Notas sobre la delta de Dirac

3.3.
Apéndice Matemático sobre la Delta de Dirac
En cursos de Electrodinámica, es muy utilizada la delta de Dirac δ(x), que satisface
δ(x) = 0, x ̸= 0
ˆ ∞
dxδ(x) = 1
−∞
Semejante función no existe en el análisis ordinario. La δ(x) de Dirac es una función generalizada (o distribución de Schwarz).
Funciones Generalizadas
Utilizaremos funciones complejas f (x) de cuadrado integrable bajo el producto interno dado
por
(f, g) =
ˆ
∞
dxf ∗ (x)g(x)
−∞
Sea
{gn (x), n = 1, 2, 3, ...}
una sucesión de funciones de cuadrado integrable, esto es
ˆ ∞
(gn , gn ) =
dx[gn (x)]2 < ∞
−∞
Llamaremos función de prueba cualquier función f (x) de cuadrado integrable
ˆ ∞
dx[f (x)]2 < ∞
(f, f ) =
−∞
Definimos la Función Generalizada g(x) asociada a la sucesión {gn (x)} como
.
g(x) = lı́m {gn (x)}
n→∞
Este sı́mbolo se define mediante el lı́mite de las integrales, es decir, g(x) es una función
generalizada asociada a la sucesión {gn (x)} si
ˆ ∞
ˆ ∞
dxg(x)f (x) = lı́m
dxgn (x)f (x)
n→∞
−∞
−∞
para cualquier función de prueba f (x)
Nota 1 Por la desigualdad de Schwarz
(gn , f )2 ≤ (gn , gn )(f, f ) < ∞
vemos que toda sucesión de funciones de cuadrado integrable define una función generalizada
Nota 2 En rigor, las funciones generalizadas están definidas detrás de la integral, no es
necesario que la sucesión sea convergente en el sentido ordinario, esto quiere decir que no es
necesario que se tenga
lı́m gn (x) = g(x)
n→∞
para que la función generalizada exista. g(x) existe rigurosamente en el lı́mite de las integrales
36
3.3.1.
Delta de Dirac δ(x)
El ejemplo mas ilustre y sobresaliente de función generalizada es la delta de dirac, que
será fundamental para el desarollo de muchas teorı́as de la fı́sica, ası́ como del Análisis de
Señales (Disciplina de la Ingenierı́a Eléctrica). Existen varias sucesiones que definen a la delta
de Dirac, comenzaremos con una sucesión de la forma
⎧
⎪
x < −1/n
⎨0
δn (x) = n/2 −1/n < x < 1/n
⎪
⎩
0
x > 1/n
Fig. 3.4: Primeras 3 funciones dadas por la sucesión δn (x)
Notar que a medida que aumenta n, la función se asemeja a un rectángulo cada vez más
angosto en torno al origen y de mayor amplitud. Sin embargo, siempre el área bajo δn (x) es
uno. Fı́sicamente usaremos la delta de Dirac para modelar distribuciones de carga que son nulas
excepto en un punto del espacio
Veamos que en efecto δn (x) define una sucesión de funciones de cuadrado integrable
ˆ ∞
ˆ 1/n
% n &2 % n & 2 ' 2 ( n
2
(δn (x), δn (x)) =
dx[δn (x)] =
dx
=
=
2
2
n
2
−∞
−1/n
Además
ˆ
∞
dxδn (x) =
−∞
1/n
n2
n
=1
dx( ) =
2
2n
−1/n
ˆ
Veamos que ocurre con
ˆ
∞
dxδn (x)f (x)
−∞
donde f (x) es cualquier función de cuadrado integrable. Se tiene que
Fig. 3.5: Utilizando el teorema del valor medio integral
37
∞
n
dxδn (x)f (x) =
2
−∞
ˆ
ˆ
1/n
dxf (x) =
−1/n
n2
fn = fn
2n
donde fn es el valor de la función para algún x entre −1/n < x < 1/n . De esta forma, es
claro que
ˆ ∞
dxδn (x)f (x) = lı́m fn = f (0)
lı́m
n→∞
n→∞
−∞
En resumen, la sucesión δn (x) define la función generalizada δ(x), llamada delta de Dirac,
cuyas propiedades fundamentales son
ˆ ∞
dxδ(x) = 1
−∞
ˆ
∞
dxδ(x)f (x) = f (0)
−∞
δ(x) = 0, x ̸= 0
Del mismo modo, podemos interpretar δ(x − xo ) en base a
ˆ ∞
dxδ(x − x0 ) = 1
−∞
ˆ
∞
−∞
dxδ(x − x0 )f (x) = f (xo )
δ(x − x0 ) = 0, x ̸= x0
Nota
No existe ninguna función ordinaria con éstas propiedades, pero sı́ existe una función generalizada! Ahora que se tiene en claro el significado de las integrales recién mencionadas, se puede
tratar la delta de Dirac como una función ordinaria, sin olvidar el significado real de ésta.
Fı́sicamente, la Delta puede representar una señal o Impulso de gran amplitud y de extensión
infinitamente pequeña. Por ejemplo, δ(t − to ) puede representar un sonido o una fuerza de gran
amplitud que ocurre en el instante t = to , y de extensión prácticamente nula en el tiempo (Un
aplauso o el impulso que actúa sobre una pelota cuando rebota contra una pared). En electricidad y magnetismo, ρ = qδ(x − xo )δ(y − yo )δ(z − z0 ) representará la densidad volumétrica de
una carga puntual q ubicada en (x0 , y0 , z0 ), es decir, es nula en todo el espacio excepto en el
punto (xo , y0 , z0 )
Igualdad de Funciones Generalizadas
Dos funciones generalizadas
g(x) = lı́m {gn (x)}
n→∞
h(x) = lı́m {hn (x)}
n→∞
son iguales si y sólo si, con cualquier función f (x) se tiene
38
ˆ
∞
−∞
dx[g(x) − h(x)]f (x) = 0
Es decir
.
g(x) = h(x) ⇐⇒
ˆ
∞
−∞
dx[g(x) − h(x)]f (x) = 0
Anteriormente mostramos como una sucesión de funciones rectangulares (δn (x)) definen a
δ(x). De igual forma, se puede construı́r la delta de Dirac con una sucesión de Gaussianas
n
2 2
hn (x) = √ e−n x
π
de forma que
δ(x) = lı́m {hn (x)}
n→∞
Fig. 3.6: Construcción de δ(x) mediante una sucesión de Gaussianas
Este tipo de funciones nos es familiar, sabemos que siempre una distribución Gaussiana
tiene como integral total 1 (es una distribución de Probabilidad). Para demostrar que esta
sucesión define igualmente a la delta basta con demostrar que
ˆ ∞
n
2 2
dx{δn (x) − √ e−n x }f (x) = 0
I = lı́m
n→∞ −∞
π
39
3.4.
Propiedades de la delta de Dirac
ˆ
∞
dxδ(x)f (x) = f (0)
−∞
δ(x)f (x) = f (0)δ(x)
δ(−x) = δ(x)
δ(ax) =
ˆ
∞
−∞
δ(x)
|a|
dxδ ′ (x)f (x) = −f ′ (0)
δ(x − x′ ) = 0, x ̸= x
b
ˆ
dx′ δ(x − x′ ) = 1, a < x < b
a
δ(x − x′ ) = δ(x′ − x)
∞
ˆ
−∞
ˆ
∞
−∞
dx′ δ(x − x′ )f (x′ ) = f (x)
dx′′ δ(x′′ − x′ )δ(x′′ − x) = δ(x′ − x)
N
)
δ(x − xi )
δ(f (x)) =
|
f ′ (x) |x=xi
i=1
donde xi son los ceros simples de f (x)
Delta de Dirac en 3 dimensiones
Se define
δ(⃗x − ⃗x′ ) = δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ )
la cual cumple
˚
d3 x′ δ(⃗x − ⃗x′ ) =
V
˚
R3
˚
R3
*
1 si ⃗x ∈ V
0 si ⃗x ∈
/V
d3 x′ δ(⃗x − ⃗x′ ) = 1
d3 x′ δ(⃗x − ⃗x′ )f (⃗x′ ) = f (⃗x)
40
Fig. 3.7: Paul Dirac
Paul Dirac(1902-1984) Fı́sico Inglés. Se graduó de Ingeniero Eléctrico en 1921, posteriormente estudió matemáticas y fue recibido en la Universidad de Cambridge. En 1926 desarrolló una versión de la mecánica cuántica en la que unı́a el trabajo previo de Werner Heisenberg
y de Erwin Schrödinger en un único modelo matemático que asocia cantidades medibles con
operadores que actúan en el espacio vectorial de Hilbert y describe el estado fı́sico del sistema.
Por este trabajo recibió un doctorado en fı́sica por Cambridge. En 1928, trabajando en los
spines no relativistas de Pauli, halló la ecuación de Dirac, una ecuación relativista que describe
al electrón. Este trabajo permitió a Dirac predecir la existencia del positrón, la antipartı́cula
del electrón
41
Problema
Muestre que una distribución discreta de cargas qi , i = 1, 2, ...N ubicada en los puntos ⃗xi ,
i = 1, 2, ...N es consistente con una distribución volumétrica de carga
N
)
ρ(⃗x) =
qi δ(⃗x − ⃗xi )
i=1
Solución
Para ver que la distribución de carga se puede escribir de esta forma, se debe verificar que el
campo eléctrico que genera es el correcto. En efecto
˚
⃗x − ⃗x′
⃗
d3 x′ ρ(⃗x′ )
E(⃗x) =
| ⃗x − ⃗x′ |3
R3
⃗ x) =
E(⃗
˚
d3 x′
R3
N
)
i=1
qi δ(⃗x − ⃗xi )
⃗x − ⃗x′
| ⃗x − ⃗x′ |3
Si la distribución es finita (N es un número finito) podemos intercambiar la integral con la
suma (y nos aseguramos que no se espante ningún matemático)
⃗ x) =
E(⃗
N
)
i=1
qi
˚
⃗ x) =
E(⃗
R3
d3 x′ δ(⃗x − ⃗x′i )
N
)
qi
i=1
⃗x − ⃗x′
| ⃗x − ⃗x′ |3
⃗x − ⃗xi
| ⃗x − ⃗xi |3
que es el campo correcto generado por la distribución de carga
42
Problema
Demuestre la propiedad
δ(f (x)) =
donde xi son los ceros simples de f (x)
) δ(x − xi )
| f ′ (x) |x=xi
i
Solución
Sea la sucesión de funciones de cuadrado integrable
⎧
⎪
x < −1/n
⎨0
δn (x) = n/2 −1/n < x < 1/n
⎪
⎩
0
x > 1/n
δ(x) es la función generalizada asociada a la sucesión δn (x)
.
δ(x) = lı́m {δn (x)}
n→∞
Ahora usaremos el hecho de que dos funciones generalizadas
.
g(x) = lı́m {gn (x)}
n→∞
.
h(x) = lı́m {hn (x)}
n→∞
son iguales si y solo si , con cualquier función de prueba f (x) se tiene
ˆ ∞
dx (g(x) − h(x)) f (x) = 0
∞
Se define la función generalizada
g(x) =
) δ(x − xi )
df
|
dx x=xi
|
i
donde xi son los ceros simples de f . Por supuesto
.
g(x) = lı́m {gn (x)}
n→∞
con
gn (x) =
) δn (x − xi )
|
i
Sea y(x) una función de prueba
ˆ ∞
ˆ
dxgn (x)y(x) =
−∞
ˆ
∞
−∞
dxgn (x)y(x) =
∞
i
∞
−∞
dx
δn (x − xi )
|
df (x)
|x=xi
dx
Por el teorema del valor medio integral
ˆ ∞
)
dxgn (x)y(x) =
−∞
dx
−∞
)ˆ
i
df (x)
|x=xi
dx
) δn (x − xi )
i
|
y(x) =
df (x)
|x=xi
dx
)ˆ
i
n/2
|
43
df (x)
|x=x∗
dx
y(x)
xi +1/n
dx
xi −1/n
(2/n) y(x∗ )
n/2
|
df (x)
|x=xi
dx
y(x)
con x∗ ∈ [−1/n + xi , 1/n + xi ]. Con esto
ˆ ∞
ˆ
lı́m
dxgn (x)y(x) =
n→∞
−∞
∞
)
dxg(x)y(x) =
−∞
i
|
y(xi )
df
|
dx x=xi
Ahora, veamos que ocurre con la función generalizada
.
h(x) = lı́m {hn (x)}
n→∞
con
hn (x) = δn [f (x)]
⎧
⎪
f (x) < −1/n
⎨0
hn (x) = n/2 −1/n ≤ f (x) ≤ 1/n
⎪
⎩
0
f (x) > 1/n
sea Ij = [x1j , x2j ], j = 1, 2, ... tal que ∀x ∈ Ij , −1/n ≤ f (x) ≤ 1/n (x2j ≥ x1j ) y tal que
+
Ij
Ii = φ
∀i ̸= j (intervalos disjuntos). Ası́, por el teorema del valor medio integral
ˆ ∞
)n
) ˆ x2i n
y(x∗i ) (x2i − x1i )
dxhn (x)y(x) =
dx y(x) =
2
2
−∞
x
1i
i
i
con x∗i ∈ Ii . Además, está garantizada la existencia de un x′i ∈ Ii tal que
|
Luego
ˆ
df (x)
| 2/n |
2/n
|x=x′i =
=
dx
x2i − x1i
x2i − x1i
∞
dxhn (x)y(x) =
(2/n) (2/n) y(x∗i )
|
−∞
df (x)
|x=x′i
dx
Si n → ∞, Ij = xj tal que f (xj ) = 0. Ası́
ˆ ∞
lı́m dxhn (x)y(x) =
dxh(x)y(x) =
n→∞
−∞
|
y(xi )
df (x)
|x =
dx
xi
Por lo tanto, se ha demostrado la igualdad entre las funciones generalizadas
δ[f (x)] =
) δ(x − xi )
i
44
|
df (x)
|x=xi
dx