Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2014-2
PRIMER PARCIAL Y SU SOLUCIÓN
Dr. A. Reyes-Coronado
Ayud. C. A. Escobar-Ruiz
Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z
1.- Problema: (15pts)
(a) Escribe las cuatro ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, escribiendo el
nombre de cada una de ellas, ası́ como su simplificación para el caso estático.
(b) Escribe los teoremas de la Divergencia y de Stokes.
(c) Escribe ahora las ecuaciones de Maxwell en forma integral, y su simplificación
para el caso estático.
Solución al problema 1
a)
~ = ρlibre ,
∇·D
~ = 0,
(ii) ∇ · B
~
~ = − ∂B ,
(iii) ∇ × E
∂t
(i)
~
~ = J~libre + ∂ D ,
(iv) ∇ × H
∂t
Ley de Gauss,
(1)
Ley de Gauss magnética,
(2)
Ley de Faraday,
(3)
Ley de Ampère-Maxwell.
(4)
Caso estático (los campos no dependen del tiempo):
b) Teoremas de Gauss y Stokes
Z
ZV
S
~ dV =
(∇ · A)
I
~ =
~ · da
(∇ × A)
~ = ρlibre ,
(i) ∇ · D
~ = 0,
(ii) ∇ · B
(5)
~ = 0,
(iii) ∇ × E
~ = J~libre .
(iv) ∇ × H
(7)
~
~ · da,
A
SI
(Teorema de la Divergencia)
~
~ · dl,
A
(Teorema de Sotkes).
(6)
(8)
(9)
(10)
C
En la primera ecuación S es la frontera del volumen V , mientras que en la segunda
ecuación S es cualquier superficie acotada por el cicuito cerrado C.
c) Forma integral de las ecuaciones de Maxwell:
1
I
~ = Qenc ,
~ · da
D
libre
(11)
~ = 0,
~ · da
B
(12)
S
I
S
Z
d
~
~
~ · da,
~
B
E · dl = −
dt S
C
I
Z
d
~
~
~
~ · da,
H · dl = Ienc +
D
dt S
C
I
(13)
(14)
donde hemos aplicado el teorema de la divergencia a las primeras dos ecuaciones y el
teorema de Stokes a las dos últimas. Su simplificación para el caso estático es
I
~ = Qenc ,
~ · da
D
libre
(15)
~ = 0,
~ · da
B
(16)
~ = 0,
~ · dl
E
(17)
~ = Ienc .
~ · dl
H
(18)
S
I
IS
C
I
C
2.- Problema: (25pts) Escribe el campo eléctrico en todo punto del espacio para los
siguientes casos (explica tu procedimiento de cálculo con detalle):
(a) Una partı́cula puntual con carga q.
(b) Una lı́nea infinita con densidad lineal de carga λ, constante y uniforme.
(c) Un plano infinito con densidad superficial de carga σ, constante y uniforme.
(d) Un cascarón esférico con densidad superficial de carga σ, constante y uniforme.
(e) Una esfera sólida con una densidad volumétrica de carga ρ, constante y uniforme.
Solución al problema 2
Dado que las configuraciones de carga tienen alta simetrı́a, es posible calcular el campo
eléctrico haciendo uso de la ley de Gauss en su forma integral.
Z
enc
~ = Qtotal
~ · da
E
(19)
0
Para lo anterior haremos uso del mismo procedimiento en cada uno de los siguientes
incisos. Lo único que necesitamos especificar es nuestra superficie gaussiana, cómo es el
campo eléctrico respecto a esta superficie (paralela o perpendicular) y cuál es la carga
encerrada en cada caso.
a) El campo eléctrico es radial tomando como origen la carga misma. Tomemos como
superficie gaussiana una esfera de radio r centrada en el origen (en la carga). El campo
2
eléctrico es perpendicular a la superficie en todo punto, es decir, el campo eléctrico es
~ en todo punto de la superficie. Directamente se tiene que
paralelo a da
Z
~ = |E|
~ · da
~ 4πr2 = q ,
(20)
E
0
lo cual nos lleva a la bien conocida ecuación para el campo eléctrico producido por una
carga puntual
~ =
E
1 q
r̂.
4π0 r2
(21)
b) Tomemos como superficie gaussiana un cilindro de radio r y largo L, cuyo eje de
simetrı́a coincide con la lı́nea que contiene la densidad de carga. El campo es perpendicular
~ sobre las tapas del cilindro, mientras que es paralelo en la superficie restante. Lo
a da
anterior se debe a que el campo eléctrico es radial respecto a la lı́nea con densidad de carga
λ. La carga encerrada es λL, por lo que tenemos que
Z
~ = |E|
~ · da
~ 2πrL = λL .
E
(22)
0
De lo cual se sigue que el campo eléctrico está dado por
~ =
E
1 λ
r̂,
2π0 r
(23)
siendo r̂ un vector unitario apuntando radialmente respecto a la lı́nea con densidad de carga
λ.
c) Tomemos como superficie gaussiana un cubo de lado L en donde 2 caras sean paralelas
al plano infinito (este cubo encierra un área determinada del plano infinito). El campo
~ en estas dos últimas caras, mientras que es perpendicular a las 4
eléctrico es paralelo a da
restantes. La carga encerrada por la superficie gaussiana es σL2 , entonces
Z
2
~ = |E|
~ · da
~ 2L2 = σL ,
E
(24)
0
con lo cual el campo eléctrico será
~ = σ n̂.
E
20
(25)
siendo n̂ un vector unitario normal al plano.
d) Sabemos que el campo eléctrico debe ser radial. Tomemos como superficie gaussiana
una esfera concéntrica de radio r. Al aplicar la ley de Gauss dentro del casacarón tenemos
~ = 0, dado que la superficie gaussiana no encierra carga. Fuera del cascarón (con radio
que E
R) tenemos que
Z
2
~ = |E|
~ · da
~ 4πr2 = σ4πR ,
E
(26)
0
por lo tanto fuera del cascarón esférico tenemos que el campo eléctrico es
~ =
E
1 σ4πR2
1 q
r̂ =
r̂,
4π0 r2
4π0 r2
3
(27)
donde q = σ4πR2 es la carga total sobre la superficie del cascarón.
e) Fuera de la esfera (de radio R) es análogo al caso anterior, sólo debemos considerar
que ahora la carga total encerrada es QT = ρ 34 πR3 .
1 ρR3
1 QT
1 ρ 34 πR3
r̂
=
r̂ =
r̂.
2
2
4π0 r
30 r
4π0 r2
Para r < R tenemos que
Z
ρ 43 πr3
2
~
~
~
E · da = |E| 4πr =
,
0
~ =
E
(28)
(29)
con lo cual, dentro de la esfera tenemos que
~ = 1 ρ r r̂.
E
30
(30)
3.- Problema: (20pts) Calcula el flujo de campo eléctrico sobre un rectángulo de lados
a y b producido por una partı́cula con carga q situada a una distancia h del centro
del rectángulo.
Solución al problema 3
Para calcular el flujo Φab sobre el rectángulo de lados a y b encerremos la carga en un
paralelepı́pedo imaginario de lados a, b y 2h (colocando la carga en el centro). El área del
paralelepı́pedo es (2ab+4ah+4bh). Siguiendo el mismo razonamiento de la tarea 2, tenemos
que el flujo total está dado por
ΦA =
q
,
0 (2ab + 4ah + 4bh)
(31)
por lo que el flujo atravesando el rectángulo de lados a y b (con área ab) será
Φab =
qab
.
0 (2ab + 4ah + 4bh)
(32)
4.- Problema: (20pts) Tres cargas están situdas en las esquinas de un cuadrado de lado
a, como se muestra en la figura.
(a) Calcula la cantidad de trabajo necesario para traer otra carga +q desde lejos
hasta la cuarta esquina, que está vacı́a.
(b) Calcula el trabajo necesario para construir el sistema completo de cuatro cargas.
Solución al problema 4
a) Dado que el trabajo está dado como
W (~r ) = q φ(~r ),
4
(33)
!q"
a"
+q"
a"
!q"
sólo requerimos calcular el potencial escalar para el sistema mostrado en la figura:
φ=
1 X qi
,
4π0
ri
(34)
i
siendo ri la distancia entre la carga qi y la esquina donde queremos colocalar la carga +q
(en este caso la esquina que no tiene carga). Entonces
1
q
−q −q
q
1
φ=
+
+√
=
−2+ √ ,
(35)
4π0 a
a
4π0 a
2a
2
con lo cual el trabajo será
q2
W = qφ =
4π0 a
1
−2+ √ ,
2
(36)
que es una cantidad negativa, por lo que el sistema hace el trabajo para traer una carga
positiva hasta la esquina vacı́a del cuadrado!
b) El trabajo total WT para formar el sistema es la suma de los trabajos que resultan
de ir colocando las cargas una por una. Para la primera carga no se requiere trabajo (dado
que φ = 0). Lo siguiente es considerar el trabajo en traer otra carga a una distancia a de
la carga inicial. Una vez realizado lo anterior se procede a calcular el trabajo para colocar
una tercera carga en otra esquina del cuadrado tomando en cuenta el potencial debido a la
presencia de las dos primeras cargas. Finalmente se calcula el trabajo para colocar la cuarta
y última carga en la esquina faltante [que se calculó en el inciso a)].
Empezamos colocando la carga −q en la esquina superior y después iremos colocando
las cargas en el sentido antihorario:
2
2
1
−q
1
q
q2
√ −
W1 = 0 ;
W2 =
;
W3 =
;
W4 = (ver (a)).
4π0
a
4π0
a
2a
(37)
De lo anterior se sigue que el trabajo total es
1 2q 2
1
WT = W1 + W2 + W3 + W4 =
−2+ √ ,
(38)
4π0 a
2
y observamos que es nuevamente una cantidad negativa, por lo que el sistema hace el trabajo
para formar el sistema.
5.- Problema: (20pts) Calcula la capacitancia de un sistema de dos esferas huecas
metálicas (conductoras perfectas) concéntricas, con radios a y b.
5
Solución al problema 5
Tomamos la carga +Q en la esfera interior y −Q para la esfera exterior. El campo
eléctrico entre las esferas está dado por
~ =
E
1 Q
r̂.
4π0 r2
La diferencia de potencial está dada por
Z a
Z a
1
Q
1 1
Q
~
~
dr =
,
∆φ = −
E · dl = −
−
4π0 b r2
4π0 a b
b
(39)
(40)
con lo cual la capacitancia del sistema es
C=
Q
ab
= 4π0
.
∆φ
(b − a)
6
(41)