11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 1 ENUNCIADOS 1 Se desea fabricar un tubo de 2 m de largo y 5 cm de diámetro soldando los dos bordes de un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si en las soldaduras se solapan 5 mm de chapa? 2 Calcula la superficie total de estas figuras: a) b) 2 cm 2 cm 6 cm 3 cm 3 Se desea pintar un depósito de combustible de forma cilíndrica, que mide 5 m de radio de la base y 8 m de altura. Si la contrata cuesta 6 € el metro cuadrado, ¿cuál es el presupuesto de la obra? 4 Se va a renovar totalmente el tejado de la torre que ves en la fotografía. El diámetro de la base mide 3 m y la altura desde la base del tejado al vértice es de 4 m. ¿Cuántas planchas de pizarra son necesarias, sabiendo que para cubrir un metro cuadrado se necesitan 60 planchas? 5 Si cada metro cuadrado de superficie necesita 250 gramos de pintura, ¿cuántos botes de medio kilo necesitaremos para pintar una cúpula esférica de 5 m de radio y 3,5 m de alto? Unidad 11. Cuerpos de revolución 5m 3,5 m 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 2 6 ¿Cuáles de estos desarrollos corresponden a un cono? a) b) c) 7 a) Calcula la superficie total del cono que se en- B gendra al girar el triángulo de abajo alrededor del lado AB. b) Calcula también la superficie total del cono que se engendra al girar alrededor del lado AC. 4 cm C 3 cm A 8 Calcula la superficie del cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 15 cm y 20 cm, respectivamente, al girar alrededor de la hipotenusa. 15 cm 20 cm Unidad 11. Cuerpos de revolución 15 cm 20 cm 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 3 SOLUCIONES 1 Se desea fabricar un tubo de 2 m de largo y 5 cm de diámetro soldando los dos bordes de un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si en las soldaduras se solapan 5 mm de chapa? d d' Radio del turbo ⫽ 2,5 cm d ⫽ 2π · r ⫽ 2π · 2,5 ⫽ 5π ⫽ 15,7 cm 2m d ' ⫽ 5mm ⫽ 0,5 cm Las dimensiones del rectángulo serán 2 m de altura y 16,2 cm de ancho. 2 Calcula la superficie total de estas figuras: a) b) 2 cm 2 cm 6 cm 3 cm a) Es laEs mitad de undecilindro de altura la mitad un cilindro de altura 2 2 cmyyradio radio33cm cmmás máslalapared paredfrontal. frontal. 2 cm 6 cm Área total de medio cilindro ⫽ π · r · h ⫹ π · r 2 ⫽ 18,84 ⫹ 28,26 ⫽ 47,1 cm2 Área de la pared frontal ⫽ a · b ⫽ 6 · 2 ⫽ 12 cm2 Área total de la figura ⫽ 47,1 ⫹ 12 ⫽ 59,1 cm2 Unidad 11. Cuerpos de revolución 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 4 b) Es un Es cuarto de cilindro más lasmás dos las paredes rectanun cuarto de cilindro dos paredes gulares. gulares. 2 cm 3 cm 47,1 ⫽ 23,55 cm2 2 Área de las dos paredes ⫽ 2 · a · b ⫽ 2 · 3 · 2 ⫽ 12 cm2 Área total de un cuarto de cilindro ⫽ Área total de la figura ⫽ 23,55 ⫹ 12 ⫽ 35,55 cm2 3 Se desea pintar un depósito de combustible de forma cilíndrica, que mide 5 m de radio de la base y 8 m de altura. Si la contrata cuesta 6 € el metro cuadrado, ¿cuál es el presupuesto de la obra? Área lateral ⫽ 2π · 5 · 8 ⫽ 80π ⫽ 251,2 m2 Área total ⫽ Área lateral ⫹ 2π · r 2 ⫽ 251,2 ⫹ 50π ⫽ 408,2 m2 8m REGLA DE TRES 5m → x⫽ 1 m2 → 6 € → 408,2 m2 → x 408,2 . 6 ⫽ 2 449,2 € 1 El presupuesto de la obra es 2 449,2 €. 4 Se va a renovar totalmente el tejado de la torre que ves en la fotografía. El diámetro de la base mide 3 m y la altura desde la base del tejado al vértice es de 4 m. ¿Cuántas planchas de pizarra son necesarias, sabiendo que para cubrir un metro cuadrado se necesitan 60 planchas? g 3m 1,5 m Unidad 11. Cuerpos de revolución g ⫽ 兹42 ⫹ 1,52 ⫽ 兹18,25 ⫽ 4,27 m Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 1,5 · 4,27 ⫽ ⫽ 6,405π ⫽ 20,11 m2 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 5 REGLA DE TRES 20,11 . 60 1 m2 → 60 planchas ⫽ 1 206,6 planchas → x ⫽ x 20,11 m2 → 1 Son necesarias unas 1 207 planchas de pizarra. 5 Si cada metro cuadrado de superficie necesita 250 gramos de pintura, ¿cuántos botes de medio kilo necesitaremos para pintar una cúpula esférica de 5 m de radio y 3,5 m de alto? 5m 3,5 m 3,5 m 5m S ⫽ 2π · R · h ⫽ 2π · 5 · 3,5 ⫽ 35π ⫽ 109,9 m2 REGLA DE TRES 109,9 . 250 1 m2 → 250 g ⫽ 27 475 g x ⫽ → 109,9 m2 → x 1 27 475 1 bote → 500 g ⫽ 54,95 botes → x⫽ x →27 475 g 500 Necesitaremos 55 botes. 6 ¿Cuáles de estos desarrollos corresponden a un cono? a) c) Unidad 11. Cuerpos de revolución b) 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 6 a) 0, 55 cm 2,2 cm Perímetro del círculo de la base: Perímetro ⫽ 2π · R ⫽ 2π · 0,55 ⫽ 3,454 cm El perímetro del círculo de la base debe ser igual a un cuarto del perímetro del círculo de radio 2,2 cm: 1 1 1 Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ . 2π . 2,2 ⫽ 3,454 cm 4 4 4 Por tanto, el desarrollo corresponde a un cono. b) 0, 55 cm 4,5 cm Perímetro del círculo de la base = 3,454 cm El perímetro del círculo de la base debe ser igual a un medio del perímetro del círculo de radio 2,25 cm: 1 1 Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ π . 2,25 ⫽ 7,065 cm 2 2 Por tanto, el desarrollo no corresponde a un cono. c) 2,25 cm 3,375 cm Perímetro del círculo de la base: Perímetro ⫽ 2π · R ⫽ 2π · 1,6875 ⫽ 10,5975 cm Unidad 11. Cuerpos de revolución 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 7 El perímetro del círculo de la base debe ser igual a tres cuartos del perímetro del círculo de radio 2,25 cm: 3 3 3 Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ . 2π . 2,25 ⫽ 10,5975 cm 4 4 4 Por tanto, el desarrollo corresponde a un cono. B 7 a) Calcula la superficie total del cono que se engendra al girar el triángulo de abajo alrededor del lado AB. b) Calcula también la superficie total del cono que se engendra al girar alrededor del lado AC. 4 cm C a) B 3 cm g 4 cm C 3 cm A g ⫽ 兹32 ⫹ 42 ⫽ 兹25 ⫽ 5 cm Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 3 · 5 ⫽ 15π ⫽ 47,1 cm2 Área total ⫽ Área lateral ⫹ π · r 2 ⫽ 47,1 ⫹ 9π ⫽ 75,36 cm2 b) B g 4 cm C 3 cm A Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 4 · 5 ⫽ 20π ⫽ 62,8 cm2 Área total ⫽ Área lateral ⫹ π · r 2 ⫽ 62,8 ⫹ 16π ⫽ 113,04 cm2 Unidad 11. Cuerpos de revolución A 11 ACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN Pág. 8 8 Calcula la superficie del cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 15 cm y 20 cm, respectivamente, al girar alrededor de la hipotenusa. 15 cm 15 cm 20 cm 25 cm 20 cm → x 15 cm r 25 – x 15 cm 20 cm → 152 ⫽ x 2 ⫹ r 2 → 2 2 2 20 ⫽ (25 ⫺ x) ⫹ r 20 cm 152 ⫽ x 2 ⫹ r 2 → 152 ⫽ x 2 ⫹ 202 ⫺ (25 ⫺ x)2 → 2 2 2 r ⫽ 20 ⫺ (25 ⫺ x ) → 152 ⫽ x 2 ⫹ 202 ⫹ 252 ⫺ x 2 ⫹ 50x → 50x ⫽ 450 → x ⫽ 9 cm → r ⫽ 12 c Área lateral del cono de arriba ⫽ π · r · g ⫽ 180π ⫽ 565,2 cm2 Área lateral del cono de abajo ⫽ π · r · g ⫽ 240π ⫽ 753,6 cm2 Área total de la figura ⫽ 565,2 ⫹ 753,6 ⫽ 1 318,8 cm2 Unidad 11. Cuerpos de revolución