Técnicas de Predicción 1ª Evaluación Solución Administración y Dirección de Empresas 10 de Abril, 2008 Cuestiones 1h C1. Suponga que log Xt tiene tendencia con crecimiento sistemático y que en la tendencia hay una raı́z unitaria y la serie diferenciada tiene una media distinta de cero. Suponga que la serie tiene estacionalidad estocástica. Señale en la terminologı́a I(d, m) qué tipo de modelo es. Describa de forma desarrollada el modelo para log Xt como variable dependiente suponiendo que la transformación estacionaria sigue un proceso MA(1). Indique qué factores recogen la evolutividad y donde se manifiesta la evolutividad estacional. Suponga que se trata de una serie trimestral. Solución: El modelo I(d, m) descrito en el enunciado es del tipo I(1, 1) + EE donde EE ≡ Estacionalidad Estocástica siendo la suma de d + m igual a 2. Al ser h = 2 se indica que la tendencia de logXt tiene dos componentes y, por tanto, uno es de nivel y otro de crecimiento. Como hay una raı́z unitaria (d = 1) el componente de nivel es estocástico y como al eliminar dicha raı́z diferenciando se obtiene que la media de la serie diferenciada es distinta de cero (m = 1) la tendencia de la serie tiene crecimiento expresado por dicha media no nula y, por tanto, determinista. Como la serie tiene estacionalidad estocástica, la raı́z unitaria no se da sobre el retardo uno sino sobre el retardo estacional S. xt 1 = xt−s + c + wt (1) A parir de las ecuaciones estructurales del modelo podemos llegar a la expresión final xt = Tt + St + vt Tt = Tt−1 + c + et X 1x t US−1 (L)St = at = logXt 1 (T endencia) (Estacionalidad) (2) (3) (4) La ecuación (4) puede expresarse como (1 + L + L2 + L3 ) St = at | {z } U3 (L) Despejando y desarrollando la anteriores ecuaciones St = at (5) US−1 (L) donde Tt − Tt−1 = (1 − L)Tt = ∆Tt c et + ∆ ∆ (6) c et at + +P + vt ∆ ∆ US−1 (L) (7) Tt = y sustituyendo en (2) obtenemos xt = calculando el m.c.m 2 y operando ∆4 xt = US−1 (L)c + US−1 (L)et + ∆at + vt {z } | {z } | (8) xt − xt−4 = c∗ + wt (9) Senda de Evolutividad z }| { xt = xt−4 + c∗ +wt (10) 4c=c∗ wt Finalmente wt = Desviaciones con respecto a la senda de evolutividad. Derivado del modelo estructural wt sigue un proceso MA(3)(wt = vt + at − at−1 + et + et−1 + et−2 +et−3 ). Para que sea un MA(1) debemos imponer ciertas restricciones en los componentes que definen wt . Otra forma de calcular la expresión final (10) es a partir del operador diferencia (diferencia de orden 4 por ser una serie trimestral). Sabiendo que ∆S = (1 − LS ) = ∆(1 + L + L2 + ... + LS−1 ) = (1 − L)(1 + L + L2 + ... + LS−1 ) = (1 − L)US−1 (L) Aplicado a nuestra serie ∆4 = (1 − L4 ) = (1 − L + ∆(L + L2 + L3 )) = ∆U3 (L) Es decir, la diferencia estacional ∆4 es una diferencia regular aplicada a un polinomio suma U3 (L). 2U S−1 (L)∆ = ∆4 S=4 2 (1 − L4 )xt = (1 − L + ∆(L + L2 + L3 ))xt = wt + c = xt − xt−1 + 3 X ∆xt−j = wt + c (11) (12) j=1 xt = − xt−1 + c | {z } 3 X ∆xt−j +wt (13) j=1 F actor de T endencia | {z } F actor de Estacionalidad xt−1 ⇒ Nivel estocástico. c ⇒ Crecimiento Determinista. 3 X ∆xt−j ⇒ Estacionalidad estocástica. j=1 donde wt sigue una estructura MA(1) ⇒ at − θ1 at−1 y at es un proceso ruido blanco. Desarrollando la ecuación (13) se puede observar que es equivalente a la expresión (10). C2. A partir del modelo del párrafo anterior formule un modelo para la serie estacionaria y suponga que su media es 0.09. Interprete todos los parámetros de este modelo. Realice predicciones de la serie estacionaria con uno y dos perı́odos de antelación. Calcule la varianza de los errores de predicción en todo los casos y compárelas entre sı́. ¿Cuál serı́a la varianza del error de predicción con diez periodos de antelación? Solución: Sea xt = xt−4 + c + wt el modelo formulado a partir del apartado anterior donde wt es un proceso estocástico de tipo MA(1). Por lo tanto, tendrı́amos el siguiente modelo xt = xt−4 + 0,09 + at − θ1 at−1 (14) donde at ∼ N (0, σ 2 ) y c es la media del proceso. Realizamos la predicción sobre la serie estacionaria para ello diferenciamos la serie hasta lograr la estacionariedad en media. xt − xt−4 = 0,09 + at − θ1 at−1 (15) (1 − L4 )xt = ∆4 xt = Wt = 0,09 + at − θ1 at−1 (16) La predicción del modelo estacionario con información hasta el momento n serı́a: h=1 En (Wn+1 ) = En (c + an+1 − θ1 an ) = = c + En (an+1 ) − θ1 En (an ) = = c − θˆ1 an 3 h≥2 = En (c + an+h − θ1 an+h−1 ) = En (Wn+h ) = c + En (an+h ) − θ1 En (an+h−1 ) = = c = 0,09 A partir de un horizonte h superior al orden del MA la previsión converge a la media del proceso pues la media de Wn+h condicional a lo conocido hasta n es exactamente la media marginal. En procesos estacionarios la predicción colapsa a la media Error de predicción: h=1 n = = Wn+1 − Ŵn+1 en (1) = c + an+1 − θ1 an − (c − θ1 ân ) = = an+1 h≥2 en (k) n = Wn+h − Ŵn+h = = c + an+h − θ1 an+h−1 − c = = an+h − θ1 an+h−1 Varianza del error de predicción: h=1 var[en (1)] = var(an+1 ) = σa2 h≥2 var[en (h)] = var(an+h ) + θ12 var(an+h−1 ) = = σa2 + θ12 σa2 = = (1 + θ12 )σa2 A partir de h ≥ 2 la incertidumbre es la misma. La varianza condicional es la varianza marginal del proceso. En procesos estacionarios la incertidumbre esta acotada 4