1. La derivada del producto de funciones derivables

Cátedra de Matemática
Facultad de Arquitectura
Universidad de la República
Matemática
2013 – Segundo semestre
Hoja 5 Derivada del producto e integración por partes.
Dado que la derivación y la integración pueden verse como operaciones inversas entre sı́,
cada propiedad de la derivación se traducirá en una propiedad de la integración, y viceversa.
Por ejemplo, la linealidad de la integral
b
b
b
(αf (x) + βg(x)) dx = α
f (x) dx + β
g(x) dx
a
a
a
está ı́ntimamente relacionada con la linealidad
(αf + βg) = αf + βg .
En estas notas discutiremos cómo la fórmula
(f g) = f g + f g (1)
para la derivada de un producto da lugar a la fórmula de integración por partes.
b
b
f (x)g (x) dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
f (x)g(x) dx.
a
a
Comenzaremos mostrando la validez de 1.
1.
La derivada del producto de funciones derivables
Δg
f Δg
Δf Δg
g + Δg
g
fg
gΔf
f
Δf
f + Δf
El área total de la figura es (f + Δf )(g + Δg). El dibujo muestra que
Δ(f g) = (f + Δf )(g + Δg) − f g = f Δg + gΔf + Δf Δg,
1
de modo que
Δ(f g)
Δg
Δf
Δf Δg
=f
+g
+
.
Δx
Δx
Δx
Δx
Es fácil analizar a qué tiende el miembro de la derecha cuando Δx → 0. Tenemos
Δf
→ f (x).
Δx
Δg
→ g (x),
Δx
Por lo tanto
Δf
Δf Δg
=
Δg → 0,
Δx
Δx
porque es el producto de Δf /Δx, que tiende a f , por Δg, que tiende a 0 Combinando toda
esta información concluimos
Δ(f g)
→ f g + f g
Δx
cuando Δx → 0, lo que implica que existe la derivada de f g en los puntos x en que f y g son
derivables y satisface (1).
Otra forma de obtener el mismo resultado es tener en que la derivada nos dice cuál es la
parte lineal del incremento de una función. Para f tenemos
f (x + Δx) = f (x) + f (x)Δx + 1 (Δx)Δx.
Para g
g(x + Δx) = g(x) + g (x)Δx + 2 (Δx)Δx.
Al formar el producto de f (x + Δx) y g(x + Δx) para calcular (f g)(x + Δx) aparece primero
un término f (x)g(x), que es el valor de la función cuando Δx = 0. El término lineal en Δx es
(f (x)g(x) + f (x)g (x)) Δx.
(2)
Todos los demás términos del producto tienen un factor (Δx)2 , o la combinación de Δx con
una expresión que tiende a 0 cuando Δx tiende a cero, por lo que son sumandos que se vuelven
mucho más chicos que Δx cuando Δx → 0, y la parte lineal del incremento de f g es justamente
(2), lo que es equivalente a que f (x)g(x) + f (x)g (x) es la derivada de f g en x.
La discusión del párrafo anterior hacerse de manera más breve, menos rigurosa pero quizás
más sugerente. La idea de que la recta tangente a un curva en un punto es la mejor aproximación
del a curva por un objeto lineal, o de que la derivada en x de f nos permite dar una buena
descripción de cómo está variando f cerca de x, puede escribirse, para Δx chico, como
f (x + Δx) f (x) + f (x)Δx.
Esta expresión es una igualdad aproximada, sugiere que f (x + Δx) es esencialmente lo que aparece en el término de la derecha a menos de un error pequeño. Aquı́ “pequeño”debe entenderse
en el sentido de que el error se hace mucho más chico que Δx cuando Δx → 0. Para g hay una
expresión análoga:
g(x + Δx) g(x) + g (x)Δx.
Combinando ambas en el producto de f (x + Δx) y g(x + Δx) obtenemos
(f g)(x + Δx) f (x)g(x) + (f (x)g(x) + f (x)g (x)) Δx + f (x)g (x)(Δx)2 .
2
Volviendo a utilizar en nuestro cálculo la idea de despreciar todo lo que se hace mucho más
chico que Δx cuando Δx → 0 y observando que (Δx)2 tiene esta propiedad, todavı́a podemos
simplificar un poco más la última expresión, a
(f g)(x + Δx) f (x)g(x) + (f (x)g(x) + f (x)g (x)) Δx.
Reencontramos ası́ que el término lineal en Δx es (2).
Ejemplo 1.1 La fórmula de la derivada del producto da un procedimiento alternativo para
calcular la derivada de un cuadrado. Si tenemos en cuenta que
x2 = xx,
y que la derivada de x es la función constante 1, entonces
d(x2 )
= 1x + x1 = 2x.
dx
De manera análoga, x3 = x2 x. Entonces
d(x3 )
= 2xx + x2 1 = 3x2 .
dx
El procedimiento puede usarse para todas las potencias naturales.
Ejercicio 1 Mostrar por inducción sobre n que para cualquier valor natural de n se satisface
d(xn )
= nxn−1 .
dx
Ejemplo 1.2 Si
f (x) = x sen x
entonces
f (x) = 1 sen x + x cos x = sen x + x cos x.
Ejemplo 1.3 Si
f (x) = x log x
entonces
f (x) = 1 log x + x
1
= log x + 1.
x
Ejercicio * 2 Calcular las derivadas de
x cos x,
ex cos x,
x sen(ax),
ex sen x.
Una distribución de carga queda caracterizada por una función ρ(x), que expresa la densidad
lineal de carga. Por ejemplo, cuando la carga está uniformemente distribuida la función ρ es
igual a una constante. El valor de la constante es igual a la carga que soporta cada unidad de
longitud de la viga.
3
x
l
Si el perfil de carga es triangular, como en el dibujo, entonces ρ(x) = ax, donde a es una
constante. La posibilidad de considerar una funcion genérica ρ(x) como densidad lineal de carga
habilita a modelar una clase muy amplia de situaciones, y hacer estudios teóricos generales de
los modelos.
Para la ménsula empotrada en su extremo derecho y sometida a una carga distribuida con
densidad ρ, el valor del cortante en x es
x
ρ(t)dt,
(3)
V (x) =
0
en tanto que el del momento es
M (x) = −
x
0
(x − t)ρ(t)dt.
(4)
Ejercicio 3 Interpretar las fórmulas (3) y (4). Establecer las analogı́as adecuadas con los casos
en que las cargas están concentradas en algunos puntos.
Ejercicio * 4 Comprobar, para los casos de cargas distribuidas que ya se han estudiado, que
las fórmulas (3) y (4) arrojan los valores correctos para el cortante y el momento.
Ya hemos dado un argumento que justifica la igualdad
M = −V,
(5)
entre la derivada del momento y el opuesto del cortante. El siguiente ejercicio propone una
demostración alternativa.
Ejercicio 5 Usar la fórmula de la derivada del producto y el teorema fundamental del cálculo
para mostrar (5) derivando la expresión (4).
El tipo de fórmulas para la derivada que obtuvimos en los ejemplos 1.2 y 1.2 habilita a calcular primitivas que no son obvias en una primera aproximación. Lo haremos primero de manera
informal en dos ejemplos, y luego discutiremos cómo esta idea da lugar a un procedimiento
sistemático.
Ejemplo 1.4 El resultado del ejemplo 1.2 permite calcular una primitiva de x cos x. Sabemos
que
(x sen x) = sen x + x cos x,
4
lo que es equivalente a decir que x sen x es una primitiva de sen x + x cos x. Es casi lo que
queremos, salvo por el sumando sen x. Pero sen x desaparecerá del cálculo si antes de derivar restamos de x sen x una primitiva de sen x, que es algo conocido para nosotros: − cos x.
Concluimos ası́ que
F (x) = x sen x + cos x
(6)
deberı́a ser una primitiva de x cos x, cosa que intentaremos verificar derivando:
F (x) = 1 sen x + x cos x − sen x = x cos x.
Al terminar el cálculo comprobamos que efectivamente tenemos una primitiva de x cos x.
Usando un razonamiento parecido a partir del ejemplo 1.3 puede resolverse el siguiente
ejercicio.
Ejercicio 6 Calcular una primitiva de log x.
Ejercicio 7 Para culquier valor de a, hallar primitivas de x cos(ax).
Ejercicio 8 Calcular primitivas de ex cos x y ex sen x. Sugerencia: considerar al mismo tiempo
las derivadas de ambas funciones, y buscar combinaciones adecuadas de ellas que permitan
resolver el problema planteado.
1.1.
La fórmula de integración por partes
Dado que
(f g) = f g + f g podemos despejar
f g = (f g) − f g .
Integrando entre a y b obtenemos
b
b
b
f (x)g(x)dx =
(f g) (x)dx −
f (x)g (x)dx.
a
a
a
La primera integral del miembro de la derecha es de evaluación directa, porque f g es una
primitiva del integrando. Resulta entonces
b
b
b
f (x)g(x)dx = f g|a −
f (x)g (x)dx.
(7)
a
a
Esta fórmula recibe el nombre de integración por partes.
Observación 1.4.1 Integración por partes puede emplearse también para el cálculo de primitivas, en la forma
(8)
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g (x)dx,
que expresa que una primitiva de f g puede obtenerse restando del producto f g una primitiva
de f g .
Ejercicio * 9 Calcular primitivas de las funciones de los ejercicios 6, 7 y 8, aplicando la fórmula
(8). Sugerencia: los cálculos son esencialmente los mismos que ya se hicieron, pero puestos en
el marco de este formalismo.
5
Ejercicio 10 Integración por partes suele emplearse cuando se reconoce que el integrando se
puede escribir de manera útil como el producto f g de la derivada f de una cierta función f ,
por una segunda función g. Pero f es tanto la derivada de f como de cualquier otra función
f + c, donde c es una constante arbitraria. ¿Qué ocurre cuando dejamos variar c? ¿Es posible
que al variar c la misma integral produzca una infinidad de resultados diferentes? ¿Cómo afecta
la constante c el uso de integración por partes para el cálculo de primitivas, tal como se describe
en la observacion 1.4.1
Ejercicio 11 Calcular la integral
e
x ln (x) dx.
1
A.
1
.
2
B.
e2 − 1
.
4
e2 + 1
C.
.
4
D.
3e2 − 1
.
4
Ejercicio 12 Calcular
1
xex dx.
0
A. -1
B. 1
C. e/2.
D. e
√
E. 1 + e/2 −
e..
Ejercicio 13 La integral
π
2
x2 sen x dx
0
es igual a
π3 1
A.
+
24 3
0
π
2
x3 cos x dx.
6
π3 1
B.
−
24 3
π2
C.
−2
4
π
2
x3 sen x dx.
0
π
2
0
π3 1
D. − −
24 3
x sen x dx.
π
2
x3 cos x dx.
0
Ejercicio 14 Calcular la integral
e
x2 ln (x) dx.
1
A.
1
.
3
B.
2e3
.
9
C.
2e3 + 1
.
9
e3
− 2e + 2.
D.
3
Ejercicio 15 La integral
1/2
x sen(πx) dx
0
es igual a:
A.
1
− .
2
B. −
1
.
8π
C.
1
.
π2
D.
1
.
8π
7