§ El teorema del módulo máximo 1. Principio del máximo 1. Probar el siguiente Principio del mı́nimo. Si f es una función analı́tica no constante en un abierto acotado G y continua en G− , entonces o bien f tiene un cero en G o |f | asume su mı́nimo valor en ∂G Solución: Si f (z) = 0 para algún z ∈ G se tiene el resultado. Supongamos ahora que f (z) 6= 0 ∀z ∈ G 1 . Claramente como f (z) 6= 0, tenemos que F (z) es Consideremos F (z) = f (z) continua en G− y analı́tica en G, luego |F (z)| tiene máximo en ∂G ⇔ |f (z)| tiene mı́nimo en ∂G 2. Sea G una región acotada y suponga que f es continua en G− y analı́tica en G. Mostrar que si hay una constante c ≥ 0 tal que |f (z)| = c para todo z en la frontera de G, entonces f es constante o f tiene un cero en G Solución: Sea z ∈ G, por el teorema del módulo máximo tenemos que |f (z)| ≤ máx{|f (w)| : w ∈ ∂G} = c Si suponemos además que f (z) 6= 0 ∀z ∈ G, por el Principio del mı́nimo, |f (z)| ≥ mı́n{|f (w)| : w ∈ ∂G} = c por lo que se tiene que c ≤ |f (z)| ≤ c entonces |f (z)| = c, ∀z ∈ G. Por la continuidad de f se tiene que f es constante en G− 3. a) Sea f una función entera no constante. Para cualquier número real c mostrar que la clausura de {z : |p(z)| < c} es {z : |p(z)| ≤ c} b) Sea p un polinomio no constante. Muestre que cada componente de {z : |p(z)| < c} contiene un cero de p c) Si p es un polinomio no constante y c > 0. Mostrar que {z : |p(z)| = c} es la unión de un número finito de caminos cerrados . Discuta el comportamiento de este camino cuando c → ∞ 4. Sea 0 < r < R y A = {z : r ≤ |z| ≤ R}. Muestre que existe un número positivo ε > 0 tal que para cada polinomio P sup{|p(z) − z −1 | : z ∈ A} ≥ ε Esto dice que z −1 no es el lı́mite uniforme de polinomios en A 5. Sea f analı́tica en B(0, R) con |f (z)| ≤ M ∀|z| ≤ R y |f (0)| = a > 0 Mostrar que el número de ceros de f en B(0, R/3) es menor o igual que 1 M log log 2 a Solución: Sean z1 , z2 , . . . , zk los ceros de f en B(0, R/3). Consideremos la siguiente función #−1 n Y z g(z) = f (z) 1− zk k=1 " Notemos que g(0) = f (0) y que g es analı́tica en B(0, R), además Q M (R/3)k |f (z)| |f (z)| |zk | ≤Q |g(z)| = Qn zk −z = Q |zk − z| |zk − z| k=1 | zk | Del hecho que g es analı́tica en B(0, R), usando la fórmula integral de Cauchy, para la curva γ = {|z| = R} tenemos que Z 1 g(z) g(0) = dz 2πi γ z luego 1 a = |f (0)| = |g(0)| ≤ 2π Z γ ≤ |g(z)| 1 dz = |z| 2π Z γ |g(z)| 1 dz = R 2πR M (R/3)k 2πR M = k k 2πR(2R/3) 2 entonces M ⇒ k log 2 ≤ log(M/a) a 1 ∴k≤ log(M/a) log 2 2k ≤ Z |g(z)|dz γ