PRÁCTICA 1: Ejercicios de los capítulos 1 y 3 1. Supongamos que una población con 3 elementos adopta los valores 2, 4 y 6 en la variable aleatoria X. a). Calcular los parámetros media y varianza de dicha población X: f (xi) 2 1/3 4 1/3 6 1/3 E(X) = Σ xi f(xi) = µ = 2 . 1/3 + 4 . 1/3 + 6 . 1/3 = 12/3 = 4 σ2(X) = Σ xi2 f(xi) - [E(X)]2 = 4 + 16 + 36 / 3 – (4)2 = 8/3 = 2,67 b). Extraer, con reposición, todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcular la media y varianza en cada muestra N=3yn=2 1 2 2 2 0 x1 x2 x i 2 S i V Nn = N n = 3 2 = 9 2 2 4 3 1 3 2 6 4 4 4 4 2 3 1 5 4 4 4 0 6 4 6 5 1 7 6 2 4 4 8 6 4 5 1 9 6 6 6 0 c). Calcular la distribución muestral de la media y la varianza x i f( x i ) S f( S 2 i 2 i ) 2 1/9 3 2/9 4 3/9 0 3/9 1 4/9 4 2/9 5 2/9 6 1/9 d). ¿Cuál es la probabilidad de que la media tome su valor verdadero? P ( X = µ ) = P ( X = 4 ) = 3 / 9 = 0,33 e). ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza valga al menos 1 punto? P (S2 ≥ 1 ) = P (S2 = 1 ) + P (S2 = 4 ) = 4 / 9 + 2 / 9 = 6 / 9 = 0,67 2. Un informe de tráfico ha desvelado que la población de jóvenes madrileños se distribuye normalmente con media 5 y varianza 3 en las pruebas de atención del examen de conducir. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 9 jóvenes: a). Si se extrae un sujeto al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que puntúe al menos 4 puntos en la prueba? P (X ≥ 4 ) = P (Z ≥ -0,58) = 0,7190 Donde: z i = 1 X−µ σ = 4−5 = −0,58 3 b). ¿Cuál es la probabilidad de que los sujetos obtengan una media de como mínimo 4 puntos? P ( X ≥ 4 ) = P (Z ≥ -1,73) = 0,9582 Donde z i = X−µ 4−5 = = −1,73 3/ 9 σ/ n c). ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral adopte como máximo el valor 5? P (S2 ≤ 5 ) = P (X2 ≤ 15) = 0,95 Donde X 3. 2 i = n⋅S2 σ 2 = 9⋅5 = 15 → χ n2−1 = χ 82 3 Un psicólogo clínico afirma que con su terapia para tratar “el miedo a volar en avión” se recupera el 85% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 40 pacientes que han acudido a su consulta durante el último año con este problema, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 30 se hayan recuperado y puedan tomar aviones? P (X ≥ 30 ) = P (Z ≥ - 1,76) = 0,9616 Donde: Zi = X − E( X ) 30 − 34 = = −1,76 2,26 σ (X ) E(X) = n π = (40) (0,85) = 34 σ ( X ) = nπ (1 − π ) = (34 )( 0,15) = 2,26 4. Un estadístico de contraste X tiene las funciones de distribución de probabilidad bajo H0 verdadera y bajo H0 falsa que aparecen en la tabla inferior. X F(x) / H0 F(x) / H1 1 0,05 0,35 2 0,16 0,45 3 0,39 0,63 4 0,65 0,77 5 0,90 0,85 6 0,95 0,94 Se ha llevado a cabo un contraste unilateral izquierdo con α = 0,05. a) ¿Qué valores de X forman la zona de rechazo? 1 ¿y la de aceptación? 2, 3, 4, 5, 6 y 7 b) ¿Cuál es la regla de decisión en términos de probabilidad? Rechazar H0 si P (X ≤ xi) ≤ 0,05 c) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar H0 cuando ésta es verdadera? Error tipo I: α = 0,05 2 7 1,00 1,00 d) ¿Cuál es la probabilidad de mantener H0 cuando ésta es falsa? Error tipo II: β = 1 - 0,35 = 0,65 e) Si X = 2 ¿Qué decisión tomará sobre H0?¿Por qué? Mantener H0 pues X cae dentro de la zona de aceptación f) ¿Cuál será el valor del nivel crítico? p = P(X ≤ 2) = 0,16 g) ¿Cuál es la potencia del contraste? 1 - β = 0,35 h) ¿A partir de qué nivel de significación puede rechazarse H0? α = 0,16 5. Un estadístico de contraste Y tiene las funciones de probabilidad bajo H0 y bajo H1 que aparecen en la tabla inferior. Y f (y) / H0 f (y) / H1 1 0,025 0,10 2 0,025 0,05 3 0,25 0,15 4 0,45 0,05 5 0,20 0,25 En un contraste unilateral derecho con Y = 3 y α = 0,05. a). ¿Qué decidirá sobre H0? Mantener H0 pues Y = 3 cae dentro de la zona de aceptación b). ¿Cuál es el valor del nivel crítico? p = P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0,05 = 0,95 c). ¿Cuál es la probabilidad de rechazar H0 y equivocarnos? Error tipo I: α = 0,05 d). ¿Cuál es la potencia del contraste? 1 - β = 0,40 3 6 0,05 0,40