Optimización. E: Si se cuenta con M cm2. de material - Canek

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Optimización.
E: Si se cuenta con M cm2 . de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen
máximo posible de la caja.
y
y
x
x
D: H
Total de material usado en la caja con tapa, según la figura. M es constante:
A = 2x2 + 4xy = M
Volumen de la caja. Función que se desea optimizar:
V = x2 y
Despejando y de la “restricción”, esto es, de la fórmula del área:
1 M
M − 2x2
=
− 2x
y=
4x
4 x
1
1 2 M
− 2x =
Mx − 2x3
V = x
4
x
4
El volumen se encuentra ahora con una sola variable
1
V 0 = (M − 6x2 )
4
1
V 00 = (−12x) < 0
4
Para calcular los puntos crı́ticos, igualamos la primera derivada a cero:
0
2
2
V = 0 ⇒ M − 6x = 0 ⇒ 6x = M ⇒ xM in =
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
r
M
6
2
Mı́nimo absoluto.


M
r


1 M
M
 = 6  r6 − 1 M  = 6
r
yM in = 
−
2
4 M
6  4 M
3 6 4
6
6
r
r
M
6 2 M
=
= xM in
= ×
4 3 6
6
r
M M
V =
6
6
r


r
1
M
−
6
3
r
M
6
!
=
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