Análisis de datos y Estadística Avanzada Esquema

Análisis de datos y Estadística Avanzada
Máster Interuniversitario de Astrofísica UCM+UAM
Tema 4: Regresión lineal simple
Javier Gorgas y Nicolás Cardiel
Departamento de Astrofísica y Ciencias de la Atmósfera
Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Complutense de Madrid
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
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Esquema
1
Introducción
Análisis de regresión
Tipos de regresión
2
Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
Tratamiento avanzado
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Introducción
Análisis de regresión
¿Qué es la regresión?
El término regresión fue acuñado por Francis Galton en el siglo XIX para
referirse a fenómenos biológicos: los descendientes de progenitores
excepcionales son, en promedio, menos excepcionales que los progenitores, y
más parecidos a sus ancestros más distantes (Galton utilizó el término reversion
al hablar de guisantes en 1877, y regression al referirse a la altura de humanos
en 1885).
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Introducción
C
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Análisis de regresión
Análisis de regresión
El análisis de regresión es un intento de examinar la relación que existe entre
una variable dependiente (variable respuesta) y un conjunto de variables
independientes (predictores).
El modelo matemático que establece dicha relación es la ecuación de regresión.
La variable dependiente se modela como una variable aleatoria.
La ecuación de regresión contiene una serie de parámetros de regresión
(“constantes”) que establecen la relación cuantitativa entre las variables
independientes y la dependiente. Estos parámetros se estiman a partir de datos.
Los parámetros de un modelo de regresión pueden estimarse de varias
maneras, por ejemplo utilizando
el método de mínimos cuadrados (OLS, del inglés ordinary least squares)
el método de máxima verosimilitud
técnicas bayesianas
...
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
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Introducción
Tipos de regresión
Regresión lineal y no lineal
Regresión lineal: la relación entre la respuesta Y (variable dependiente) y las variables
independientes Xi es lineal
Y = β0 + β1 X 1 + β2 X 2 + . . . + βn X n .
En este sentido, una relación del tipo
Y = β0 + β1 X + β2 X 2
también es lineal (lineal en X y X 2 ), aunque la representación gráfica no sea una línea
recta.
Algunos problemas no lineales pueden linealizarse realizando una transformación
adecuada. Por ejemplo
Y = abX
se linealiza tomando logaritmos a ambos lados, es decir
ln(Y) = ln(a) + ln(b)X .
Regresión no lineal: aquella en la que la relación entre la respuesta y las variables
independientes no es una función lineal o linealizable.
En este tema vamos a concentrarnos en la regresión lineal simple: Y = α + βX .
¿Simple? ¡En absoluto!
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
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Tratamiento clásico
Ejemplo de diagrama de dispersión. Los datos corresponden a las medidas
de dispersión de velocidades y luminosidad en una muestra de 40 galaxias
elípticas realizadas por Schechter P.L. (1980).
Cuando en un diagrama de dispersión los datos se distribuyen aproximadamente a lo largo de una
línea reacta ajustaremos una recta de regresión. La regresión de y sobre x vendrá dada entonces
por y = a + bx, con a y b dos parámetros a determinar. Gráficamente, a será la ordenada en el
origen y b la pendiente de la recta.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
C
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Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
¿Cómo se determina la recta de regresión?
(Método de mínimos cuadrados)
Se minimiza la suma de los cuadrados de las distancias entre
los valores yi y los valores dados por la recta:
∗
yi = a + bxi
∗
di = yi − yi
M=
(≡residuo)
N
N
X
X
2
∗
2
di =
(yi − yi )
i=1
M=
i=1
N
X
2
(a + bxi − yi )
i=1
8
<
:
⇒
⇒
∂M
∂a
=
∂M
∂b
=
P
P
2(a + bxi − yi ) = 0
2(a + bxi − yi )xi = 0
8 P
(a + bxi − yi ) = 0
<
: P
(axi + bxi2 − xi yi ) = 0
8
P
P
xi =
yi
< aN + b
:
˛
˛
N
˛
∆ = ˛˛ P
˛
xi
a
P
xi + b
˛ P
˛
yi
1 ˛
˛
a=
˛
∆ ˛ Px y
i i
˛
˛
N
1 ˛
˛
b=
˛ P
∆ ˛
xi
x=
P 2
P
xi =
xi yi
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
P
xi
xi
N
y = a + bx
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
y
y=
P
yi
N
1 Px y − x y
i i
b = N1 P
2
2
x
i −x
N
˛
xi ˛˛
“X ”2
X 2
˛=N
x
−
xi
i
˛
P 2 ˛
xi
P
˛
P 2P
P P
˛
˛
xi
yi −
xi
xi yi
˛=
P
P 2
P 2 ˛˛
2
N
xi − ( xi )
xi
˛
P
P
P P
yi ˛˛
N
xi yi −
xi
yi
˛=
P 2
P 2
˛
P
N
x
−
(
x
)
˛
i
xi yi
i
P
y
a = y − bx
Curso
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2010/2011
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Tratamiento clásico
Covarianza y coeficientes de regresión
Las expresiones para los parámetros de la recta de regresión se pueden simplificar más introduciendo una importante definición.
Se define la covarianza de una muestra bidimensional a
PN
2
i=1 (xi − x)(yi − y)
Cov ≡ sxy =
(1)
N−1
Desarrollando esta expresión se puede llegar a una fórmula simplificada para calcularla
P
P
(xi − x)(yi − y)
(xi yi − xyi − xi y + x y)
2
sxy =
=
=
N−1
N−1
P
P
P
xi yi − x
yi − y
xi + Nx y
=
=
N−1
P
P
xi yi − xNy − yNx + Nx y
xi yi − Nx y
=
=
.
N−1
N−1
De la misma forma se puede desarrollar la expresión para la varianza de x e y
P
P 2
P 2
P
P 2
P 2
(xi − x)2
(xi − 2xi x + x2 )
xi − 2x
xi + Nx2
xi − 2Nx2 + Nx2
xi − Nx2
2
sx =
=
=
=
=
.
N−1
N−1
N−1
N−1
N−1
P
P 2
P 2
P
P 2
P 2
(yi − y)2
(yi − 2yi y + y2 )
yi − 2y
yi + Ny2
yi − 2Ny2 + Ny2
yi − Ny2
2
sy =
=
=
=
=
.
N−1
N−1
N−1
N−1
N−1
Usando estas definiciones, podemos reescribir la expresión para la determinación de la pendiente de la recta de regresión
y = a + bx como
s2xy
Cov
byx =
=
,
s2x
s2x
donde escribimos byx para subrayar que es la recta de regresión de y sobre x.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
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Curso
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2010/2011
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Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
¿Regresión de y sobre x o de x sobre y?
De igual manera se puede obtener la recta de regresión de x sobre y (x = a + by), minimizando en este caso las distancias
horizontales (xi∗ − xi ) a la recta. El resultado es que el coeficiente de regresión de x sobre y (denotado por bxy ) y la recta
resultante se pueden escribir
Cov
bxy =
s2y
Nótese que ambas rectas de regresión no coinciden en general y que ambas se cortan en el punto (x, y).
y−y=
Cov
s2x
(x − x)
x−x=
;
Cov
s2y
(y − y)
Ambos coeficientes de regresión tienen el mismo signo (el signo de la covarianza, ya que las varianzas siempre son positivas).
Esto implica que las dos rectas de regresión serán a la vez ascendentes o descendentes.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
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Tratamiento clásico
Coeficiente de correlación lineal
La correlación estudia el grado de asociación o dependencia entre las dos variables. Estudiar la correlación significa analizar
hasta qué punto es significativa la dependencia de una variable con la otra.
Aunque la covarianza nos informa del grado (y signo) de la correlación, su utilización está limitada por el hecho de que depende
de las unidades de medida en que se trabaje.
Para construir una medida adimensional hay que dividir la covarianza por un término con sus mismas dimensiones. De esta
manera se define el coeficiente de correlación lineal
s2xy
r=
sx sy
=
Cov
sx sy
.
Es fácil mostrar que el coeficiente de correlación se relaciona con los coeficientes de regresión mediante
byx = r
y, de hecho,
sy
sx
y bxy = r
sx
sy
v
u
q
u Cov Cov
r=
=t
= byx bxy .
sx sy
s2x s2y
Cov
No es difícil demostrar que
P ∗
(y − y)2
VE
Variaci«
on explicada
r = P i
=
=
.
(yi − y)2
VT
Variaci«
on total
2
donde r2 se define como el coeficiente de determinación.
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Curso
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13 / 29
Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
Varianza residual
Un concepto relacionado con el coeficiente de correlación es el de varianza residual, la cual permite estimar la variación de los
datos originales respecto a la recta de regresión que se ha ajustado,
Pn
Pn
∗ 2
2
2
i=1 (yi − yi )
i=1 (yi − a − bxi )
sr =
=
.
n−2
n−2
La relación entre la varianza residual y el coeficiente de determinación es
2
sr =
n−1 2
2
sy (1 − r ).
n−2
Interpretación del coeficiente de correlación
1
r = 0. En este caso, por las relaciones vistas en el apartado anterior, es claro que se cumple
r=0
⇒
Cov = 0
byx = bxy = 0
;
;
2
2
sr � sy .
Es decir, en este caso, al ser la covarianza nula no existirá correlación. Además las pendientes de la rectas de regresión
de y sobre x y de x sobre y serán nulas, es decir sus orientaciones serán horizontal y vertical respectivamente. Por otra
parte, al ser la varianza residual aproximadamente igual a la varianza de y, la dispersión de la variable y no se verá
reducida al ajustar la recta de regresión.
2
r = 1. Es claro que en este caso se cumple que la varianza residual es nula (s2r = 0), por lo que no habrá dispersión de
los puntos respecto a la recta y todos se situaran sobre ella. En este caso tendremos una dependencia funcional entre
ambas variables y una correlación positiva, o directa, perfecta. Además las dos rectas de regresión (de y sobre x y de x
sobre y) coincidirán.
3
r = −1. Al igual que en el caso anterior todos los puntos se situarán sobre la recta y la correlación será negativa, o
inversa, perfecta.
4
0 < r < 1. En este caso, la correlación será positiva pero no perfecta. Evidentemente la correlación (y la covarianza)
será mejor cuanto más se acerque r a 1.
5
−1 < r < 0. De la misma manera tendremos una correlación negativa tanto mejor cuanto más próximo esté r a −1.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
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Regresión lineal simple
Curso
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Tratamiento clásico
Inferencia sobre la regresión lineal clásica
Hemos partido de la hipótesis básica
Y = α + βX
Pero nosotros contamos con unas “observaciones” que tan solo nos proporcionan la ecuación de regresión lineal ajustada o de la
muestra
∗
yi = a + bxi
por lo que a es una estimación de α y b es una estimación de β. Diferentes muestras nos proporcionará distintas estimaciones
de los parámetros α y β.
En la aproximación clásica (ver apuntes de primero) se muestra que, bajo la hipótesis de que los errores en las medidas no
dependen del valor de la variable independiente x, las incertidumbres asociadas a los coeficientes de la regresión son
!
PN
2
1
x2
2
2
2
i=1 xi
σa = σ
+
=σ
P
2
N
(N − 1)s2x
N N
i=1 (xi − x)
(suma de dos términos: error en la ordenada media y el incremento del error al alejarnos del origen x = 0)
2
σb =
σ2
(N − 1)s2x
(inversamente proporcional al rango en x y proporcional al error intrínseco de las medidas; lógicamente disminuye con N)
σ 2 es la varianza de Y, cuyo estimador insesgado viene dado por la varianza residual
PN
2
2
i=1 (yi − a − bxi )
sr =
N−2
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
12 2010/2011
15 / 29
Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
Debilidades de la regresión lineal
Tanto la recta de regresión como el coeficiente de correlación no son robustos, en el
sentido de que resultan muy afectados por medidas particulares que se alejen mucho de
la tendencia general.
No hay que olvidar que el coeficiente de correlación no es más que una medida resumen.
En ningún caso puede substituir al diagrama de dispersión, que siempre habrá que
construir para extraer más información. Formas muy diferentes de la nube de puntos
pueden conducir al mismo coeficiente de correlación.
El que en un caso se obtenga un coeficiente de correlación bajo no significa que no pueda
existir correlación entre las variables. De lo único que nos informa es de que la correlación
no es lineal (no se ajusta a una recta), pero es posible que pueda existir una buena
correlación de otro tipo.
Un coeficiente de correlación alto no significa que exista una dependencia directa entre
las variables. Es decir, no se puede extraer una conclusión de causa y efecto basándose
únicamente en el coeficiente de correlación. En general hay que tener en cuenta que
puede existir una tercera variable escondida que puede producir una correlación que, en
muchos casos, puede no tener sentido.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
13 2010/2011
16 / 29
Tratamiento clásico
Recta de regresión cuando hay incertidumbres (Método de mínimos cuadrados)
Si además de los datos (xi , yi ) se tiene una estimación de las
incertidumbres en yi , que llamaremos σi , se puede realizar
un proceso similar, minimizando ahora la suma pesada de los
cuadrados de las distancias entre los valores yi y los valores
dados por la recta:
∗
yi = a + bxi
∗
di = yi − yi
M=
N
X
di2
σi2
i=1
M=
8
>
>
<
>
>
:
∂M
∂a
=
∂M
∂b
=
⇒
⇒
=
N
2
X
(y∗
i − yi )
σi2
i=1
«
N „
X
a + bxi − yi 2
σi
i=1
P h “ a+bxi −yi ” “ 1 ”i
2
=0
σ
σ
i
i
P h “ a+bxi −yi ” “ xi ”i
2
=0
σ
σ
i
i
8 P
(a + bxi − yi )/σi2 = 0
<
: P
(axi + bxi2 − xi yi )/σi2 = 0
8
P
P
P
1/σi2 + b
xi /σi2 =
yi /σi2
< a
:
a
P
xi /σi2 + b
P 2 2
P
xi /σi =
xi yi /σi2
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
˛ P
˛
1/σi2
˛
∆ = ˛˛
˛ P x /σ 2
i
i
˛ P
˛
yi /σi2
1 ˛
˛
a=
˛
∆ ˛ P x y /σ 2
i i
i
˛ P
˛
1/σi2
1 ˛
˛
b=
˛
∆ ˛ P x /σ 2
i
i
˛
˛
X 1 X xi2
˛
˛=
−
P 2 2 ˛˛
σi2
σi2
xi /σi
P
xi /σi2
X xi
σi2
!2
P xi P xi yi
P xi2 P yi
˛
−
˛
˛
σi2
σi2
σi2
σi2
˛=
P 2 2 ˛˛
∆
x /σ
P
xi /σi2
i
i
P xi P yi
P 1 P xi yi
˛
−
˛
˛
σi2
σi2
σi2
σi2
˛=
˛
P
∆
xi yi /σi2 ˛
P
yi /σi2
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
14 2010/2011
17 / 29
Regresión lineal simple
Tratamiento clásico
¿Incertidumbre en la predicción?
No es posible hacer una estimación inmediata de la incertidumbre en y = a + bx sin tener en cuenta las covarianzas (a y b se
determinan a partir de los mismos datos, por lo que están correlacionados). Sin embargo, considerando que
y0 = a(xi , yi , σi ) + b(xi , yi , σi )x0 ,
a la hora de estimar incertidumbres en la predicción podemos considerar que y0 = f (yi ), por lo que
!2
N
X
∂y
2
2
(∆y0 ) =
σj ,
∂y
j
j=1
donde
∂y
∂yj
=
xi2
i=1 σ 2
i
PN
!
siendo
1
σj2
−
∆
PN
xi
i=1 σ 2
i
!
xj
σj2
+
PN
1
i=1 σ 2
i
!
xj
σj2
−
∆
PN
xi
i=1 σ 2
i
!
1
σj2
x0 ,
0
12
N
X
xi
A .
∆=
−@
σi2 i=1 σi2
σi2
i=1
i=1
N
N
X
1 X
xi2
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
15 2010/2011
18 / 29
Tratamiento avanzado
La importancia de las incertidumbres
El método de regresión lineal clásico es una aproximación demasiado simplista. En la
práctica uno tiene que enfrentarse inevitablemente con incertidumbres en las
medidas y con la posibilidad de que la hipótesis básica Y = α + βX se vea afectada
por factores adicionales.
Conviene distinguir diferentes situaciones:
1
Problemas en los que la dispersión de los datos dominan sobre cualquier
incertidumbre de medida (¡la dispersión es real!): ver Isobe et al. (1990), y Babu
y Feigelson (1992).
2
Problemas en los que dominan las incertidumbres en las medidas: ver
Feigelson y Babu (1992; tratan ajustes pesados, y modelos de regresión
truncados —faltan datos por encima/debajo de unos límites— y con datos
censurados —cotas—).
3
Problemas en los que importan tanto las incertidumbres en las medidas como la
dispersión intrínseca: ver Akritas y Bershady (1996; incluyen un método que
permite tratar errores en ambas variables y que dicho error esté correlacionado).
En este tema vamos a revisar únicamente el primer caso. Consultar las referencias
para las otras dos situaciones.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
16 2010/2011
20 / 29
Regresión lineal simple
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Alternativas cuando la dispersión intrínseca de los datos domina
Podemos emplear diferentes métodos cuando lo único que conocemos son (xi , yi )
(asumimos que la dispersión intrínseca domina sobre las incertidumbres de las medidas). Ver descripción detallada en Isobe et al. (1990) y Babu y Feigelson (1992).
Tratamiento asimétrico de X e Y
OLS(Y|X): método clásico en el que se minimiza
la distancia en Y (caso a en la figura).
OLS(X|Y): similar al anterior, pero se minimiza la
distancia en X (caso b en la figura).
Tratamiento simétrico de X e Y
OLS-bisector: ajuste que bisecciona OLS(Y|X) y
OLS(X|Y).
Orthogonal regression: minimiza la distancia
perpendicular a la recta (caso c en la figura).
Reduced major axis: minimiza la suma de las
distancias en X e Y (caso d en la figura).
OLS-mean: media de OLS(Y|X) y OLS(X|Y).
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Curso
17 2010/2011
22 / 29
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
18 2010/2011
23 / 29
Regresión lineal simple
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
19 2010/2011
24 / 29
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Guía para el astrónomo (I)
Los diferentes métodos proporcionan coeficientes de regresión
que son, desde un punto de vista teórico, distintos, por lo que no
proporcionan estimaciones diferentes de una misma cantidad.
Salvo que tengamos un conocimiento a priori sobre los datos (e.g.
no existen residuos en la dirección X) o la pregunta científica a
responder (e.g. predicción de Y a partir de medidas de X), en
cuyo caso puede ser preferible emplear OLS(Y|X), en general no
hay una base matemática para preferir un método frente a otro.
Las incertidumbres en OLS(Y|X) que proporcionan las
estimaciones clásicas (Bevington 1969) no son realmente
correctas (requieren demasiadas restricciones que normalmente
no se dan: e.g. residuos en Y independientes de X). Mejor las
fórmulas derivadas en Isobe et al. (1990).
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
20 2010/2011
25 / 29
Regresión lineal simple
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Babu y Feigelson (1992)
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
21 2010/2011
26 / 29
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Guía para el astrónomo (II)
Las simulaciones de Monte Carlo (ver Babu y Feigelson 1990)
muestran
El método estándar OLS(Y|X) funciona muy bien y debería
favorecerse cuando hay una clara distinción entre las variables
dependiente e independiente.
A la hora de tratar de forma simétrica las variables, el OLS-bisector
y el reduced major axis tienen menores varianzas que la
orthogonal regression y que el OLS-mean.
Un problema con el reduced major axis es que la pendiente que se
determina no depende de la correlación de la población (es
invariante de escala) ⇒ el OLS-bisector parece la mejor alternativa.
Las fórmulas para estimar las incertidumbres en los 6 métodos
descritos funcionan bien cuando N es grande. Para N ≤ 50 las
estimaciones no convergen adecuadamente. ¿Solución?
Jackknife o bootstrap.
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
22 2010/2011
27 / 29
Regresión lineal simple
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Jackknife1
Este método consiste en generar, a partir de muestras de N elementos, N submuestras de N − 1
elementos, eliminando en cada una de estas submuestras secundarias un elemento (podemos
hacerlo de forma consecutiva, eliminando el primer elemento en la primera muestra, el segundo
en la segunda muestras, y así sucesivamente.
Bootstrap2
Es una generalización del método anterior, en el cual se generan muestras secundarias de N
elementos, seleccionando los elementos de forma aleatoria a partir de la muestra original, pero
permitiendo repetir valores. De esta forma, una fracción aleatoria de los valores iniciales aparecerán duplicados (∼ 1/e � 37%).
⇒ Estos métodos no dan información a partir de la nada. Nos dan información que desconocíamos previamente (ver Press et al. 2002).
1
Podemos traducirlo como pequeña navaja o navaja de bolsillo.
2
El nombre se debe a la aparente capacidad del método de conseguir algo aparentemente imposible (sacar de donde no hay).
En Las increíbles aventuras del Barón Munchhausen, Rudolph Erich Raspe cuenta que en cierta ocasión el Barón logró escapar
de una muerte segura al salir volando tirando de los cordones de sus propias botas (en inglés “[. . . ] he thought to pull himself up
by his own bootstraps”).
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Regresión lineal simple
Curso
23 2010/2011
28 / 29
6 métodos de ajuste por mínimos cuadrados
Referencias (orden cronológico)
Bevington P.R., Data reduction and error analysis for the physical sciences,
1969, McGraw-Hill
Isobe T. et al., Linear regression in Astronomy. I., 1990, ApJ, 364, 104
Babu G.J., Feigelson E.D., Analytical and Monte Carlo comparisons of six
different linear squares fits, 1992, Comm. Statit. Comput. Simul., 21(2), 533
Feigelson E.D., Babu G.J., Linear regression in Astronomy. II, ApJ, 397, 55
Arkitas M.G., Bershady M.A., Linear regression for astronomical data with
measurement errors and intrinsic scatter, 1996, ApJ, 470, 706
Press W.H., et al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2002, Cambridge University
Press
Tema 4: Regresión lineal simple (♣)
Análisis de datos y Estadística Avanzada
Curso
24 2010/2011
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