee una excitación externa para su oscilación. Cabe resaltar que este sistema es uno de los las fácil de analizar según la literatura.[10][11][12] Figura 1. Atractor caótico de Duffing. b) Sistema caótico de Lorenz. 𝑋̇ = −𝑌 − 𝑍 𝑌̇ = 𝑋 + 𝑎𝑌 ̇ 𝑍 = 𝑏 + 𝑍(𝑋 − 𝑐) Representa el comportamiento de la convección atmosférica terrestre, está dada por la ecuación diferencial (2) donde sus parámetros son p = 28, o = 10 y B = 8/3 para obtener su régimen caótico, este sistema se considera autónomo ya que no tiene excitación externa para su oscilación.[7][8] 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑜(𝑦 − 𝑥), 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑥(𝑝 − 𝑧) − 𝑦, 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑥𝑦 − 𝐵𝑧 (4) El atractor generado por la función en su régimen caótico se muestra en la Figura 4. (2) El atractor generado por la función en su régimen caótico se muestra en la Figura 2. Figura 4.Atractor de Rossler. C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos. Figura 2.Atractor de Lorenz. c) Los principales métodos de análisis de sistemas caóticos son: Sistema caótico de Chua. Sistema desarrollado por Matsumoto chua definido por la ecuación (3) donde sus parámetros son p = 9, q = 14.3, este sistema es no autónomo ya que depende de una excitación externa al sistema.[9] 𝑋̇ = 𝑝(𝑌 − 𝑓(𝑥)) 𝑌̇ = 𝑋 − 𝑌 + 𝑍 𝑍̇ = −𝑞𝑌 (3) El atractor generado por la función en su régimen caótico se muestra en la Figura 3. 2 VII REFERENCIAS [1] P. Sobrino Mejía, C. Gutiérrez Roncero, S. Luyo Aguilar, R. Magallanes Martínez, and V. Lévano Yataco, “Teoría del Caos : Efecto Mariposa,” pp. 1–91, 2002. [2] R. L. Devaney, “An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.” p. xvi + 336, 1989. [3] N. Inabat, “Bifurcation and chaos in the piecewiselinear forced duffing-van der pol oscillator with,” pp. 1297–1300. [4] H. S. Kenjiro Ymaguchi, “OSCILLATIONS, BIFURCATION PHENOMENA AND CHAOTIC THE, I N A SYSTEM DESCRIBED BY EQUATION, DUFFING-VAN DER POL’S,” pp. 11–14, 1990. [5] L. A. Aguirre and P. F. Donoso-garcia, “Control of the Chaotic Duffing Equation with Uncertainty in All Parameters,” Ieee, vol. 47, no. 7, pp. 1081– 1085, 2000. [6] H. Nijmeijer and H. Berghuis, “On Lyapunov control of the duffing equation,” IEEE Trans. Circuits Syst. I Fundam. Theory Appl., vol. 42, no. 8, pp. 473–477, 1995. [7] T. Gao, G. Chen, Z. Chen, and S. Cang, “The generation and circuit implementation of a new hyper-chaos based upon Lorenz system,” Phys. Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys., vol. 361, no. 1–2, pp. 78–86, 2007. [8] M. K. Vaishnav and B. B. Sharma, “Observer Design & Synchronization of Fourth Order Lorenz Stenflo Chaotic System,” no. 4, pp. 1–6, 2013. [9] N. H. N. He, Q. G. Q. Gao, C. G. C. Gong, Y. F. Y. Feng, and C. J. C. Jiang, “Adaptive tracking control for a class of Chua’s chaotic systems,” 2009 Chinese Control Decis. Conf., pp. 4241– 4243, 2009. [10] W. Der Chang, “Parameter identification of Rossler’s chaotic system by an evolutionary algorithm,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 29, no. 5, pp. 1047–1053, 2006. [11] I. I. Applications, “Control of Chaos : Methods and Applications .,” vol. 65, no. 4, pp. 505–533, 2004. [12] M. Frunzete, B. Florea, V. Stefanescu, and D. Stoichescu, “Image Enciphering by Using R ¨ ossler Map,” pp. 307–310, 2011. 3